SEGUNDA PROVA - Parte 2

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Séries Geométrica 
 
 Seja uma série de potências, temos a série geométrica 
definida na forma: 
1
1 − 𝑧
= ∑ 𝑧𝑛
∞
𝑛=0
 𝑠𝑒 |𝑧| < 1 
 
Exemplos ilustrativos: 
(𝑎) ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥
 𝑠𝑒 |𝑥| < 1 
 
(𝑏) ∑(−1)𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(−𝑥)𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − (−𝑥)
= 
1
1 + 𝑥
 𝑠𝑒 |−𝑥| < 1 
 
(𝑐) ∑ 𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(𝑥2)𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥2
 𝑠𝑒 |𝑥2| < 1 
 
(𝑑) ∑ 𝑥3𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(𝑥3)𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑥3
 𝑠𝑒 |𝑥3| < 1 
 
Série de Taylor e Série de Maclaurin 
Seja 𝑓(𝑥) uma função definida por: 
𝑓(𝑥) = ∑𝐶𝑛
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
cujo raio de convergência é R > 0, então a Série de Taylor, em 
torno do ponto 𝑥 = 𝑎, é definida como: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
quando a Série de Taylor, estiver representado em torno do ponto 
zero, ou seja, quando 𝑎 = 0, a Série de Taylor passa a se chamar 
Série de Maclaurin. E será definida por: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(0)
𝑛!
∞
𝑛=0
𝑥𝑛 
 
Série Binomial 
Seja 𝑘 ∈ ℚ então a Série de Maclaurin da função do tipo 
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑘 é dada por: 
(1 + 𝑥)𝑘 = ∑(
𝑘
𝑛
)
∞
𝑛=0
𝑥𝑛 
que também pode ser escrita na forma: 
(1 + 𝑥)𝑘 = 1 +∑(
𝑘
𝑛
)
∞
𝑛=1
𝑥𝑛 
 
Convergência da Série Binomial 
(1) Diverge se |𝑥| > 1 
(2) Converge se |𝑥| < 1 
 
Além disso, temos que: 
(I) Se k > 0, a série converge em [-1,1] 
(II) Se −1 ≤ 𝑘 < 0, a série converge em (-1,1] 
(III) Se k < -1, a série converge apenas em (-1,1) 
 
* Raio de Convergência: R = 1