As duas questões da prova discursiva

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As duas questões da prova discursiva 
Aritmética e teoria dos números 
 
Por Jose Lourenco Claudio Junior 
 
Como forma de um agrado os seus netos, uma senhora comprou algumas balas, 
pretendendo distribuí-las igualmente, em um dia festivo entre a família. Como não sabia 
quantos netos estariam presentes, fez as contas para as possíveis divisões, percebendo 
que: 
• Se viessem 3 netos, sobrariam 2 balas. 
• Caso comparecessem 4 netos, sobrariam 3 balas. 
• Caso viessem 5 netos, sobrariam 4 balas. 
Apresentando todo o desenvolvimento na resolução do problema, qual o número 
mínimo de balas que a senhora havia à disposição? 
 
E um longo trabalho, a Senhora deve proceder assim.... 
Passo: Montar o sistema de congruências. 
X ≡ 2 (mod 3) 
X ≡ 3 (mod 4) 
X ≡ 4 (mod 5) 
 
Passo: Aplica o Teorema Chines dos Restos. 
M = 3*4*5 = 60 
M1 = 60/3 = 20 
M2 = 60/4 = 15 
M3 = 60/5 = 12 
 
Passo: Reescrevendo o sistema de congruências com os resultados do teorema chines. 
20y ≡ 1 (mod 3) 
15y ≡ 1 (mod 4) 
12y ≡ 1 (mod 5) 
 
Passo: Encontrando as soluções. 
y1 = 2 
y2 = 3 
y3 = 3 
 
Passo: Equacionando a solução. 
20*2*2 + 15*3*3 + 12*3*4 + t*60 
X = 359 + t*60 
X ≡ 359 (mod 60) 
X ≡ 59 (mod 60) 
 
Sendo assim, número mínimo de balas e 59. 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos utilizamos o Princípio da Indução Matemática para demonstrar várias propriedades 
válidas no conjunto dos números naturais e inteiros. 
Seguindo os passos da indução, prove a seguinte propriedade: 
 
Para provar que "10^n - 1" é múltiplo de 3 usando o método de indução matemática, vamos seguir 
os passos típicos desse método. 
Passo 1: Base da indução Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para o menor valor 
possível de n, que é n = 1. 
Para n = 1: 10^1 - 1 = 10 - 1 = 9 
Observe que 9 é um múltiplo de 3. Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1. 
Passo 2: Hipótese de indução Suponha que a afirmação seja verdadeira para um certo valor k, ou 
seja, assumimos que "10^k - 1" é um múltiplo de 3. 
Passo 3: Passo de indução Agora, precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para k, então 
também é verdadeira para k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que "10^(k + 1) - 1" é um múltiplo de 
3, assumindo que "10^k - 1" é um múltiplo de 3. 
Vamos escrever "10^(k + 1) - 1" de uma forma que possamos utilizar nossa hipótese de indução: 
10^(k + 1) - 1 = 10 * 10^k - 1 = (9 + 1) * 10^k - 1 = 9 * 10^k + 10^k - 1. 
Agora, vamos usar a hipótese de indução: Como assumimos que "10^k - 1" é um múltiplo de 3, 
podemos escrever "10^k - 1" como 3 * m, onde m é um número inteiro. 
Substituindo na expressão acima: 9 * 10^k + 10^k - 1 = 9 * (3 * m) + 3 * m = 27 * m + 3 * m = 30 * m. 
Portanto, concluímos que "10^(k + 1) - 1" é igual a 30 * m, onde m é um número inteiro. Isso significa 
que "10^(k + 1) - 1" também é um múltiplo de 3. 
Passo 4: Conclusão Com base no princípio da indução matemática, podemos concluir que "10^n - 1" 
é um múltiplo de 3 para todo número natural n.