Lista - Integrais Duplas

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Integrais Múltiplas UFU Página 1 de 3 páginas
Exerćıcios Propostos: Integrais Múltiplas - Integral Dupla
Exerćıcio 1 Calcule:
(i)
∫ π
2
0
∫ π
2
0
cos (x) sen (y)dydx.
(ii)
∫1
0
∫1
0
xeydydx.
(iii)
∫ π
2
0
∫e
1
sen(y)
x
dxdy.
(iv)
∫1
0
∫1
0
(
1
x+1 +
1
y+1
)
dxdy.
Exerćıcio 2 Calcule
∫∫
X
f (x, y)dA dos dois modos indicados no Teorema de Fubini, sendo f (x, y) = ey + sen (x) e
X =
[
0, π
2
]
× [0, 1].
Exerćıcio 3 Calcule:
(i)
∫1
0
∫√x
x
(2x− y)dydx;
(ii)
∫2
−1
∫y+2
−y
(
x+ 2y2
)
dxdy.
(iii)
∫2
0
∫1
y
2
yex
3
dxdy.
Exerćıcio 4 Calcule a integral dupla
∫∫
X
y2dxdy, onde X é a região triangular com vértices (0, 1) , (1, 2) e (4, 1).
Exerćıcio 5 Inversão da ordem de integração:
(i) Esboce a região de integração de
∫3
−1
∫2x+3
x2
xdydx; em seguida inverta a ordem de integração e calcule a integral
resultante.
(ii) Idem para
∫2
0
∫4x−x2
2x
1dydx.
(iii) Idem para
∫1
0
∫ π
4
arctg(y)
sec (x)dxdy.
Exerćıcio 6 Calcule a integral
∫∫
X
ydA onde X é dada pela figura abaixo
Exerćıcio 7 Calcule
∫∫
X
f (x, y)dA dos dois modos indicados no Teorema de Fubini Estendido, sendo f (x, y) =
6x+ 2y2 e X a região delimitada pelas curvas x = y2 e x+ y = 2.
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Exerćıcio 8 Calcule, por integração dupla, a área da região limitada por:
(i) y = 2x+ 3 e y = 6x− x2.
(ii) y = x2 + 1 e y = 9− x2.
Exerćıcio 9 Calcule
∫∫
X
(1− x− y)dA sobre a região X da figura abaixo.
Exerćıcio 10 Calcule
∫∫
X
(x+ y)dA sobre a região X da figura abaixo.
Exerćıcio 11 Calcular
∫∫
X
√
x2 + y2dA, sendo X a região limitada pelas curvas x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x e
y =
√
3
3
x, representada na figura abaixo.
Exerćıcio 12 Determine o volume do sólido:
(i) abaixo da superf́ıcie z = 3 + cos (x) + cos (y) e acima da região do plano xy delimitada pelas curvas x = 0, x = π,
y = 0 e y = π.
(ii) abaixo da superf́ıcie z = y2 e acima da região do plano xy delimitada pelas curvas x = y2, x = 4.
Exerćıcio 13 Determine as áreas das duas regiões delimitadas pela parábola y = x2 e pela curva y (2x− 7) = −9
(uma hipérbole equilátera transladada).
[Sugestão: x = −1 é uma raiz da equação cúbica que deverá ser resolvida].
Exerćıcio 14 Ache a área:
(i) delimitada pelo ćırculo r = 3 sen (θ) utilizando integração dupla em coordenadas polares.
(ii) delimitada pelo cardióide r = 1+ cos (θ) utilizando integração dupla em coordenadas polares.
(iii) interior ao cardióide r = 2+ cos (θ) e exterior ao ćırculo r = 2.
Exerćıcio 15 Ache o volume do sólido:
(i) delimitado acima pela superf́ıcie z =
√
x2 + y2 e abaixo pela região plana delimitada pela curva polar r = 2.
(ii) delimitado acima pela superf́ıcie z = 10+2x+3y e abaixo pela região plana delimitada pela curva polar r = sen (θ).
(iii) delimitado pelos cilindros de equações x2 + y2 = 1 e x2 + z2 = 1 no primeiro octante.
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Exerćıcio 16 Calcule a integral
∫1
0
∫√1−y2
0
1
1+x2+y2
dxdy utilizando coordenadas polares.
Exerćıcio 17 Ache o volume do sólido limitado inferiormente por z = 0, superiormente por z = 3 + x + y situado
acima da região plana delimitada pela curva polar r = 2 sen (θ).
Exerćıcio 18 Ache o volume do “cone de sorvete” delimitado pela esfera x2+y2+z2 = a2 e pelo cone z =
√
x2 + y2.
Exerćıcio 19 Mostre, que
∫∞
0
∫∞
0
1
(1+x2+y2)2
dxdy = π
4
.
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