Equivalência de capitais

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Adriana Claudia Schmidt
Equivalência de capitais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Reconhecer os conceitos de equivalência de capitais. 
  Calcular o valor atual de um fluxo de caixa, a uma determinada taxa 
e em uma determinada data.
  Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixa, 
ajustando as diferenças entre eles de modo a torná-los equivalentes 
entre si.
Introdução
O conhecimento da equivalência financeira de capitais se estabelece nos 
conceitos básicos da matemática financeira, sendo necessária a substi-
tuição de uma ou mais obrigações financeiras por outras obrigações, 
com datas diferentes de vencimentos das anteriores, sem perda para 
credores ou devedores. Essas situações podem ser abordadas, entendidas 
e resolvidas por meio da equivalência financeira de capitais. 
Neste capítulo, você estudará as operações financeiras que propor-
cionam precisão para antecipar ou postecipar títulos.
Definições de equivalências de capitais
A equivalência de capitais aborda as operações fi nanceiras que possuem a 
função de adiantar ou prorrogar títulos. Conforme Almeida (2016), a equi-
valência de capitais representa a substituição de um título por outro(s) com 
vencimento(s) diferente(s). Portanto, é preciso determinar o valor de um título 
quando este necessita ser antecipado ou postecipado, ou, ainda, substituído por 
outro título, cujo valor represente o equivalente àquele original, considerando-
-se uma dada taxa. A data considerada como base de comparação dos valores 
que se referem a diferentes datas é denominada data focal, também chamada 
de data de avaliação ou data de referência (VEIGA, 2014).
A equivalência de capitais é empregada principalmente por instituições 
financeiras, empresas e pessoas, principalmente ao se tratar das entradas e 
saídas de dinheiro ao longo do tempo. Para Dal Zot e Castro (2015), o ideal 
para qualquer agente econômico é que os pagamentos e recebimentos coinci-
dam em valor e vencimentos, de modo a não faltar nem ter excessos de caixa. 
Quando ocorre uma falta de sintonia nos prazos e valores entre pagamentos 
e recebimentos, os agentes tendem a realizar ações no sentido de minimizar 
esse desajuste. 
A equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, 
podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Para Dal Zot e Castro 
(2015, p. 77), as situações mais frequentes são:
• Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida: um 
devedor pode solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida, se tiver 
dificuldade em pagar naquela data ou, ao contrário, pagar antecipadamente 
reduzindo juros caso tiver excesso de caixa no referido vencimento;
• Negociação ou troca de fluxo de caixa: para um banco, tanto os excessos de 
caixa como as faltas são dificuldades a serem evitadas; no primeiro caso, 
a existência de caixa significa dinheiro a ser remunerado a aplicadores 
sem receita correspondente, e no segundo caso, o banco deve recorrer a 
empréstimos para honrar os compromissos.
Na resolução das expressões matemáticas de equivalência de capitais, 
deve-se considerar o fato de o regime de capitalização ser de juros simples ou 
compostos, bem como é importante saber se o critério do desconto estabelecido 
é comercial ou racional.
Se a questão não apontar o regime a ser considerado, deverá ser empregado o regime 
de juros compostos, e se não for estabelecido o critério a ser utilizado, deverá ser 
utilizado o critério de desconto racional.
Equivalência de capitais2
Valor presente na equivalência de capitais 
simples e compostos
Para melhor compreensão do processo de equivalência de capitais, os cálculos 
podem ser feitos por meio de equações, das funções da máquina fi nanceira HP-
-12c e da planilha eletrônica Excel. As questões que se referem à troca de títulos 
podem ser defi nidas pelos dois regimes de capitalização: simples e composto.
Equivalência de capitais — juros simples
No sistema de capitalização simples, dois ou mais capitais são equivalentes se 
os seus valores calculados nessa data, com essa taxa, forem iguais. A data é 
chamada de data focal ou de equivalência. Conforme Veras (2005), no regime de 
capitalização simples, se dois (ou mais) capitais são equivalentes, é necessário 
que se declare, além da data focal e da taxa utilizada, o tipo de equivalência, por 
se tratar de capitais equivalentes com desconto comercial simples ou capitais 
equivalentes com juros simples (ou desconto racional simples).
Se a data focal for anterior às datas de disponibilidade dos capitais que 
estão sendo analisados, os valores estimados na data focal são chamados de 
valor atual ou valor presente, geralmente representados por A. Quando a data 
focal sucede às datas em que os capitais são disponibilizados, seus valores são 
chamados de valores futuros ou nominais, representados por N.
A Equação 1, a seguir, apresenta o cálculo de equivalência de capitais com 
desconto comercial simples na data 0, com taxa i:
 N1 (1 – in1) = N2 (1 – in2) (1)
Se, nessa mesma data e com essa mesma taxa, os capitais são equivalentes 
com juros simples ou desconto racional simples, o cálculo deve ser feito de 
acordo com a Equação 2:
 (2)
3Equivalência de capitais
Para melhor compreensão dessas aplicações, observe os Exemplos 1 e 2, 
a seguir.
Exemplo 1
João é portador de um título de R$ 20.000,00, para 90 dias, e trocou-o por 
outro no valor de R$ 15.000,00, para 30 dias. Calcule a taxa mensal de desconto 
comercial simples utilizada nessa troca.
Para o cálculo dessa taxa, por ser desconto comercial simples, utiliza-se 
a Equação 1:
N1 (1 – in1) = N2 (1 – in2)
20.000(1 – i ∙ 3) = 15.000(1 – i ∙ 1)
20.000 – 60.000i = 15.000 – 15.000i
–60.000i + 15000i = 15.000 – 20.000
–45.000i = –5.000 (–1)
45.000i = 5.000
i = 0,1111 × 100 = 11,11% ao mês
Observe, no Exemplo 2, como seria se a troca do título do Exemplo 1 fosse 
realizada com juros simples.
Exemplo 2
João é portador de um título de R$ 20.000,00, para 90 dias, e trocou-o por 
outro no valor de R$ 15.000,00, para 30 dias. Calcule a taxa mensal de desconto 
racional ou juro simples utilizada nessa troca.
Para o cálculo dessa taxa, por ser desconto racional simples, utiliza-se a 
Equação 2:
Equivalência de capitais4
20.000 + 20.000i = 15.000 + 45.000i
20.000i – 45.000i = 15.000 – 20.000
–25.000i = – 5.000i (–1)
25000i = 5.000
i = 0,20 × 100 = 20% ao mês
Conforme Veras (2005), se a data focal é posterior às datas de disponibili-
dade dos capitais (ou posterior a uma delas), os valores que serão calculados 
na data focal serão valores futuros (ou um deles será). No entanto, podem-se 
estabelecer condições para que sejam equivalentes não só com juros simples, 
mas também com desconto comercial simples. Lembre-se de que o desconto 
racional simples é calculado sobre o valor nominal N (valor futuro), ao passo 
que o desconto comercial simples é calculado sobre o valor atual A.
A Equação 3, a seguir, apresenta a equivalência calculada com desconto 
simples:
 (3)
E a Equação 4 apresenta a equivalência calculada com juros simples:
 A1 (1 + in1) = A2 (1 + in2) (4)
Observe, nos Exemplos 3 e 4, a aplicabilidade dessas equações.
5Equivalência de capitais
Exemplo 3
Paulo tinha dois títulos de mesmo valor nominal vencíveis na mesma data, porém 
precisou de dinheiro e descontou um deles 23 dias antes do vencimento, recebendo 
R$ 206.000,00. Ele está novamente precisando de dinheiro e quer descontar o outro, 
faltando 11 dias para o vencimento. Quanto Paulo irá receber por ele, se a taxa é 
igual para os dois títulos, com taxa de 0,7% a.d. de desconto comercial simples?
i = 0,7% a.d. deve ser transformada em taxa decimal, então tem-se 0,7% 
÷ 100 = 0,007.
0,8390A2 = 190.138
A2 = 226.624,55
Observe, no Exemplo 4, a mesma situação, porém com desconto racional.
Exemplo 4
Paulo tinha dois títulos de mesmo valor nominal vencíveis na mesmadata, 
porém precisou de dinheiro e descontou um deles 23 dias antes do vencimento, 
recebendo R$ 206.000,00. Ele está novamente precisando de dinheiro e quer 
descontar o outro, faltando 11 dias para o vencimento. Quanto Paulo irá re-
ceber por ele, se a taxa é igual para os dois títulos, com taxa de 0,7% a.d. de 
desconto racional simples?
i = 0,7% a.d. deve ser transformada em taxa decimal, então tem-se 0,7% 
÷ 100 = 0,007.
A1(1 + in1) = A2 (1 + in2)
206.000(1 + 0,007.23) = A2(1 + 0,007 · 11)
206.000 + 33.166 = A2 + 0,077A2
1,077A2 = 239.166
A2 = 222.066,85
Equivalência de capitais6
Equivalência de capitais — juros compostos
A grande maioria das operações fi nanceiras é realizada a partir do critério de 
capitalização composta. Conforme Almeida (2016), dois capitais com datas de 
vencimento determinadas são equivalentes quando, em uma mesma data, à mesma 
taxa de juros, apresentam valores iguais. Contrariamente ao que foi verifi cado no 
regime de juros simples, a equivalência de capitais em juros compostos pode ser 
defi nida para qualquer data focal. Assim, dois ou mais valores nominais equiva-
lentes sob o critério de juros sobre juros, em certa data focal, são equivalentes em 
qualquer data focal. Ou seja, no regime de capitalização composta, a equivalência 
fi nanceira independe do momento tomado como comparação.
Além disso, no regime de capitalização composto, podem-se ter capitais 
equivalentes com desconto comercial ou capitais equivalentes com juros 
compostos (ou desconto racional composto), conforme a sistemática de cálculo 
utilizada na equivalência (VERAS, 2005). Na prática, apenas a equivalência 
com juros compostos é utilizada.
Observe, na Equação 5, o cálculo para a equivalência com desconto co-
mercial composto:
 (5)
onde:
  N1 e N2 = capitais disponíveis em datas que sucedem à data focal 0;
  n1 e n2 = períodos;
  A1 e A2 = valores atuais calculados na data focal com taxa a i.
Para a equivalência feita com juros compostos, tem-se:
ou ainda (Equação 6):
 (6)
Além disso, é possível ter a data focal posterior às datas de disponibilidade 
dos capitais. Se A1 e A2 estão disponíveis n1 e n2 períodos antes da data focal 
n e N1 e N2, os valores são calculados na data focal com taxa i. 
7Equivalência de capitais
Aos capitais equivalentes com desconto comercial composto, aplica-se a 
Equação 7:
 (7)
A Equação 8 é aplicada para a equivalência feita com juros compostos:
 (8)
Equivalência entre conjuntos de capitais 
Na capitalização composta, dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes 
com uma dada taxa se as adições dos valores dos capitais de cada um desses 
conjuntos, calculados com a mesma taxa, em uma data qualquer, forem iguais. 
Conforme Dal Zot e Castro (2015), o valor atual, representado por PV, VA ou A, 
na data focal zero é dado pela soma do valor atual de cada um de seus termos, 
os quais podem ser representados por N, R ou PMT. Neste capítulo, por se tratar 
de prestações, utilizaremos PMT, cuja representação na máquina HP-12c é:
ou
Observe, Exemplo 5, como encontrar as prestações tendo o valor atual.
Exemplo 5
Uma televisão custa R$ 8.600,00 e pode ser comprada em 4 prestações mensais 
iguais, sendo a primeira paga na data da compra. Qual o valor de cada pres-
tação se a equivalência for feita a uma taxa de 6% a.m. de juros compostos?
Equivalência de capitais8
N(1 + 0,06)0 + N(1 + 0,06)–1 + N(1 + 0,06)–2 + N(1 + 0,06)–3 = 8.600
N + 0,9434N + 0,8899N + 0,8396N = 8.600
3,6729N = 8.600
N = 2.341,47
Lembre-se de que tanto na capitalização simples como na composta outras notações 
de variáveis e equações podem ser utilizadas. Nas equações, é possível utilizar um 
somatório, assim como resolver os cálculos separadamente e, depois, somá-los.
O Exemplo 6, a seguir, demonstra como calcular o valor atual de um fluxo 
de caixa.
Exemplo 6
A partir do fl uxo de caixa a seguir, deseja-se calcular o valor atual na data 
focal 0 (A), a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano.
Ano Valor corrente
0 –1.000
1 500
2 600
3 800
Substituindo os dados da tabela na equação e transformando a taxa per-
centual em decimal (15% ÷ 100), tem-se:
9Equivalência de capitais
A = –1.000 + 434,78 + 453,69 + 526,01
A = 414,48
Há diferentes maneiras para se calcular o fluxo de caixa do Exemplo 6 na HP-12c. 
Observe, a seguir, dois formatos de resolução:
f fin f reg (limpa a memória)
1.000 CHS ENTER g CFo
500 ENTER G CFj
600 ENTER G CFj
800 ENTER G CFj
15 i
f NPV
414,48
Análise da equivalência de capitais
A equivalência de capitais em juros simples ocorre quando um ou mais ca-
pitais em suas respectivas datas são transportados para uma data comum, a 
uma determinada taxa, produzindo resultados iguais. Os cálculos podem ser 
resolvidos com as equações usuais do juro simples, sendo que, na equivalência 
de capitais, utilizamos o N no lugar do FV e o A no lugar do PV:
 N1 = A1(1 + in), N2 = A2(1 + in)...
 , 
Equivalência de capitais10
onde:
  N = valor nominal, valor da dívida;
  A = valor atual;
  i = taxa de juros;
  n = tempo, número de períodos.
Observe, no Exemplo 7, a verificação da equivalência de capitais.
Exemplo 7
Verifi que se o capital de R$ 4.320,00, com vencimento para 4 meses, é equi-
valente ao capital de R$ 4.680,00, com vencimento para 6 meses, com uma 
taxa linear de 5% a.m., na data focal 0, ou seja, na data de hoje.
Como há dois valores nominais a vencer em certa data, à mesma taxa de 
juros, é preciso encontrar o valor atual; a taxa de juros deve ser transformada 
em decimal: 5% ÷ 100 = 0,05. Assim, tem-se:
 
 
Logo, os capitais são equivalentes nas respectivas datas focais.
A equivalência composta é idêntica aos juros simples quando dois ou mais 
capitais equivalentes, em suas determinadas datas e taxa de juros, proporcio-
nam, em uma mesma data focal, resultados iguais. 
No Exemplo 8, verifica-se a equivalência no fluxo de caixa a juros 
compostos.
11Equivalência de capitais
Exemplo 8
Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao semestre.
Semestre Fluxo 1 Fluxo 2
0 400,00
1 220,00
2 242,00 726,00
3 1.064,80 266,20
Para calcular os dois fluxos, substitui-se os valores na equação do valor 
atual, utilizando a taxa decimal (10% ÷ 100 = 0,10):
Fluxo 1:
A = 0 + 200 + 200 + 800
A = 1.200,00
Fluxo 2:
A = 400 + 0 + 600 + 200
A = 1.200,00
Como os fluxos de caixa 1 e 2 apresentaram os mesmos valores atuais à 
mesma taxa de juros, diz-se que os fluxos são equivalentes entre si.
Equivalência de capitais12
Nem sempre os valores são exatamente iguais. Conforme Dal Zot e Castro (2015), às 
vezes os valores apresentam uma pequena diferença, que, devido à sua insignificância, 
é considerada nula. 
O Exemplo 9, a seguir, demonstra que um fluxo de caixa pode ser equiva-
lente entre si com uma taxa, mas pode não ser equivalente com a outra taxa.
Exemplo 9
Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de juros 
compostos de 20% ao semestre.
Semestre Fluxo 1 Fluxo 2
0 — 400,00
1 220,00 —
2 242,00 726,00
3 1064,80 266,20
Para calcular os dois fluxos, substitui-se os valores na equação do valor 
atual, utilizando a taxa decimal (20% ÷ 100 = 0,20):
Fluxo 1:
A = 0 + 183,33 + 168,06 + 616,20
A = 967,59
13Equivalência de capitais
Fluxo 2: 
A = 400 + 0 + 504,17 + 154,05
A = 1.058,22
Como os fluxos de caixa 1 e 2 não apresentaram os mesmos valores atuais a 
uma taxa de juros 20% a.s., diz-se que os fluxos não são equivalentes entre si.
Como visto no Exemplo 9, os fluxos não são equivalentes. Conforme Dal Zot e 
Castro (2015), quando dois fluxos de caixa não são equivalentes a uma determinada 
taxa de juros, obtém-se a equivalência somando a diferença dos valores atuais 
dos fluxos ao valor corrente na data focal zero do fluxo de menor valor atual.
Além disso, a diferença, DIF, também pode ser somada em outras datas, desde 
que considerada a capitalização dos juros, ou seja, caso a data focal escolhida 
for2, o valor a ser somado será DIF2 = DIF(1 + i)
2 (DAL ZOT; CASTRO, 2015).
No Exemplo 10, serão ajustados os fluxos de caixa do Exemplo 9, a fim 
de torná-los equivalentes entre si.
Exemplo 10
Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de juros 
compostos de 20% ao semestre.
Semestre Fluxo 1 Fluxo 2
0 — 400,00
1 220,00 —
2 242,00 726,00
3 1064,80 266,20
Como os cálculos foram resolvidos no Exemplo 9, sabe-se que os fluxos 
de caixa 1 e 2 não são equivalentes entre si. Agora, calcule a diferença entre 
eles, a fim de torná-los equivalentes:
Equivalência de capitais14
DIF0 = A
2
0 – A
1
0
DIF0 = 1058,22 – 967,59
DIF0 = 90,63
Logo, os fluxos de caixas deverão ser reajustados.
Semestre Fluxo 1 Fluxo 2
0 0 + 90,63 = 90,63 400,00
1 220,00 —
2 242,00 726,00
3 1064,80 266,20
Dessa forma, os fluxos 1 e 2 tornam-se iguais a R$ 1.058,22
São inúmeras as possibilidades de combinações entre capitais para realizar 
a equivalência. Neste capítulo, foram apresentados alguns conceitos, os quais 
devem ser avaliados e aprofundados, uma vez que são muito úteis no dia a dia 
em diversas transações financeiras. 
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
VEIGA, S. A. Matemática financeira. Taubaté: Universidade de Taubaté, 2014.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
Leituras recomendadas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
CAMARGOS, M. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise de 
investimentos. São Paulo: Saraiva, 2013.
HOJI, M. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. 
15Equivalência de capitais
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