Análise de Sistemas de Medição

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EDIÇÃO Nº1 – 2018
CARLOS WILLIANS PASCHOAL
ANÁLISE DOS 
SISTEMAS 
DE MEDIÇÃO
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
ANÁLISE DOS 
SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Coordenação Geral
Nelson Boni
Professor Responsável
Rafaela Filomena
Coordenação de Projetos 
Pedagógicos
Leandro Lousada
Produção Executiva
Hikaro Queiroz
Diagramação
Kauê Rodrigues
Capa
Nome
Projeto Gráfico e 
Coordenação de Diagramação
João Antônio P. A. Lima
Coordenação de Revisão 
Ortográfica
Julia Kusminsky
1º Edição: 2018
Impressão em São Paulo/SP
APRESENTAÇÃO
Caros alunos, neste livro, iremos abordar tópicos da aná-
lise de sistemas de medição, buscando entender ferramentas 
de controle geométricos, como interpretar a incerteza em uma 
medição, além da normatização em nível nacional e interna-
cional, também entender o papel do controle de processos em 
um sistema de medição e de calibração. 
O capítulo 1 aborda os parâmetros adequados para o con-
trole geométrico de peças, as unidades de medidas utilizadas de 
maneira internacional e também as tolerâncias dimensionais, 
como obtê-las e como lidar com elas.
O capítulo 2 estabelece os fatores que influenciam nos 
erros de uma medição, considerando que uma medida perfeita 
é apenas uma ideia teórica, pois para toda medida um erro será 
inserido. Esse capítulo também traz o formulário padrão para 
o cálculo de incertezas.
O capítulo 3 especifica o que é uma análise de um sistema 
de medição, dando ênfase na acurácia e na precisão de um 
sistema, além da reprodutibilidade e da repetitividade neces-
sárias a um sistema de precisão para que os dados produzidos 
sejam de qualidade.
No capítulo 4 discutimos os aspectos metrológicos de 
um sistema de qualidade, realizando uma explanação sobre 
a metrologia, além de uma discussão da normatização ISO e 
suas relações com sistemas de medição.
Bons estudos! 
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 Controle geométrico ������������������10
1�1 Parâmetros para o controle 
geométrico de peças ��������������������������������������������������������������11
1�2 Instrumentos de medidas ���������������������������������������� 12
1�3 Determinação do sistema de medição 
para um correto controle geométrico ��������������������������� 14
1�3�1 Os fatores envolvendo a seleção do 
sistema de medição� ����������������������������������������������������������� 16
1�4 Gerenciamento do controle geométrico e 
seleção de sistemas de medição ������������������������������������� 19
1�5 A metrologia e o Sistema Internacional de 
medidas (SI) ������������������������������������������������������������������������������� 20
1�5�1 Múltiplos e submúltiplos ���������������������������������������22
1�6 Tolerâncias dimensionais (tolerâncias 
de fabricação) ��������������������������������������������������������������������������� 24
1�7 O desvios de formas ��������������������������������������������������� 32
1.7.1 Tolerância: de forma ��������������������������������������������33
1.7.2 Tolerância: de movimentação �����������������������������33
1�7�3 Rugosidade��������������������������������������������������������������34
1�8 Controle de uma dimensão ������������������������������������� 35
1.9	 Fatores	que	influenciam	erros	nas	medidas	 ��� 37
1�9�1 Erros de natureza mecânica ��������������������������������� 37
CAPÍTULO 2 Erros, medidas e incertezas ����46
2�1 Cálculo do erro sistêmico �����������������������������������������48
2�2 Cálculo do erro aleatório ����������������������������������������� 51
2�3 Cálculo de erros aleatórios com 
amostras pequenas ��������������������������������������������������������������� 55
2�4 Cálculo de propagação de erros ���������������������������� 59
2�4�1 Adição ou subtração de comprimentos ��������������60
2�4�2 Multiplicação e divisão ������������������������������������������62
CAPÍTULO 3 Análise dos 
sistemas de medição ������������������������������������������������� 74
3�1 Análise estatística �������������������������������������������������������� 78
3�2 Qualidade dos dados de medição ������������������������ 80
3�3 Erros na medição ���������������������������������������������������������84
3�4 Acurácia e precisão ����������������������������������������������������� 88
3�5 Analisando o MSA ����������������������������������������������������90
3�6 Reprodutibilidade e Repetitividade (R&R) �����94
3�7 Avaliando um sistema de medição ������������������97
CAPÍTULO 4 Aspectos metrológicos do 
sistema da qualidade ������������������������������������������108
4�1 Conceitos básicos da metrologia ���������������������115
4�2 Normatização ����������������������������������������������������������123
4�2�1 ISO 9001:2015 ���������������������������������������������������123
4�2�2 NBR ISO/IEC 17025 �������������������������������������������125
4�2�3 NBR ISO 9004:2010 ������������������������������������������126
BIBLIOGRAFIA �������������������������������������134
ANEXO I ��������������������������������������������������140
Capítulo 1 
CONTROLE 
GEOMÉTRICO
Capítulo 1 
CONTROLE 
GEOMÉTRICO
10
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 1
 
CONTROLE GEOMÉTRICO
O conjunto de procedimentos utilizados para determinar 
as dimensões, as posições e formas dos objetos é definido como 
Controle Geométrico. Para determinarmos todas essas variá-
veis de forma satisfatória, é necessário levar em consideração 
alguns fatores como o comportamento metrológico do sistema 
de medição e as condições do objeto que se deseja medir. Ter 
o conhecimento do processo de fabricação da peça que se quer 
produzir e saber que não é possível obter uma peça perfeita, idên-
tica à primeira, são passos importantes do Controle Geométrico.
Durante o processo de fabricação de uma peça ou produto 
que tenha necessidade de ser medido, isto é, que haja neces-
sidade de aferirmos através de algum processo de medição, 
é natural que tais peças e/ou produtos apresentem erros de 
medição. Contudo, quanto mais sofisticado for o processo de 
fabricação, menores serão os erros apresentados, ou seja, os 
valores de tolerância na sua fabricação serão otimizados.
A presença de erros nas peças e produtos fabricados todos 
os dias ao redor do mundo não são o problema, e sim como o 
controlamos e garantimos que esses não fujam do estipulado 
por sua tolerância de fabricação. Assim, para garantirmos a 
perfeita montagem de peças mecânicas ou que os produtos 
saiam da linha de fabricação idênticos é que usamos o Controle 
Geométrico. Assim, garantimos que os produtos estejam den-
tro das especificações e tolerâncias aceitáveis impostas pelos 
próprios fabricantes ou órgãos reguladores.
11
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.1 PARÂMETROS PARA O CONTROLE 
GEOMÉTRICO DE PEÇAS
Os parâmetros para a fabricação de peças dependem de 
uma série de fatores, como dimensão, posição, formato geo-
métrico, entre outros. A figura a seguir mostra os principais 
parâmetros geométricos mais utilizados. 
PARÂMETROS 
GEOMÉTRICOS
G
EO
M
ET
R
IA
ALTURA
DIÂMETRO INTERNO
DIÂMETRO EXTERNO
COMPRIMENTO EXTERNO
COMPRIMENTO INTER-
NO]DISTÂNCIA ENTRE CENTROS
PROFUNDIDADE
etc...
LINEAR
DIMENSÃO
FORMA
ORIENTAÇÃO/POSIÇÃO
ANGULAR
MICRO
GEOMETRIA
(RUGOSIDADE)
MACRO
GEOMETRIA
RETILINEIDADE
PLANICIDADE
CIRCULARIDADE
CILINDRICIDADE
etc...
INCLINAÇÃO
PARALELISMO
PERPENDICULARIDADE
POSIÇÃO DE UM ELEMENTO
CONCENTRICIDADE
COAXIALIDADE
SIMETRIA
ÂNGULO
Ra
Rz
etc...
Figura 1 – Esquema de determinação de parâmetros na fabricação de peças.
Todos os parâmetros são definidos através da tolerância 
dimensional, que é um intervalo de medida determinado na 
regra e aceito como as dimensões mínimas ou máximas acei-
12
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
táveis. Mas, adiante, entraremos em maiores detalhes sobre a 
tolerância dimensional. 
1.2 INSTRUMENTOS DE MEDIDAS
Quando pensamos em instrumentos de medidas, o universo 
e a gama de sistemas de medição sãoenormes e, por esse motivo, 
são classificados em famílias, cada uma delas abrigando diversos 
instrumentos e métodos de medição, conforme a figura abaixo:
SI
ST
EM
AS
 D
E 
M
ED
IÇ
ÃO
M
ED
ID
AS
 
M
AT
ER
IA
LI
ZA
D
AS
ORDEM DE GRANDEZA 
INCERTERZA
(µM)
1 A 1000
40 A 100
2 A 10
0,1 A 100
0,6 A 30
0,7 A 70
DENOMINAÇÃO USUAL 
DAS “FAMÍLIAS”
FILOSOFIA 
CONTROLE 
QUALIDADE
ESCALAS
PAQUÍMETROS
MICRÔMETROS
ATRIBUTO
E POR 
VARIÁVEL
ATRIBUTO
- USO GERAL
- DE APLICAÇÃO 
DEDICADA
- DE BLOCO PADRÃO
- DE ÂNGULO
- DE RUGOSIDADE
- DE ENGRENAGEM
- DE ERRO DE FORMA
- ÓTICAS
- EIXO ÚNICO
- TRÊS EIXOS
- CIRULARIDADE
- CONTORNO
- PROJETOR DE PERFIL
- MICROSCÓPIO DE MEDIÇÃO
- VERTICAL
- HORIZONTAL
- ENGRENAGEM
- DIVISORAS
MED. DE 
DESLOCAMENTOS
MEDIDORES DEDICADOS
TRANSFERIDORES NÍVEIS
MÁQUINAS DE MEDIR
MAQ. DE MEDIR POR 
COORDENADAS
MAQ. DE MEDIR 
DEDICADAS
BLOCOS PADRÃO
DESEMPENOS
ESQUADROS
RÉGUA/MESA SENO
RETAS PADRÃO
CALIBRADORES
Figura 2 – Família de sistemas de medição e medidas materializadas mais usuais.
13
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
O esquema apresentado na figura acima foi proposto por 
França (1993), afinal, não existe uma padronização para a 
classificação dos instrumentos de medida. No que tange aos 
sistemas de medição, muitas são as propostas de padronização; 
dentre elas, podemos destacar as seguintes:
I. Sistema de medição através do controle de qualidade. 
Os parâmetros geométricos mensurados através dessa filosofia 
são medidos através de dois sistemas: controle de variáveis – 
tem por objetivo determinar o valor do parâmetro que se está 
medindo – e controle de atributos – trabalha por faixas de 
tolerâncias e procura verificar se os parâmetros estão dentro 
da faixa estipulada. 
II. Sistemas de medição através de aplicabilidade. Quan-
do estamos diante de um sistema de medição que possui um 
grande número de parâmetros a serem medidos e neles temos 
sistemas de medidas dedicados, como termômetros ou paquí-
metros, é comum fazermos a distinção do sistema de medição 
com a aplicabilidade mais restrita, no caso, o paquímetro ou 
o cronômetro como “instrumentos”. E, quando o sistema de 
medição é mais aberto, isto é, tem sua aplicabilidade mais 
abrangente, universalizada, dizemos que o sistema se trata de 
um “equipamento” ou “máquina”.
Conhecer os parâmetros mais usuais dos sistemas de me-
dições e a classificação dos instrumentos de medidas é impor-
tante e auxilia na correta e melhor utilização de um sistema de 
medição. Para isso, conhecer as características metrológicas e 
operacionais dos sistemas de medição pode servir como base 
14
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de comparação, pois, em linhas gerais, algumas características 
estão presentes em quase todos os sistemas. 
M
ET
RO
LÓ
G
IC
AS
CARACTERÍSTICAS FORMA DE APRESENTAÇÃO
COMPORTAMENTO DO SM
• CARACTERÍSTICO DE RESPOSTA
• CURVA DE ERRO
ERRO SISTEMÁTICO
ERRO ALEATÓRIO
DISPERSÃO
INCERTEZA
HISTERESE
TABELA
EQUAÇÃO
GRÁFICO
VALOR ABSOLUTO
(UNIDADE DO SM)
VALOR RELATIVO
• FAIXA DE MEDIÇÃO ESPECIFICADA
• AO VALOR FINAL DA ESCALA
• AO VALOR DE REFERÊNCIA
VALOR ABSOLUTO
MÁXIMO E MÍNIMO
VALOR ABSOLUTO
FAIXA DE MEDICAÇÃO ESPECIFICADA
FAIXA NOMINAL
RESOLUÇÃO
LIMIAR
VALOR DE UMA DIVISÃO
SENSIBILIDADEO
PE
RA
CI
O
NA
IS
Figura 3 – Características mais comuns operacionais e metrológicas dos sis-
temas de medição.
1.3 DETERMINAÇÃO DO SISTEMA DE 
MEDIÇÃO PARA UM CORRETO 
CONTROLE GEOMÉTRICO
A perfeita escolha de um sistema de medição para o controle geo-
métrico é feita a partir da determinação das características da medição 
que envolvem: o que medir, quais as condições de contorno, ambiente 
da medição e interferência e/ou interação com outros sistemas. 
15
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
A tarefa de medição apresenta seis fatores. A seguir, ana-
lisa-se como se dá a influência de cada um dos fatores determi-
nantes da tarefa de medição na escolha do sistema de medição. 
Normalmente, é dada maior ênfase à grandeza a medir, pois esta 
está diretamente associada às características metrológicas e ope-
racionais e constitui elemento fundamental na seleção do sistema 
de medição. O fluxograma abaixo traz em detalhes os fatores, 
seus parâmetros associados e as características consideradas.
CARACTERÍSTICAS A 
SEREM OBSERVADAS NO 
SISTEMA DE MEDIÇÃO
TIPO DO PARÂMETRO 
GEOMÉTRICO
• FAIXA DO PARÂMETRO
• TOLERÂNCIA DE FABRICAÇÃO
• FORMA GEOMÉTRICA
 (TIPO E VOLUME)
• ACABAMENTO
• MATERIAL
• PESO
• CARACTERÍSTICAS METROLÓGICAS E 
OPERACIONAIS DO SM
• APLICAÇÃO DO SM
• POR COMPARAÇÃO DIRETA
• DIFERENCIAL
• POR COORDENADAS
COM OU SEM CONTATO
• POEIRA
• TEMPERATURA
• UNIDADE
• VIBRAÇÃO
• RUÍDO ELÉTRICO / ACÚSTICO
• TENSÃO DA REDE
• GRAU DE AUTOMATIZAÇÃO
• OPERADOR
• MEDIÇÃO UNITÁRIA / SÉRIE
• TEMPO DE EXECUÇÃO +
 TEMPO DE PREPARAÇÃO
• CUSTO HORÁRIO
 (custo aquisição + operação)
GRANDEZA A MEDIR
C
A
R
A
C
TE
R
IZ
A
Ç
Ã
O
 D
A
 T
A
R
E
FA
 D
E
 M
E
D
IÇ
Ã
O
 N
O
 C
O
N
TR
O
LE
 G
E
O
M
É
TR
IC
O
• CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS 
(pricípio de funcionamento
• APLICAÇÕES
• CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS 
(pricípio de funcionamento
• TIPOS DO SM
• CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS
• APLICAÇÕES
• CUSTO-HORA DO SM
• CUSTO-HORA DO OPERADOR
CARACTERÍSTICA DA 
PEÇA
MÉTODO / TÉCNICA 
DE MEDIÇÃO
CONDIÇÕES 
AMBIENTAIS
QUANTIDADE E 
TEMPO
CUSTO
• CARACTERÍSTICAS OPERACIONAIS DO SM
• CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS DO SM
- ACESSÓRIOS
 Exemplo
• dispositivo de fixação
• semspres
Figura 4 – Fluxograma
16
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.3.1 OS FATORES ENVOLVENDO A SELEÇÃO 
DO SISTEMA DE MEDIÇÃO.
Grandeza a ser medida
Quando falamos sobre os fatores de seleção dos sistemas 
de medição, o mais fundamental e importante é a grandeza a 
se medir. Quando estudamos e analisamos todas as caracte-
rísticas da grandeza, conseguimos definir quais os parâmetros 
devem e vão ser mensurados, as faixas de valores para cada 
um dos parâmetros necessários para a fabricação e as tolerân-
cias dimensionais aceitáveis dentro das normas. A tolerância 
dimensional é talvez o aspecto mais importante no processo 
metrológico e é a partir dele que determinamos características 
como dimensões máximas, mínimas e, consequentemente, 
as incertezas de medidas. Normalmente, existem diversas 
formas e regras para se determinar a tolerância dimensional 
de uma peça, exploraremos mais adiante esse assunto. Mas, 
geralmente, existe uma regra conhecida como “Regra de 
Ouro”, que é a relação entre a incerteza de medição (I) e a 
tolerância dimensional. Essa regra também ficou conhecida 
como a “Regra do Dez”, pois mostra que a incerteza é 10 vezes 
menor que a tolerância dimensional. Apesar do seu grande 
emprego no processo de fabricação, seu uso é deixado de 
lado à medida que os níveis de tolerância dimensionais ficam 
menores e, desta forma, começam a caracterizar o processo 
de fabricação de mecânica de precisão.
Características da peça
No processo de fabricação, várias situações derivadas das 
características das peças são fatores que limitam o processo 
17
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de produção e medição. Quando estamos trabalhando com o 
controle geométrico de peças, alguns aspectos devem ser le-
vados em conta. Deve-se garantir o correto posicionamento da 
peça no momento da medição, por exemplo, pois essa prática 
diminui os erros e, muitas vezes, os evita. Para que esse aspecto 
seja assegurado, é necessário ter atenção especial na escolha 
dos dispositivos de fixação, pinças e garras, garantindo que 
sejam adequados e suportem a rotação, o peso das peças, seu 
tamanho e sua geometria. O formato da superfície da peça, a 
sua resistência mecânica, o seu acabamento e a facilidade de 
acesso ao parâmetro geométrico a medir são outros aspectos 
a serem considerados (FRANCA,1993). 
O contato dos sensores nas superfícies deve ser pensado, pois 
sãoelementos importantes no processo do sistema de medição. 
Desta forma, quando temos a superfície plana e lisa, o contato 
dos sensores de medição deve ser arredondado e/ou cilíndrico. 
Quando a medição exigir contato do sensor/instrumento 
com a superfície, deve-se levar em conta a existência de uma 
força no processo de medição, que pode provocar deformações 
elásticas na superfície. Essa deformação depende da força 
aplicada, do diâmetro de contato e das deformações variáveis, 
que são definidas experimentalmente, e leva em consideração 
os tipos de materiais e as formas de contato. 
Métodos de medição
Definir o método empregado para obtenção de uma medida 
é um fator importante que deve ser considerado e analisado para 
o controle geométrico. Podemos optar por coletar as medidas 
por meio de comparação, também conhecido como medição 
direta. É um método baseado na comparação direta do que se 
quer medir com a grandeza que se está comparando. Essa forma 
18
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de medição normalmente é conseguida através de processos 
diretos, como termômetros, paquímetros, micrômetros.
Medição diferencial é um método baseado na diferença 
entre o valor de uma grandeza estabelecida e um valor próximo 
conhecido de mesma espécie. 
Outro método empregado é o da medição por coordena-
das, baseado no conhecimento da posição que um dispositivo 
localizador (sensor) ocupa dentro do espaço de trabalho da 
máquina de medir. Depois de fazer o levantamento das coor-
denadas através de uma série de pontos de contato entre a peça 
fabricada e o sensor, definimos os parâmetros geométricos que 
serão mensurados.
Condições ambientais 
Fatores como temperatura, pressão e umidade devem ser 
levados em conta no momento da instalação de um sistema de 
medição. Instalações adequadas, com temperatura e umidade 
ideais são aspectos importantes no processo de medição. O 
grau e a forma da influência das condições ambientais e de 
instalação sobre o comportamento do sistema de medição 
depende de aspectos construtivos e do princípio de funciona-
mento do aparelho e/ou sistema de medição. Assim, quando há 
necessidade de usarmos interferômetros para medições, alguns 
cuidados são necessários, pois esse tipo de instrumento é sen-
sível à temperatura, à pressão atmosférica e à umidade relativa. 
Quantidades e tempos
Muitas peças podem levar um tempo considerado alto na 
hora de medi-la. Por essa razão, a escolha do sistema de medição 
deve ser pensada. Normalmente, em situações cuja medição 
19
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
pode levar muito tempo, ela pode ser feita por amostragem, o 
que seria mais indicado dentro do processo produtivo.
Custos
Sistemas e instrumentos de medição podem ter um custo 
alto no processo de fabricação. Por isso, a escolha errada de um 
sistema de medição e/ou instrumento de medição pode gerar 
um custo indevido no processo produtivo. Mas, muitas vezes, os 
investimentos mais elevados em sistemas de medição contribuem 
de forma significativa para a melhoria da qualidade de fabricação. 
O custo final de implantação de um sistema de medição deve ser 
contabilizado junto à aquisição do sistema de medição, à insta-
lação e gastos com materiais, ao treinamento de operadores, aos 
custos operacionais e à manutenção e reciclagem de operadores.
1.4 GERENCIAMENTO DO CONTROLE 
GEOMÉTRICO E SELEÇÃO DE SIS-
TEMAS DE MEDIÇÃO
O controle geométrico apresenta diversas variáveis que 
devem ser pensadas. São muitos parâmetros envolvidos, con-
dições de contorno e limitações tecnológicas. 
Todos esses fatores trazem para a indústria uma gama de 
opções e soluções de sistemas de medições e instrumentos de 
medidas que atendem às mais diversas situações da indústria. 
A adequação dos processos produtivos, a especificação dos 
parâmetros e a consciência das limitações do processo e ins-
trumentos disponíveis são aspectos importantes que devem ser 
levados em conta para o processo de medição ótimo. A fim de 
garantir a qualidade de peças fabricadas respeitando o controle 
20
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
geométrico, uma boa seleção de instrumentos é primordial no 
que tange à garantia de qualidade de fabricação. O gerenciamento 
inadequado desse sistema pode tornar o controle geométrico 
impossível e prejudicar a qualidade do processo produtivo.
Atualmente, percebe-se que indústrias que não trazem con-
sigo um sistema de gerenciamento e otimização de instrumentos 
garantindo a qualidade universal do sistema de medição têm 
apresentado limitações produtivas e qualidade menos assegurada. 
Neste contexto, um sistema computadorizado de geren-
ciamento de instrumentos de controle geométrico que se en-
carregue não só dos aspectos administrativos do controle de 
instrumentos, mas que supervisione a qualidade destes e que 
auxilie na seleção dos instrumentos e procedimentos mais 
adequados para cada particular aplicação é ferramenta funda-
mental para a obtenção da qualidade do controle geométrico, 
tanto em aplicações industriais quanto em laboratoriais.
1.5 A METROLOGIA E O SISTEMA IN-
TERNACIONAL DE MEDIDAS (SI)
Antes de falar sobre Controle Geométrico, é necessário 
entendermos a metrologia e o sistema de medidas. Segundo 
(LIRA,2015), a palavra metrologia originou-se do termo grego 
metron, que significa medida, e do termo logos, que remete à ciên-
cia. Assim, entende-se a metrologia como a ciência das medições. 
A metrologia, sob essa definição, é o processo implemen-
tado que envolve todos os aspectos teóricos e práticos sobre 
as medidas dentro de qualquer área científica ou tecnológica. 
Contudo, apesar de existir uma ciência dedicada às medições, 
como podemos definir corretamente esse termo?
21
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Quando medimos uma peça, um objeto, uma certa quan-
tidade de líquido ou outra grandeza qualquer, estamos com-
parando - o com outra de mesma natureza, seja comprimento, 
volume, massa. Para realizarmos essa comparação, tomamos 
como base um padrão previamente definido. 
Para fazermos a comparação entre as grandezas, há neces-
sidade de definirmos a unidade de medida que iremos utilizar 
como padrão. Essa unidade de medida normalmente é adotada 
de sistemas métricos já conhecidos, como o SI, o CGS, o MKKF, 
entre outros. O mais utilizado de todos, talvez, seja o SI.
Em 1960, foi criado o Sistema Internacional de Unidades 
(do francês, Système Inernational D’unités - SI) (MILOJEVIĆ, 
1973) na tentativa de unificar os padrões de medidas que até então 
eram baseados em partes do corpo. Desde a sua criação, o Bureau 
Internacional de Pesos e Medidas (BIPM, do francês, Bureau 
International de Poids et Mesures), órgão que surgiu, em 1875, 
na França, a partir da Convenção do Metro, possui como objetivo 
definir, manter e promover o SI internacionalmente (BIPM, 2017).
O Sistema Internacional se difere de outros sistemas métricos 
porque apresenta sete grandezas dimensionais, enquanto os outros 
sistemas métricos trazem consigo apenas três: massa, comprimento 
e tempo. Já o SI traz consigo além de massa, comprimento e tempo, 
as grandezas: quantidade de matéria, temperatura, intensidade 
luminosa e corrente elétrica, conforme a tabela a seguir:
22
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Tabela 1 – Grandezas, unidades, símbolos e definições de padrões do SI.
GRANDEZA
UNIDADE 
DE 
MEDIDA
DEFINIÇÃO DA 
UNIDADE DE MEDIDA
SÍMBOLO 
DA 
UNIDADE
Massa Metro
Comprimento do trajeto percorrido pela 
luz no vácuo durante um intervalo de 
tempo de 1
299792458
 do segundo.
M
Comprimento Quilograma Igual à massa do protótipo internacional do quilograma que equivale a 1 kg. Kg
Tempo Segundo
Duração de 9192631770 períodos da 
radiação correspondente à transição 
entre os dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de césio 133.
S
Quantidade 
de matéria Mol
Quantidade de matéria de um sistema 
contendo tantas entidadeselementares 
quantos átomos existentes em 0,012 
quilograma de C12
Mol
Temperatura Kelvin Fração 
1
273 16,
 da temperatura termodi-
nâmica no ponto tríplice da água.
K
Intensidade 
Luminosa Candela
Intensidade luminosa de uma fonte que 
emite uma radiação monocromática de 
frequência 540 x 1012 Hz, cuja intensi-
dade energética radiante nessa direção é 
de 1
683
 watt/esterradiano.
Cd
Corrente 
elétrica Ampére
Intensidade de uma corrente elétrica 
constante que, mantida em dois conduto-
res paralelos, retilíneos, de comprimento 
infinito, de seção circular desprezível, e 
situados à distância de 1 metro entre si, 
no vácuo, causaria entre estes conduto-
res uma proporcional a 2 x 10-7 N/m
A
(Fonte: Adaptado de ALBERTAZZI, 2008)
1.5.1 MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
A 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), em 
1960, adotou uma série de nomes de prefixos e símbolos de 
23
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
prefixos para formar os nomes e os símbolos dos múltiplos e 
submúltiplos decimais das unidades do SI variando de 1012 a 
10-12. Com o avanço tecnológico dos aparelhos e as medições 
cada vez mais precisas, os prefixos foram sendo gradativamente 
incluídos nas CGPMs posteriores, em 64, 75 e 91, chegando até o 
intervalo atual de 1024 a 10-24. Por definição de padrão, os pre-
fixos são impressos em tipo romano (vertical), do mesmo modo 
que os símbolos das unidades, independentemente do tipo usado.
Tabela 2 – Múltiplos e submúltiplos do SI.
MÚLTIPLOS
NOME DO 
PREFIXO
SÍMBOLO DO 
PREFIXO
FATOR PELO QUAL A 
UNIDADE É MULTIPLICADA
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 10
SUBMÚLTIPLO
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
zepto z 10-21
yocto y 10-24
(Fonte: IPEM, 2013)
24
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.6 TOLERÂNCIAS DIMENSIONAIS 
(TOLERÂNCIAS DE FABRICAÇÃO)
Quando medimos uma grandeza, conseguimos apenas ter 
acesso ao seu valor experimental ou ao seu valor mais provável. 
Contudo, intrínseco a esse valor, há uma incerteza (tolerân-
cia dimensional) derivada do processo de medição. Portanto, 
apresentar esse valor sem levar em conta a tolerância é um 
processo incompleto e inacabado. A incerteza é um parâmetro 
que possui a mesma unidade de medida da grandeza física 
à qual está associada e nos permite avaliar a confiabilidade 
do resultado de uma medição experimental, segundo Lima 
Junior (2012, p. 15).
O engenheiro ou projetista responsável por criar a peça 
e/ou produto é a pessoa responsável por determinar os limites 
de tolerância geométrica. Essa determinação, na maior parte 
das vezes, é um problema de engenharia que tange os projetos 
mecânicos. Desta forma, a escolha do profissional que desen-
volverá o projeto é pautada na experiência e no conhecimento 
técnico das normas vigentes.
Quando verificamos as normas, é possível encontrarmos 
critérios de tolerância previamente definidos para elementos 
geométricos rotineiros mais utilizados, como elementos uni-
dimensionais (eixo/furo, cones, parafuso/rosca, engrenagens, 
etc). Os conceitos e o ferramental matemático acerca dos cál-
culos de tolerância dimensionais para sistemas eixos/furos será 
apresentado a seguir:
Para iniciarmos, é necessário apresentar uma no-
menclatura breve:
25
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
D ou d = dimensão nominal, o que vem indicado no desenho· 
De ou de = dimensão efetiva, o que foi medido pelo instrumento.
Lz = linha tracejada colocada exatamente na posição correspondente 
à dimensão nominal.
Dmax ou dmax = máxima medida que pode ser aceita sem que a peça seja 
rejeitada. Tolerância máxima da dimensão.
Dmin ou dmin = mínima medida que pode ser aceita sem que a peça seja 
rejeitada. Tolerância mínima da dimensão.
Cálculo do afastamento superior (As ou as)
Consiste na diferença entre as dimensões máxima e nominal.
As = Dmax – D, quando estamos apresentando afas-
tamento em furos.
as = dmax – d, quando estamos apresentando afas-
tamento em eixos.
Cálculo de asfatamento inferior (Ai ou ai)
Consiste na diferença entre as dimensões mínima e nominal.
Ai = Dmin – D, quando estamos apresentando afas-
tamento em furos.
ai = dmin – d, quando estamos apresentando afas-
tamento em eixos.
26
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Cálculo da tolerância dimensional (t)
Consiste na variação permitida entre as dimensões. Para 
calcularmos, podemos efetuar a diferença entre as dimensões 
máximas e mínimas, ou simplesmente optar pela diferença 
entre os afastamentos superiores e inferiores. Desta forma, a 
equação de t fica:
t = Dmax – Dmin = As – Ai
ou
t = dmax – dmin = as – ai
Os cálculos de afastamentos podem assumir valores po-
sitivos ou negativos, dependendo de como as dimensões se 
apresentam em relação a Lz; quando as dimensões máximas 
ou mínimas estiverem acima da Lz, o afastamento será sempre 
positivo. Já quando as dimensões estiverem abaixo da Lz, os 
afastamentos apresentarão valores negativos. 
Como já foi mencionado, sistemas geométricos rotineiros 
como furos e eixos possuem normas de tolerâncias previamente 
definidas; no caso dos dois acima, as Tabelas 3 e 4 apresentam 
respectivamente os níveis de qualidade e de afastamento di-
mensional em função do grupo de dimensão.
27
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Tabela 3 – Qualidade de fabricação IT e seus grupos de dimensões.
Grupos de 
dimensões Qualidade IT (µm)
mm 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
≥ 1 0.3 0.5 0.8 1.2 2.0 3 4 6 10 14 25 40 60
> 1 ≤ 3 0.3 0.5 0.8 1.2 2.0 3 4 6 10 14 25 40 60 100 140 250 400 600
> 3 ≤ 6 0.4 0.6 1.0 1.5 2.5 4 5 8 12 18 30 48 75 120 180 300 480 750
> 6 ≤ 10 0.4 0.6 1.0 1.5 2.5 4 6 9 15 22 36 58 90 150 220 360 580 900
> 10 ≤ 18 0.5 0.8 1.2 2.0 3.0 5 8 11 18 27 43 70 110 180 270 430 700 1100
> 18 ≤ 30 0.6 1.0 1.5 2.5 4 6 9 13 21 33 52 84 130 210 330 520 840 1300
> 30 ≤ 50 0.6 1.0 1.5 2.5 4 7 11 16 25 39 62 100 160 250 390 620 1000 1600
> 50 ≤ 80 0.8 1.2 2.0 3 5 8 13 19 30 46 74 120 190 300 460 740 1200 1900
> 80 ≤ 120 1.0 1.5 2.5 4 6 10 15 22 35 54 87 140 220 350 540 870 1400 2200
> 120 ≤ 180 1.2 2.0 3.5 5 8 12 18 25 40 63 100 160 250 400 630 1000 1600 2500
> 180 ≤ 250 2.0 3.0 4.5 7 10 14 20 29 46 72 115 185 290 460 820 1150 1850 2700
> 250 ≤ 315 2.5 4 6 8 12 16 23 32 52 81 130 210 320 520 810 1300 2100 3200
> 315 ≤ 400 3 5 7 9 13 18 25 36 57 89 140 230 360 570 890 1400 2300 3600
> 400 ≤ 500 4 6 8 10 15 20 27 40 63 97 155 250 400 630 970 1550 2500 4000
(Fonte: LAB Metro, 2002)
28
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Tabela 4 – Valores de afastamento em (um).
G
ru
po
 d
e 
 
di
m
en
sõ
es
 
m
m
Posição Posição
a b c cd d e ef f fg g h js j5j6 j7 j8
k4 
a 
k7
k<3
k>7 m n p r s t u v x y z za zb zc
0 a 1 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 0 0 2 4 e 10 14 18 20 26 32 40 60
> 1 ≤ 3 -270 -140 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 1 0 2 4 e 10 14 18 20 26 32 40 60
> 3 ≤ 6 -270 -140 -70 -46 -30 -20 -14 -10 -6 -4 0 -2 -4 1 0 4 8 12 15 19 23 28 35 42 50 80
> 6 ≤ 10 -280 -150 -80 -56 -40 -25 -18 -13 -8 -5 0 -2 -5 1 0 13 10 15 19 23 28 34 42 52 87 97
> 10 ≤ 14 -290 -150 -95 -50 -32 -16 -6 0 -3 -6 1 0 7 12 18 23 28 33 40 50 84 90 130
> 14 ≤ 18 -290 -150 -95 -50 -32 -16 -6 0 -3 -6 1 0 7 12 18 23 28 33 39 45 80 77 108 150
> 18 ≤ 24 -300 -160 -110 -65 -40 -120 -7 0 -4 -8 2 0 8 15 22 28 35 41 47 54 63 73 98 138 188
> 24 ≤ 30 -300 -160 -110 -65 -40 -20 -7 0 -4 -8 2 0 8 15 22 28 35 41 48 55 84 75 88 118 180 218
> 30 ≤ 40 -310 -170 -120 -80 -50 -25 -9 0 -5 -10 2 0 9 17 28 34 43 48 80 88 80 94 112 148 200 274
> 40 ≤ 50 -320 -180 -130 -80 -50 -25 -9 0 -5 -10 2 0 9 17 26 34 43 54 70 81 97 114 138 180 242 325
> 50 ≤ 65 -340 -190 -140 -100 -60 -30 -10 0 -7 -12 2 0 11 20 32 41 53 68 87 102 122 144 172 2213 300 405
> 65 ≤ 80 -360 -200 -150 -100 -60-30 -10 0 -7 -12 2 0 11 20 32 43 59 75 102 120 148 174 210 274 380 480
> 80 ≤ 100 -380 -220 -170 -120 -72 -36 -12 0 -9 -15 3 0 13 23 37 51 71 91 124 148 178 214 258 335 445 585
> 100 ≤ 120 -410 -240 -180 -120 -72 -36 -12 0 -9 -15 3 0 13 23 37 54 79 104 144 172 210 254 310 400 525 890
> 120 ≤ 140 -460 -260 -200 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 63 92 122 170 202 248 300 385 470 820 800
> 140 ≤ 160 -520 -280 -210 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 65 100 134 190 228 280 340 415 535 700 900
> 160 ≤ 180 -580 -310 -230 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 68 108 148 210 252 310 380 485 800 780 1000
> 180 ≤ 200 -660 -340 -240 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 77 122 1813 238 284 350 425 520 670 890 1150
> 200 ≤ 225 -740 -380 -260 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 80 130 180 259 310 385 470 575 740 980 1250
> 225 ≤ 250 -820 -420 -280 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 84 140 198 284 340 425 520 840 820 1050 1350
> 250 ≤ 280 -920 -480 -300 -190 -110 -56 -17 0 -16 -26 4 0 20 34 56 94 158 218 315 385 475 580 710 920 1200 1550
> 280 ≤ 315 -1050 -540 -330 -190 -110 -56 -17 0 -16 -26 4 0 20 34 56 98 170 240 350 425 525 650 790 1000 1300 1700
> 315 ≤ 355 -1200 -600 -360 -210 -125 -62 -18 0 -18 -28 4 0 21 37 62 108 190 288 390 475 590 730 903 1150 1500 1900
> 355 ≤ 400 -1350 -680 -400 -210 -125 -62 -18 0 -18 -28 4 0 21 37 62 114 208 294 435 530 880 820 1000 1300 1650 2100
> 400 ≤ 450 -1500 -760 -440 -230 -135 -68 -20 0 -20 -32 5 0 23 40 68 128 222 330 490 595 740 920 1100 1450 1850 2400
> 450 ≤ 500 -1650 -840 -480 -230 -135 -68 -20 0 -20 -32 5 0 23 40 68 132 252 380 530 880 820 1000 1250 1600 2100 2800
(Fonte: LAB Metro, 2002)
Para o uso dessa tabela, é necessário entendermos como 
ela funciona, assim, vejam a divisão:
29
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Tabela 4 – Valores de afastamento em (um).
G
ru
po
 d
e 
 
di
m
en
sõ
es
 
m
m
Posição Posição
a b c cd d e ef f fg g h js j5j6 j7 j8
k4 
a 
k7
k<3
k>7 m n p r s t u v x y z za zb zc
0 a 1 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 0 0 2 4 e 10 14 18 20 26 32 40 60
> 1 ≤ 3 -270 -140 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 1 0 2 4 e 10 14 18 20 26 32 40 60
> 3 ≤ 6 -270 -140 -70 -46 -30 -20 -14 -10 -6 -4 0 -2 -4 1 0 4 8 12 15 19 23 28 35 42 50 80
> 6 ≤ 10 -280 -150 -80 -56 -40 -25 -18 -13 -8 -5 0 -2 -5 1 0 13 10 15 19 23 28 34 42 52 87 97
> 10 ≤ 14 -290 -150 -95 -50 -32 -16 -6 0 -3 -6 1 0 7 12 18 23 28 33 40 50 84 90 130
> 14 ≤ 18 -290 -150 -95 -50 -32 -16 -6 0 -3 -6 1 0 7 12 18 23 28 33 39 45 80 77 108 150
> 18 ≤ 24 -300 -160 -110 -65 -40 -120 -7 0 -4 -8 2 0 8 15 22 28 35 41 47 54 63 73 98 138 188
> 24 ≤ 30 -300 -160 -110 -65 -40 -20 -7 0 -4 -8 2 0 8 15 22 28 35 41 48 55 84 75 88 118 180 218
> 30 ≤ 40 -310 -170 -120 -80 -50 -25 -9 0 -5 -10 2 0 9 17 28 34 43 48 80 88 80 94 112 148 200 274
> 40 ≤ 50 -320 -180 -130 -80 -50 -25 -9 0 -5 -10 2 0 9 17 26 34 43 54 70 81 97 114 138 180 242 325
> 50 ≤ 65 -340 -190 -140 -100 -60 -30 -10 0 -7 -12 2 0 11 20 32 41 53 68 87 102 122 144 172 2213 300 405
> 65 ≤ 80 -360 -200 -150 -100 -60 -30 -10 0 -7 -12 2 0 11 20 32 43 59 75 102 120 148 174 210 274 380 480
> 80 ≤ 100 -380 -220 -170 -120 -72 -36 -12 0 -9 -15 3 0 13 23 37 51 71 91 124 148 178 214 258 335 445 585
> 100 ≤ 120 -410 -240 -180 -120 -72 -36 -12 0 -9 -15 3 0 13 23 37 54 79 104 144 172 210 254 310 400 525 890
> 120 ≤ 140 -460 -260 -200 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 63 92 122 170 202 248 300 385 470 820 800
> 140 ≤ 160 -520 -280 -210 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 65 100 134 190 228 280 340 415 535 700 900
> 160 ≤ 180 -580 -310 -230 -145 -85 -43 -14 0 -11 -18 3 0 15 27 43 68 108 148 210 252 310 380 485 800 780 1000
> 180 ≤ 200 -660 -340 -240 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 77 122 1813 238 284 350 425 520 670 890 1150
> 200 ≤ 225 -740 -380 -260 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 80 130 180 259 310 385 470 575 740 980 1250
> 225 ≤ 250 -820 -420 -280 -170 -100 -50 -15 0 -13 -21 4 0 17 31 50 84 140 198 284 340 425 520 840 820 1050 1350
> 250 ≤ 280 -920 -480 -300 -190 -110 -56 -17 0 -16 -26 4 0 20 34 56 94 158 218 315 385 475 580 710 920 1200 1550
> 280 ≤ 315 -1050 -540 -330 -190 -110 -56 -17 0 -16 -26 4 0 20 34 56 98 170 240 350 425 525 650 790 1000 1300 1700
> 315 ≤ 355 -1200 -600 -360 -210 -125 -62 -18 0 -18 -28 4 0 21 37 62 108 190 288 390 475 590 730 903 1150 1500 1900
> 355 ≤ 400 -1350 -680 -400 -210 -125 -62 -18 0 -18 -28 4 0 21 37 62 114 208 294 435 530 880 820 1000 1300 1650 2100
> 400 ≤ 450 -1500 -760 -440 -230 -135 -68 -20 0 -20 -32 5 0 23 40 68 128 222 330 490 595 740 920 1100 1450 1850 2400
> 450 ≤ 500 -1650 -840 -480 -230 -135 -68 -20 0 -20 -32 5 0 23 40 68 132 252 380 530 880 820 1000 1250 1600 2100 2800
(Fonte: LAB Metro, 2002)
Para o uso dessa tabela, é necessário entendermos como 
ela funciona, assim, vejam a divisão:
Os eixos com ajustes de “a até j” têm os afastamentos da 
tabela superiores; quando os eixos têm ajustes de “j até zc”, 
os afastamentos da tabela são inferiores.
30
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Para furos, os afastamentos são iguais aos valores negativos 
dos tabelados. Contudo, para os furos com ajustes de “A até H”, os 
afastamentos da tabela são inferiores; de “J até ZC” são inferiores.
Vamos inserir um pequeno exemplo da utilização das tabelas 
acima. Suponha que você desejasse fabricar um eixo de 63 mm; 
ele deve ser fabricado com qualidade 6. Decida entre dois ajustes 
e determine os diâmetros mínimos e máximos para o eixo.
1o – Eixo de 63 mm com qualidade 6 e ajuste g (63 g6)
Da Tabela 3, vemos que a qualidade 6 para esse diâmetro 
tem como tolerância de fabricação 19 μm.
O posicionamento do campo de tolerância nos diferentes 
ajustes depende da consulta da Tabela 4. E, para o diâmetro 
de 63 mm, temos -10 μm.
Assim, o eixo de 63 mm no ajuste e qualidade escolhida 
terá como limites de dimensão:
63 mm
1
2
3
-10 μm = -0,010 mm ⇒ máximo
ou
-29 μm = -0,029 mm ⇒ mínimo
assim,
63,000 mm
1
2
3
62,971 ⇒ mínimo
a
62,990 ⇒ máximo
2o – Eixo de 63 mm com qualidade 6 e ajuste p (63 p6)
Da Tabela 3, vemos que a qualidade 6 para esse diâmetro 
tem como tolerância de fabricação 19 μm.
O posicionamento do campo de tolerância nos diferentes 
ajustes depende da consulta da Tabela 4. E, para o diâmetro 
de 63 mm, temos 32 μm.
31
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Assim, o eixo de 63 mm no ajuste e qualidade escolhida 
terá como limites de dimensão:
63 mm
1
2
3
51 μm = 0,051 mm ⇒ máximo
ou
32 μm = 0,032 mm ⇒ mínimo
assim,
63,000 mm
1
2
3
63,051 ⇒ mínimo
a
63,032 ⇒ máximo
Nos exemplos acima, determinamos as dimensões de dois 
eixos produzidos com qualidade 6 e ajustes diferentes. Esses 
ajustes são necessários e determinados pelos projetistas no proje-
to. Normalmente, os eixos são elementos geométricos que serão 
posteriormente acoplados em algum lugar, portanto, o ajuste 
definido se deve à forma de acoplamento que a peça necessita. 
Em linhas gerais, existem 3 formas de acoplamento, são 
elas: acoplamento com folga, com interferência e incertos.
Acoplamento com folga é usado normalmente quando a peça 
(eixo) precisa girar livremente dentro de um furo. Os acoplamentos 
com interferência são usados em situações que a peça (eixo) não 
pode deslizar dentro do furo; normalmente o encaixe das partes é 
feito de forma forçada, pois a diferença entre eixo e furo é mínima. 
Os acoplamentos incertos são usados quando não faz diferença 
o eixo entrar folgado ou sem folga. Assim, deve-se apenas levar 
em conta que as dimensões máximas do furo sejam maiores que 
as dimensões máximas dos eixos que serão acoplados.
Existem outros elementos geométricos bem definidos quan-
to à sua tolerância. Para cada um deles, existe uma norma a ser 
seguida no momento do projeto. Elementos geométricos caracte-
32
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
rizados por duas ou mais dimensões como os cones ou as roscas 
seguem sua própria normade ajustes de dimensões. Os cones, 
por exemplo, utilizam a (DIN 229); e, as roscas, a (DIN 13).
1.7 O DESVIOS DE FORMAS
Tolerância de posição: definida como desvio tolerado 
de um determinado elemento (ponto, reta, plano) em relação 
à sua posição teórica.
Tolerância de simetria: são regiões limitadas por retas 
distantes de um valor especificado e dispostas simetricamente 
em relação ao eixo (ou plano) de referência.
Tolerância de concentricidade: quando cones, cilindros 
e outras figuras possuem o mesmo centro. Define-se concen-
tricidade como a condição segundo a qual os eixos de duas ou 
mais figuras geométricas são coincidentes.
Tolerância de paralelismo: é a condição de uma linha 
ou superfície ser equidistante em todos os seus pontos de um 
eixo ou plano de referência.
Tolerância de perpendicularidade: é a condição pela 
qual o elemento deve estar dentro do desvio angular, tomado 
como referência o ângulo reto entre uma superfície ou uma 
reta, e tendo como elemento de referência uma superfície ou 
uma reta, respectivamente.
Tolerância de inclinação: o campo de tolerância é li-
mitado por dois planos paralelos, cuja distância é o valor da 
tolerância, e inclinados em relação à superfície de referência 
do ângulo especificado.
33
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.7.1 TOLERÂNCIA: DE FORMA
Tolerância de retilineidade: cada linha deve estar limitada 
dentro do valor de tolerância especificado. 
Tolerância de planeza: é a zona de limitação em que toda 
superfície deve estar quando estiver compreendida entre dois 
planos paralelos e distantes.
Tolerância de circularidade: zona que a circunferên-
cia referida deve estar compreendida. Tal zona é determinada 
por dois círculos concêntricos, distantes no valor da tolerân-
cia especificada.
Tolerância de forma de superfície: o campo de tolerância 
é limitado por duas superfícies envolvendo esferas de diâmetro 
igual à tolerância especificada e cujos centros estão situados 
sobre uma superfície que tem a forma geométrica correta.
Tolerância de cilindricidade: é a condição pela qual a 
zona de tolerância especificada é a distância entre os raios de 
dois cilindros coaxiais.
1.7.2 TOLERÂNCIA: DE MOVIMENTAÇÃO
Tolerância de batimento radial: é a região entre dois 
círculos concêntricos, medidos em um plano perpendicular 
ao eixo considerado.
Tolerância de batimento axial: é a região de tolerância 
entre duas superfícies que estão paralelas entre si, mas per-
pendiculares ao eixo de rotação da peça, dentro do qual deverá 
estar a superfície real quando a peça efetuar uma volta, sempre 
referida a seu eixo de rotação.
34
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.7.3 RUGOSIDADE
É a medida das imperfeições, saliências e reentrâncias, 
características de uma superfície que não está perfeitamente 
polida. A medição dessas imperfeições pode ser feita através 
de aparelhos eletrônicos, como rugosimetro. A rugosidade 
desempenha um papel importante no comportamento dos 
componentes mecânicos. Ela tem influência na:
• Qualidade de deslizamento;
• Resistência ao desgaste;
• Transferência de calor;
• Qualidade de superfícies de padrões e componentes ópticos;
• Possibilidade de ajuste do acoplamento forçado;
• Resistência oferecida pela superfície ao escoamento 
de fluidos e lubrificantes;
• Qualidade de aderência que a estrutura oferece às 
camadas protetoras;
• Resistência à corrosão e à fadiga;
• Vedação;
• Aparência.
A rugosidade é, basicamente, a medida da profundidade 
das ranhuras. Ra é a média aritmética dos valores absolutos das 
ordenadas do perfil efetivo em relação à linha média num com-
primento de amostragem. Pode ser calculada da seguinte forma:
R
L
ydx
A
L
a
C
L
 = 
1
 = ?
0
ò
Onde: A é a média das áreas acima e abaixo da linha de refe-
rência e Lc é o comprimento usado na medida das médias das áreas.
35
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Figura 5 – Esquema representativo das áreas definidas pela rugosidade acima 
e abaixo da linha de referência.
(Fonte:)
1.8 CONTROLE DE UMA DIMENSÃO
Ao final do processo de fabricação, dar-se-á início ao 
trabalho de medição, isto é, verificar se as peças e produtos 
fabricados estão dentro das especificações estipuladas no projeto 
inicial. Durante esse processo, inicia-se o processo de descarte 
ou aproveitamento das peças. É normal termos a classificação 
das peças fabricadas entre: aprovadas, refugos e duvidosas. 
Essa classificação está dentro do valor de tolerância de 
fabricação estipulado e definido através das normas como (IT 
ou t), em que encontramos os limites de tolerância aceitos para 
cada formato geométrico. 
Para efeito de aprovação ou rejeição da peça, toma-se sim-
plesmente a indicação dada pelo sistema de medição utilizado 
no processo de medição. Pelo fato da incerteza de medição 
ser um décimo do intervalo de tolerância IT, considera-se o 
processo de medição como perfeito.
36
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
No entanto, nem sempre dispomos de um processo de 
medição cuja incerteza de medição é inferior a um décimo do 
intervalo de tolerância.
- Usm + Usm valor nominal
LIT LST
tolerância
Figura 6 – Controle de uma dimensão a partir da tolerância dimensional.
Legenda:
Limite inferior da tolerância (LIT)
Limite superior da tolerância (LST)
Incerteza do sistema de medição (Usm)
Conforme demonstra o gráfico apresentado na Figura 6 
no processo de mensuração, é possível acontecer 4 casos dife-
rentes de resultado (resultado corrigido e incerteza associada) 
em relação aos limites de tolerância.
Ao analisar o gráfico da esquerda para a direita, vemos que 
o primeiro quadrante mostra as peças refugadas, isto é, as medi-
das estão fora dos limites de tolerância, assim, não servem mais.
No segundo quadrante, apesar de a peça estar dentro do 
limite especificado para a tolerância do produto, como além 
da tolerância temos que considerar as incertezas de medidas, 
a peça está numa região de dúvidas. Quando a peça está nessa 
situação, não é possível garantir com segurança que o produto 
fabricado está realmente dentro das especificações.
37
1 • Controle Geométrico ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
No terceiro quadrantes do gráfico, o resultado corrigido 
e a incerteza associada estão dentro do limite de tolerância. 
Nesta situação, podemos afirmar com segurança que o produto 
atende às especificações com relação à tolerância de fabricação.
No quarto quadrante, o resultado corrigido do processo 
de medição está acima do limite superior de tolerância do pro-
duto. Neste caso, não é possível afirmar com segurança que o 
produto está fora de tolerância para a dimensão medida, isto 
é, que o mesmo deveria ser refugado. Isto porque a incerteza 
do sistema de medição está abrangendo o valor da medida, 
caracterizando uma região de dúvida acerca dos resultados 
dentro dessa faixa de valores. É possível afirmar somente que 
existe grande probabilidade do mesmo apresentar-se fora dos 
limites de tolerância (CAVACO,2002).
1.9 FATORES QUE INFLUENCIAM ER-
ROS NAS MEDIDAS 
1.9.1 ERROS DE NATUREZA MECÂNICA
A força mecânica na maioria dos casos é um fator causador 
de erro na medição. Muitos processos de medição incluem o 
contato de sensores e/ou apalpadores; isso exige interação entre 
os instrumentos e a peça. Esse contato mecânico forçado, ou 
com força excessiva, pode alterar as medidas ou produzir de-
formações nas peças. No caso de medição por processo óptico, 
eletro indutivo ou eletro capacitivo, não há contato mecânico 
direto e inexiste a força de medição (CAVACO, 2002).
Por outro lado, a força de medição provoca tanto no objeto 
como no sistema de medição e demais componentes mecânicos 
38
Exercícios 
utilizados no processo deformações de vários tipos, introdu-
zindo, assim, erros de medição na forma de retroação.
Assim, é necessário manter a força de medição em valores 
mínimos necessários ao funcionamento dos sistemas de medição 
e, adicionalmente,mantê-la constante ao máximo possível para 
se poder levar, eventualmente, em consideração nas correções.
De acordo com tabelas e normas específicas, a força de 
medição está, por exemplo, no caso de um micrômetro externo, 
na faixa entre 5 a 10 N. No relógio comparador comum, usa-se a 
força de medição entre 0,8 até 1,5 N, com variação 15 da mesma 
de 0,4 N no máximo; no caso de alguns relógios comparadores, a 
força de medição é de 3 até 6 N; ou, por outro lado, apenas 0,15 a 
0,40 N. Interessante é que deixando-se descer a haste do relógio 
comparador bruscamente de um altura de 20 mm apenas, ocorre 
um ‘pico’ de força de medição dinâmica de até 70 N apesar da 
força estática ser de somente algumas unidades de N.
As deformações ocasionadas pelo processo do sistema de 
medição não devem ser permanentes e apenas existir duran-
te o processo de medição, isto é, as deformações devem ser 
elásticas. Deste ponto de vista, há certo perigo nas áreas de 
contato entre o sensor (especialmente o de forma arredonda-
da) e o objeto quando ocorrer um choque dinâmico. O próprio 
peso do sistema de medição, como instrumentos de medidas, 
especialmente se for usado de forma incorreta, pode contribuir 
para erros na medida. 
Deformações inevitáveis do processo de medição ou devem 
estar dimensionadas no projeto ou devem, posteriormente, serem 
isoladas e convenientemente consideradas (correções intro-
duzidas) no resultado da medição. Os limites admissíveis das 
deformações dependem das correspondentes exigências quanto 
à incerteza de medição máxima permitida para o processo.
Exercícios 
Já as variações de medidas no comprimento L, obedecem 
a Lei de Hooke de acordo com a equação abaixo:
D
 ? 
 ? 
L
F
E
 = 
L
A
Onde:
F = Força atuante – medida em (N)
L = Comprimento sujeito à variação – medido em (mm)
E = Constante elástica – medido em (N/mm2)
A = Área de secção transversal – medido em (mm2)
A deformação por flexão são as deformações transversais 
de elementos dos sistemas de medição ou objetos e podem ser 
calculadas em casos simples usando-se as fórmulas para vigas 
sobre dois apoios ou engastadas.
A flecha máxima y (mm) de um mandril cilíndrico apoiado pe-
las extremidades entre pontas de medição calcular-se-á pela fórmula:
y = 425 
P L
E d
3
4
?
?
?
Onde:
P = Força de medição que atua na metade do comprimento 
– medido em (N)
L = Comprimento – medido em (mm)
d = Diâmetro do mandril – medido em (mm)
E = Constante elástica – medido em (N/mm2)
y = Flecha de deformação – medido em (µm)
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
42
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1) Uma régua de E = 21,5. 104 N/mm2, de aço com di-
mensões 9 x 35 mm, A = 315 mm2, L = 1000 mm, sendo car-
regada axialmente por uma força de medição de 10 N sofrerá 
encurtamento de quantos mm? 
2) Qual a flecha devido ao peso próprio do mesmo man-
dril de aço com módulo de elasticidade (E = 21,5 . 104 N/mm2 
e densidade = 0,078 (N/cm3)? Considere o mandril de aço, de 
comprimento L = 500 mm e de diâmetro d = 30 mm. 
3) Um eixo de 48 mm de diâmetro, qualidade 7, terá uma 
tolerância de fabricação de 25 mm. Encontre o diâmetro mínimo 
e máximo de acordo com o ajuste 48 g7.
4) Um eixo de 58 mm de diâmetro, qualidade 8, terá uma 
tolerância de fabricação de 25 mm. Encontre o diâmetro mínimo 
e máximo de acordo com o ajuste 48 p8.
43
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 2 
ERROS, MEDIDAS 
E INCERTEZAS
Capítulo 2 
ERROS, MEDIDAS 
E INCERTEZAS
46
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 2
 
ERROS, MEDIDAS E INCERTEZAS
Quando medimos uma grandeza física, por mais habilidosos 
ou cuidadosos que sejamos, ela sempre vai apresentar um erro. 
Quando medimos, comparamos as grandezas de mesma espécie 
através de um padrão. Para conseguirmos realizar essa comparação, 
há necessidade de recorrermos aos mais variados instrumentos de 
medida. Contudo, nem sempre eles estão bem calibrados e/ou afe-
ridos corretamente. Em outras palavras, podemos estar desatentos 
e realizar a leitura incorreta. Todos esses fatores geram erros que 
podem gerar problemas na confecção de peças e/ou produtos. Dentre 
outros problemas, todos os resultados obtidos de forma experimental 
trazem consigo erros intrínsecos, isto é, por mais preciso e aferido 
que estejam nossos instrumentos, o simples processo de medição 
possui uma incerteza associada. Em geral, os erros não podem ser 
completamente eliminados, mas podem ser reduzidos. Podemos 
classificar os erros cometidos em uma medição como: 
1) Erros grosseiros: derivam da falta de atenção ou cuidado 
do operador do instrumento. Normalmente, nesse tipo de 
erro, não são os aparelhos que estão defeituosos ou mal 
calibrados. Pode-se perceber esse tipo de erro quando, ao 
compararmos as medidas feitas, verificamos pontos fora da 
curva, comumente, valores muito fora do esperado. Exem-
plo: ao medirmos uma peça cujo medida tem valores muito 
parecidos, podemos cometer erros grosseiros como: 122,21 
cm poder ser lido como 221,21 cm por falta de atenção.
47
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2) Erros sistemáticos: derivam normalmente da falta de afe-
rição dos instrumentos de medidas. Eles provocam desvios 
nas medidas para mais ou para menos, causando um erro 
sistêmico. Exemplo: se uma balança estiver desregulada 
e seu ponteiro estiver um pouco acima do zero, todas as 
medidas de massa lidas por ela apresentarão um valor 
superior ao real. Esse tipo de erro ocorre frequentemente 
em instrumentos que não são aferidos e/ou calibrados.
3) Erros aleatórios ou estatísticos: derivam normalmente 
de fatores externos e alheios, condições de temperatura 
e pressão, erros gerados por fatores imprevisíveis nas 
condições ambientais, dos instrumentos de medida e da 
própria natureza humana do experimentador. Em geral, 
os erros aleatórios podem ser reduzidos quando repetimos 
muitas vezes a medição, produzindo um valor médio a 
partir de um grande número de resultados experimentais.
Portanto, para termos uma medida confiável através do 
sistema de medições, é necessário determinarmos o seu valor 
mais provável. Este consiste em apresentarmos as medidas com 
seu valor médio esperado e associarmos a ele uma incerteza 
(tolerância) dimensional. Para tanto, é necessário levarmos em 
conta as variáveis do processo de medição:
(1) Mensuração: determinação da grandeza que se quer 
medir por meio do processo de medição adotado;
(2) Operador: agente(s) responsável(is) pelo pro-
cesso de medição;
(3) Procedimento de medidas: método utilizado para 
coletar as medidas necessárias: número de medidas, número 
de repetições, intervalo entre medidas e formas de medição;
48
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
(4) Instrumento ou método de medição: dispositivo e/
ou instrumento usado na coleta de dados;
(5) Condições de medida: definições de condições am-
bientais, como temperatura, pressão e umidade.
Todas essas variáveis são importantes, pois se bem de-
finidas ajudam a minimizar erros no processo de medição. 
Segundo o INMETRO (2012), erro de medição é a diferença 
entre o valor medido de uma grandeza e o seu valor de refe-
rência. Desta forma, podemos descrever a equação geral do 
erro de medida como sendo:
E = I – VV
Onde E é o erro de medição, I é a indicação (valor medido) 
e VV é o valor verdadeiro (valor de referência).
Apesar da equação apresentada acima ter o nome de equa-
ção geral do erro, perceba que não é possível calcularmos o 
erro de medida de situações que apresentem erros de caráter 
sistêmico ou aleatório. Os erros que apresentam essa caracterís-
tica normalmente são previstos e devemos utilizar a estatística 
como ferramenta auxiliadora. Ainda segundo o INMETRO 
(2012), o erro sistemático tende a ser constante se todas as 
condições de medição forem mantidas, isto é, a componente 
sistemática do erro pode ser prevista. 
2.1 CÁLCULO DO ERRO SISTÊMICO
O erro dito sistêmicoé ocasionado, como dito anterior-
mente, por fatores como a má calibração de um instrumento 
49
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de medida, assim, espera-se que os resultados e as medidas 
feitas por ele sempre apresentem características semelhantes, 
isto é, ou valores abaixo do de referência, ou valores acima do 
de referência. Por essa razão, pode-se determinar a tendência, 
o parâmetro que prevê o erro. 
Td = I – VV
Onde: Td é a tendência, I é a indicação média e VV é o 
valor verdadeiro. Como o erro é sistêmico, a equação acima 
mostra a tendência do erro, se está acima ou abaixo do valor 
de referência; como essa tendência é conhecida, posterior-
mente, poderá ser corrigida através de outro parâmetro. Antes 
de apresentarmos o parâmetro, é necessário apresentar como 
se calcula o I:
I
I
n
i
i
n
 = 
 =
∑
1
A indicação média é a média aritmética de todas as indi-
cações (valores medidos) divididos pelo números de medidas 
efetuadas. O parâmetro usado para corrigirmos a tendência 
de erro é chamado de Correção: se sabemos que determinada 
medida apresenta uma tendência de alta, isto é, tem seus valores 
sempre acima do valor de referência (VV), para corrigirmos 
essa tendência de alta, basta aplicarmos uma correção de mesmo 
valor, porém, de sinal contrário, assim:
C = –Td = VV – I
50
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Exemplo: após 30 medições do comprimento de uma 
mesa, com o auxílio de uma trena, o operador obteve uma 
indicação média de 3,55 m. Contudo, ele sabia que o valor 
verdadeiro da mesa deveria ser 3,75 m. Calcule a tendência 
de erro e sua correção.
Solução:
Se a indicação média (I) é 3,55m e o valor verdadeiro 
(VV) é 3,75m, temos:
Td = I – VV
Td = 3,55 mm – 3,75 mm
Td = –0,20 mm 
Assim, para corrigirmos o erro sistêmico, podemos aplicar 
o parâmetro de correção:
C = VV – I
C = 3,75 mm – 3,55 mm
C = 0,20 mm 
Podemos fazer a conta ou simplesmente perceber que, 
se temos uma tendência de erro negativa, para corrigirmos a 
medida, basta inserirmos um parâmetro de correção de mesmo 
módulo, porém, de sinal oposto, assim:
C = –Td = – (–0,20 m) = + 0,20 m
51
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2.2 CÁLCULO DO ERRO ALEATÓRIO 
Cálculo de erros aleatórios são diferentes dos erros sis-
têmicos, pois não podem ser previstos. Como o próprio nome 
diz, ocorrem de forma aleatória e não podem ser corrigidos. 
Assim, deve-se lançar mão da estatística e estimar o erro. 
Parâmetros como desvio padrão e repetitividade são algumas 
ferramentas que serão utilizadas. Apesar dos erros aleatórios 
exigirem um ferramental matemático mais elaborado, vale 
ressaltar que o uso da estatística se justifica quando há necessi-
dade de muitas medições. Caso contrário, o simples cálculo de 
erro atenderia de maneira satisfatória. Na linha que se segue, 
vamos aplicar um exemplo.
Quando temos situações em que precisamos verificar 
repetidas vezes o mesmo evento, usamos a estatística para 
consolidar os resultados, mas vale ressaltar que o processo 
estatístico aplicado prevê apenas erros e a incerteza com os 
instrumentos, mas não consegue prever os erros derivados do 
operador ou de procedimentos experimentais. Assim, quando 
estamos estudando, por exemplo, a queda dos corpos, pode-
mos prever o tempo médio de queda e, através do ferramental 
matemático, obter o valor mais provável, o desvio padrão e o 
desvio padrão da média. A média, o desvio padrão e o desvio 
padrão da média para um conjunto finito com n dados podem 
ser estimados aplicando as equações abaixo.
Média de uma amostra
M 
 
5
X
n
i
i
n
=
∑
1
52
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Desvio padrão de medida
u = 
 M
n 1
 
X
i
i
n
2
2
( )
=
∑ 2
1
Desvio padrão da média com n valores
u = 
 M
n 1 n
 = 
 
m
i
i
n
X
u
n
2
2 ?
( )
( )
=
∑ 2
1
Para usarmos as equações acima, vamos aplicar num 
exemplo. Utilizando um multímetro de incerteza do fabrican-
te σinst = 0,25% e colocando-o na função voltímetro, deseja-se 
determinar o valor mais provável da tensão de uma pilha de 
acordo com os valores da tabela abaixo.
Tabela 5 – Tensão
MEDIDAS TENSÃO (V) MEDIDAS TENSÃO (V)
1 1,572 11 1,574
2 1,568 12 1,565
3 1,586 13 1,586
4 1,573 14 1,576
5 1,578 15 1,577
6 1,581 16 1,561
7 1,589 17 1,579
8 1,566 18 1,546
9 1,572 19 1,582
10 1,582 20 1,592
53
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Determinando o Valor Médio
V = = 1,5997 V
i = 1
V
i
6
6
å
Tabela 6 – Determinando o desvio padrão.
MEDIDAS TENSÃO V Vi 2 V Vi 2( )
2
1 1,572 0,0277 0,0007673
2 1,568 0,0317 0,0010049
3 1,586 0,0137 0,0001877
4 1,573 0,0267 0,0007129
5 1,578 0,0217 0,0004709
6 1,581 0,0187 0,0003497
7 1,589 0,0107 0,0001145
8 1,566 0,0337 0,0011357
9 1,572 0,0277 0,0007673
10 1,582 0,0177 0,0003133
11 1,574 0,0257 0,0006605
12 1,565 0,0347 0,0012041
13 1,586 0,0137 0,0001877
14 1,576 0,0237 0,0005617
15 1,577 0,0227 0,0005153
16 1,561 0,0387 0,0014977
17 1,579 0,0207 0,0004285
18 1,546 0,0537 0,0028837
19 1,582 0,0177 0,0003177
20 1,592 0,0077 0,0000593
54
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
uv 
 
 1
 0,0272806 V
 = 15
2
2
5
V V
n
i
i
n
( )∑
2
Determinar o desvio padrão da média
u = 
u
 = 
0,0272806
 = 0,0061001 V
m
v
v
n 20
Determinando a incerteza nominal 
do aparelho
Quando o fabricante expressa a incerteza em porcentagem, 
como no exemplo σinst = 0,25%, temos que levar em conta que 
a porcentagem é sob o valor da medida, portanto.
σ
inst
 
0,25
 1,5997 0,0039 V5 ? 5
100






Após determinarmos todos os valores acima, percebemos 
que temos expresso o valor médio da tensão e o desvio do 
valor médio, isto é, quanto em média a medida difere do valor 
médio, nesse ponto, já é possível expressar satisfatoriamente 
o valor mais provável da tensão.
V = (1,600 ± 0,006) V
Ao apresentar o valor da tensão dessa forma, perceba que 
não foi levado em consideração o erro do instrumento que estava 
presente em todas as medidas. Para apresentarmos o valor mais 
provável de forma correta, é necessário levarmos em conta, além 
do desvio médio da medida, o erro do instrumento Assim, temos:
55
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ u
inst
2
m
2
5 1( ) ( )
Portanto, para calcularmos o erro padrão, temos a 
seguinte equação:
σ σ
σ
σ
 u
 0,004 0,006
 
inst
2
m
2
2 2
5 1
5 1
5
( ) ( )
( ) ( )
0 007211, V
Finalmente, podemos expressar o valor mais provável 
da tensão como:
V = (1,600 ± 0,007) V
2.3 CÁLCULO DE ERROS ALEATÓRIOS 
COM AMOSTRAS PEQUENAS
Para erros aleatórios, mas cujo número de medidas 
necessárias não passe do intervalo de 5 a 15 medidas, outra 
técnica pode ser utilizada de forma satisfatória: podemos apre-
sentar o valor mais provável de uma medida apenas através do 
seu valor médio e sua incerteza. Considere o exemplo.
Para determinar o tamanho médio de um grafite de lapiseira 
no 0,7 mm, um operador resolveu utilizar um paquímetro de 
incerteza 0,05 mm, retirar as medidas de comprimento de uma 
amostra de 12 grafites e, a partir de então, determinar seu valor 
mais provável. Para isso, o operador montou a seguinte tabela:
56
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
MEDIDAS COMPRIMENTO (MM)
1 53,05
2 52,90
3 52,80
4 53,15
5 53,00
6 52,95
7 53,00
8 53,15
9 53,10
10 53,05
11 52,95
12 53,00
Tabela 7 – Exemplo da lapiseira
Usando como base a tabela do operador, vamos determinar 
o valor médio do comprimento do grafite, o desvio de medida 
e o desvio médio. Desvio de medida na estatística é o equiva-
lente matemático da equação geral do erro. Para determinar 
o desvio de medida, basta subtrairmos em módulo o valor de 
medida do seu valor médio. 
d
m
 x x
i
5 2
O desvio médio, por sua vez, é a média aritmética dos 
desvios de medida.
d
n
m
n
 
x x
i
i = 15
2å
Apartir da teoria, podemos elaborar uma segunda tabela:
57
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
MEDIDAS COMPRIMENTO (MM)
DESVIO DE 
MEDIDA (MM)
1 53,05 0,0541670
2 52,90 0,0958330
3 52,80 0,1958330
4 53,15 0,1541670
5 53,00 0,0041670
6 52,95 0,458330
7 53,00 0,0041670
8 53,15 0,1541670
9 53,10 0,1041670
10 53,05 0,0541670
11 52,95 0,458330
12 53,00 0,0041670
MÉDIA 52,995833 0,1451385
Tabela 8 – Desvio padrão de cada medida
Através da tabela, obteremos o valor médio de com-
primento, L = 52,995833 mm e o desvio médio da medida é 
dm = 0,1451385 mm, mas, para apresentarmos o valor mais 
provável desse comprimento, temos que apresentar o seu 
valor médio e sua incerteza. Para isso, é necessário determi-
narmos sua incerteza:
σ
x m
2
inst
2
 d d5 1( ) ( )
Da tabela e do texto, sabemos que o desvio médio é 
dm = 0,1451385 mm e o desvio do instrumento dinst = 0,05 mm. 
58
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Assim, utilizando a equação acima, podemos determinar a 
incerteza:
σ
σ
σ
 d d
 
 
m
2
inst
2
2 2
5 1
5 1
5
( ) ( )
( ) ( )0 1451385 0 05
0 153509
, ,
, 66 mm
Após determinarmos a incerteza, para expressar o valor mais 
provável é necessário que a incerteza seja expressa obrigatoriamente 
com 1 algarismo significativo. Assim: σ = 0,1535096 mm = 0,2 mm; 
finalmente, o valor do comprimento fica expresso da seguinte forma:
Siqueira (2005) afirma que a origem da Manutenção Cen-
trada na Confiabilidade (MCC) está relacionada aos processos 
tecnológicos e sociais que se desenvolveram após a Segunda 
Guerra Mundial. No campo tecnológico, foram decisivas as 
pesquisas iniciadas pela indústria bélica americana, seguidas 
pela automação industrial em escala mundial, viabilizadas 
pela evolução da informática e telecomunicações, presentes 
em todos os aspectos da sociedade atual.
L = (52,99583352 ± 0,2) mm 
Como fomos obrigados a apresentar a incerteza com 1 
algarismo significativo, deve-se arredondar o valor médio pa-
ra que esse fique coerente com a incerteza. No exemplo, ao 
expressarmos a incerteza como σ = 0,2 mm,percebemos que 
o erro da medida está na casa dos décimos de milímetro, isto 
é, na primeira casa decimal. Portanto, não tem sentido expres-
sarmos o valor médio com todas a suas casas decimais, visto 
59
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
que o erro ocorrerá apenas na primeira, desta forma, devemos 
arredondar o valor médio em função da incerteza:
L = (53,0 ± 0,2) mm
2.4 CÁLCULO DE PROPAGAÇÃO 
DE ERROS
Muitas vezes, durante o processo de medição, existe a ne-
cessidade de determinarmos o erro envolvido numa composição 
de medidas, por exemplo, quando necessitamos determinar o 
valor mais provável de uma área. Para isso, há necessidade 
de aprendermos como operar os valores de grandezas com 
erro envolvido. 
Considere que temos uma grandeza qualquer cuja va-
riáveis sejam w = (x, y, z). Se, para cada variável, essa 
grandeza possuir uma incerteza associada, dizemos que sua 
incerteza em relação ao eixo estudado é a derivada entre a 
função e o eixo.
σ
σ
w
n i
i
w
n
 5
¶
¶
Se quisermos expressar a incerteza da função em cada 
eixo, basta isolarmos o erro da função e determinarmos o eixo 
que estamos calculando, assim, temos:
60
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ
σ σ
w x
w x
 , incerteza w para o eixo x.
 , in
5 ?
5 ?
¶
¶
¶
¶
w
x
w
y
ccerteza w para o eixo y.
 , incerteza w para o
w x
σ σ5 ?
¶
¶
w
z
 eixo z.
Assim, podemos escrever a equação geral para 
várias variáveis.
σ σ σ
w x y
w
x
w
y
w
z
2
2
2
2
2
 5 ? 1 ? 1
∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






2
2
2
2? 1 ? ... σ σ
z n
w
n
2.4.1 ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO 
DE COMPRIMENTOS
Considere a situação em que duas varetas de comprimen-
tos L1 = (132,08 ± 0,02) m e L2 = (45,325 ± 0,005) m devem 
ser acopladas entre si. Quais os valores mais prováveis desse 
acoplamento se adicionarmos os comprimentos ou se subtra-
írmos os comprimentos?
Efetuando a adição;
L = L1 + L2
L = 132,08 + 45,325
L = 177,405 m
Aplicando a fórmula geral para o cálculo da incerteza L:
61
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ σ
σ
L L L
L
L
L
w
L
2
1
2
2
2
2
2
2
1 2
 5 ? 1 ?
∂
∂






∂
∂






 1 1 
 1 0,02 1 0,005
 0,020
5 ? 1 ?
5 ? 1 ?
5
σ σ
σ
σ
L L
L
L
1 2
2 2
2 2 2( ) ( )
66155 m
Portanto, o valor mais provável é:
L = (177,405 ± 0,206155) m
Como a incerteza deve ter apenas 1 algarismo, signifi-
cativo que temos:
L = (177,4 ± 0,2) m
Efetuando a subtração:
L = L1 + L2
L = 132,08 – 45,325
L = 86,755 m
Apesar de estarmos subtraindo os valores médios, perce-
be-se que os erros envolvidos em cada uma das medidas con-
tinuam a ser considerados e, desta forma, devem ser somados. 
Assim, subtraímos os valores médios, mas mantemos a mesma 
incerteza, logo, o valor mais provável é:
L = (86,755 ± 0,206155) m
Ajustando a incerteza para 1 algarismo significativo, teremos:
L = (86,8 ± 0,2) m
62
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2.4.2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Para dimensionar o volume de um tambor de raio R = (45,25 ± 
± 0,02) cm e altura de h = (50,185 ± 0,003) cm, é necessário 
utilizarmos as operações de multiplicação.
Determinando o volume do tambor 
(multiplicação):
V (π, R, h) = πR2h
V (π, R, h) = π (45,25)2 (50,185)
V (π, R, h) = 322820,398 cm3
Determinando a incerteza do volume do tambor:
�
�
� ��v R
V V
R
V
h
2
2
2
2
2
 5 ? 1 ? 1
∂
∂






∂
∂






∂
∂






( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
?
5 ? 1 ? 1 ?
 
 R h 2 Rh R 
2 2
�
� � � � � ��
h
v R h
Se dividirmos todos o termos por V2:
�
� � � � �
�
�
�
v
R h
v
R h
R h
V
2
2 2 2 2
2
2
 = 
 2 Rh R 
2 2 2
2( ) ( ) ( )
( )


? 1 ? 1 ?




( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
 
 
 
2 Rh 
 
R
2
2
5
?
1
?
1
R h
R h R h
R
�
�
� �
�
��
22
2
 
 
( )
( )















?
5 1
�
�
� �
�
��
h
v R
R h
V R
2
2
2
2 2
2


















2 2
2
2
1
5 1
 
 V 
�
�
�
�
��
h
h
O
R
v
R
log :
















2 2
1 
�h
h
63
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Assim, vamos determinar a incerteza do volume:
�
�v
 = 322820,398 
2 0,02
 
2 2
0
45 25











1
?
1
,
00,003
 = 286,017859 cm
50 185
2
3
,






�
v
Por fim, para determinarmos o valor mais provável do 
volume do tambor, temos:
V = (322820,398 ± 286,017859) cm3
V = (322,8 × 103 ± 0,3 × 103) cm3
V = (322,8 ± 0,3) × 103 cm3
Para darmos um exemplo da divisão, vamos considerar 
que no tambor seja colocado um líquido cuja a massa seja m 
= (2323,00 ± 0,01) g para ocupar todo o volume do tambor. 
Determine a densidade do líquido.
ρ m,V 
2323
 10
 
g
 = 0,0071964 
g
3
( ) 5 5
3
m
V cm cm322 8
3 3
,
Após determinarmos o valor da densidade, como se tra-
ta de grandezas com incertezas, é necessário determinarmos 
o valor do erro:
64
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
2 2
2
2
 
m
 
m
 
 
m
2
5 ? 1 ?
5
∂
∂






∂
∂





m v
m















2
 
v
 0,0071964
2323,00
1
5
�
��
v
2
0 01, 








2
3
3
 
 10
 10
 0,0000067 
1
3
3
5
0 3
322 8
2
,
,
��
gg
cm
3
Portanto, o valor mais provável para a densidade é:
ρ
ρ
 0,0071964 0,0000067 
 7,1964 10 0,0067 1
3
5
5 3 32
±( )
±
g
cm
3
00 
 7,1964 0,007 10
3
3
2
25 3
( )
±( )
g
cm
g
cm
3
3
ρ
Quadro de resumo das operações
Para as operações de grandezascom erros, é interessante 
usar o formulário abaixo, evitando procedimentos matemáticos 
desnecessários. Assim, para facilitar o uso e a aplicabilidade 
das equações, está disponível a seguir um quadro de resumo 
com as equações e quando utilizá-las.
65
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Figura 7 – Quadro resumo das operações
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
68
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1) Suponha que um experimentador realize 10 vezes a 
medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram 
realizadas com uma régua cuja menor divisão da escala era 
1 cm. As medidas foram organizadas em uma tabela.
MEDIDAS LI (CM) DESVIO DA MEDIDA (CM)
1 5,7
2 5,8
3 5,5
4 5,6
5 5,5
6 5,7
7 5,8
8 5,7
9 5,9
10 5,8
Calcule o valor mais provável (VMP) do comprimento da barra.
(Resp: (5, 7 ± 0,5) cm)
2) Considere uma esfera maciça de diâmetro D = (55, 
20 ± 0, 05) mm. 
a) Calcule o VMP da área superficial da esfera, As = πD
2.
(Resp: (957±2)×10 mm2 ) 
69
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
b) Calcule o VMP do volume da esfera, 
V = 
E
πD3
6
.
(Resp: (881 ± 2) × 102 mm3) 
c) Suponha que seja feita uma cavidade cilíndrica de 
diâmetro d = (10,15 ± 0, 05) mm ao longo do eixo de simetria 
da esfera, veja figura abaixo. Calcule o VMP do volume da 
cavidade, 
V = 
C
πd D2
4
 (Resp: (447 ± 5) × 10 mm3)
d) Calcule o VMP do volume da esfera vazada.
(Resp: (836 ± 3) × 102 mm3)
3) Suponha que um experimentador realize 40 vezes a 
medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram 
realizada com uma régua cuja menor divisão da escala era 1 cm. 
As medidas foram organizadas em uma tabela. Devido o número 
alto de medidas, utilize os recursos da estatística e determine o 
valor mais provável, o desvio padrão e o desvio padrão médio.
MEDIDAS LI (CM) MEDIDAS LI (CM)
1 5,7 21 5,6
2 5,6 22 5,6
3 5,5 23 5,8
4 5,4 24 5,3
5 5,3 25 5,4
6 5,5 26 5,2
7 5,8 27 5,1
8 5,9 28 5,3
9 6,0 29 5,4
10 5,3 30 5,8
11 5,2 31 5,8
12 5,0 32 5,6
13 5,4 33 5,7
14 5,1 34 5,2
15 5,3 35 5,3
16 5,1 36 5,4
17 5,9 37 5,5
18 5,8 38 5,6
19 5,7 39 6,0
20 5,7 40 5,6
70
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
4) Considere uma peça retangular com as seguintes medidas:
a) Determine o VMP da área A = L2 ∙ L3 da lateral definida 
pelos lados L2 e L3. 
Resp: (300 ± 1) cm2
b) Determine o VMP do volume V = L1 ∙ L2 ∙ L3 desta peça. 
Resp: (150±2)×10 cm3 
c) Suponha que seja feito um buraco cilíndrico de 
volume Vburaco = (100 ± 5) × 10 cm
3 no meio da peça. Nes-
sas condições, o volume da peça será V’ = V – Vburaco. Cal-
cule o VMP de V’.
Resp: (50 ± 7) × 10 cm3
71
Exercícios ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 3 
ANÁLISE DOS 
SISTEMAS DE 
MEDIÇÃO
Capítulo 3 
ANÁLISE DOS 
SISTEMAS DE 
MEDIÇÃO
74
3 • Análise Dos Sistemas De Medição ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 3
 
ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Um dos aspectos mais notáveis da globalização e que 
mudou a maneira de a sociedade produzir e consumir se re-
fere aos padrões de qualidade internacional, o que nos leva a 
dedicar esforços a produzir com qualidade e estabelecer metas 
de melhoria contínua.
A qualidade, atualmente, está ligada ao desempenho 
de um processo e suas formas de controle ao longo de 
toda uma cadeia produtiva; e casado com as estruturas de 
controle de qualidade estão os processos de medição. Os 
processos de controle e medição são interligados à tomada 
de decisão, que depende principalmente dos dados produ-
zidos pela medição.
Essa realidade exige que os dados tomados pela medição 
sejam ótimos, pois esses dados serão a garantia de monitora-
mento da qualidade do produto.
Um dos principais objetivos de um processo é lidar 
com suas fontes de variação, o que, em essência, está no 
cerne de um processo de melhoria contínua. Em uma linha, 
é comum pensarmos que todas as unidades produzidas 
parecem ou são iguais, mas, se verificarmos com detalhes 
suficientes, veremos que há pequenas diferenças notáveis 
entre um item e outro, por mais bem planejado e controlado 
que um processo seja.
O fato de não existirem dois processos iguais coincide 
com o fato de haver muitas fontes de variação em um mesmo 
75
3 • Análise Dos Sistemas De Medição ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
processo. A diferença entre as unidades produzidas constitui 
a variabilidade de um processo.
Essas diferenças ocorrem devido às causas comuns, lem-
brando que uma causa comum é aquela em que geralmente há 
uma ação sobre o sistema ou gerencial. Essas causas podem ser 
diminuídas, mas não eliminadas, por estarem ligadas a fatores 
não controláveis de um processo.
Em um processo controlado, a média e a variabilidade 
são conhecidas; podemos dizer que todas os itens produzidos 
seguem a mesma distribuição, conforme a Figura 7, a seguir.
Figura 8 – Processo isento de causas especiais.
(Fonte: Costa et al, 2004)
Mas há processos em que as causas especiais, que 
são causas que requerem uma ação local, alteram tanto 
a média quanto a variabilidade dos itens, conforme indi-
cado na Figura 8.
76
3 • Análise Dos Sistemas De Medição ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Figura 9 – Produto afetado por causas especiais.
(Fonte: Costa et al, 2004)
Quando o valor alvo de um processo se desloca, o processo 
é dito como fora de controle. O fato de não conhecermos sua 
variabilidade nos impede de fazer uma previsão correta de 
quanto refugo teremos. Isso, em geral, faz com que a empresa 
perca competitividade, já que o valor do refugo alterará ou o 
preço final do produto ou o lucro, além de demandar investi-
mentos para a melhoria que se não forem bem alocados podem 
não apresentar os resultados esperados. Essas ações dependem 
de uma medição correta para acontecer.
Um sistema de medição pode ser definido como:
“ um conjunto de instrumentos ou dispositivos de medição, padrões, operações, métodos, dispositivos de fixa-
ção, software, pessoal, ambiente e premissas usadas para 
quantificar a unidade de medição ou corrigir a avaliação 
da característica que está sendo medida.” (CERCAL; ZVIRTES; CORTIVO, 2009)
77
3 • Análise Dos Sistemas De Medição ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Como um processo, o sistema de medição também é sujeito 
a variaçõe. Devido às causas comuns e especiais, os dados de 
medição são usados frequentemente para ajustes e controles de 
um processo, além de determinar se existe ou não uma relação 
entre duas ou mais variáveis.
Dados de medição podem ser obtidos a partir de um estudo 
do processo ou de um estudo sobre um experimento planejado, 
sendo que no último caso as decisões são tomadas a partir da 
análise das interações dos dados.
Figura 10 – Sistema de medição.
(Fonte: CADGURU. Acesso em: http://cad.cursosguru.com.br/novidades/
inovacoes-no-processo-de-metrologia-na-industria/)
A Figura 9 apresenta um modelo próximo ao diagrama 
de Ishikawa para entendermos a complexidade de um sistema 
de medição, que envolve:
• Pessoal: inclusive o treinamento e a capacitação para 
http://cad.cursosguru.com.br/novidades/inovacoes-no-processo-de-metrologia-na-industria/
http://cad.cursosguru.com.br/novidades/inovacoes-no-processo-de-metrologia-na-industria/
78
3 • Análise Dos Sistemas De Medição ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
operação de forma correta dos instrumentos, além da 
motivação pessoal, direcionada ao objetivo de melho-
ria de processo.
• Método: que envolve os pontos de medição, além da 
metodologia para fixação dos dispositivos, amplamente 
ligada ao aspecto pessoal do sistema de medição.
• Peça: deve ser considerado seus aspectos geométricos 
e não geométricos, levando em conta a possibilidade 
de deformação, seja por massa ou por temperatura, 
além da interferência de outros fatores da cadeia pro-
dutiva na peça final.
• Equipamento de medição: os principais aspectos dos 
equipamentos são relacionados à sua calibração ade-
quada, inclusive com certificação quando necessário.
• Meio ambiente: fatores como temperatura ou mesmo 
a vibração têm possibilidade de causar