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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 9
Pré-Cálculo 1
Trigonometria
Pré-Cálculo 2
Trigonometria
A trigonometria surgiu como um ramo da matemática no
qual se estudavam as relações entre ângulos e distância,
usando triângulos retângulos.
Posteriormente, ela passou a ser aplicada à representação
de eventos periódicos da vida real.
Em virtude dessa duplicidade de propósitos, as funções tri-
gonométricas podem ser definidas como funções tanto de
ângulos como de números reais quaisquer.
Pré-Cálculo 3
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo, o ângulo pertence ao intervalo (0o, 90o ]) (seno de um número real)
Pré-Cálculo 4
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Pré-Cálculo 5
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Pré-Cálculo 6
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Pré-Cálculo 7
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Pré-Cálculo 8
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Pré-Cálculo 9
Atividade
Os ângulos de 30o, 45o e 600 aparecem com frequência em trigono-
metria. Determine o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos.
θ 30o 45o 60o
sen(θ)
cos(θ)
tg(θ)
Pré-Cálculo 10
Funções Trigonométricas
Pré-Cálculo 11
Vibrações de Molas
Suponha que um corpo de
massa m seja colocada na
extremidade de uma mola, e
que ela é puxada para baixo
e liberada. O corpo irá os-
cilar em torno de um ponto
central. Esse movimento é
um exemplo do que os físicos
e matemáticos chamam mo-
vimento harmônico simples.
Se traçarmos o deslocamento vertical do corpo, a partir de seu centro, no
instante de tempo t, nós obtemos o gráfico de uma função trigonométrica.
Muitos fenômenos físicos podem ser modelados usando movimento harmô-
nico simples - por exemplo ondas sonoras e ondas de rádio - e, portanto, por
as funções trigonométricas.
Pré-Cálculo 12
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
I E(0) = (1,0).
I Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum). O ponto final do caminho será
chamado E(t).
I Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, B = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOB mede t radianos.
Pré-Cálculo 13
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Pré-Cálculo 14
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Pré-Cálculo 15
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Para não confundir: Se A = (1,0) e B = E(1),
I o comprimento do arco _AB é 1 unidade de comprimento.
I A medida do ângulo AOB é 1 rad.
Pré-Cálculo 16
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Para não confundir: Se A = (1,0) e B = E(π),
I o comprimento do arco _AB é π unidade de compriemento.
I A medida do ângulo AOB é π rad.
Pré-Cálculo 17
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Pré-Cálculo 18
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Pré-Cálculo 19
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Pré-Cálculo 20
Atividade
[1] Represente, no círculo unitário de centro na origem, o
ponto dado por E(t), sendo
(a) t =
π
2
(b) t = −π
2
(c) t =
π
4
(d) t =
π
3
(e) t =
π
6
(f) t =
3π
2
(g) t = −2π
3
(h) t =
5π
6
(i) t =
4π
3
(j) t = 2π
(k) t = 2017π
(l) t =
41π
2
(m) t =
32π
3
(n) t =
π
3
+ 2kπ, com k ∈ Z
Pré-Cálculo 21
Atividade
[2] Na figura, temos o ponto dado por E(t0), para determinado
t0 ∈ (0, π/2). Determine os pontos dados por E(t), sendo
(a) t = t0 + π
(b) t = t0 + 2π
(c) t = t0 +
π
2
(d) t = t0 − π
(e) t = t0 −
π
2
(f) t = −t0
(g) t = π − t0
(h) t = t0 + 2kπ, com k ∈ Z
Pré-Cálculo 22
Uma observação importante
Percorrer um arco de comprimento 2kπ equivale a dar uma
volta completa sobre o círculo unitário de centro na origem.
Como 2kπ = k · 2π, percorrer um arco de comprimento 2kπ
equivale a dar |k | voltas sobre o círculo,
I no sentido anti-horário, se k > 0,
I no sentido horário, se k < 0.
Pré-Cálculo 23
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir
uma função G : R→ C pondo
G(s) = E
(
2πs
360
)
,
para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O =
(0,0) e, para cada s em
R, B = G(s), dizemos
neste caso que o ângulo AOB
mede s graus.
Pré-Cálculo 24
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOB mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AB tem
comprimento igual a 2π/360.
Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que subtende um arco igual a 1/360
da circunferência.
Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano = 1 rad.
Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que 2πrad =
360◦, ou seja,
1rad =
(
360
2π
)◦
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Pré-Cálculo 25
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Pré-Cálculo 26
Atividade
[3] Determine a quantos graus correspondem
(a)
π
2
rad
(b)
π
4
rad
(c)
π
3
rad
(d)
π
6
rad
(e) π rad
(f)
3π
2
rad
(g)
3π
4
rad
(h)
5π
6
rad
(i)
17π
12
rad
Pré-Cálculo 27
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções
cos : R→ R e sen: R→ R,
chamadas função cosseno e fun-
ção seno, respectivamente, são de-
finidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras,
x = cos(t) e y = sen(t)
são, respectivamente, a abscissa e
a ordenada do ponto E(t) da cir-
cunferência unitária. Note que,
aqui, o número real t dá a medida
do ângulo AOP em radianos!.
Pré-Cálculo 28
Identidade trigonométrica fundamental
Uma consequência imediata da definição é que
(cos(t))2 + (sen(t))2 = 1
(Por quê?)
É comum escrevermos
I cos2(t) para representar (cos(t))2
I sen2(t) para representar (sen(t))2
Com essa notação,
cos2(t) + sen2(t) = 1.
Pré-Cálculo 29
[4] Na figura, a seguir, encontre os valores do seno e do
cosseno de cada um dos ângulos.
Pré-Cálculo 30
Atividade
[5] A partir das definições do seno e do cosseno, calcule
(a) cos (0) e sen (0)
(b) cos (π) e sen (π)
(c) cos
(π
2
)
e sen
(π
2
)
(d) cos
(
−π
2
)
e sen
(
−π
2
)
(e) cos
(π
4
)
e sen
(π
4
)
(f) cos
(π
3
)
e sen
(π
3
)
(g) cos
(π
6
)
e sen
(π
6
)
(h) cos
(
−π
3
)
e sen
(
−π
3
)
(i) cos
(
−π
6
)
e sen
(
−π
6
)
(j) cos
(
5π
6
)
e sen
(
5π
6
)
(k) cos
(
5π
4
)
e sen
(
5π
4
)
Pré-Cálculo 31
Atividade
[6] Escolha um valor qualquer para t ∈ R e represente, no
círculo unitário de centro na origem, o ponto E(t). Agora
represente o ponto E(−t).
Após traçar as retas horizontais e verticais que passam pelos
pontosE(t) e E(−t), tente dizer qual é a relação entre cos(t) e
cos(−t) e entre sen(t) e sen(−t).
[7] A partir da atividade anterior, o que pode ser dito sobre as
paridades das funções cos e sen ?
Pré-Cálculo 32
Atividade
[8] Escolha um valor qualquer para t ∈ R e represente, no
círculo unitário de centro na origem, o ponto E(t). Agora
represente o ponto E(t + 2π).
Qual é a relação entre cos(t) e cos(t + 2π) e entre sen(t) e
sen(t + 2π).
Pré-Cálculo 33
Atividade
[9] Qual é o valor máximo da função cos? Para que valor(es)
de t , cos(t) tem esse valor máximo?
Qual é o valor mínimo da função cos? Para que valor(es) de t ,
cos(t) tem esse valor mínimo?
[10] Qual é o valor máximo da função sen? Para que valor(es)
de t , sen(t) tem esse valor máximo?
Qual é o valor mínimo da função sen? Para que valor(es) de t ,
sen(t) tem esse valor mínimo?
Pré-Cálculo 34
Função Seno
f : R −→ R
f (t) = sen(t)
= medida algébrica do
segmento OP1
Im(f ) = [−1,1].
Pré-Cálculo 35
Função Seno: Propriedades
(a) sen(t + 2π) = sen(t), para todo t ∈ R.
(b) sen(t) = −sen(−t), para todo t ∈ R.
(c) Sinal:
Se t está no primeiro ou segundo quadrante então sen(t) é positivo.
Se t está no terceito ou quarto quadrante então sen(t) é negativo.
(d) Monotonicidade:
Para 0 ≤ t ≤
π
2
, sen(t) cresce de 0 a 1.
Para
π
2
≤ t ≤ π, sen(t) decresce de 1 a 0.
Para π ≤ t ≤
3π
2
, sen(t) decresce de 0 a -1.
Para
3π
2
≤ t ≤ 2π, sen(t) cresce de -1 a 0.
Pré-Cálculo 36
Referência: “Illustrating Sine with the Unit Circle” from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/IllustratingSineWithTheUnitCircle/
Contributed by: Abby Brown
Pré-Cálculo 37
Função Cosseno
f : R −→ R
f (t) = cos(t)
= medida algébrica do
segmento OP2
Im(f ) = [−1,1].
Pré-Cálculo 38
Função Cosseno: Propriedades
(a) cos(t + 2π) = cos(t), para todo t ∈ R.
(b) cos(t) = cos(−t), para todo t ∈ R.
(c) Sinal:
Se t está no primeiro ou quarto quadrante então cos(t) é positivo.
Se t está no segundo ou terceito quadrante então cos(t) é negativo.
(d) Monotonicidade:
Para 0 ≤ t ≤
π
2
, cos(t) decresce de 1 a 0.
Para
π
2
≤ t ≤ π, cos(t) decresce de 0 a -1.
Para π ≤ t ≤
3π
2
, cos(t) cresce de -1 a 0.
Para
3π
2
≤ t ≤ 2π, cos(t) cresce de 0 a 1.
Pré-Cálculo 39
Referência: Abby Brown.
“Illustrating Cosine with the Unit Circle II”
http://demonstrations.wolfram.com/IllustratingCosineWithTheUnitCircleII/ Wolfram Demonstrations Project
Published: September 28, 2007
Pré-Cálculo 40
Atividade
[11] Determine os valores de x ∈ [0,2π) para os quais
cos(x) =
1
2
.
[12] Determine os valores de x ∈ (−π, π] para os quais
cos(x) =
1
2
.
[13] Determine os valores de x ∈ R para os quais
cos(x) =
1
2
.
Pré-Cálculo 41
Atividade
[14] Determine os valores de x ∈ [0,2π) para os quais
cos(x) >
1
2
.
[15] Determine os valores de x ∈ (−π, π] para os quais
cos(x) >
1
2
.
[16] Determine os valores de x ∈
(
−π2 ,
3π
2
]
para os quais
cos(x) >
1
2
.
Pré-Cálculo 42
Atividade
[17] Determine os valores de x ∈ R para os quais
cos(x) >
1
2
.
Pré-Cálculo 43
Atividade
[18] Determine os valores de x ∈ [0,2π) para os quais
| cos(x)| > 1
2
.
[19] Determine os valores de x ∈ (−π, π] para os quais
| cos(x)| > 1
2
.
[20] Determine os valores de x ∈
(
−π2 ,
3π
2
]
para os quais
| cos(x)| > 1
2
.
Pré-Cálculo 44
Atividade
[21] Determine os valores de x ∈ R para os quais
| cos(x)| > 1
2
.
Pré-Cálculo 45
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 46
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 47
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 48
Função Tangente
I Seja AP arco tal que P 6= B e P 6= B′.
I Seja T o ponto de interseção da reta OP com o eixo
das tangentes.
I Seja
D =
{
t ∈ R : t 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
f : D −→ R
f (t) = tg(t)
= medida algébrica do
segmento AT
Im(f ) = R.
Pré-Cálculo 49
Função Tangente: Propriedades
(a) tg(t + π) = tg(t), para todo t ∈ D.
(b) tg(−t) = − tg(t), para todo t ∈ D.
(c) Sinal:
Se t está no primeiro ou terceiro quadrante então tg(t) é positivo.
Se t está no segundo ou quarto quadrante então tg(t) é negativo.
(d) Monotonicidade:
A função tangente é crescente em −
π
2
+ kπ < t <
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
Relação Fundamental: tg(t) =
sen(t)
cos(t)
, para todo t ∈ D.
Pré-Cálculo 50
Referência: “Illustrating Sine with the Unit Circle” from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/IllustratingSineWithTheUnitCircle/
Contributed by: Abby Brown
Pré-Cálculo 51
A função tangente
f (t) = tg(t) =
sen(t)
cos(t)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {t ∈ R | cos(t) 6= 0} = {t ∈ R | t 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Pré-Cálculo 52
Atividade
[22] Calcule, a partir da definição,
(a) tg(0)
(b) tg
(π
4
)
(c) tg
(π
3
)
(d) tg
(π
6
)
(e) tg
(
3π
4
)
(f) tg
(
2π
3
)
(g) tg
(
−π
6
)
(h) tg
(
−5π
3
)
Pré-Cálculo 53
Atividade
[23] Se tg(θ) =
√
5, determine cos(θ) e sen(θ).
Pré-Cálculo 54
As fórmulas de adição
Pré-Cálculo 55
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Pré-Cálculo 56
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Pré-Cálculo 57
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen
(π
2
+ t
)
= cos(t), − cos
(π
2
+ t
)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos
(π
2
+ α + β
)
= − cos
(π
2
+ α
)
· cos(β) + sen
(π
2
+ α
)
· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Pré-Cálculo 58
Atividade
[24] A partir da fórmula
cos(2θ) = cos2(θ)− sen2(θ),
obtenha uma fórmula para
(a) cos2(θ)
(b) sen2(θ)
em função de cos(2θ).
Dica: Lembre-se de que cos2(θ) + sen2(θ) = 1.
Pré-Cálculo 59
Atividade
[25] Calcule
(a) cos
( π
12
)
(b) sen
(
7π
12
)
Dica: Utilize as fórmulas de adição.
Pré-Cálculo 60
A função secante
Pré-Cálculo 61
A função secante
f (x) = sec(x) =
1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Pré-Cálculo 62
A função secante
Pré-Cálculo 63
A função cossecante
Pré-Cálculo 64
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =
1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Pré-Cálculo 65
A função cossecante
Pré-Cálculo 66
A função cotangente
Pré-Cálculo 67
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Pré-Cálculo 68
A função cotangente
Pré-Cálculo 69
	Trigonometria
	Trigonometria no Triângulo Retângulo
	Funções Trigonométricas
	As fórmulas de adição
	A função secante
	A função cossecante
	A função cotangente