2 - CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS

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FUNDAMENTOS 
DE GEOMETRIA
Celso Pessanha Machado
Triângulos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Classificar triângulos e suas linhas transversais.
 � Demonstrar teoremas sobre triângulos.
 � Resolver problemas envolvendo cálculos ou demonstrações.
Introdução
Neste capítulo, você conhecerá um pouco mais sobre as propriedades 
matemáticas das figuras denominadas triângulos. Na primeira seção, você 
estudará a classificação desses entes geométricos, que pode ser pela 
medida dos seus ângulos ou dos seus lados. Você conhecerá, também, 
alguns teoremas envolvendo triângulos e verificará como demonstrá-los 
e utilizá-los na resolução de problemas.
Triângulos e suas linhas transversais
Triângulos são figuras geométricas formadas pelos segmentos que unem três 
pontos não colineares, conforme demonstrado na Figura 1, a seguir.
Figura 1. Triângulo ABC.
Um triângulo é constituído pelos seguintes elementos, demonstrados na 
Figura 2:
 � vértices — são os pontos ABC;
 � lados — são os segmentos e;
 � ângulos internos — são .
Figura 2. Vértices e ângulos externos.
Outro elemento do triângulo é o ângulo externo, mostrado na Figura 3.
Figura 3. Ângulos externos destacados no triângulo.
Triângulos2
Classificação dos triângulos
Os triângulos são classificados de acordo com as medidas dos seus lados e 
ângulos (BOSTOCK et al., 1996). Por meio dos lados, eles podem ser classi-
ficados em equiláteros (Figura 4), isósceles (Figura 5) e escalenos (Figura 6), 
de acordo com as características descritas a seguir.
 � Equiláteros — têm os três lados congruentes.
 � Isósceles — têm dois lados congruentes.
 � Escalenos — os três lados têm medidas diferentes.
Figura 4. Triângulo equilátero.
Figura 5. Triângulo isósceles.
3Triângulos
Figura 6. Triângulo escaleno.
Em relação aos seus ângulos, os triângulos podem ser acutângulos (Figura 7), 
obtusângulos (Figura 8) e retângulos (Figura 9).
� Acutângulo — todos os ângulos medem menos de 90°.
� Obtusângulo — tem um ângulo com mais de 90°.
� Retângulo — tem um ângulo igual a 90°.
Figura 7. Triângulo acutângulo.
Triângulos4
Figura 8. Triângulo obtusângulo.
Figura 9. Triângulo retângulo.
Elementos notáveis de um triângulo
No triângulo, os elementos notáveis são a mediana, a bissetriz, a altura e a 
mediatriz.
5Triângulos
Mediana — é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto 
(Figura 10).
Figura 10. BM é a mediana do triângulo ABC.
O encontro das três medianas de um triângulo é denominado baricentro 
(Figura 11).
Figura 11. Baricentro.
Triângulos6
Bissetriz — é o segmento que une o vértice ao seu lado oposto, dividindo o 
ângulo do vértice em duas partes congruentes (Figura 12).
Figura 12. Bissetriz.
Incentro — é o encontro das três bissetrizes de um triângulo (Figura 13).
Figura 13. Incentro.
7Triângulos
Altura — é a perpendicular que vai de um vértice ao lado oposto, ou ao seu 
prolongamento (Figura 14).
Figura 14. Altura do triângulo.
Ortocentro — é o encontro das três alturas de um triângulo (Figura 15).
Figura 15. Ortocentro.
Triângulos8
Mediatriz — é uma reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um 
lado do triângulo, de onde se conclui que o triângulo tem três mediatrizes 
(Figura 16).
Figura 16. Traçados das mediatrizes de um triângulo.
Circuncentro — o ponto de encontro das três mediatrizes é denominado 
circuncentro, que fica a uma mesma distância de cada um dos seus vértices 
(Figura 17). 
Figura 17. Circuncentro.
9Triângulos
A Figura 18, a seguir, demonstra que o circuncentro é o centro da circun-
ferência circunscrita no triângulo.
Figura 18. Circuncentro no centro da circunferência.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Assim, 
dados dois ângulos, podemos sempre calcular a medida do terceiro, como 
demonstrado no exemplo a seguir.
Triângulos10
Qual a medida do ângulo δ do triângulo ABC?
Como a soma dos ângulos é 180°, temos que:
δ + 38° + 45° = 180°
δ = 180 – 83° 
δ = 97°
Os ângulos externos dos triângulos também têm algumas propriedades. 
Uma delas é que, se forem somados o ângulo externo e seu ângulo interno 
adjacente, o resultado sempre será 180°, conforme a Figura 19.
Figura 19. Soma de ângulos adjacentes em um triângulo.
11Triângulos
Como estão dispostos sobre um segmento de reta, a junção do ângulo 
interno com o ângulo externo de um vértice forma um ângulo raso.
Teoremas sobre triângulos
Nesta seção, você será apresentado a alguns teoremas que envolvem triângulos, 
conhecendo relações matemáticas com essas figuras.
Teorema da base média
A base média de um triângulo é o segmento que tem extremidades nos pontos 
médios do referido triângulo (Figura 20).
Figura 20. Bases médias nos triângulos.
O teorema da base média do triângulo afirma que, em qualquer triângulo, 
o segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados é paralelo ao 
terceiro lado, e sua medida é igual à metade desse terceiro lado.
Triângulos12
Desigualdade triangular 
Em todo triângulo, o comprimento de qualquer lado é sempre menor que a 
soma dos comprimentos dos outros dois (Figura 21).
Figura 21. Triângulo ABC.
A Figura 21 apresenta um triângulo ABC, a partir da qual temos que 
(ÁVILA, 2006):
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Dessas desigualdades, podemos deduzir que:
a < b + c
b < a + c → b – c < a
c < a + b → c – b < a
e 
|b – c| < a < b + c
13Triângulos
Vamos reescrever em termos de módulo para a e b ∈ ℛ, definindo que:
|x| = x, se x ≥ 0
ou
|x| = –x , se x < 0
Portanto: x = |x| ou x = –|x| e
–|a| ≤ a ≤ |a| e –|b| ≤ b ≤ |b| e 
Somando as desigualdades, termo a termo:
– (|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|
– |a + b| ≤ |a| + |b|, que é denominada desigualdade do triângulo.
Cálculos e demonstrações
O perímetro de qualquer figura plana é a medida do seu contorno, dada pela 
soma das medidas dos seus lados. Como um triângulo possui três lados, a 
medida de seu perímetro é o resultado da adição deles.
A área do triângulo é dada pela multiplicação da medida de uma base por 
sua altura.
Vamos dar continuidade com uma demonstração do teorema da base média 
dos triângulos, cuja afirmativa é que a medida dessas bases é igual à metade 
do lado do triângulo que é paralelo. Observe o triângulo DEF, de base B e 
altura h, na Figura 22.
Triângulos14
Figura 22. Triângulo DEF.
Agora, vamos traçar duas retas paralelas à altura h: uma passando pelo 
vértice E, e outra passando pelo vértice F. Traçaremos, também, uma reta 
paralela à base B, passando pelo vértice D, conforme vemos na Figura 23.
Figura 23. Paralelas à altura e à base.
15Triângulos
Agora, traçaremos o retângulo EFGH (Figura 24).
Figura 24. Retângulo EFGH.
Vamos definir o ponto I como a interseção da altura h com a base EF. 
Observe que o retângulo EFGH pode ser dividido em dois retângulos EIDH 
e IFGD (Figura 25).
Figura 25. Retângulos EIDH e IFGD.
Triângulos16
Veja que:
 � o triângulo EID possui metade da área de EIDH;
 � o triângulo IFD possui metade da área de IFGD.
Como EFGH = EIDH + IFGD e DEF = EID + IFD, temos que:
 � área de DEF = 
Como a área do retângulo = B . h temos que:
 � área do triângulo = .
Agora, demonstraremos o teorema da base média. Observe a Figura 26, 
a seguir.
Figura 26. Triângulo ABC com base média MN.
No triângulo, MN//BC.
17Triângulos
Agora, vamos prolongar MN até um ponto P, que será determinado para 
que tenhamos MN congruente com NP (Figura 27).
Figura 27. Extensão de MN a P.
Unimos, então, o ponto P ao vértice C, criando o triângulo NPC (Figura 28).
Figura 28. Criação do triângulo NPC.
Triângulos18
Observe que ∆NPC é congruente com ∆AMN por LAL, pois MN ≡ NC, 
MN ≡ NP e ≡ .
Assim:
CP ≡ AM e MÂN ≡ → CP // AM → CP // BM.
Desse modo, temos que BCPM é um paralelogramo, 
MN // BC e MP ≡ BC.
Como 2 MN = MP, temos que:
2 MN = BC
Logo:
MN = 
Na Figura 29, você verá uma demonstração de que a soma dos ângulos 
internos de um triângulo é 180°. 
Figura29. Triângulo ABC apresentando os ângulos internos.
19Triângulos
O próximo passo da demonstração é construir uma reta paralela ao lado 
AB, que passa pelo vértice C (Figura 30).
Figura 30. r // AB.
Na Figura 31, prolongamos o lado BC e marcamos os ângulos δ e ε. 
Figura 31. Marcação dos ângulos δ e ε.
Triângulos20
Analisando essa figura, verificamos que:
γ + δ + ε = 180º 
Os ângulos β e ε são correspondentes, logo, são congruentes.
Os ângulos a e δ são alternos internos, logo, são congruentes.
Substituindo em γ + δ + ε = 180°, temos que:
γ + α + β = 180°
Na Figura 32, você acompanhará a demonstração de que um ângulo externo 
mede a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.
Figura 32. Triângulo ABC — ângulos internos e externo.
No triângulo, temos que:
δ + ζ = 180 → ζ = 180 – δ
e
α + β + ζ = 180
21Triângulos
Substituindo:
α + β + 180 – δ = 180
e
α + β = 180 – 180 + δ
∴ α + β = δ
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.
BOSTOCK, L. et al. GCSE higher mathematics. Cheltenham: Stanley Thornes, 1996.
Leituras recomendadas
COXETER, H. S. M.; GREITZER, S. L. Geometry revisited. Washington: American Mathe-
matical Society, 1967.
LEIVAS, J. C. P.; SOARES, M. T. C. Triângulos diferentes: dos planos aos geodésicos. 
Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 13, n. 1, p. 77–93, 2011. Disponível em: 
https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/3843. Acesso em: 27 jun. 2019.
PORTAL OBMEP DO SABER. [Site]. [2019]. Disponível em: https://portaldosaber.obmep.
org.br/index.php/site/index?a=1. Acesso em: 27 jun. 2019.
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