TEMA 6 - Equivalência de capitais

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Equivalência de capitais
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a equivalência de capitais, por meio de seus 
conceitos, suas regras e aplicações. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer os conceitos de equivalência de capitais.•
Calcular o valor atual de um fluxo de caixa, a uma determinada taxa e numa determinada data 
focal.
•
Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixa, ajustando as diferenças 
entre eles, de modo a torná-los equivalentes entre si.
•
Desafio
O laboratório da Faculdade de Medicina da Universidade Federal de Minas Gerais estuda um 
medicamento para curar o vício do tabagismo. O Ministério da Saúde é interessado em reduzir os 
seus custos com o tratamento de câncer de pulmão no país, pois a quantidade de fumantes 
aumenta a cada ano, assim como os problemas gerados por isso. Então, o governo federal 
subsidiará os testes da pesquisa com a aquisição de um equipamento, isto é, com o custo inicial e 
sua manutenção durante os cinco anos de sua vida útil no estudo. Considere que, ao final do quinto 
ano, esse equipamento que custou inicialmente R$20.000,00, já não terá valor. O laboratório e o 
governo fizeram as seguintes estimativas dos custos anuais de manutenção: Ano 1: R$1.500,00; 
Ano 2: R$800,00; Ano 3: R$600,00; Ano 4: R$550,00; Ano 5: R$455,00.
Aplicando uma taxa de juros de 8% ao ano, determine quanto o governo federal precisa repassar ao 
centro de pesquisa hoje para cobrir o custo total do seu estudo sobre tabagismo.
Infográfico
O infográfico a seguir apresenta o conceito e o objetivo da equivalência de capitais e os seus 
elementos no diagrama de tempo.
Conteúdo do livro
Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se 
seus valores presentes (valores atuais), numa determinada data focal, forem iguais. Aprofunde seus 
conhecimentos sobre a Equivalência de capitais no trecho extraído da obra Matemática Financeira: 
fundamentos e aplicações, de Wili Dal Zot e Manuela Longoni de Castro.
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 8
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
8.1 Conceito de equivalência de capitais
CONCEITO 8.1 Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes a uma 
determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma determi-
nada data focal, forem iguais.
Se os fluxos de caixa, a uma determinada taxa de juros, tiverem o mesmo valor presente 
(valor atual), então seus valores futuros, em qualquer n, a essa mesma taxa, serão iguais. 
Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equiva-
lentes em outras taxas.
O conceito de equivalência de capitais constitui um elemento-chave nas aplicações da 
Matemática Financeira. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de 
vista dos juros compostos, conforme Puccini (2009) ou apresentar-se também quanto à possi-
bilidade de se calcular por meio de juros simples (VIEIRA SOBRINHO, 2000; ASSAF NETO, 
2009). Neste livro, abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos.
Quando se usa a equivalência de capitais? O conceito de equivalência de capitais é uti-
lizado pelas instituições financeiras, empresas e pessoas, especialmente na administração 
dos fluxos de caixa, isto é, na compatibilização das entradas e saídas do dinheiro ao longo do 
tempo.
O ideal para qualquer agente econômico é que os pagamentos e recebimentos coinci-
dam em valor e vencimentos de modo a não faltar nem ter excessos de caixa. Quando ocor-
re uma falta de sintonia nos prazos e valores entre pagamentos e recebimentos os agentes 
tendem a realizar ações no sentido de minimizar esse desajuste. As situações mais frequen-
tes são:
 • Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida: um devedor pode 
solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida, se tiver dificuldade em pagar na-
quela data ou, ao contrário, pagar antecipadamente reduzindo juros caso tiver excesso 
de caixa no referido vencimento.
78 Matemática Financeira
 • Negociação ou troca de fluxos de caixa: para um banco, tanto os excessos de caixa como 
as faltas são dificuldades a serem evitadas; no primeiro caso, a existência de caixa signi-
fica dinheiro a ser remunerado a aplicadores sem receita correspondente, e no segundo 
caso, o banco deve recorrer a empréstimos para honrar os compromissos.
8.2 Valor atual ou valor presente de um fluxo de caixa
Considere um fluxo de caixa com termos R0, R1, R2, . . . , Rn−1, Rn vencendo nas datas focais, 
respectivamente, n0, n1, n2, . . . , nn−1, nn.
Uma representação gráfica podria ser dada por:
R0
R1
R2
Rn−1
Rn
. . .
O valor atual na data focal zero, VA0, é dado pela soma do valor atual de cada um de 
seus termos, como visto nas Equações (7.1) e (7.2):
ou
12
EXEMPLO 8.1 A partir do fluxo de caixa a seguir, deseja-se calcular1 o valor atual na 
data focal 0 (VA0), a uma taxa de juros2 de 10% ao ano:
Ano Valor corrente
0 −1.000,00
1 400,00
2 800,00
3 900,00
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
1 Como veremos, existe mais de uma maneira de calcular o valor atual de um fluxo de caixa, a determinadas taxa e 
data focal.
2 Quando não houver referência ao regime de juros nesse tipo de problema, deve-se considerar o uso de juros com-
postos.
Capítulo 8 Equivalência de capitais 79
Usando a calculadora.
 
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 −1.000,00 −1.000,00 ⇒−1.000,00
1 400,00
400,00
(1 + 0,10 )
400, 00 ENTER 1.1 ÷ ⇒ 363,63636
2 800,00
800,00
(1 + 0,10 )2
800,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 661,15702
3 900,00
900,00
(1 + 0,10 )3
900,00 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 676,18332
VA0 = ∑⇒ 700,9767. . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) pelo uso do recurso financeiro da calculado-
ra em cada um dos termos na fórmula:
Antes do uso dos recursos abaixo, acionar as seguintes teclas: e .
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 −1.000,00 −1.000,00 ⇒−1.000,0000 . . .
1 400,00
400,00
(1 + 0,10 )
400 CHS FV 1 n PV ⇒ 363,63636 . . .
2 800,00
800,00
(1 + 0,10 )2
800 CHS FV 2 n PV ⇒ 661,1570 . . .
3 900,00
900,00
(1 + 0,10 )3
900 CHS FV 3 n PV ⇒ 676,18332 . . .
VA0 = ∑⇒ 700,9767. . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) usando o recurso pré-programado para fluxos de 
caixa (cash-flow).
HP 12c
clear reg( f CLX )
1000 CHS C f0 ( g PV )
400 C fj ( g PMT )
800 C fj
900 C fj
10 i
NPV ( f PV )⇒ 700,9767092. . .
80 Matemática Financeira
EXEMPLO 8.2 A partir do fluxo de caixa a seguir, deseja-se calcular o valor atual na 
data focal 2 (VA2), a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano:
Ano Valor corrente
0 −1.000,00
1 400,00
2 800,00
3 900,00
REGRA DE OURO 8.1 Sempre que possível, deve-se reduzir os valores de um fluxo de 
caixa para o valor atual em uma data focal.
A partir do valor atual nessa data focal se chega ao valor atual em outras datas focais.
No exemplo anterior, já aplicamos a regra mencionada com o cálculo de VA0 = 700, 
9767092 . . ., logo
VA2 = VA0(1 + i)2 = 700,9767092 . . . × (1 + 0,10)2 ⇒ 848,18181818 . . .
Usando a calculadora. 700,9767092 . . . × (1 + 0,10)2
RPN ALG FIN
700,9767092. . . ENTER 700,9767092. . . × clearfin ( f X≷Y )
1.1 ENTER ( 1.1 700,9767092. . . PV
2 yx yx 10 i
× 2 = 2 n
⇒ 848,18181818. . . ⇒ 848,18181818. . . FV⇒−848,18181818. . .
8.3 Verificação de equivalência
Objetivo do exemplo: demonstrar quando dois fluxos de caixa são equivalentes entre si.
EXEMPLO 8.3 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano:
Ano Fluxo A Fluxo B
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Capítulo 8 Equivalência de capitais 81
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
A) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 0 0 ⇒ 0,00 . . .
1 110,00
110,00
(1 + 0,10)
110,00 ENTER 1.1 ÷ ⇒ 100,00 . . .
2 121,00
121,00
(1 + 0,10)2
121,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 100,00 . . .
3 532,40
532,40
(1 + 0,10)3
532,40 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 400,00 . . .
VAA0 = ∑⇒ 600,00 . . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
B) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 200,00 200,00 ⇒ 200,00 . . .
1 0 0 0,00 . . .
2 363,00
363,00
(1 + 0,10)2
363,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 300,00 . . .
3 133,10
133,10
(1 + 0,10)3
133,10 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 100,00 . . .
VAB0 = ∑⇒ 600,00 . . .
Fluxo A Fluxo B
clear reg clear reg
0 C f0 200 C f0
110 C fj 0 C fj
121 C fj 363 C fj
532.4 C fj 133.1 C fj
10 i 10 i
NPV ⇒ 600,00000 NPV ⇒ 600,00000
Por apresentarem os mesmos valores atuais em 0 (VA0
A = VA0
B = 600,00000), dizemos que 
os fluxos A e B, à taxa de juros de 10% ao ano, são equivalentes entre si.3
3 Nem sempre os valores são exatamente iguais. Algumas vezes apresentam uma pequena diferença que, pela sua 
insignificância, considera-se nula. Para efeitos didáticos, consideraremos diferenças inferiores a R$ 1,00 como nulas 
ou iguais a zero.
82 Matemática Financeira
Objetivo do exemplo: demonstrar que dois fluxos de caixa, equivalentes a uma determi-
nada taxa, não o são a outra taxa.
EXEMPLO 8.4 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de 
juros compostos de 20% ao ano:
Ano Fluxo A Fluxo B
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
A) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 0,00 ⇒ 0,000000000 . . .
1 110,00
110,00
(1 + 0,20)
110,00 ENTER 1.2 ÷ ⇒ 91,666666666 . . .
2 121,00
121,00
(1 + 0,20)2
121, 00 ENTER 1.2 ENTER
2 yx ÷ ⇒ 84,027777777 . . .
3 532,40
532,40
(1 + 0,20)3
532,40 ENTER 1.2 ENTER
3 yx ÷ ⇒ 308,101851852 . . .
VAA0 = ∑⇒ 483,796296297 . . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
B) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Capítulo 8 Equivalência de capitais 83
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 200,00 200,00 ⇒ 200,000000000 . . .
1 0 0 ⇒ 0,000000000 . . .
2 363,00
363,00
(1 + 0,20)2
363,00 ENTER 1.2 ENTER
2 yx ÷ ⇒ 252,083333333 . . .
3 133,10
133,10
(1 + 0,20)3
133,10 ENTER 1.2 ENTER
3 yx ÷ ⇒ 77,025462963 . . .
VAB0 = ∑⇒ 529,108796296 . . .
Usando a calculadora.
Fluxo A Fluxo B
clear reg clear reg
0 C f0 200 C f0
110 C fj 0 C fj
121 C fj 363 C fj
532.4 C fj 133.1 C fj
20 i 20 i
NPV ⇒ 483,796296296 NPV ⇒ 529,108796296
Por apresentarem valores atuais diferentes em 0 ( ), 
dizemos que os fluxos A e B, à taxa de juros de 20% ao ano, não são equivalentes entre si.
8.4 Tornando dois fluxos equivalentes entre si
Frequentemente os agentes econômicos se encontram em situações de desajuste de fluxos 
de caixa, ora concentrando pagamentos no curto prazo e recebimentos no longo prazo, ora o 
contrário. O ideal é que os prazos médios de recebimentos coincidam com os dos pagamen-
tos, mas isso é muito raro acontecer.
Uma das formas usuais de atenuar os desajustes de caixa é a negociação de fluxos de 
caixa, que ajuda a modificar a data de concentração (prazo médio) dos recebimentos ou pa-
gamentos (conforme o caso).
Como isso é feito?
Os fluxos de caixa, quando negociados, devem ser equivalentes entre si.
A primeira etapa da negociação é a definição do preço do dinheiro, ou seja, a taxa de ju-
ros. Uma vez definida a taxa de juros, calcula-se o valor atual de cada um dos fluxos de caixa.
Quando dois fluxos de caixa não são equivalentes a uma determinada taxa de juros, 
obtém-se a equivalência somando a diferença dos valores atuais dos fluxos ao valor corrente 
na data focal zero do fluxo de menor valor atual.
84 Matemática Financeira
A diferença DIF também pode ser somada em outras datas desde que considerada a 
capitalização dos juros, ou seja, caso a data focal escolhida seja 2, o valor a ser somado será 
DIF2 = DIF(1 + i)2.
Objetivo do exercício: ajustar diferenças entre fluxos de caixa de modo a torná-los equi-
valentes entre si.
Exercício 1: Verificar se os fluxos de caixa dos Bancos ITAI e HSBX a seguir são equivalentes, 
a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano. Se não houver equivalência, indicar qual é o 
fluxo que o banco com valor atual inferior deve apresentar, alterando a parcela na data focal 
zero.
Ano Banco ITAI Banco HSBX
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Como já conhecemos os resultados dos fluxos de caixa do Banco ITAI e do Banco HSBX 
(são idênticos e calculados à mesma taxa que os Fluxos A e B do exemplo anterior) temos 
que logo, a diferença entre os fluxos, a 
ser acrescentada na data focal zero do Banco ITAI, é dada por: 
 A troca entre os bancos deverá ser feita por
Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX
0 0 + 45,31 = 45,31 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Caso desejarmos tornar os fluxos equivalentes alterando, porém, o valor da data focal 
do ano 2, do Banco ITAI, devemos acrescentar àquele valor DIF2 = DIF0(1 + i)2 = 45, 3125 . . . 
(1 + 0,20)2 = 65,25 . . .
A troca entre os bancos deverá ser feita por
Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX
0 200,00
1 110,00
2 121,00 + 65,25 = 186,25 363,00
3 532,40 133,10
Tanto o exemplo anterior como este mostram situações de equivalência de capitais cujo 
valor atual, nos fluxos dos Bancos ITAI e HSBX, são iguais a 529,11.
Capítulo 8 Equivalência de capitais 85
Desafio: faça você mesmo a prova de verificação
Exercício 2: Considerando os fluxos de caixa dos Bancos NORTE e SUL, encontrar o valor de 
X para que os referidos fluxos sejam equivalentes a uma taxa de juros compostos de 25% ao 
ano. (Resposta: R$ 12.200,00.)
Ano Banco NORTE Banco SUL
0
1 12.000,00 16.000,00
2 14.000,00 X
3 16.000,00 12.000,00
8.5 Cálculo do fluxo equivalente
Objetivo dos exemplos: dado um fluxo conhecido, encontrar um outro equivalente com de-
terminadas características. Pode-se dividir as soluções de acordo com diferentes combina-
ções de fluxos:
 • Fluxos 1 × 1: tanto o fluxo que se tem como o que se deseja obter são fluxos de apenas 
um vencimento.
 • Fluxos n × 1: o fluxo conhecido tem mais de um vencimento, mas o que se deseja obter 
tem apenas um vencimento.
 • Fluxos n × n: ambos os fluxos têm mais de um vencimento.
8.5.1 Fluxos 1 � 1
EXEMPLO8.5 Um empresário deseja substituir uma dívida de R$ 3.500,00, que vence 
daqui a 6 meses, por outra com vencimento em 18 meses. Sabendo-se que o banco credor 
da dívida trabalha com uma taxa de juros de 3% ao mês, qual será o valor da dívida no 
novo vencimento proposto?
Dados:
S1 = 3.500,00
im = 3% (0, 03) a.m.
S2 =?
Solução:
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do professor
Aprenda mais sobre equivalência de capitais, com exemplos práticos, no vídeo a seguir.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Exercícios
1) Uma indústria de doces planeja uma nova linha e define o seu fluxo de caixa por 3 anos 
conforme a seguir: 
ANO Valor Corrente (R$)
0 -500,00
1 350,00
2 600,00
3 800,00
 
O gerente financeiro deseja saber o valor futuro deste fluxo ao seu término, a uma taxa de 
juros compostos de 15% ao ano. O valor desejado é: 
A) R$784,05
B) R$1.284,08
C) R$1.192,44
D) R$2.713,31
E) R$2.722,72
2) Uma empresa, em função de falta de dinheiro em caixa, substituiu uma série de 48 
pagamentos postecipados mensais iguais a R$ 300,00 por um pagamento único vencendo 
daqui a 2 anos. Sabendo que a taxa de juros compostos utilizada foi de 35% ao ano, marque 
a alternativa que apresenta o valor do novo pagamento único. 
A) R$1.562,14
B) R$857,14
C) R$8.279,86
D) R$15.090,04
E) R$6.421,30
3) O responsável pelas compras de uma loja de acessórios de carros recebeu 5 propostas de 
fornecedores para o mesmo produto. Considere os fluxos a seguir: 
Pode-se dizer que são equivalentes entre si, a uma taxa de juros de 10% ao ano, desprezando 
diferenças menores do que R$1,00: 
A) Os fluxos A e C são equivalentes entre si, com VP de R$2.500,00, e os fluxos B, D e E são 
equivalentes entre si, com VP de R$3.500,00.
B) Os fluxos A, B e C são equivalentes entre si com VP de R$2.500,00 e os fluxos D e E são 
equivalentes entre si com VP de R$5.500,00.
C) Não há fluxos equivalentes.
D) Todos os fluxos (A, B, C, D e E) são equivalentes entre si com VP de R$3.500,00.
E) Os fluxos A e B são equivalentes entre si com VP de R$2.500,00 e os fluxos C, D e E são 
equivalentes entre si com VP de R$3.500,00.
O Banco OESTE deseja competir com as opções de financiamento do seu maior concorrente, 
o banco LESTE. Observe a seguir os fluxos dos dois bancos: 
ANO BANCO LESTE BANCO OESTE
0 2.000,00 1.000,00
1 3.600,00 2.400,00
2 2.160,00 
3 4.300,00 5.184,00
 
4) 
Considerando-se uma taxa de juros de 15% ao ano, qual o valor de X no fluxo do Banco 
OESTE, para que o mesmo se torne equivalente ao fluxo do Banco LESTE?
A) R$3.095,52
B) R$1.904,10
C) R$4.093,80
D) R$6.495,52
E) R$9.591,04
5) Considere os fluxos de caixa dos Bancos NORTE e SUL:
ANO BANCO NORTE BANCO SUL
0 
1 12.000,00 16.000,00
2 14.000,00 X
 16.000,00 12.000,00
 
Com base nestes fluxos, qual deve ser o valor de X para que os referidos fluxos sejam 
equivalentes a uma taxa de juros compostos de 25% ao ano?
A) R$7.808,00
B) R$12.200,00
C) R$9.760,00
D) R$18.944,00
E) R$26.752,00
Na prática
Luísa está planejando o seu tão sonhado casamento, que será daqui a um ano, mas o orçamento é 
pequeno. Ela já fez a degustação em 5 buffets para a festa e gostou de 3. Agora deverá definir qual 
será contratado, tendo como padrão de escolha o fornecedor com o menor custo. A seguir, estão as 
condições de pagamentos oferecidas pelos 3 melhores buffets definidos pela noiva. Deve-se 
considerar que a taxa de juros praticada no mercado é 1,5% a.m.
Buffet Festão 
12 prestações mensais de R$550,00 com entrada.
Buffet Top 
R$7.000,00, sendo 30% de entrada e o restante em 10 parcelas mensais iguais.
Buffet Comida Certa 
R$3.500 de entrada e R$4.000 daqui a 12 meses.
Confira a seguir o cálculo do valor presente das três opções de buffet:
Conclui-se que o buffet a ser contratado, considerando-se o menor custo hoje, é o Buffet Festão, 
pois o valor presente do seu fluxo de pagamento é o menor.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Matemática financeira - Equivalência de capitais
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