Lista de exercícios: Cálculo 4 - Sequências e séries infinitas - James Stewart - Cálculo Volume 2 - Cápitulo 11.2

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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
CÁLCULO 4 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES 
 
 
LIVRO: STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010 
EXERCÍCIOS: 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 43 e 47 do capítulo 11.2 
 
EXERCÍCIO 11 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 
3 + 2 +
4
3
+
8
9
+ ⋯ 
 
RESOLUÇÃO 
3 + 2 +
4
3
+
8
9
+ ⋯, que pode ser escrita como ∑ 3 (
2
3
)
𝑛
∞
𝑛=0 , é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛∞
𝑛=0 com o 
primeiro termo 𝑎 = 3 e razão comum 𝑟 =
2
3
. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛∞𝑛=0 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para qual valor 
a série converge. 
 Como |𝑟| = |
2
3
| =
2
3
< 1, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
=
3
1 −
2
3
=
3
1
3
= 𝟗 
 
EXERCÍCIO 15 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 
∑ 6(0,9)𝑛−1
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
∑ 6(0,9)𝑛−1∞𝑛=1 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛−1∞
𝑛=1 com o termo 𝑎 = 6 e razão 𝑟 = 0,9. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛−1∞𝑛=1 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para qual 
valor a série converge. 
Como |𝑟| = |0,9| = 0,9 < 1, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
=
6
1 − 0,9
=
6
0,1
= 𝟔𝟎 
EXERCÍCIO 17 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 
∑
(−3)𝑛−1
4𝑛
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
Substituindo 4𝑛 = 4 ∙ 4𝑛−1 temos que, ∑
(−3)𝑛−1
4𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−3)𝑛−1
4⋅4𝑛−1
∞
𝑛=1 = ∑
1
4
(−
3
4
)
𝑛−1
∞
𝑛=1 . 
∑
1
4
(−
3
4
)
𝑛−1
∞
𝑛=1 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛−1∞
𝑛=1 com o termo 𝑎 =
1
4
 e razão 𝑟 = −
3
4
. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛−1∞𝑛=1 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para qual 
valor a série converge. 
Como |𝑟| = |−
3
4
| =
3
4
< 1, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
=
1
4
1 − (−
3
4)
=
1
4
7
4
=
𝟏
𝟕
 
 
EXERCÍCIO 19 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 
∑
𝜋𝑛
3𝑛+1
∞
𝑛=0
 
 
RESOLUÇÃO 
Substituindo 3𝑛+1 = 3 ∙ 3𝑛 temos que, ∑
𝜋𝑛
3𝑛+1
∞
𝑛=0 = ∑
𝜋𝑛
3⋅3𝑛
∞
𝑛=0 = ∑
1
3
(
𝜋
3
)
𝑛
∞
𝑛=0 . 
∑
1
3
(
𝜋
3
)
𝑛
∞
𝑛=0 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛∞
𝑛=0 com o termo 𝑎 =
1
3
 e razão 𝑟 =
𝜋
3
. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛∞𝑛=0 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para qual valor 
a série converge. 
Como |𝑟| = |
𝜋
3
| =
𝜋
3
> 1, a série diverge. 
 
EXERCÍCIO 23 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. 
∑
𝑛
𝑛 + 5
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
∑
𝑛
𝑛+5
∞
𝑛=1 é uma série da forma ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 . 
Para que a série seja convergente o lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
Temos que 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+5
, então 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 5
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 (1 +
5
𝑛)
= lim
𝑛→∞
1
1 +
5
𝑛
= 1 
Como lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 1 ≠ 0, a série diverge. 
 
EXERCÍCIO 25 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. 
∑
3𝑛 + 2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
Podemos escrever ∑
3𝑛+2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1 como a soma de suas séries geométricas. Desse modo, temos que 
∑
3𝑛 + 2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
= ∑
3𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
+ ∑
2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
 
 
• Primeira série: 
∑
3𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
= ∑ (
3
6
)
𝑛∞
𝑛=1
= ∑ (
1
2
)
𝑛∞
𝑛=1
= ∑ (
1
2
)
𝑛
− 1
∞
𝑛=0
 
 
∑ (
1
2
)
𝑛
− 1∞𝑛=0 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛∞
𝑛=0 com o termo 𝑎 = 1 e razão 𝑟 =
1
2
. 
 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛∞𝑛=0 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para 
qual valor a série converge. 
 
Como |𝑟| = |
1
2
| =
1
2
< 1, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
− 1 =
1
1 −
1
2
− 1 =
1
1
2
− 1 = 2 − 1 = 𝟏 
 
• Segunda série: 
∑
2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
= ∑ (
2
6
)
𝑛∞
𝑛=1
= ∑ (
1
3
)
𝑛∞
𝑛=1
= ∑ (
1
3
)
𝑛
− 1
∞
𝑛=0
 
 
∑ (
1
3
)
𝑛
− 1∞𝑛=0 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛∞
𝑛=0 − 1 com o termo 𝑎 = 1 e razão 𝑟 =
1
3
. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛 − 1∞𝑛=0 =
𝑎
1−𝑟
− 1 para 
calcular para qual valor a série converge. 
 
Como |𝑟| = |
1
3
| =
1
3
< 1, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
− 1 =
1
1 −
1
3
− 1 =
1
2
3
− 1 =
3
2
− 1 =
𝟏
𝟐
 
 
Voltando à série principal: 
 
Como ∑
3𝑛+2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
3𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1 + ∑
2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1 , temos que ∑
3𝑛+2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1 converge para 
1 +
1
2
=
𝟑
𝟐
 
 
EXERCÍCIO 27 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. 
∑ √2
𝑛
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
∑ √2
𝑛∞
𝑛=1 é uma série da forma ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 . 
Para que a série seja convergente o lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
Temos que 𝑎𝑛 = √2
𝑛
= 2
1
𝑛, então 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
2
1
𝑛 = lim
𝑛→∞
20 = 1 
Como lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 1 ≠ 0, a série diverge. 
 
EXERCÍCIO 29 
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. 
∑ ln (
𝑛2 + 1
2𝑛2 + 1
)
∞
𝑛=1
 
 
RESOLUÇÃO 
∑ ln (
𝑛2+1
2𝑛2+1
)∞𝑛=1 é uma série da forma ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 . 
Para que a série seja convergente o lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
Temos que 𝑎𝑛 = ln (
𝑛2+1
2𝑛2+1
), então 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
ln (
𝑛2 + 1
2𝑛2 + 1
) = lim
𝑛→∞
ln (
𝑛2 (1 +
1
𝑛2
)
𝑛2 (2 +
1
𝑛2
)
) = lim
𝑛→∞
ln (
1 +
1
𝑛2
2 +
1
𝑛2
) = ln (
1
2
) = − ln(2) ≈ −0,7 
Como lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≈ −0,7 ≠ 0, a série diverge. 
 
EXERCÍCIO 43 
Expresse o número como uma razão de inteiros. 
3, 417̅̅ ̅̅ ̅ = 3,417417417 ⋯ 
RESOLUÇÃO 
3, 417̅̅ ̅̅ ̅ = 3,417417417 ⋯, que pode ser escrita como, 3 + ∑ 417 (
1
1000
)
𝑛
∞
𝑛=1 . 
Manipulando a série para deixá-la na forma geométrica: 
3, 417̅̅ ̅̅ ̅ = 3 + ∑ 417 (
1
1000
)
𝑛∞
𝑛=1
⇒ 417 + 3, 417̅̅ ̅̅ ̅ = 3 + 417 + ∑ 417 (
1
1000
)
𝑛∞
𝑛=1
 
 
⇒ 420, 417̅̅ ̅̅ ̅ = 3 + ∑ 417 (
1
1000
)
𝑛∞
𝑛=0
 
 
3 + ∑ 417 (
1
1000
)
𝑛
∞
𝑛=0 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛∞
𝑛=0 com o primeiro termo 𝑎 = 417 e razão 
comum 𝑟 =
1
1000
. 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Caso seja, utilizamos ∑ 𝑎(𝑟)𝑛∞𝑛=0 =
𝑎
1−𝑟
 para calcular para qual valor 
a série converge. 
 Como |𝑟| = |
1
1000
| =
1
1000
< 1, a série converge para 
3 +
𝑎
1 − 𝑟
− 417 = 3 +
417
1 −
1
1000
− 417 = 3 +
417
900
1000
− 417 = 3 +
417000
999
− 417 
 
=
417000 − 413586
999
=
3414
999
=
𝟏𝟏𝟑𝟖
𝟑𝟑𝟑
 
 
EXERCÍCIO 47 
Encontre os valores de 𝑥 para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de 𝑥. 
∑
𝑥𝑛
3𝑛
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Manipulando a série para deixá-la na forma geométrica: 
∑
𝑥𝑛
3𝑛
∞
𝑛=1
= ∑ (
𝑥
3
)
𝑛
∞
𝑛=1
= ∑
𝑥
3
(
𝑥
3
)
𝑛−1
∞
𝑛=1
 
 
∑
𝑥
3
(
𝑥
3
)
𝑛−1
∞
𝑛=1 é uma série geométrica da forma ∑ 𝑎(𝑟)
𝑛−1∞
𝑛=1 com o primeiro termo 𝑎 =
𝑥
3
 e razão comum 𝑟 =
𝑥
3
. 
 
Para que a série seja convergente o |𝑟| < 1. Como 𝑟 =
𝑥
3
, temos 
|𝑟| < 1 ⇒ |
𝑥
3
| < 1 ⇒
|𝑥|
3
< 1 ⇒ |𝑥| < 3 
 
Desse modo, a série converge para valores de 𝑥 que obedeçam |𝑥| < 3, ou seja, a série converge para 
𝑎
1 − 𝑟
=
𝑥
3
1 −
𝑥
3
=
𝑥
3
(3 − 𝑥)
3
=
𝒙
𝟑 − 𝒙
, para 𝒙 ∈ ] − 𝟑, 𝟑[