MATEMÁTICA 4

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MATEMÁTICA
 
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.310,00
R$ 13.300,00
R$ 13.130,00
R$ 13.330,00
Comentário
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por:
 
VF = VP ( 1 + i)^n
VF = VP ( 1 + 10% )^3 = R$ 13.310,00
 
 
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.300,46
R$ 13.400,46
R$ 13.500,46
R$ 13.600,46
 
Comentário
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por:
VF = 10.000( 1 + 5% ) = R$ 13.400,96
 
 
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da terceira prestação?
R$ 466,00
R$ 460,00
R$ 406,00
R$ 416,00
Comentário
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
 
1.080 / 1 + 4% + 640 / (1 + 4%)^2 + P / (1 + 4%)^3 = 2.000
 
Multiplicando toda a expressão por (1 + 4%)^3, temos:
 
1.080 x (1 + 4%)^2 + 640 x (1 + 4%) + P = 2000 x (1 + 4%)^3
1.168,128 + 665,60 + P = 2.249,728
P = R$ 416,00
 
 
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 414,73
R$ 454,37
R$ 474,73
R$ 447,37
 
Comentário
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a diferença principal é que o primeiro pagamento já ocorre após o segundo mês.
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
 
600 / (1 + 3%)^2 + P / (1 + 3%)^3 = 1.000
 
Multiplicando toda a expressão por (1 + 3%)^3, temos:
 
600 x (1 + 3%) + P = 1000 x (1 + 3%)^3 
 
P = R$ 474,73
 
 
 
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 5% ao mês, em duas prestações bimestrais de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 1.982,67
R$ 1.992,77
R$ 1.952,67
R$ 1.962,77
Comentário
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores. Basta prestar atenção ao fato de que os pagamentos são feitos a cada dois meses (bimestrais), mas a taxa de juros ainda é dada ao mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor inicial da dívida para que haja equivalência:
 
1.500 / (1 + 5%)^2 + P / (1 + 5%)^4 = 3.000
 
Multiplicando toda a expressão por ( 1 + 5% )^4, temos:
 
1.500 x (1 + 5%)^2 + P = 3.000 x (1 + 5%)^4
 
P = R$ 1.992,77
 
 
 
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses dois pagamentos?
R$ 1.547,40
R$ 1.547,50
R$ 1.537,40
R$ 1.537,50
Comentário
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do empréstimo. Em verde, está a situação atual, e em vermelho, a proposta de substituição da empresa: 
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em qualquer instante de tempo, devem ser os mesmos. Para facilitar as contas, vamos igualar o valor dos dois fluxos em t = 2:
 
X + X / (1 + 5 %)^2 = 1.000 x ( 1 + 5%) + 1.000 + 1.000/1 + 5%
 
X + 0,907 x X = 1.050 + 1.000 + 952,38
 
1,907 x X = 3.002,38
 
X = 3.002,38/1,907 = R$ 1.547,40
 
 
 
 
 
Teoria na Prática
 
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão cobrar para operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”.
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros embutidas, mesmo que isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas de juros “escondidas” dentro de outras taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é equivalente receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses valores são equivalentes, como vimos, pois:
 
(1 + 5%) x R$ 1.000,00 = R$ 1.050,00
 
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. Por exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a um mês, o que é melhor do que R$ 1.050,00.
 
 
 
Verificando o aprendizado
 
1. Observe a figura a seguir:
 
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos:
R$ 280,00
R$ 1.000,00
R$ 416,00
R$ 216,00
 
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa (setas verdes) deve ser igual ao valor futuro das saídas de caixa (seta vermelha). Assim, considerando t = 3, temos:
 
1.080 / 1 + 4% + 640 / (1 + 4%)^2 + P / (1 + 4%)^3 = 2.000
 
Multiplicando toda a expressão por (1 + 4%)^3, temos:
 
1.080 x (1 + 4%)^2 + 640 x (1 + 4%) + P = 2000 x (1 + 4%)^3
1.168,128 + 665,60 + P = 2.249,728
P = R$ 416,00
 
 
 
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%, ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros embutida nessa operação?
25% a.m.
20% a.m.
15% a.m.
12,5% a.m.
 
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores presentes dos fluxos precisam ser iguais. Logo:
 
P (1 - 10%) = 0,5 x P + 0,5 x P/1 + i
 
0,90 = 0,9 0,50 + 0,50/1 + i
 
0,50/1 + i = 0,40
 
1 + i = 0,50/0,40 = 1,25 
 
 i = 0,25 = 25% a.m.