UAM - Cálculo aplicado uma variável - Unidade 3 - Atividade 3 - Completo

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UAM – Cálculo aplicado uma variável – Unidade 3 – Atividade 3
A Importância das Taxas de Variação Relacionadas em Diferentes Áreas do Conhecimento
As taxas de variação relacionadas desempenham um papel fundamental na resolução de problemas em diversas áreas do conhecimento. Elas fornecem uma compreensão mais profunda das relações entre diferentes grandezas e permitem análises quantitativas precisas. Duas áreas onde as taxas de variação relacionadas desempenham um papel crucial são a física e a economia.
Na física, as taxas de variação relacionadas são essenciais para descrever o movimento e a interação de objetos em diferentes sistemas. Considere, por exemplo, o movimento de um objeto em queda livre. Representemos essa situação-problema por meio de uma figura, onde temos um objeto caindo verticalmente e a altura em relação ao tempo é representada pela variável h.
Grandezas variáveis:
- Altura (h) em relação ao tempo (t)
Grandezas constantes:
- Aceleração devido à gravidade (g)
Suponhamos que desejamos determinar a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea de queda do objeto em um determinado momento. Podemos escrever a seguinte equação relacionando as grandezas:
h = (1/2) * g * t^2
Derivando implicitamente a equação em relação a t, obtemos:
dh/dt = g * t
Agora, suponhamos que um objeto esteja caindo livremente e, após 3 segundos, sua altura seja de 45 metros. Para encontrar a taxa de variação desejada, podemos aplicar os dados fornecidos na equação derivada:
dh/dt = g * t
dh/dt = 9.8 m/s^2 * 3 s
dh/dt = 29.4 m/s
Portanto, a taxa de variação da altura em relação ao tempo após 3 segundos é de 29.4 m/s, representando a velocidade instantânea de queda do objeto nesse instante.
Na economia, as taxas de variação relacionadas são cruciais para análises de crescimento, inflação, taxas de juros e muitos outros fenômenos econômicos. Considere uma situação-problema em que a taxa de crescimento populacional seja determinada em relação ao tempo.
Grandezas variáveis:
- População (P) em relação ao tempo (t)
Grandezas constantes:
- Taxa de crescimento populacional (k)
Suponhamos que a taxa de crescimento populacional seja descrita pela seguinte equação:
dP/dt = k * P
Aqui, dP/dt representa a taxa de variação da população em relação ao tempo, e k é uma constante que indica a taxa de crescimento.
Agora, vamos considerar um exemplo em que uma população inicial é de 1000 indivíduos, e após 5 anos, a população tenha dobrado. Queremos encontrar a taxa de crescimento populacional.
dP/dt = k * P
Aplicando os dados fornecidos, temos:
2 * 1000 = k * 1000
Dividindo ambos os lados por 1000, encontramos:
2 = k
Portanto, a taxa de crescimento populacional é de 2. Isso significa que a população está crescendo a uma taxa de 2 indivíduos por unidade de tempo.
Nesses exemplos, podemos observar como as taxas de variação relacionadas são essenciais para analisar problemas em diferentes áreas do conhecimento. Elas permitem uma compreensão mais profunda das relações entre as grandezas envolvidas e fornecem informações valiosas para a resolução de problemas quantitativos. O uso adequado das taxas relacionadas é fundamental para obter resultados precisos e tomar decisões informadas em várias disciplinas.