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Geometria Analítica
O Ponto no Plano e no Espaço
Produção: Gerência de Desenho Educacional - NEAD
Desenvolvimento do material: Victor Hugo dos Santos Gois
1ª Edição
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Márcia Loch
Sumário
O Ponto no Plano e no Espaço
Para Início de Conversa... ............................................................................... 4
Objetivos .................................................................................................... 4
1. Coordenadas Cartesianas .......................................................................... 5
2. Distância entre dois pontos ...................................................................... 13
Referências .................................................................................................... 17
Geometria Analítica 3
Para Início de Conversa...
Nesta unidade, iniciaremos o estudo da Geometria Analítica a partir dos 
conceitos de ponto na reta, no plano e no espaço.
Retomaremos os conceitos de valor absoluto e as notações que 
adotaremos para pontos, retas, segmento de retas e semirretas. Então, 
caracterizamos a distância entre dois pontos na reta, para podermos, 
então, definirmos o que é um reta orientada e um eixo.
Na sequência, apresentamos a definição de produto cartesiano, retas 
ortogonais e retas paralelas para apresentarmos a definição de 
plano cartesiano e relacionarmos pontos do plano cartesiano a pares 
ordenados de .
Depois, apresentamos a definição de sistema cartesiano no espaço e 
relacionamos pontos do espaço às ternas ordenadas pertencentes a .
Por fim, apresentamos como determinar a distância entre dois pontos no 
plano cartesiano e no sistema cartesiano no espaço.
Esperamos que ao final deste capítulo você seja capaz de localizar 
pontos no plano e no espaço e saiba determinar a distância entre dois 
pontos no espaço, pois estes serão os conhecimentos que servirão de 
base para todo o estudo da Geometria Analítica que apresentaremos 
neste livro.
Objetivos
 ▪ Identificar pontos no plano e no espaço . 
 ▪ Demonstrar as vantagens do uso do plano e do espaço para 
localização de pontos e retas em situações problemas. 
 ▪ Demonstrar a distância entre dois pontos e aplicá-la na resolução de 
problemas.
Geometria Analítica 4
1. Coordenadas Cartesianas
Antes de definirmos coordenadas cartesianas se faz necessário 
apresentarmos algumas definições e notações basilares que darão 
suporte necessário para este conteúdo e outros que estudaremos em 
Geometria analítica.
Coordenadas na Reta
Definição 1: O valor absoluto ou módulo de um número real a é o próprio 
número a, se , e , se . E denotamos módulo desse número 
por (se lê módulo de a), ou seja:
 
 ▪ A notação que será utilizada para pontos será das letras maiúsculas 
do nosso alfabeto (A, B, C, ...,Y, Z) e para indicar retas serão utilizadas 
letras minúsculas do nosso alfabeto (a, b, c,.. ., y, z).
 ▪ Uma reta ilimitada que passa pelos pontos E e F, por exemplo, será 
denotada pelas letras dois pontos em que ela passa e uma seta nos 
dois sentidos sob elas, ou seja, (se lê reta EF).
E F
Figura 1: Representação geométrica de uma reta EF. Fonte: Elaborada pelo autor.
 ▪ Um segmento de reta é parte de uma reta limitada por dois pontos 
(extremos de segmento de reta) e denotamos um segmento de 
reta por duas letras maiúsculas do nosso alfabeto sob uma barra. 
Por exemplo, para indicarmos o segmento AB escrevemos (se lê 
segmento AB).
A
B
Figura 2: Representação geométrica de um segmento de reta AB. Fonte: Elaborada pelo autor.
 ▪ Uma semirreta é parte de uma reta que tem origem em um ponto 
e é ilimitada em uma direção e denotamos uma semirreta pela 
letra maiúscula do nosso alfabeto que indica o ponto de origem da 
semirreta, pela letra maiúscula do nosso alfabeto que indica um ponto 
que a semirreta passa por ele e por uma seta sob essas letras. Assim, 
para indicarmos, por exemplo, a semirreta DA escrevemos (se lê 
semirreta DA).
D
A
Figura 3: Representação geométrica de uma semirreta DA. Fonte: Elaborada pelo autor.
Geometria Analítica 5
Vamos considerar fixa uma unidade de medida de comprimento. Dados 
dois pontos A e B quaisquer, chamamos de distância entre os pontos A e 
B o comprimento de e indicaremos por AB.
a medida da distância entre dois pontos é um número real não negativo. 
Desse modo, por convenção, a medida da distância entre um ponto e ele 
mesmo é 0 (zero).
Com relação à medida da distância entre dois pontos quaisquer 
apresentamos a seguir três propriedades:
1. A medida da distância entre dois pontos quaisquer é maior ou igual 
à zero: .
2. A medida da distância entre A e B é igual à medida da distância 
entre B e A: .
3. Dados A, B e C, três pontos quaisquer pertencentes a uma mesma reta 
e C está entre A e B, então a medida da distância entre A e B é igual 
a soma da medida das distâncias entre A e C e B e C: .
Dizemos que uma reta é orientada quando determinamos sobre ela um 
sentido de percurso, denominado positivo. O sentido de percurso inverso 
ao positivo é denominado negativo. Além disso, é dito que um ponto B 
está à direita de um ponto A (logo, o ponto A está à esquerda do ponto 
B), quando o sentido de percurso de A para B coincide com o sentido de 
percurso positivo escolhido.
Definição 2: Denominamos eixo uma reta orientada em que foi fixado 
um ponto de origem, por convenção, chamado de O. Além disso, um eixo 
possui as seguintes características:
 ▪ cada ponto X corresponde a um número real x;
 ▪ a origem O corresponde ao número zero;
 ▪ cada ponto X situados à direita da origem correspondem a um número 
real positivo x, de modo que ;
 ▪ cada ponto X situados à esquerda da origem correspondem a um 
número real negativo x, de modo que .
- X’
x’
0
0
X
x
+
Figura 4: Representação de um eixo em que a seta indica o sentido do percurso. Os pontos à 
direita do O tem coordenadas positivas e os números à esquerda de O coordenadas negativas. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
O número real x que corresponde ao ponto X é chamado de coordenada 
do ponto X.
Geometria Analítica 6
Por fim, se x e y são coordenadas do ponto X e do ponto Y, respectivamente, 
então:
Coordenadas no Plano
Para estendermos e compreendermos o conceito de coordenada no 
plano é necessário antes conhecermos o conceito de produto cartesiano, 
de retas ortogonais e de retas perpendiculares.
Definição 3: Segundo Santos e Ferreira (2009), podemos definir produto 
cartesiano como:
 Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado (lê-se: 
A cartesiano B), é o conjunto formado por todos os pares ordenados , em que e , 
isto é: (SANTOS; FERREIRA, 2009, p. 29, 
grifos do autor).
Podemos destacar algumas características importantes dos produtos 
cartesianos.
 ▪ O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é um novo 
conjunto.
 ▪ Se o conjunto A possui m elementos e o conjunto B possui n 
elementos, então o conjunto possui elementos.
 ▪ Sejam os pares ordenados e , temos que 
 se, e somente se, e .
 ▪ Seja um par ordenado qualquer. Chamamos a de primeira 
coordenada e b de segunda coordenada.
 ▪ O produto cartesiano pode ser estendido para qualquer número finito 
de conjuntos, ou seja, dados os conjuntos , então:
 ▪ Um produto cartesiano que utilizaremos bastante em nossos estudos 
é quando temos e , então temos oproduto cartesiano 
 que denotaremos por (se lê erre dois), que é formado por 
todos os pares de números reais:
 ▪ Por fim, outro produto cartesiano que utilizaremos bastante em 
nossos estudos é quando temos e , então 
temos o produto cartesiano que denotaremos por (se lê erre três), 
que é formado por todas as triplas de números reais:
Definição 4: dizemos que duas retas são ortogonais quando formam um 
ângulo de 90º (reto) entre elas, ambas coplanares ou não, ou seja, com 
ou sem a interseção entre elas. Um caso particular de retas ortogonais 
são as que formam um ângulo reto entre elas e se intersectam, nesse 
caso denominamos essas retas como retas perpendiculares.
Geometria Analítica 7
A
α
β
B
C D
Figura 5: Retas e ortogonais. Fonte: Elaborada pelo autor.
E
F
HG
Figura 6: Retas e paralelas. Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir das caracterizações de produto cartesiano, retas ortogonais e 
retas perpendiculares, podemos definir plano cartesiano ortogonal.
Definição 5: um sistema de eixos ortogonais no plano (também conhecido 
como plano cartesiano, plano real ou sistema de coordenadas cartesiana 
no plano) consiste em um par de eixos OX e OY perpendiculares, 
graduados numa mesma unidade, x e y, respectivamente que dividem o 
plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes. Por convenção diz-
se que o eixo OX é horizontal e o eixo OY é vertical. O ponto O em que 
esses eixos se intersectam é chamado de origem do sistema.
O sistema de eixos ortogonais no plano estabelece uma bijeção com os 
pares ordenados de . Seja um ponto P qualquer no plano, associamos 
a ele uma reta paralela ao eixo OY que intersecta uma reta paralela ao 
eixo OX de modo que essas paralelas intersectem também os eixos em 
pontos com coordenadas x e y, respectivamente. Desse modo, para cada 
ponto P qualquer no plano associamos um par ordenado 
. De modo análogo, a recíproca também vale. Para cada par ordenado 
 associamos um ponto P pertencente ao plano cartesiano 
que é interseção de uma reta paralela a OY que intersecta o eixo na 
coordenada x e uma reta paralela a OX que intersecta o eixo na 
coordenada y.
Denominamos os números reais x e y como coordenadas cartesianas do 
ponto P em que associamos ao sistema de eixo ortogonal: cada número 
Geometria Analítica 8
real x (primeira coordenada) será chamado de abscissa do ponto (e este 
estará associado ao eixo horizontal OX, que será chamado de eixo das 
abscissas ou eixo x) e cada número real y (segunda coordenada) será 
chamado de ordenada do ponto (e este estará associado ao eixo vertical 
OY, que será chamado de eixo das ordenadas ou eixo y).
Assim, a partir de agora, tratamos como a mesma coisa nos referirmos 
aos pontos do plano cartesiano ou pares ordenados de números reais.
Uma das vantagens e facilidades na hora de localizar um ponto no plano 
cartesiano é que se um ponto qualquer P pertencer ao eixo x, então sua 
ordenada será zero. De modo análogo, se um ponto qualquer P pertencer 
ao eixo y, então sua abscissa será igual à zero. A origem dos eixos tem 
coordenadas .
Outra vantagem é que podemos saber a que quadrante pertence um 
ponto apenas pelo sinal de cada coordenada. Com relação às quatros 
regiões no plano que são divididas pelo sistema de eixos ortogonais, os 
quadrantes, temos que eles são numerados da esquerda para direita e de 
cima para baixo. Os pontos que estão localizados no primeiro quadrante 
têm abscissa e ordenada positiva. No segundo quadrante, os pontos 
têm abscissa negativa e a ordenada positiva. No terceiro quadrante, a 
abscissa e a ordenada dos pontos são negativas. E no quarto quadrante 
cada ponto tem abscissa positiva e ordenada negativa.
( - , +)
( - , -) ( + , -)
( + , +)
2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
1º quadrante
(eixo das ordenadas)
(eixo das
abscissas)
0 x
y
Figura 7: Plano cartesiano e os quatro quadrantes. Fonte: Elaborada pelo autor.
Para muitos historiadores, os matemáticos René Descartes (1596-1650) 
e Pierre de Fermat (1601-1665) foram dois matemáticos franceses que 
deram início ao estudo sistemático da Geometria analítica. Uma das 
maiores contribuições de Descartes é sua obra Discurso do método. Essa 
obra é acompanhada de três apêndices, sendo um deles chamado La 
géométrie, que apresenta os princípios da geometria analítica e utiliza a 
ideia de marcar pontos em um eixo.
Geometria Analítica 9
Já Pierre de Fermat focou seu trabalho no estudo de equações e suas 
representações por curvas no plano.
Figura 8: René Descartes
Fonte: Dreamstime. 
Figura 9: Pierre de Fermat
Fonte: Wikimedia. 
Segundo Eves (2004), existem duas lendas sobre quando René Descartes 
começou a estudar a Geometria analítica.
‘‘ De acordo com uma delas, isso ocorreu num sonho. Na véspera do dia de São 
Martinho, 10 de novembro de 1616, no acampamento de inverno de sua tropa 
às margens do Danúbio, Descartes passou pela experiência de três sonhos 
singularmente vividos e coerentes que, segundo ele, mudaram o curso de sua 
vida . Os sonhos, conforme suas palavras, iluminaram os propósitos de sua vida 
e determinaram seus futuros esforços revelando-lhe uma “ciência maravilhosa” 
e uma “descoberta assombrosa”. Descartes nunca revelou explícita e exatamente 
do que se tratava, mas há suposições de que essa ciência seria a geometria 
analítica, ou a aplicação da álgebra à geometria. Só dezoito anos mais tarde ele 
iria expor algumas de suas ideias em seu Discours. Outra lenda, parecida com 
a história da queda da maçã de Isaac Newton, dá conta de que o estalo inicial 
da geometria analítica teria ocorrido a Descartes ao observar uma mosca que 
caminhava pelo forro de seu quarto, junto a um dos cantos. Teria chamado a sua 
atenção que o caminho da mosca sobre o forro poderia ser descrito se, e somente 
se, a relação ligando as distâncias dela às paredes adjacentes fosse conhecida 
(EVES, 2004, p. 388-389).’’
Sobre os pares ordenados do plano cartesiano é possível estabelecermos 
as operações de adição e multiplicação por escalar (um número). A 
seguir caracterizamos essas operações e a interpretação algébrica deles 
no plano cartesiano.
Adição de pares ordenados: Sejam os pontos e 
quaisquer no plano cartesiano. A adição dos pontos é realizada 
coordenada a coordenada. Adiciona-se abscissa com abscissa e ordenada 
com ordenada. Assim:
Multiplicação por escalar: Seja um ponto qualquer no plano 
cartesiano e um escalar . A multiplicação do escalar k pelo ponto P 
é feita multiplicando o escalar pela abscissa e o escalar pela ordenada. 
Geometria Analítica 10
Assim:
Exercitando: Seguindo as orientações do que estudamos agora, vamos 
localizar o ponto A no plano cartesiano descrito na Figura 10.
0
-1
-1-2 1
1
2
2
3
4
A
x
y
Figura 10: Plano cartesiano ilustrando o exemplo. Fonte: Elaborada pelo autor.
Resolução: No ponto A no plano, associamos a ele uma reta paralela ao 
eixo y que intersecta uma reta paralela ao eixo x de modo que essas 
paralelas intersectem também os eixos em pontos com coordenadas x e 
y, respectivamente. Assim, as coordenadas do ponto A são .
0
-1
-1-2-3 1
1
2
2
3
4
A
x
y
Figura 11: Identificando as coordenadas do ponto A no exemplo. Fonte: Elaborada pelo autor.
Coordenadas no Espaço
Assim como fizemos na reta e no plano, podemos estender o conceito de 
coordenadas e do sistema de eixos ortogonais para o espaço e associar 
os pontos pertencentes a esse sistema as triplas do produto cartesiano 
.
Geometria Analítica 11
Definição 6: um sistema de eixos ortogonais no espaço consiste em uma 
tripla de eixos OX, OY e OZ perpendiculares dois a dois, graduados numa 
mesma unidade, x, y e z, respectivamente que dividem o espaço em oito 
regiões, chamadas de octantes. Por convenção diz-se que os eixos OX e 
OY são horizontais e o eixo OZ é vertical. O ponto O em que esses eixos 
se intersectam é chamado de origem do sistema.
Uma vez definidos o sistema de eixos ortogonais no espaço, chamaremos 
de OXY, OYZ e OXZ os planos determinados peloseixos OX e OY, OY e OZ 
e OX e OZ, respectivamente.
O sistema cartesiano no espaço estabelece uma bijeção com as ternas 
ordenadas de . Seja um ponto P qualquer no espaço, associamos a 
ele um plano paralelo ao plano OYZ que intersecta um plano paralelo 
ao plano OXZ e que intersecta também um plano paralelo ao plano 
OXY de modo que esses planos paralelos intersectem também os eixos 
em pontos com coordenadas x, y e z, respectivamente. Desse modo, 
para cada ponto P qualquer no plano associamos uma terna ordenada 
. De modo análogo ao que mostramos no plano, a 
recíproca também vale para associar às ternas ordenadas pertencentes a 
 a pontos do espaço.
Denominamos os números reais x, y e z como coordenadas cartesianas 
do ponto P em que associamos ao sistema de eixo ortogonal: cada 
número real x (primeira coordenada) será chamado de abscissa do ponto 
(e este estará associado ao eixo horizontal OX, que será chamado de 
eixo das abscissas ou eixo x), cada número real y (segunda coordenada) 
será chamado de ordenada do ponto (e este estará associado ao eixo 
horizontal OY, que será chamado de eixo das ordenadas ou eixo y) e cada 
número real z (terceira coordenada) será chamado de cota do ponto (e 
este estará associado ao eixo vertical OZ, que será chamado de eixo das 
cotas ou eixo z).
x
z
o
P
OXY
OXZ
OYZ
y
Figura 12: Localização de um ponto P no espaço. Fonte: Elaborada pelo autor.
Geometria Analítica 12
Uma das vantagens de localizar pontos no sistema cartesiano no espaço 
é que se um ponto qualquer P pertencer ao plano OXY, então sua cota 
será igual a zero. Da mesma maneira, se um ponto qualquer P pertencer 
ao plano OXZ, então sua ordenada será igual a zero. De modo análogo, 
se um ponto qualquer P pertencer ao plano OYZ, então sua abscissa será 
igual à zero. A origem dos eixos tem coordenadas .
Outra vantagem está em determinar a que octante um ponto pertence 
apenas pelo sinal de suas coordenadas. Com relação às oito regiões no 
espaço que são divididas pelo sistema de eixos ortogonais no espaço, 
os octantes, temos que eles são numerados, conforme figura a seguir. Os 
pontos que estão localizados no primeiro octante têm abscissa, ordenada 
e cota positivas. No segundo octante, os pontos têm abscissa negativa e 
a ordenada e cota positivas. No terceiro octante, a abscissa e a ordenada 
dos pontos são negativas e a cota é positiva. No quarto octante cada 
ponto tem abscissa e cota positivas e ordenada negativa. Os pontos 
localizados no quinto octante têm abscissa e ordenada positivas e a cota 
negativa. No sexto octante, os pontos têm abscissa e cota negativa e a 
ordenada positiva. No sétimo octante, a abscissa, ordenada e cota dos 
pontos são negativas. E, por fim, no oitavo octante a abscissa dos pontos 
é positiva e a ordenada e cota dos pontos é negativa.
D
7º octante 3º octante
4º octante
( +, - , - )
( +, - , + )
( +, +, + )
( +, +, - )
( - , +, - )
( - , +, + )
( - , -, - ) ( - , -, + )
2º octante
1º octante8º octante
5º octante
6º octante
x
y
z
Figura 13: Sistema cartesiano no espaço e os oito octantes. Fonte: Elaborada pelo autor.
2. Distância entre dois pontos
No início deste capítulo, vimos a definição de distância entre dois 
pontos em uma reta. Vamos agora retomar e estender esse conceito para 
determinar a distância entre dois pontos no plano e no espaço utilizando 
para isso uma importante relação métrica do triângulo retângulo, o 
teorema de Pitágoras.
Geometria Analítica 13
 Distância entre dois pontos no plano
Assim como vimos na reta, dados os pontos e 
pertencentes ao plano cartesiano, se quisermos determinar (a distância 
de P até Q) quando P e Q pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo 
x ou paralela ao eixo y fazemos:
 ▪ , se P e Q pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo x;
 ▪ , se P e Q pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo y.
Agora, para determinar a medida da 
distância entre dois pontos cuja reta 
que os contém não é paralela ao 
eixo x ou ao eixo y e em relação à 
coordenada desses pontos vamos 
utilizar o teorema de Pitágoras. 
Para isso, vamos considerar os 
pontos e , que 
não pertencem a uma mesma 
reta paralela ao eixo x ou ao eixo 
y, e o ponto , conforme 
representado na figura a seguir.
x xx’
y
y
y’
P R
Q
g
0
Figura 14: O triângulo PQR é retângulo e tem como catetos PR e QR e hipotenusa PQ. Fonte: 
Elaborado pelo autor.
Como os pontos P e Q têm a mesma ordenada, o segmento de reta PR é 
horizontal e paralelo ao eixo x, assim, . De modo análogo, o 
segmento de reta QR é vertical e paralelo ao eixo y, assim, . 
Sendo o segmento de reta PR paralelo ao eixo x e o segmento de reta QR 
paralelo ao eixo y, então eles são perpendiculares e formam um ângulo 
reto. Assim, temos o triângulo PQR retângulo, sendo PR e QR os catetos 
desse triângulo retângulo e PQ a hipotenusa. Logo, aplicando o teorema 
de Pitágoras, temos:
Geometria Analítica 14
A partir dessa igualdade, podemos perceber que quando os pontos 
pertencem a uma mesma reta que seja paralela ao eixo x ou ao eixo y 
PQ será ou , respectivamente.
Exemplificando: Sabendo que , e , em que 
x é um número real, são vértices de um triângulo retângulo, determine 
valor de x.
x
y
A (0, 5)
B (3, 0)
C (-2, x)
Figura 15: Triângulo retângulo ilustrando o exemplo. Fonte: Elaborada pelo autor.
Resolução: Primeiro passo: Determinamos AB, BC e AC. 
 ▪
 ▪
 ▪
Segundo passo: Aplicamos o teorema de Pitágora no triângulo retângulo 
ABC.
Assim, .
Distância entre dois pontos no espaço
De modo análogo a maneira de calcularmos a distância entre dois 
pontos no plano cartesiano é o modo de calcularmos a distância entre 
dois pontos no espaço. Se dois pontos pertencerem ao plano OXZ ou OXY 
ou OYZ e os pontos também pertencerem a uma reta que seja paralela 
ao eixo x, eixo y ou eixo z, então a distância entre os pontos será 
, ou , respectivamente.
Geometria Analítica 15
Agora, para determinar a medida da distância entre dois pontos cuja reta 
que os contém não é paralela ao eixo x ou ao eixo y ou ao eixo z e não 
pertencentes ao plano OXZ ou OXY ou OYZ, em relação à coordenada 
desses pontos, vamos utilizar o teorema de Pitágoras como fizemos no 
plano cartesiano. Para isso, vamos considerar os pontos e 
, cuja medida da distância queremos determinar, e os 
pontos e , conforme representado na figura a 
seguir.
x
y
z
C
R
P
S
Q
Figura 16: Determinando PQ. Fonte: Elaborada pelo autor.
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos PQR e QRS, 
temos:
Mas os pares de pontos Q e S, R e S e P e R, possuem duas coordenadas 
iguais. Assim, temos que:
Neste capítulo, retomamos alguns conteúdos que você já deve ter 
estudado na Educação Básica, aprofundando tais conteúdos, os quais 
utilizaremos como alicerce para os próximos conteúdos que estudaremos 
em Geometria Analítica.
Retomamos noções e notações de ponto na reta, no plano e no espaço, 
associando os pares ordenados do produto cartesiano a pontos do 
plano cartesiano e as ternas ordenadas do produto cartesiano a 
pontos do sistema cartesiano no espaço.
Por fim, vimos como determinar a distância entre dois pontos no 
plano e no espaço. A partir do que estudamos neste capítulo, espera-
se que possamos nos aprofundar ainda mais no estudo da Geometria 
Analítica, ao definirmos e operarmos com vetores no plano e no espaço, 
realizarmos o estudo da reta também no plano e no espaço, equações da 
circunferência e do plano e as seções cônicas.
Geometria Analítica 16
Referências
BORIN JUNIOR, A. M. S. (org.). Geometria analítica. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2014.
LIMA, E. L. Geometria analítica e álgebra linear. 1. ed. Coleção Matemática 
Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P. de. Coordenadas no Plano com as soluções 
dos exercícios. 5. ed. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: 
Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P. de; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A 
matemáticado Ensino Médio. vol. 3. 5 ed. Coleção Professor de 
Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
PINOTTI, C. de A. S. Geometria Analítica. Curitiba: Contentus, 2020.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: 
Bookman, 2009.
Geometria Analítica 17
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