AULA_2

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Objetivos
Módulo 1
Séries de pagamentos
Categorizar séries de pagamento uniformes.
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Módulo 2
Sistema de amortização Price
Identificar as relações entre juros e amortização no sistema de amortização francês (Price).
Sistemas de Amortização
Colaboração
Prof. Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
Prof. Gustavo Araújo
Descrição
Sistemas de amortização com fluxos de caixa compostos por séries de pagamentos uniformes.
Propósito
Analisar séries de pagamentos uniformes e os principais sistemas de amortização de dívidas utilizados no mercado para
avaliação e tomada de decisão em financiamentos e estratégias de investimento. 
Preparação
Antes de iniciar, tenha em mãos uma calculadora capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação e
logaritmos.
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Módulo 3
Sistema de amortização constante
Definir as relações entre juros e amortização no sistema de amortização constante (SAC).
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Módulo 4
Outros sistemas de amortização
Reconhecer outros sistemas de amortização usualmente utilizados. 
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Introdução
No momento de financiarmos um veículo, fazermos uma compra parcelada ou adquirirmos um financiamento imobiliário, utilizamos um sistema de
amortização da dívida, ou seja, uma regra que define como será feito o pagamento de juros e amortização ao longo do tempo. Cada sistema tem
suas características específicas que podem gerar amortizações mais rápidas ou mais lentas e, consequentemente, mais ou menos pagamentos de
juros no futuro. O objetivo desse estudo é ensinar as diferenças entre esses sistemas de amortização e seus respectivos cálculos financeiros.
Neste conteúdo, falaremos das séries de pagamentos uniformes e suas diversas classificações. Calcularemos seus valores presente e futuro e
compararemos séries distintas a partir deles. Mais adiante, discutiremos sobre o sistema de amortização de dívidas mais utilizado atualmente: o
Price (ou francês). Esse sistema prevê pagamentos uniformes até a extinção do saldo devedor. Em seguida, conheceremos outro sistema de
amortização de dívidas muito importante: o sistema de amortização constante (SAC), que tem como vatagem sobre o Price o fato de exigir menos
pagamentos de juros, ainda que os valores iniciais das parcelas possam ser bastante elevados.
Bons estudos!
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1
Séries de pagamentos
Ao final deste módulo, você será capaz de categorizar séries de pagamento uniformes.

Classi�cação de séries de pagamentos
Uma série de pagamentos é simplesmente um fluxo de entradas de caixas que se estende ao longo do tempo. Esses pagamentos podem:

Ser (ou não) iguais

Estar (ou não) igualmente espaçados no tempo
As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com:
1. Periodicidade;
2. Prazo;
3. Valor das entradas de caixa;
4. Início da série;
5. Momento do pagamento.

Periodicidade
As séries de pagamentos classificadas de acordo com a periodicidade podem ser:
Periódicas
As entradas de caixa são igualmente espaçadas no tempo.
Prazo
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o prazo podem ser:
Finitas
Sua duração é limitada.
Valor das entradas de caixa
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o valor das entradas de caixa podem ser:
Constantes
T d l d t d d i ã i i
Variáveis
Nem todos os valores são iguais.
Início da série
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o início da série podem ser:
Diferidas
O pagamento ocorre após o primeiro período.
Momento do pagamento
Quanto ao momento, as séries de pagamentos podem ser:
Antecipadas
O pagamento é devido no início do período ao qual ele se refere.
Postecipadas
O pagamento é realizado no final do período a que se refere.
Observe o exemplo a seguir:
Em relação aos pagamentos, esta figura indica uma série:
Periódica (eles estão igualmente espaçados);
Finita (ela é limitada a sete pagamentos);
Constante (todos eles são iguais);
Diferida (o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período).
Sobre o primeiro pagamento, a figura ainda pode ser classificada como:
Antecipada (se ele se referir ao terceiro período, que começa no ponto 2 e termina no 3).
Postecipada (caso ele se refira ao segundo período, que tem início no ponto 1 e termina no 2).
Na segunda figura, por sua vez, temos uma série:
Periódica (pagamentos igualmente espaçados).
Infinita (eles se perpetuam indefinidamente).
Constante (todos são iguais).
Imediata (o primeiro pagamento é no primeiro período).
Antecipada (ele se refere ao mesmo período).
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Séries uniformes
Séries uniformes �nitas
As séries uniformes são periódicas e constantes, ou seja, todos os pagamentos possuem o mesmo valor e estão igualmente espaçados.
Vamos analisar o exemplo a seguir:
Consideremos que a série representada acima seja uma imediata e postecipada (primeiro pagamento ao final do primeiro período). Se utilizarmos
uma taxa de juros i, o valor presente (VP) dela poderá ser obtido trazendo cada um dos fluxos da série para o instante 0. Assim:
Rotacione a tela. 
A sequência de termos no lado direito da equação acima constitui uma progressão geométrica (PG) de razão:
Rotacione a tela. 
E primeiro termo igual a:
V P =
P
1 + i
+
P
(1 + i)2
+
P
(1 + i)3
+ ⋯ +
P
(1 + i)n−1
+
P
(1 + i)n
q =
1
1 + i
Rotacione a tela. 
Usando a expressão abaixo para a soma dos termos de uma PG, temos:
E, finalmente, chegamos à seguinte fórmula:
Rotacione a tela. 
Esta fórmula representa o valor de um fluxo único no instante 0, que, por sua vez, é equivalente, sob uma taxa de juros i, à série de pagamentos
inicial. Ou seja, realizar todos os n pagamentos de valor igual a P da série é o mesmo que fazer um único pagamento de valor igual a VP no instante
0.
O termo que multiplica P na fórmula do valor presente é chamado fator de valor atual de uma série de pagamentos, sendo representado da seguinte
forma:
Rotacione a tela. 
O fator de valor atual costuma ser tabelado para diversos valores de n e de i conforme indica a tabela a seguir:
a0 =
P
1 + i
S =
a0 × (qn − 1)
q − 1
V P =
p
1+i × [(
1
1+i )
n
− 1]
1
1+i − 1
V P =
P
1+i × [
1−(1+i)n
(1+i)n
]
1−(1+i)
1+i
V P =
P × [ 1−(1+i)
n
(1+i)n ]
−i
V P = P ×
(1 + i)n − 1
i × (1 + i)n
an¬i =
(1 + i)n − 1
i × (1 + i)n
n\i 1% 2% 3% 4% 5%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735
Tabela: Fatores de valor atual de uma série de pagamentos .
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Assim, para calcular o valor presente de uma série uniforme como a do nosso exemplo, basta procurar o fator de valor atual na tabela e multiplicá-lo
por P.
Vejamos um exemplo numérico:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme:
an¬i
Consultando a tabela na coluna correspondente a i = 10% e na linha que corresponde a n = 9, podemos achar o valor de .
n\i 1% 2% 3% 4% 5%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821
V P = P ×
(1 + i)n − 1
i × (1 + i)n
V P = P × an¬i
V P = 1.000 × a9¬10%
a9¬10% = 5, 759024
n\i 1% 2% 3% 4% 5%
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,1108967,721735
Tabela: Fatores de valor atual de uma série de pagamentos .
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Assim, temos:
Este valor pode ser interpretado como um único fluxo no instante 0, que equivaleria à série com todos os pagamentos. Pode-se concluir que um
investimento que promete pagar a série de pagamentos do exemplo vale atualmente R$5.759,02.
Se algum investidor aplicar nesse investimento, ele obterá o seguinte fluxo de caixa:
Ou seja, ele terá um desembolso inicial com o investimento no instante 0 (seta vermelha para baixo), recebendo, a partir daí, nove pagamentos de
1.000 ao término de cada um dos nove períodos. Isso lhe dará um rendimento de 10% a.p. na sua aplicação.
Poderíamos ter feito esses cálculos usando outras ferramentas mais modernas que as tabelas �nanceiras.
Vejamos como essa conta seria realizada com a HP 12C:
an¬i
V P = 1.000 × 5, 759024 = 5.759, 02
O visor da calculadora deverá indicar isto:
Seu valor é negativo, pois a HP 12C considera o sinal do VP sempre oposto ao do valor de PMT. Tente agora repetir esse procedimento inserindo o
valor de -1.000 para PMT. Você viu o que acontece?
1º passo 
2º passo 
3º passo 
4º passo 
5º passo 
6º passo 
Se liga na dica! 
Se formos usar o Excel, podemos empregar a função “VP”:
Também é possível calcular o valor futuro da série ao se levar o valor presente até a data do último pagamento, ou seja, o instante n. Obtemos, neste
caso, a seguinte fórmula:
Rotacione a tela. 
Substituindo o valor de VP que calculamos antes, temos isto:
Em que corresponde ao fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos que também pode ser obtido por intermédio de uma
tabela.
V F = V P × (1 + i)n
V F = P ×
(1 + i)n − 1
i × (1 + i)n
× (1 + i)n
V F = P ×
(1 + i)n − 1
i
V F = P × sn¬i
Sn¬i
n\i 1% 2% 3% 4% 5%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631
6 6,152015 6,308121 6,488410 6,632975 6,801913
7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008
8 8,285670 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109
9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564
10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 12,577892
Tabela: Fator de valor atual de uma série de pagamentos .
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
No exemplo anterior, o valor futuro seria dado por:
A série que acabamos de estudar era uma imediata postecipada, pois o pagamento relativo ao primeiro período ocorreu no final dele. Esse
aprendizado torna o cálculo do valor presente para a série imediata antecipada uma tarefa bem simples.
Observemos este exemplo:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme antecipada:
Sn¬i
V F = 1.000 × s9¬10%
V F = 1.000 × 13, 579477 = 13.579, 48
Podemos interpretar a antecipada acima como uma série postecipada de oito pagamentos (setas verdes) mais um pagamento igual a P no instante
inicial (seta vermelha).
Dessa forma, seu valor presente será dado por:
Podemos fazer algo semelhante para o cálculo do valor de séries diferidas. Observe o exemplo a seguir:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme diferida:
V P = 1000
V P  de seta vermelha 
+ 1000xa8¬10%
V P  das setas verdes 
 
V P = 1.000 + 1.000 × 5, 334926
V P = 6.334, 93
Podemos interpretar a diferida acima como uma série postecipada de nove pagamentos cujo instante inicial é o ponto 1. Se calcularmos seu valor
presente pela fórmula, acharemos um fluxo equivalente no instante 1.
Agora basta trazermos esse valor para o instante 0:
Séries uniformes in�nitas
As séries uniformes finitas possuem um número ilimitado de entradas de caixa. O fluxo a seguir representa uma imediata postecipada:
V Pt=1 = 1.000 × a9¬10%
V P  de uma série postecipada iniciando em t=1

V Pt=1 = 1.000 × 5, 759024
V Pt=1 = 5.759, 02
V P =
5.759, 02
1 + 10%
V P = 5.235, 47
O valor presente desse fluxo infinito é dado pela seguinte expressão:
Rotacione a tela. 
Vejamos o exemplo a seguir:
Qual é o valor presente da seguinte perpetuidade?
V P =
P
i
Usando a fórmula, temos o seguinte cálculo:
Para uma série antecipada, basta somar ao valor acima os 1.000 que foram pagos no instante 0.
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Mão na massa
Questão 1
Indique o valor presente de uma série uniforme finita, imediata e postecipada com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma taxa de juros de 1%
a.m.
V P =
1.000
10%
= 10.000
V P = 1.000 +
1.000
10%
= 11.000

A 473,57
B 470,00
C 474,50
D 481,01
E 475,20
Responder
Questão 2
Aponte o valor presente de uma série uniforme finita, imediata e antecipada com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma taxa de juros de 1%
a.m.
Questão 3
Diga o valor presente de uma série uniforme finita, postecipada e diferida de dois períodos com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma taxa de
juros de 1% a.m.
A 464,24
B 478,30
C 474,50
D 481,01
E 475,50
Responder
A 464,24
B 471,12
C 472,54
D 479,01
Questão 4
Qual é o valor presente de uma série uniforme finita, postecipada e diferida de um período com 20 pagamentos mensais de R$ 200 a uma taxa
de juros de 3%a.m.?
Questão 5
Qual o valor presente de uma série uniforme infinita com pagamentos mensais ilimitados de R$50 a uma taxa de juros de 1,25% a.m.?
E 465,50
Responder
A R$ 2975,49
B R$ 2888,83
C R$ 4000,00
D R$ 2804,69
E R$ 2588,83
Responder
A 4.115,28
B 3.998.17
Questão 6
Considere uma série com pagamentos mensais ilimitados. A taxa de juros é de 1% ao mês, enquanto o valor presente é de R$4.000,00. Indique
o valor do pagamento mensal.
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C 4.100,00
D 4.000,00
E 3.950,00
Responder
A 40,00
B 41,12
C 42,52
D 49,31
E 39,00
Responder
Observaremos, por fim, um exemplo de cálculo de taxa de juros.
Sistemas de amortização
Assista ao vídeo para reforçar seu aprendizado.
Exemplo
Após poupar parte de sua renda por anos, João conseguiu juntar R$50.000,00. Ele pensa em colocar seu dinheiro em uma aplicação
financeira que renda 0,5% ao mês. Um amigo, porém, garante que ele pode comprar, com essa quantia, uma perpetuidade que paga R$200
mensais, o que seria mais vantajoso.
João fica confuso, pois não conhece termos técnicos e não sabe o que é uma perpetuidade. Agora que acabou de estudar este módulo,
você pode ajudá-lo.
Para isso, basta aplicar a fórmula da perpetuidade ligeiramente reorganizada para o cálculo da taxa de juros da perpetuidade:
Ou seja, a perpetuidade gera um retorno de apenas 0,4%, índice inferior ao 0,5% que João pode obter com a aplicação financeira.

V P =
P
i
=> i =
P
V P
=
200
50.000
= 0, 4%

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Questão 1

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme, imediata e postecipada que é composta de cinco parcela mensais de R$ 20.000
e uma taxa de juros de 5% a.m. Para isso, utilize 
Questão 2
Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme infinita imediata e postecipada que seja composta de pagamentos mensais
perpétuos iguais a R$20.000 com uma taxa de juros de 5% a.m.
a5¬5% = 4, 329476
A 85.000,00
B 84.577,20
C 86.589,52
D 44.993,22
E 88.577,20
Responder
A 400.000,00
B 424.855,34
C 253.232,94
D 384.739,52
E 200.000,00
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2
Sistema de amortização Price
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar as relações entre juros e amortização no sistema de amortização francês (Price).
Responder
Sistema de amortização francês (Price)
Quando alguém toma um empréstimo em um banco, o valor recebido é chamado de principal. Para quitar a dívida, é necessário devolver o principal
mais os juros da operação. A maneira como são estruturados os pagamentos de ambos é conhecida como um sistema de amortizaçãode dívidas.
Um dos sistemas mais conhecidos e utilizados para isso é o francês (ou Price). Nele, todas as parcelas de pagamento são iguais, formando uma
série uniforme finita. O fluxo de caixa do tomador de empréstimo, portanto, teria a seguinte forma:
No instante inicial, quem pegou o empréstimo recebe o principal, passando a efetuar pagamentos uniformes a partir do próximo período até quitar
toda a dívida.
Como o principal deve ser equivalente ao valor presente do fluxo de pagamentos, nós, lembrando as séries uniformes finitas, aplicaremos a seguinte
fórmula:
Rotacione a tela. 
Com ela, poderemos calcular o valor dos pagamentos periódicos:
 Principal  = Pmt ×
(1 + i)n − 1
i × (1 + i)n
Rotacione a tela. 
Note que o termo a multiplicar o principal na fórmula acima é o inverso do fator de acumulação de capital de uma série finita:
Rotacione a tela. 
Exemplo:
João comprou um imóvel: na compra, ele financiou o valor de R$ 100.000 no sistema Price a ser quitado em 50 parcelas mensais com uma taxa de
1% a.m. Considerando , calcule o valor das prestações mensais que ele deverá pagar.
Para isso, podemos utilizar a fórmula que acabamos de estudar:
João, assim, vai ter de pagar 50 prestações de R$2.551,27 para quitar seu financiamento de R$100.000,00. Se somarmos os valores de todos os
pagamentos realizados por ele, teremos o seguinte resultado:
Vemos, então, que João, além de pagar o valor do principal correspondente a R$100.000,00, ainda vai precisar desembolsar mais R$27.563,50 a
título de juros.
Vejamos agora como os pagamentos de juros e do principal se distribuem entre as prestações. Para isso,
voltaremos ao exemplo de João.
No instante inicial, ele recebeu os R$100.000,00, passando a ter um saldo devedor do mesmo valor com o banco. Após um mês, um juro de 1%
passa a incidir sobre essa quantia. Desse modo, João passa a dever:
Neste momento, ele paga a primeira parcela de R$2.551,27; assim, seu saldo devedor ao final do primeiro período passa a ser de:
 Pmt  =  Principal  ×
i × (1 + i)n
(1 + i)n − 1
 Pmt  =  Principal  ×
1
an¬i
a50¬1% = 39, 1961
 Pmt  =  Principal  ×
1
an¬i
Pmt = 100.000 ×
1
39, 1961
= 2.551, 27
50 × 2.551, 27 = 127.563, 50
100.000 × (1 + 1%) = 101.000, 00
SD1 = 101.000 − 2.551, 27 = 98.448, 73
Observe que João pagou os juros de R$1.000,00 relativos ao primeiro período e ainda teve de gastar mais R$1.551,27, o que reduziu seu saldo
devedor de R$100.000,00 no instante inicial para R$98.448,73 no final do primeiro período. Dessa forma, ele amortizou sua dívida.
Podemos resumir essa situação na tabela a seguir:
Período Parcela Juros Amortização Saldo devedor ao final do período
0 - - - 100.000
1 2.557,27 1.000 1.551,27 98.448,73
Tabela: Sistema de amortização francês (Price).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
No segundo período, os juros passam a incidir sobre o saldo devedor do período anterior:
A amortização relativa a esse período será a diferença entre a parcela e os juros:
Isso vai ocorrer da mesma forma nos períodos seguintes. Confira esta tabela:
Período Parcela Juros Amortização Saldo devedor ao final do período
0 - - - 100.000
1 2.557,27 1.000 1.551,27 98.448,73
2 2.557,27 984,49 1.566,78 96.881,95
3 2.557,27 968,81 1.582,46 ...
... ... ... ... 2.526,01
50 2.557,27 25,26 2.526,01 0
Total 127.563,50 27.563,50 100.000
Tabela: Sistema de amortização francês (Price).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
n Pmt Jn = SDn−1 × i An = Pmt − Jn SDn = SDn−1 − An
J2 = 98.448, 73 × 1% = 984, 49
A2 = Pmt − J2
A2 = 2.551, 27 − 984, 49 = 1.566, 78
n Pmt Jn = SDn−1 × i An = Pmt − Jn SDn = SDn−1 − An
Note a trajetória tanto dos valores pagos a título de juros quanto dos pagos de amortização. Os juros são decrescentes, pois a base sobre a qual o
saldo devedor do período anterior é calculado vai sendo reduzida ao longo do tempo.
Por outro lado, os valores de amortização vão aumentando: eles são cada vez mais predominantes no valor total das prestações, as quais, aliás, são
todas iguais. Ou seja, a cada prestação, o devedor paga menos juros e mais amortização, mantendo a parcela constante.
Podemos resumir esse comportamento relativo aos juros e às amortizações no gráfico a seguir, em que cada barra vertical corresponde a uma
prestação:
Gráfico: Sistema Francês - PRICE.
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Mão na massa
Questão 1
Aponte o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em 24 parcelas com uma taxa de 2% a.m.

Questão 2
Indique o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas com uma taxa de 2% a.m.
A 998,47
B 1.200,13
C 1.057,42
D 1.012,17
E 1.077,42
Responder
A 4.243,17
B 4.227,20
C 4.237,17
D 4.100,00
E 4.253,17
Responder
Questão 3
No exercício anterior, qual é o valor dos juros referentes ao primeiro período?
Questão 4
Ainda sobre o mesmo exercício, aponte agora o valor da amortização referente ao primeiro período.
A 395,12
B 400,00
C 420,00
D 430,00
E 410,00
Responder
A 3.843,17
B 3.843,25
C 3.950,00
D 3.800,98
Questão 5
Qual é o saldo devedor no penúltimo período, levando em consideração os dados do exercício anterior?
Questão 6
Considerando os dados do exercício anterior, qual será o valor da última amortização?
E 3.833,17
Responder
A 4.253,20
B 4.100,00
C 4.200,00
D 4.159,97
E 4.150,00
Responder
A 4.000,20
B 4.100,00
C 4.150,00
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Vejamos um exemplo da aplicação do Price na compra de um carro novo
Maria resolveu comprar um automóvel, mas precisa financiar R$30.000, a uma taxa de 0,8% a.m., ao longo de 30 meses. Ela explicou a você que
necessita de parcelas constantes para planejar seu orçamento. Mas Maria está preocupada: quanto vai pagar a título de juros, ou seja, além dos
R$30.000?
Você já consegue ajudá-la após este estudo. Em primeiro lugar, é preciso computar a prestação mensal:
Rotacione a tela. 
Para isso, você calcula inicialmente a fração:
Com isso, agora já consegue calcular as prestações:
Eis a informação que Maria desejava: ela pagará 30 prestações de R$1.128,77. Somando todas as parcelas, obtemos:
D 4.159,97
E 4.179,97
Responder
 Pmt  =  Principal  ×
1
an¬i
1/an¬i =
i × (1 + i)n
(1 + i)n − 1
=
1
26, 577
Pmt = 30.000 ×
1
26, 577
= 1.128, 77
50 × 1.128, 77 = 33.863, 13
Portanto, ela vai ter de arcar com R$3.863,13 a título de juros.
Sistema de amortização Price
Assista ao vídeo para reforçar seu aprendizado.
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
Questão 1
Assinale a alternativa que corresponde ao sistema de amortizações francês.
Questão 2

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C Todas as parcelas são iguais.
D As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
E Os juros pagos em cada prestação são constantes.
Responder
O saldo devedor de um financiamento pelo sistema Price, ao final de determinado período, é de R$12.545,00. Sabendo que os juros pagos no
período seguinte serão de R$225,81, determine a taxa de juros que será utilizada.
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3
Sistema de amortização constante
Ao final deste módulo, você será capaz de definir as relações entre juros e amortização no sistema de amortização constante (SAC).
A 1,8%
B 2%
C 1,5%
D 1%
E 2,2%
Responder
Sistema de amortização constante (SAC)
Ao contrário do Price, os pagamentos no SAC não são constantes. Como o próprio nome diz, os valores de suas amortizações é que são
constantes.
Com isso, podemos calcular o valor de cada amortização dividindo o principal pela quantidade de períodos dela:
Exemplo
Como o principal de um empréstimo, ao final de n períodos, deverá ser totalmente amortizado, serão necessárias n parcelas de
amortização iguais para quitar a dívida.

A =
 Principaln
Rotacione a tela. 
Esta fórmula constitui, portanto, o valor da amortização em todos os períodos. Também podemos escrever que:
Rotacione a tela. 
Os juros do primeiro período incidem sobre o valor do principal, sendo iguais a:
Rotacione a tela. 
A primeira prestação, por sua vez, será dada pelo seguinte cálculo:
Rotacione a tela. 
Ao final do primeiro período, o saldo devedor terá sido amortizado em A, sendo igual a:
Rotacione a tela. 
 Principal  = A × n
J1 =  Principal  × i
P1 = A + J1
SD1 =  Principal  − A
SD1 = A × n − A
SD1 = A × (n − 1)
Os juros do segundo período, então, serão os seguintes:
Rotacione a tela. 
Já a segunda prestação será dada por:
Rotacione a tela. 
Podemos continuar na elaboração desse raciocínio até chegarmos à última prestação. Analisaremos, portanto, a tabela a seguir:
Período Amortização
Juros Parcela Saldo devedor ao final do
período 
0 - - -
1 A
2 A
3 A ...
... ... ... ...
k A ...
... ... ... ...
n A 0
Total -
Tabela: Sistema de amortização constante (SAC).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
J2 = SD1 × i
J2 = A × (n − 1) × i
P2 = A + J2
N
Jn = SDn−1 × i Pmt = A + Jn SDn
n × A
n × A × i A + n × A × i (n − 1) × A
(n − 1) × A × i A + (n − 1) × A × i (n − 2) × A
(n − 2) × A × i A + (n − 2) × A × i
(n − k) × A
(n − k) × A × i A + (n − k) × A × i
(n − 1) × A
A × i A + A × i
n × A A×i×n×(n+1)
2 n × A +
A×i×n×(n+1)
2
Vejamos agora outro exemplo relativo ao SAC.
João comprou um imóvel. Na compra, ele financiou o valor de R$100.000 no sistema SAC a ser pago em 50 parcelas mensais com uma taxa de 1%
a.m. Calcule o valor da primeira e da última parcela que ele irá pagar.
As amortizações serão todas iguais a:
Os juros relativos ao primeiro período incidiram sobre o principal. Desse modo:
Assim, a primeira parcela será igual a:
Para calcular a última parcela, lembre-se de que os primeiros 49 pagamentos já terão sido amortizados:
Ainda falta ocorrer a amortização de:
Este valor é o saldo devedor após o penúltimo período. Com isso, temos:
Logo, a última parcela será igual a:
Esta tabela resume o exemplo apresentado:
Período Amortização Juros Parcela Saldo devedor final
0 100.000
1 2.000 1.000 3.000 98.000
2 2.000 980 2.980 96.000
3 2.000 960 2.960 94.000
A =
 Principal 
n
A =
100.000
50
= 2.000
J1 =  Principal  × i
J1 = 100.000 × 1% = 1.000
P1 = A + J1
P1 = 2.000 + 1.000 = 3.000
49 × A = 49 × 2.000 = 98.000
100.000 − 98.000 = 2.000
J50 = SD49 × i
J50 = 2.000 × 1% = 20
P50 = A + J50
P50 = 2.000 + 20 = 2.020
n Jn = SDDn−1 × i Pmt = A + J
Período Amortização Juros Parcela Saldo devedor final
... ... ... ... ...
49 2.000 40 2.040 2.000
50 2.000 20 2.020 0
Total 100.000 25.500 125.500
Tabela: Sistema de amortização constante (SAC).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Vimos que, no sistema Price, esse mesmo financiamento resultou em juros totais no valor de R$27.563,50. Já no SAC, eles totalizaram R$25.500,00,
tendo um valor, portanto, inferior ao do sistema Price.
Esta é a grande vantagem do SAC: sua aplicação implica juros totais menores que os do Price.
Por outro lado, a primeira prestação no SAC foi de R$3.000,00, valor superior aos R$2.557,21 do Price. Também podemos notar que, no sistema
SAC, tanto as prestações quanto os juros são decrescentes. Notemos no gráfico a seguir:
Gráfico: Sistema SAC.
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n Jn = SDDn−1 × i Pmt = A + J
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Mão na massa
Questão 1
Qual é o valor da primeira prestação mensal no sistema SAC de um financiamento de R$ 20.000 em cinco parcelas e uma taxa de 2% a.m.?
Questão 2
Informe o valor da última parcela do exercício anterior.

A 4.400,00
B 4.300,00
C 4.200,00
D 4.100,00
E 4.500,00
Responder
A 4.250,00
B 4.080,00
Questão 3
Ainda no mesmo exercício, diga qual é o valor da terceira prestação.
Questão 4
Qual é o valor da taxa de juros do SAC de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas (sabendo que a primeira delas é de R4.200,00)?
C 4.180,00
D 4.000,20
E 4.130,00
Responder
A 4.240,00
B 4.150,00
C 4.200,00
D 4.360,00
E 4.260,00
Responder
A 1%
Questão 5
Qual é o valor da última parcela do exercício anterior?
Questão 6
B 2%
C 0,8%
D 1,5%
E 1,2%
Responder
A 4.200,20
B 4.000,00
C 4.160,00
D 4.040,00
E 4.100,00
Responder
Ainda no mesmo exercício, qual é o valor da segunda prestação?
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Encerraremos este estudo com mais um exemplo do sistema SAC.
Maria pretende reformar sua casa por um valor de R$40.000, mas precisa de um financiamento para isso. Ela tem um bom emprego hoje, porém não
tem certeza se conseguirá mantê-lo por muitos anos; além disso, ela gostaria de lidar com parcelas decrescentes ao longo do tempo.
Após estudar este módulo, você vai explicar a ela que o sistema SAC pode ser aplicado neste caso. Maria então pedirá para você calcular o valor da
última parcela para ela conseguir avaliar se o gasto ainda caberá no seu orçamento. O pagamento será realizado em 20 parcelas mensais com uma
taxa de juros é de 1,2% a.m.
Você já sabe que todas as amortizações serão iguais:
Para calcular a última parcela, basta lembrar que já foram realizados antes 19 pagamentos com uma amortização total de:
A 4.250,00
B 4.160,00
C 4.200,00
D 4.300,00
E 4.110,00
Responder
A =
 Principal 
n
A =
40.000
20
= 2.000
Resta ainda este valor:
O valor indicado acima é o saldo devedor após o penúltimo período. Os juros do último período incidem sobre esse saldo; com esses dados,
podemos enfim calcular seu valor, multiplicando-o pela taxa de juros: 2.000×1,2%=24.
A última parcela, portanto, será igual ao valor amortizado mais os juros: 2.000+24=R$2.024,00.
Feliz, Maria informa que esse valor cabe no seu orçamento – ainda que ela enfrente uma redução de renda. Resultado: após agradecer a você, ela já
pode se preparar para fazer a reforma na casa!
Sistema de amortização constante (SAC)
Assista ao vídeo para reforçar seu aprendizado.
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19 × A = 19 × 2.000 = 38.000
40.000 − 38.000 = 2.000

Questão 1
Assinale a alternativa que corresponde ao sistema de amortização constante (SAC).
Questão 2

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C Todas as parcelas são iguais.
D As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
E Os juros pagos em cada prestação são constantes.
Responder
A primeira prestação de um financiamento no sistema SAC com prazo de 10 meses e taxa de juros de 1% a.m. é igual R$1.100. Qual é o valor do
principal?
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4
Outros sistemas de amortização
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer outros sistemas de amortização usualmente utilizados. 
A 9.800
B 10.100
C 10.000
D 11.000
E 9.900
Responder
Sistema de amortização misto (SAM)
Normalmente utilizado em financiamentos do sistema financeiro de habitação (SFH), o SAM busca combinar os sistemas SAC e Price (ou francês).
Ele é estruturado para que suas parcelas periódicas sejam iguais à média aritmética de dois sistemas de amortização: o francês (SAF) e o SAC.
Rotacione a tela. 
Na prática, o SAM divide o principal em duas partes iguais e aplica um dos dois sistemas a cada parte. Metade usa o SAC; a outra, o SAF. Uma das
vantagens na utilização do SAM é que ele possui juros totais menores que os do Price, ainda que não conte com parcelas iniciais tão altas como as
do SAC.
Ter parcelas iniciais muito altas é ruim, pois, normalmente, os projetos aos quais se destinam o financiamento só
começam a gerar retornos certo tempo após o investimento inicial. Isso pode dificultar o pagamento da dívida nos
casos em que as parcelas iniciais são muito relevantes.
PSAM =
PSAC + PSAF
2
Quanto à definição do SAM, já podemos elencar quatro características:
Essas característicasestarão mais evidentes na figura a seguir se fizermos uma comparação das parcelas de cada um dos três sistemas de
amortização com o exemplo já estudado:
Gráfico: Comportamento das parcelas dos sistemas de amortização.
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Parcelas decrescentes 
Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC 
Parcelas iniciais 
Parcelas finais 
Sistema de amortização americano
O sistema americano prevê a amortização integral do principal no último período do financiamento. Este tipo de estrutura de amortização é muito
comum nos títulos públicos e instrumentos de dívida corporativa.
Já nos períodos intermediários, conforme ilustra a figura abaixo, apenas os juros são pagos:
Os juros em cada período sempre são calculados aplicando-se a taxa de juros ao principal:
Exemplo
Notas do Tesouro Nacional pré-fixadas (NTN-F) e debêntures.

J =  Principal  × i
Rotacione a tela. 
Todas as parcelas intermediárias são iguais a J, enquanto a última parcela equivale à soma do principal com a última parcela de juros.
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Mão na massa
Questão 1
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no sistema de amortização misto (SAM) considerando um principal de
R$20.000, um prazo de 20 meses e uma taxa de juros de 1% a.m.
Questão 2

A 1.154,16
B 1.156,12
C 1.212,90
D 1.159,01
E 1.144,16
Responder
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$20.000, um prazo de 20 meses
e uma taxa de juros de 1.5% a.m.
Questão 3
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$20.000, um prazo de 40 meses
e uma taxa de juros de 1% a.m.
A 1.258,30
B 1.232,46
C 1.200,07
D 1.159,01
E 1.228,30
Responder
A 710,20
B 700,00
C 654,55
D 712,00
E 610,20
Questão 4
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$100.000, um prazo de 120
meses e uma taxa de juros de 0,5% a.m.
Questão 5
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$100.000, um prazo de 120
meses e uma taxa de juros de 0,0001% a.m. (Conforme indica o número, quase não há juros. Você, contudo, dificilmente encontrará algo do tipo
no mundo real.).
Responder
A 1.200,80
B 1.100,00
C 1.300,00
D 1.221,77
E 1.121,77
Responder
A 833,38
B 833,41
C 833,43
Questão 6
Uma debênture foi emitida no sistema americano com o principal igual a 100.000, um prazo de cinco anos e pagamentos de juros semestrais
periódicos de 5% a.s. Desenhe o fluxo de caixa de um investidor que compre essa debênture, indicando, em seguida, os valores de cada entrada
e saída de caixa.
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Vejamos um exemplo de sistema de amortização misto (SAM).
D 833,50
E 833,48
Responder
A As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 5.000.
B As primeiras 4 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
C As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
D A décima seta é positiva no valor de 100.000.
E A décima seta é positiva no valor de 110.000.
Responder
João comprou uma televisão nova mediante um parcelamento feito pelo sistema SAM, mas o folheto recebido com as condições gerais de
financiamento é confuso – algo, aliás, bastante frequente em documentos com informações sobre financiamentos!
Ele tem as seguintes informações: a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.500, enquanto, pelo SAC, a mesma prestação sai por
R$1.800. Qual é o valor da terceira parcela que João deverá pagar?
Confuso, ele pede sua ajuda. Após estudar este módulo, você explica que a prestação do SAM é dada pela média entre as prestações dos sistemas
SAC e SAF:
Sistema de amortização misto
Assista ao vídeo para reforçar seu aprendizado.
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PSAM =
(PSAF + PSAC)
2
PSAM =
1.500 + 1.800
2
= 1.650


Questão 1
Se a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.300 e, pelo SAC, de R$1.500, qual seria o valor dela se o sistema utilizado fosse
o SAM?

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A 1.300,00
B 1.350,00
C 1.400,00
D 1.450,00
E 1.500,00
Responder
Questão 2
Qual das seguintes alternativas melhor descreve o sistema de amortização americano?
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Considerações �nais
Estudamos os diferentes sistemas de amortização, que figuram na lista dos principais assuntos da Matemática Financeira. Afinal, trata-se de um
dos temas da área mais aplicados no mundo real. Você pode encontrá-los em diversas situações cotidianas: do financiamento de um imóvel à
compra parcelada de uma televisão nova, ou de uma aplicação financeira à análise do rendimento de títulos públicos.
Sempre observe as condições implícitas em um parcelamento: que sistema está sendo usado? As parcelas são constantes ou mudam ao longo do
tempo? Qual é a taxa de juros? Cada sistema analisado possui características particulares que podem ser melhores ou piores para determinado
investidor ou consumidor. Fique atento!
A Todos os pagamentos são iguais.
B Todos os pagamentos são iguais, à exceção do último, que é composto de juros mais o principal.
C Os juros são crescentes.
D Os juros são decrescentes.
E Todas as amortizações são iguais.
Responder
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo dos principais aspectos abordados neste conteúdo.
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Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Para conhecer exercícios resolvidos de Matemática Financeira e material complementar da área, acesse a página do Padlet e digite no campo de
pesquisa o nome "Paulo Vianna Jr.".
Para verificar o funcionamento de um emulador HP 12C, digite a expressão "vichinsky hp12c" em qualquer site de busca.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
ZIMA, P. Fundamentos de matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
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