Hector Reis Almeida - Cálculo Numérico ENV03 T01 2021-1

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HECTOR REIS ALMEIDA 
1715200684 
 
 
RESUMO DE CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS 
2021 
 
SUMÁRIO 
01. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 02 
02. RESUMO DAS AULAS. ..................................................................................... 03 
2.1 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE .................................................... 03 
2.2 AULA SOBRE ERROS ............................................................................... 04 
2.3 CONVERSÃO DE BASES .......................................................................... 05 
2.4 PADRÃO IEEE 754 ..................................................................................... 06 
2.5 NOÇÕES DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA ................................................. 07 
2.6 ZEROS DE FUNÇÕES................................................................................. 08 
2.7 MÉTODO DA BISSECÇÃO ........................................................................ 09 
2.8 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. .......................................................... 10 
2.9 MÉTODO DA SECANTE ............................................................................. 11 
2.10 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................... 12 
2.11 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS. ........ 13 
2.12 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES...........................................14 
2.13 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ...............................................................15 
2.14 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA..........................................................................16 
2.15 MÉTODO DE RUNGE...................................................................................17 
 03.REFERÊNCIAS.....................................................................................................18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS 
2021 
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1.0 INTRODUÇÃO 
 
O presente relatório visa descrever assuntos referentes ao curso de Cálculo 
Numérico. No qual foi ministrado pela professor Dr. Manoel do S. S. Azevedo. O curso 
teve inicio no dia 01 de setembro até a data atual ainda em atuação. O objetivo das 
aulas foi aprender sobre os métodos que foram explicitados no sumário e que serão 
abordados no resumo a seguir, para consumação do curso e melhor assimilação do 
conteúdo lecionado. Logo, o curso até então abordou assuntos como, ponto flutuante, 
padrão IEEE 754, noções de computação quântica... 
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2.0 RESUMO DAS AULAS 
2.1 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE 
A primeira aula teve início no dia 1 de setembro, onde antecipadamente já tínhamos 
recebido os dados do plano de ensino. De acordo com o método usado pelo docente 
iremos usar além da plataforma Classroom (Google) o Youtube(Google), para obtenção 
de material de estudo e para tirar dúvidas posteriores sobre a disciplina em si. Como 
ponto de partida foi tratado sobre Aritmética de Ponto Flutuante, que é uma forma de 
expressar valores de maneira que o dispositivo usado no cálculo consiga comportar o 
valor. Também foi analisado casos que “underflow” e “overflow” para casos em que os 
valores não se adequam a base estabelecida como máximo e mínimo do dispositivo 
utilizado para o cálculo, bem como prováveis situações em que se pode utilizar tanto o 
arredondamento quanto to truncamento.. 
 
 
Figura 1 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE – Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.2 AULA SOBRE ERROS 
A segunda aula foi realizada no dia 8 de setembro , o assunto abordado foi Erros, 
Como passo inicial tivemos análise de fórmulas e definição de erro absoluto e relativo, 
uma vez que foi relembrado que valores “exatos” são utópicos se tratando de Cálculo 
Numérico, logo ser tão importante conhecer e compreender o assunto recém 
mencionado. Também foi aplicado o uso de ponto flutuante para demonstração do 
assunto atual, como demonstrado na imagem a seguir, onde todas as fórmulas foram 
seguidas para gerar um exemplo de cada. 
 
Figura 2 - AULA SOBRE ERROS - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
 
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2.3 CONVERSÃO DE BASES 
Ministrada no dia 13 de setembro, o assunto desta aula foi a Conversão de Bases. Foi 
dado início com a conversão de números binários em decimais, com um adendo sobre a 
possibilidade de fazer o contrário também. Nesta aula foi demonstrado um exemplo de 
como converter decimal em binário, bem como o macete de dividir por dois e seguir 
utilizando o valor que “resta” para montar o valor binário, valendo lembrar que o valor 
binário é posto ao contrário da ordem da divisão. Também explicado como são 
representados decimais fracionários, em finito e não finito de acordo com seu valor, caso 
seja dízima periódica ou não, também sendo válido a mesma análise para casos de 
binários. 
 
 
 
Figura 3 -Aula de Conversão de Bases - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.4 PADRÃO IEEE 754 
Aula ministrada no dia 15 de Setembro , teve como assunto o padrão IEEE 754, que se 
trata de padrão hoje adotado nos computadores para representar a aritmética de ponto 
flutuante. Também nesta aula relembramos assuntos sobre notação científica, forma 
normalizada, a normalização de números binários. Foi apresentado o que se trata de “bit 
escondido” e também sua relação com o sinal, expoente e mantissa. Tivemos uma breve 
explicação sobre o que se trata o IEEE ( Institute of Electrical and Electronic Engineers) 
bem como também o porquê de ser inventado o IEEE 754, que neste caso buscava a 
padronização.Para este estudo de ponto flutuante temos 4 formatos de apresentação, 
mas conforme o indicado vamos utilizar apenas dois deles, a precisão simples(32 bits) e 
Precisão dupla (64 bits), e para cada umas delas foi demonstrado, como de acordo com 
a imagem a abaixo como identificar e representar no diagrama com o padrão do IEEE 754 
 
 
Figura 4 – Aula de Padrão IEEE 754 - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.5 NOÇÕES DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA 
Quinta aula, foi aplicada no dia 20 de setembro, seu assunto trata sobre noções de 
computação quântica, que logo em início de aula é posto em pauta a diferença entre o 
quântico e o clássico, como no caso dos computadores, como o exemplo dos nossos 
serem clássicos em relação aos quânticos. Logo é exposto às diferenças de 
reconhecimento desses diferentes tipos de computadores, assim também explicando o 
princípio da superposição, estados emaranhados e também a teoria do teletransporte. 
Também referenciado os cientistas responsáveis pela revolução quântica, que foram 
Planck e Einstein. 
Embasado em um mesmo artigo que foi passado como atividade avaliativa tivéssemos 
o conhecimento do BBS, criptografia quântica. Bem como também foi dado um exemplo 
de como funciona o sistema, com o visual tanto para quem o utiliza de maneira legal 
quanto para quem busca a “interceptação “de dados, como no caso do exemplo 
demonstrado. Assim também traços os prováveis futuros computadores quânticos. 
 
. 
Figura 5 – Aula de Noções de Computação Quântica - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.6 ZEROS DE FUNÇÕES 
Aula realizada no dia 22 de Setembro, o assunto desta é método de bissecção, para 
esta parte da disciplina vemos que temos referência ao teorema de Bolzano, e a partir 
dele usamos para reduzir amplitudes no intervalo estudado, tornando de acordo com o 
estudo. Por conseguinte ainda em métodos de bissecção também analisamos as 
fórmulas e disposição das iterações, e como elas se modificam seguinte o teorema 
anteriormente citado , em seguida também podemos observar de forma gráfica o que foi 
tratado. Aula finalizada com um exemplo sobre o assunto recém estudado. 
 
 
 
Figura 6 – Aula de Funções de Zero - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.7 MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Com o assuntode zeros de funções para análise do método da bissecção, tivemos 
esta aula ministrada também no dia 22 de setembro, tivemos um breve acervo do que já 
estudamos nas aulas anteriores, com exceção de alguns que serão expostos nesta aula 
ainda. 
Primeiro ponto a ser mencionado foi o zero real da função, acertado que para esta 
disciplina trabalharemos apenas com funções de valores reais, bem como a 
representação gráfica, onde os pontos reais são os que tocam o eixo 0x. Logo também 
foi inserido o isolamento da raiz e como ocorre para ter sua demonstração gráfica, de 
acordo com os intervalos dados para este estudo, como no caso do teorema um. No 
teorema dois temos como adendo que no intervalo contém apenas um zero de f(x). Para 
maior compreensão foi realizado exemplos, para os três métodos citados, em conjunto 
com sua representação gráfica. Também é explicado e analisado o refinamento por 
métodos iterativos e seus métodos, testes e iterações, e análise do seu estudo. 
 
 
Figura 7 – Aula de Método da Bissecção - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.8 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
Aula ministrada no dia 27 de setembro, nesta aula foi abordado o Método de Newton- 
Raphson. No início foi ressaltado a informação da importância de conhecer diversos 
métodos, pois nem toda situação pode ser resolvida utilizando um único método. 
Explanado o método de ponto fixo, (MPF), e sua iteração, que logo obteremos uma forma 
iterativa, como no caso do exemplo mencionado em aula, no caso da reta tangente, 
seguido da interpretação gráfica. Em seguida foi dado exemplos e o passo a passo para 
análise de uma função. 
Logo chegamos ao método Newton-Raphson, o professor fez uma comparação sobre 
“chute” no caso de futebol, assimilando que este método é muito interessante por trazer 
o resultado próximo do valor que estamos tentando buscar. E da mesma forma que o 
método anterior é dado exemplos tanto em puro desenvolvimento do método quando a 
sua análise posterior no gráfico resultante, seguido do estudo de convergência por meio 
do terceiro teorema, testes de parada, onde mais uma vez analisamos exemplos do que 
foi mencionado anteriormente, bem como suas desvantagens. 
 
Figura 8 – Aula de Método Newton-Raphson - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.9 MÉTODO DA SECANTE 
Também realizada no dia 27 de setembro, esta aula busca esclarecer o método que foi 
citado ao fim da aula anterior, o método da secante, citando como último método, é dito 
que pode ser aplicado na prática , e para este caso não é necessário a utilização da 
derivada, porém todas os “limites” são aplicados a ela, sobre ser contínua e ter uma única 
raiz . 
Diferente do método citado na aula anterior, este em vez de um único ponto precisa de 
dois pontos para ter seu início. Em seguida tivemos demonstração das iterações e a 
forma gráfica, que justifica justamente a necessidade dos dois pontos iniciais, onde 
obtemos as secantes, logo elas tendem a convergir para a raiz que estamos tentando 
obter. Assim tivemos um exemplo prático deste método para maior compreensão de 
como proceder com seu estudo, também ressaltando suas vantagens e desvantagens . 
 
 
 
Figura 9 – Aula método da Secante - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.10 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Aula ministrada no dia 29 de setembro, o assunto abordado foi equações lineares, no 
início tivemos em breve introdução dos assuntos que abordaremos ainda neste dia, bem 
como um grande acervo de aplicações dos sistemas lineares em diversas áreas. Após 
expor exemplos simples sobre o que seria abordado foi citado o que pode ocorrer em um 
sistema linear para analisá-lo. 
Por exemplo chegamos ao método de Gauss, Eliminação de Gauss, que neste caso 
permite transformar o sistema linear Inicial em um sistema triangular, como no caso da 
imagem escolhida para o resumo desta aula, para que por fim tenhamos um coeficiente 
de fácil resolução, assim facilitando resolver os dados que antecedem este último termo. 
Também foi citado as operações que podemos utilizar para resolver por este método. 
Assim observamos e analisamos os exemplos para ter maior compreensão do que foi 
ensinado sobre o assunto de equações lineares a partir destes métodos. 
 
Figura 10- Aula de Sistema de Equações Lineares - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.11 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 
Aula ministrada no 04 de outubro, o assunto foi métodos iterativos, nesta aula tivemos 
no início uma breve demonstração do estudado na aula anterior, o método de Gauss, bem 
como exemplos da mesma, onde partimos da matriz, transcorrem pelo método ensinado e 
chegamos ao resultado da raiz que estamos procurando, bem como a demonstração da 
solução de maneira retroativa. 
Mencionado o método de Jordan, porém não iremos utilizá-lo, chegando assim em 
decomposição em LU, no qual transformamos a matriz estudada (que foi escolhida como 
imagem para representação deste resumo) em um produto de L por U, após o professor 
explicar como a matriz se comporta após ser realizado sua decomposição foi citado o 
resumo dos passos para sua realização, e para maior fixação foi analisado um exemplo 
e revisado o seu passo a passo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Aula de Métodos Iterativos - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
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2.12 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 
Aula ministrada no dia 06 de outubro, seu início se deu com uma breve explicação do 
sistema não linear, quando ele ocorre e suas características, bem como suas aplicações, 
também explanando a certa dificuldade na resolução destes sistemas, por vezes não sendo 
possível compreendê-lo de unicamente de forma analítica. 
Foi compreendida a sua simbologia, domínio, notação e a forma que recebemos um 
sistema não linear. Explicação da diferença de exemplos reais em contrapartida dos livros, 
seguida de alguns exemplos para que fosse possível gerar maior compreensão sobre o assunto, 
seguido também de hipóteses acerca deste assunto. Também sobre contribuições de Newton 
Raphson e finalizando com exemplos que sucedem seu método. 
 
 
 Figura 12 – Aula de Sistemas de Equações Não-Lineares - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.13 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Esta aula que teve como assunto Interpolação Polinomial foi ministrada no dia 25 de 
Outubro, seu início foi realizada com uma explicação sobre o objetivo deste assunto, bem como 
sua problemática, uso em equação e graficamente . Assim foi compreendendo que sua 
resolução é possível pela matriz, modelo o qual foi utilizado no exemplo de imagem desta aula. 
Também nos foi mostrado sobre determinante de vandermonde. Logo tivemos um passo a 
passo para resolução do sistema, condicionamento e logo em seguida forma de lagrange e seu 
comportamento matemático. Seguido assim de mais exemplos , uma vez que Newton Raphson 
também contribuiu significativamente neste assunto como no demonstrado pelo professor nos 
slides. Finalizando assim este conteúdo como estudo de erro e interpolação inversa. 
 
 
Figura 13 – Aula de Interpolação Polinomial - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.14 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Aula ministrada no dia 27 de outubro, teve seu início com exemplos acerca do assunto, 
em seguida o conceito e aplicação da aplicação numérica na matemática em ligação direto com 
coisas “cotidianas”, como no caso da aferição da área de um lago, em seguida tivemos alguns 
exemplos acerca desta primeira parte do assunto. Prosseguimos com a regra 1/3 de Simpson, 
explicação e demonstração em exemplos muito bem explicados e detalhados para que fosse 
de fácil compreensão. 
 
 
Figura 14 - Aula de Integração Numérica - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.18 MÉTODO DE RUNGE 
Como última aula ministrada até então, no dia 08 de novembro, tivemos comoassunto 
Método de Runge- Kutta, assim demonstrado um pouco mais como no enunciado da aula, sobre 
soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias: método de passo um, passo múltiplo, 
previsão e correção. Tivemos um início com explicações teóricas explicando e ditando sua 
aplicabilidade, bem como mais uma vez citando que a motivação se dedica em equações que 
não podem ser analisadas analiticamente, em decorrer tivemos também um breve exemplo 
sobre a aula dada até certo momento. Em seguida foi nos dado a possibilidade de estender este 
método para série de Taylor, bem como explicando sua facilidade de aplicação a cerca do 
exemplo que tivemos anteriormente, e a caminho do meio para o fim de aula tivemos exemplos 
e mais explicações acerca do assunto ministrado. 
 
 
Figura 15- Aula de Método de Runge - Professor Top MANU ( YOUTUBE) 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
• Material obtido através do Classroom de Cálculo Numérico da turma de Engenharia 
Naval 2021/1; 
• https://www.youtube.com/channel/UC9d6U2nsgDaDsMdqad7lELA/videos - Canal 
Professor Top Manu – utimo acesso dia 19 de novembro de 2021.