Coordenadas no plano e no espaço

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UNIVERSIDADE POLITÉCNICA ÀPOLITECNICA 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO E UNIVERSITÁRIO DE NACALA 
(ISPUNA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA MECÂNICA E ELÉCTRICA 1O ANO 2021 
 
COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
 
 
Cláudio Avalinho 
Essiaca Selemane 
Faizal Mucaua 
Jackson D. Chipande 
Mendes da Sorte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nacala Porto, Julho de 2021 
ii 
 
Cláudio Avalinho 
Essiaca Selemane 
Faizal Mucaua 
Jackson D. Chipande 
Mendes da Sorte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 Docente: dr. Momade A. Assane 
 
 
 
 
 
 
Nacala Porto, Julho de 2021
Trabalho de pesquisa de carácter 
avaliativo do 3o grupo, da cadeira 
de Álgebra Linear e Geometria 
Analítica submetido ao ISPUNA 
iii 
 
Índice 
Introdução ....................................................................................................................................... 4 
1. Coordenadas no Plano e no Espaço ............................................................................................ 5 
2. Posição relativa em relação ao sistema ....................................................................................... 6 
3. Distância entre dois pontos ......................................................................................................... 8 
4. Razão entre dois segmentos colineares ..................................................................................... 11 
5. Coordenadas do terceiro ponto ................................................................................................. 13 
6. Condição de alinhamento de três pontos .................................................................................. 13 
Conclusão ...................................................................................................................................... 16 
Referências Bibliográficas ............................................................................................................ 17 
 
4 
 
Introdução 
O presente trabalho tem como tema Coordenadas no Plano e no Espaço. Começando com a 
caracterização de referencial cartesiano, definem-se através de expressões algébricas: ponto 
médio de um segmento de recta, distância entre dois pontos, condição de perpendicularidade de 
dois segmentos de recta, cosseno de um ângulo entre duas direcções, equações que definem uma 
recta no plano, equação da circunferência, distância de um ponto a uma recta e área de um 
triângulo. 
Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coordenadas em relação a um 
sistema que consiste de duas rectas orientadas – uma horizontal, outra vertical. O ponto de 
intersecção (em ângulo recto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal 
é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordenadas. O plano cartesiano fica, 
assim, dividido em quatro regiões, que são denominadas quadrantes: o primeiro fia acima do 
eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo das abcissas e à 
esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das 
ordenadas; e, o quarto, abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. 
A cada ponto do plano corresponde, então, um par de coordenadas (x, y), em que | x | é a 
distância do ponto ao eixo das ordenadas e | y |, a distância do ponto ao eixo das abcissas. O sinal 
de x e o sinal de y dependem do quadrante em que o ponto está situado. A origem do plano 
cartesiano, denotada por O, tem, assim, ambas as coordenadas nulas. 
A metodologia utilizada foi a consulta de obras relacionadas com Álgebra Linear e Geometria 
Analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1. Coordenadas no Plano e no Espaço 
Dados os pontos A, B quaisquer, ao comprimento do segmento de recta AB chama-se distância 
entre os pontos A e B e representa um número real. 
A noção de distância entre dois pontos permite introduzir coordenadas sobre uma recta, ou seja, 
representar os pontos da recta por meio de números reais. Para tal, há que orientar a recta e 
escolher um dos seus pontos como origem. Definido na recta um sentido de percurso, chamado 
positivo, o sentido inverso chama-se negativo. 
Um eixo é uma recta orientada na qual se fixou um ponto O, chamada origem. Todo o eixo E 
pode ser posto, de modo natural, em correspondência biunívoca com o conjunto R dos números 
reais do seguinte modo: 
 À origem O do eixo faz-se corresponder o número zero. 
 A cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real positivo 
x = d(O, X) = distância de X à origem = comprimento do segmento de recta OX. 
 Aos pontos situados à esquerda de O correspondem números reais negativos, cujos 
valores absolutos medem as distâncias desses pontos à origem. 
No estudo dos números reais, a cada X  R faz-se corresponder um ponto X sobre o eixo E. Em 
Geometria Analítica, o processo é inverso, procura-se associar a cada ponto do eixo E um 
número, chamado a sua coordenada. Para estabelecer esta correspondência, admitimos que 
exista a noção de distância entre dois pontos desse eixo, isto é, que tenha sido fixada uma 
unidade de comprimento. 
Um sistema de coordenadas (cartesianas) no plano consiste num par de eixos perpendiculares 
(eixos cartesianos) Ox e Oy contidos nesse plano, com a mesma origem O. Ox chama-se o 
eixo das abcissas e Oy é o eixo das ordenadas. O sistema é indicado com a notação Oxy e 
denomina-se de referencial cartesiano ortogonal. 
 
Semelhante à situação anterior, podemos também analisar as posições de um ponto em relação 
ao plano, tomado como referencial, de modo que o plano, tendo duas dimensões (comprimento e 
largura), faz com que o ponto precise de duas coordenadas para se orientar. 
Vale ressaltar que o plano utilizado para o estudo da geometria analítica é chamado de plano 
cartesiano, um plano graduado proposto por René Descartes, definido por duas rectas 
perpendiculares x e y que concorrem sobre o ponto O(0; 0) (lê-se origem de coordenadas 0 em x 
6 
 
e 0 em y). Os valores em x são chamados de abcissas e os valores em y de ordenadas. Assim, 
para esse modelo de orientação coordenada, um ponto genérico P(x0; y0) tem abcissa x0 e 
ordenada y0. 
 
Onde: 
O = (0, 0) __ origem do sistema cartesiano 
Px = (x, o) ___ projecção ortogonal de P sobre o eixo das abcissas 
Py = (0, y) ___ projecção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas 
 
O emprego de coordenadas no plano serve dois propósitos que se complementam. O primeiro é o 
de atribuir um significado geométrico a factos de natureza numérica, como o comportamento de 
uma função real de variável real, que ganha muito em clareza quando se olha para o seu gráfico. 
O segundo propósito do uso de coordenadas vai no sentido oposto: recorre-se a elas com a 
finalidade de resolver problemas de Geometria. Este é o objectivo da Geometria Analítica. 
 
2. Posição relativa em relação ao sistema 
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas Quadrantes que recebem 
os nomes indicados na figura: 
 
7 
 
Sendo P um ponto qualquer do plano cartesiano temos que: 
P  I Quad.  xp  0 e yp  0 
P  II Quad.  xp  0 e yp  0 
P  III Quad.  xp  0 e yp  0 
P  IV Quad.  xp  0 e yp  0 
 
Existem ainda os pontos que estão sobre os eixos, assim: 
 P pertence ao eixo das abcissas se a ordenada é nula: P  Ox   0 
 P pertence ao eixo das ordenadas se a abcissa é nula: P  Oy   0 
Destas propriedades temos que os pontos que estão no eixo vertical são do tipo (0, a) e os pontos 
do eixo horizontal são do tipo (a, 0). 
Os pontos do tipo (a, a) formam um conjunto de pontos chamado de bissectriz dos quadrantes 
ímpares. Observe a figura: 
 
Assim, temos que P  b13  xp  yp 
Os pontos do tipo (a, -a) formam um conjunto de pontos chamado de bissectriz dos quadrantes 
pares.Observe a figura: 
 
8 
 
Assim, temos que P  b24  xp   yp 
Se uma recta é paralela ao eixo das abcissas, então todos os seus pontos possuem a mesma 
ordenada. 
Se uma recta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos possuem a mesma 
abcissa. 
Também valem as recíprocas das duas propriedades acima. 
 
3. Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) , situados num plano cartesiano, pode ser 
determinada em função das suas coordenadas. 
Caso o segmento AB seja paralelo ao eixo Ox, temos: 
A distância dAB é diferença entre abcissas: 
dAB= xB − xA 
1º caso: AB é horizontal: 
 
Caso o segmento AB seja paralelo ao eixo Oy, temos: 
A distância dAB é diferença entre ordenadas: dAB= yB− yA 
2º caso: AB é vertical: 
 
Caso o segmento AB seja qualquer, temos: 
9 
 
A distância dAB depende da diferença entre abcissas e entre ordenadas, de tal forma que, ao 
aplicarmos o teorema de Pitágoras no Δ ABC, temos: 
(dAB)² = (d AC)2 + ( dBC)
2 
(dAB)² = ( x B− x A)2 + ( yB− y A)
2 
dAB = √( xB− x A)2 + ( yB− y A)
2 
3º caso: AB é oblíqua: 
 
Por outro lado, se P= (x, y) e Q (u, v) têm abcissas e ordenadas diferentes então, considerando o 
ponto S (u, y), vemos que [P SQ] é um triângulo rectângulo cuja hipotenusa é [P Q]. 
Como P e S têm a mesma ordenada e S e Q a mesma abcissa tem-se: 
d(P,S) = |x - x| e d(S,Q) = |y - v| 
e pelo Teorema de Pitágoras vem: 
d(P, Q)2 = d(P, S)2 + d(S, Q)2 
logo, 
d(P,Q)2 = (x – u)2 + (y – u)2 
ou seja, 
d(P,Q) = �(� − �)� + (� − �)� 
é a fórmula da distância entre o ponto P = (x, y) e Q = (u, v). 
 
10 
 
Em particular, a distância do ponto P = (x, y) à origem O = (0, 0) é dada por: 
d(O,P) = ��� + �� 
Exemplos: 
1) Determinar a distância entre os pontos A(8, 3) e B(-4, 8): 
A(8, 3) e B(−4, 8) 
dAB= √(xB− x A)
2+(yB− yA)
2 
dAB= √(− 4− 8)
2+(8−3)2 
dAB= √(−12)2+(5)
2 
dAB= √(144)+(+25) 
dAB= √144+ 25 
dAB= √169 
dAB= 13 
2) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas 
A(1, 5), B(-2, 1) e C(4, 1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O perímetro é : dAB+dAC+dBC 
O perímetro é : 5+5+6 
O perímetro é : 16 
 
 
 
A(1, 5) e B(−2, 1) 
dAB= √(xB− xA)
2+(yB− yA)
2 
dAB= √(−2− 1)
2+( 1− 5)2 
dAB= √(−3)
2+(− 4)2 
dAB= √(+ 9)
2+(+16) 
dAB= √9+16 
dAB= √25 
dAB= 5 
A(1, 5) e C( 4, 1) 
dAC=√(xC− x A)
2+(yC− yA)
2 
dAC=√(4−1)
2+(1− 5)2 
dAC=√(3)
2+(− 4)2 
dAC=√(9)+(+16) 
dAC=√9+16 
dAC=√25 
dAC= 5 
B (−2, 1) e C( 4, 1) 
dBC= √(xC− xB)
2+(yC− yB)
2 
dBC= √(4−(−2))
2+(1−1)2 
dBC= √(4+2)
2+(0)2 
dBC= √(6)
2+(0) 
dBC= √36+ 0 
dBC= √36 
dBC= 6 
 
11 
 
4. Razão entre dois segmentos colineares 
Sejam os pontos A ≠ B ≠ C colineares. Chamamos razão de secção do segmento 
��
�� pelo ponto C 
ao número real r, razão entre as medidas algébricas dos segmentos 
��
�� e 
��
�� CB. 
 
Existem duas formas de se determinar este r. A primeira forma é através da fórmula da distância 
como apresentado na definição acima, assim, sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), temos: 
 
A segunda forma, é por meio do Teorema de Talles. Observe agora a ilustração: 
 
 
Ou A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). 
 
12 
 
O feixe de paralelas A1A, C 1C e B1B determina, sobre as rectas AB e OY e o feixe de rectas 
paralelas A2A, C 2C e B2B, determina sobre as rectas AB e OX segmentos proporcionais, então 
 
Portanto as coordenadas (x, y) do ponto que divide o segmento compreendido por P1(x1, y1) e 
P2(x2, y2) segundo a razão r: 
 
Pelo teorema de Talles, podemos escrever: 
 
Devemos ficar atentos apenas quando o segmento considerado for paralelo a um dos eixos 
coordenados. Note que, caso o segmento seja vertical, temos x1=x2=x3. Desta forma, |�1 − �3| e 
|�3 − �2| são, ambos iguais a zero e a fracção 
�����
�����
 fica indeterminada, assim, usamos r = 
�����
�����
. 
Situação semelhante ocorre quando o segmento for horizontal. Pelo mesmo motivo, faremos r = 
�����
�����
. 
Exemplo: 
Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13), determine a razão entre os comprimentos dos segmentos AC 
e BC. 
Resolução: 
A partir das abcissas, temos: 
 
A partir das ordenadas, temos: 
 
13 
 
Era natural que em ambas as situações, encontrássemos o mesmo resultado e, daí, concluímos 
que um segmento tem o triplo do comprimento do outro. 
Desconsiderando o módulo na expressão apresentada acima, é possível, a partir do sinal de r, 
determinar a posição de C em relação ao segmento AB, assim, considerando A(x1, y1), B(x2, y2) 
e C(x3, y3), e fazendo r = 
�����
�����
 = 
�����
�����
 temos que: 
i) r  0  C é interior a AB 
ii) r  0  C é exterior a AB 
iii) r  0  C  A 
iv) r  1  C é médio de AB 
v) C, r   1 
 
5. Coordenadas do terceiro ponto 
Sejam os pontos P1(x1, y1) ≠ P2(x2, y2) e P3(x3, y3). Sabemos que os pontos P1 e P2 determinam a 
recta (r) da equação 
����
�����
 = 
����
�����
 
Para P3 pertencer à recta (r) é necessário e suficiente que suas coordenadas satisfaçam sua 
equação ⇒ 
 
 
6. Condição de alinhamento de três pontos 
Para que três pontos A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc), distintos, estejam alinhados, ou seja, 
pertençam à mesma recta, devemos ter: 
 
 
 
 
BD
CE
AD
BE
 
ab
bc
ab
bc
yy
yy
xx
xx





ab
bc
ab
bc
yy
yy
xx
xx





14 
 
 
Se os três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), estão alinhados, então satisfazem à seguinte 
condição: 
�����
�����
 = 
�����
�����
. 
Note que 
�����
�����
 = 
�����
�����
 
�1 − �2  �2 − �3 = �2 − �3 �1 − �2) 
x1y2 - x1y3 - x2y2 + x2y3 = x2y1 – x2y2 - x3y1 + x3y2 
x1y2 – x1y3 + x2y3 = x2y1 – x3y1 + x3y2 
x1y2 + x2y3 + x3y1 – x1y3 – x2y1 – x3y2 = 0 
Por outro lado, sabemos que: 
D= 
�1 �1 1
�2 �2 1
�3 �3 1
= 
= x1y2 + x2y3 + x3y1 – x1y3 – x2y1 – x3y2 
Assim, podemos dizer que os três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), estão alinhados quando: 
D = 
�1 �1 1
�2 �2 1
�3 �3 1
= 0 
Observação: Este determinante acima fica facilmente verificado também em duas situações 
específicas: 
1º Se dois dos pontos coincidirem, teremos duas linhas iguais e consequentemente, D = 0. 
2º Se a recta for vertical (ou horizontal) as três ordenadas (ou abcissas) serão iguais. Como já 
temos uma coluna onde os três termos são iguais a 1, passaremos a ter duas colunas onde uma é 
combinação linear da outra, e assim, mais uma vez, D = 0. 
 
Exemplo: 
Ex.1: Mostrar que os pontos A(-1, 1), B(1, 3) e C(7, 9) estão alinhados. 
15 
 
Resolução: 
−1 1 1
1 3 1
7 9 1
= 
 (1)  3  1  1  1  7  1  1  9  
 1 3  7  1  9  ( 1)  1 1 . 1  
= - 3 + 7 + 9 – 21 + 9 – 1 
Logo, A, B e C estão alinhados. 
Ex.2: Determine k para que os pontos A(k, k), B(3, 1) e C(7, -3) estejam alinhados. 
Resolução: 
� � 1
3 1 1
7 −3 1
=0 
k + 7k - 9 - 7 + 3k - 3k = 0 
8k – 16 = 0 
 k = 2 
Resposta: k = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Conclusão 
Pondo o termino, salientar que o ponto de um plano com suas coordenadas em relação a um 
sistema que consistiu de duas rectas orientadas uma horizontal, outra vertical. O ponto de 
intersecção (em ângulo recto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal é 
denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordenadas. O plano cartesiano fica, 
assim, dividido em quatro regiões, que são denominadas quadrantes: o primeiro fia acima do 
eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo das abcissas e à 
esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das 
ordenadas; e, o quarto, abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Referências Bibliográficas 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Volume dois. São Paulo, Atica, 2005. 
IEZZI, Gelson e outros. Fundamentos da Matemática Elementar.Volume 4. São Paulo, 
Actual, 5ª edição, 1977. 
	Dados os pontos A, B quaisquer, ao comprimento do segmento de recta AB chama-se distância entre os pontos A e B e representa um número real.
	A noção de distância entre dois pontos permite introduzir coordenadas sobre uma recta, ou seja, representar os pontos da recta por meio de números reais. Para tal, há que orientar a recta e escolher um dos seus pontos como origem. Definido na recta um sentido de percurso, chamado positivo, o sentido inverso chama-se negativo.
	Um eixo é uma recta orientada na qual se fixou um ponto O, chamada origem. Todo o eixo E�pode ser posto, de modo natural, em correspondência biunívoca com o conjunto R dos números�reais do seguinte modo:
	 À origem O do eixo faz-se corresponder o número zero.
	 A cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real positivo�x = d(O, X) = distância de X à origem = comprimento do segmento de recta OX.
	 Aos pontos situados à esquerda de O correspondem números reais negativos, cujos valores absolutos medem as distâncias desses pontos à origem.
	No estudo dos números reais, a cada X ( R faz-se corresponder um ponto X sobre o eixo E. Em Geometria Analítica, o processo é inverso, procura-se associar a cada ponto do eixo E um número, chamado a sua coordenada. Para estabelecer esta correspondência, admitimos que�exista a noção de distância entre dois pontos desse eixo, isto é, que tenha sido fixada uma�unidade de comprimento.
	Um sistema de coordenadas (cartesianas) no plano consiste num par de eixos perpendiculares (eixos cartesianos) Ox e Oy contidos nesse plano, com a mesma origem O. Ox chama-se o�eixo das abcissas e Oy é o eixo das ordenadas. O sistema é indicado com a notação Oxy e�denomina-se de referencial cartesiano ortogonal.