Exercício De Cálculo 26

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Anderson Maicon De Souza 
 Lista de Exercícios - INTEGRAIS DUPLAS 
 
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS 
 
INTEGRAIS ITERADAS 
 
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R 
através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: 
 
  








=








=
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f 
 
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser 
descontínua em um número finito de pontos de R. 
 
 Exemplo 1: Calcule o valor da integral 
R
2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
R
2 ydAx =  







3
0
2
1
2 dxydyx =  




3
0
2
1
2
2 dx
2
y
x =  





−
3
0
22 dx
2
1
x
2
4
x =  





3
0
2 dxx
2
3
=
3
0
3
3
x
2
3



=
5,13
2
27
2
x
3
0
3
==


 ou 

R
2 ydAx =  







2
1
3
0
2 dyydxx =  




2
1
3
0
3
dyy
3
x
=  





−
2
1
dy0y
3
27
= ( )=
2
1
dyy9 =
2
1
2
2
y9



= 5,13
2
27
2
9
2
36
==−= 
O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura acima) 
 
 
Exemplo 2: Calcule 
R
dA)xysen(y , onde R = [1,2] x [0,]. 
Solução: 
 
00sen0sen
2
1
sensen
2
1
yseny2sen
2
1
dy)ycosy2cos(
dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y
00
0
2
1
0
2
1R
=−++−
=


+−=+−
=−==



 
 
y 
3 
2 
x 
1 
0 
R 
 
Exemplo 3: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os 
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
Solução: 
Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo 
 R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura. 
Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla: 
 
( )
( )
48
3
8.42.88
3
y
4y
3
88
dyy4
3
88
dyy4
3
8
32
dyxy2
3
x
x16
dydxy2x16
dAy2x16V
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
3
2
0
2
0
22
R
22
=
−
=





−=






−=






−−=






−−=
−−=
−−=



 

 
 
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS 
 
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, 
queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de 
forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que 
D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por 
 
( )



=
DemestánãomasRemestá)y,x(se,0
Demestáy,xse),y,x(f
)y,x(F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por 
 =
RD
dA)y,x(FdA)y,x(f 
R 
x x 
y y 
0 0 
 
Cálculo da Integral Dupla sobre Regiões Planas Genéricas 
 
1) Regiões planas inscritas em faixas verticais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, 
ou seja: 
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } 
 
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 
  =
b
a
)x(g
)x(gD
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
sempre que f for contínua em D. 
 
 
2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de 
y, ou seja: 
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } 
 
onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 
  =
d
c
)x(h
)x(hD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
x 
y 
0 x 
y 
0 x 
y 
0 b b b a a a 
y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) 
y = g2(x) 
y = g2(x) y = g2(x) 
x 
y 
0 x 
y 
0 x 
y 
0 
d d 
d 
c 
c 
c 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h2(y) 
x = h2(y) x = h2(y) 
sempre que f for contínua em D. 
Exemplo 4: Calcule  +
D
dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. 
Solução: 
A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as 
abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos 
escrever: 
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } 
Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais 
iteradas: 
 
 
 
 
   
( )
( )
15
32
x
2
x
3
x
2
4
x
5
x
3
dx1xx2xx3
dxx4x2xx21xx
dxx4x2)x1()x1(x
dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(
1
1
2345
1
1
234
1
1
43423
1
1
43222
1
1
x1
x2
2
1
1
x1
x2D
2
2
2
=





+++−−=
+++−−=
−−++++=
+−+++=
+=








+=+
−
−
−
−
−
+
−
+



 
 
 
 
Exemplo 5: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano 
xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
 
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } 
 
Assim, o volume é: 
( ) ( )
35
216
21
128
5
32
12
16.14
21
x
5
x
12
x14
dx
3
x
x
3
x14
dx
3
x
x
3
x8
x2dx
3
y
yx
dxdyyxdAyxV
2
0
7542
0
6
4
3
2
0
6
4
3
3
2
0
x2
x
3
2
2
0
x2
x
22
D
22
2
2
=−−=






−−=








−−=






−−+=





+=








+=+=


 
 
 
 
 
 
x 
y 
–1 1 
y = 2x2 
y = 1 + x2 
y = 2x 
y = x2 
 
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: 
D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx
2
y
 } 
Portanto, o volume pode ser calculado como: 
( ) ( )
35
216
256.
96
13
128.
7
2
32.
5
2
y
96
13
y
7
2
y
15
2
dyy
24
13
yy
3
1
dy
2
y
24
y
y
3
y
xy
3
x
dydxyxdAyx(V
4
0
42
7
2
5
4
0
32
5
2
3
4
0
33
2
52
34
0
y
2
y
2
34
0
y
2
y
22
D
22
=−+=





−+=





−+=








−−+=





+=










+=+=

 
 
 
Exemplo 6: Calcule 
D
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: 
[y2 = 2x + 6]  [y = x – 1]  
2
6y
x
2 −
= e x = y + 1  1y
2
6y2
+=
−
  y2 – 2y – 8 = 0 
  y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) 
 
Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). 
 
Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. 
Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira 
inferior é constituída por mais de uma curva. 
 
Assim, preferimos expressar D como: 
 
D = { (x,y) | -2 < y < 4, 
2
6y 2 −
< x < y + 1 } 
 
Logo: 
 
y2 = 2x + 6 
y = x – 1 
3664
3
64
64
3
32
256
3
512
1024
3
2048
8
1
y16
3
y
8y4
6
y
8
1
dy
4
y32y8y16y
2
1
dy)
8
y36y12y
2
yy2y
(
dyy
2
x
dyxydxxydA
4
2
2
3
4
6
4
2
235
4
2
3523
4
2
1y
2
6y
24
2
1y
2
6yD
2
2
=





++−+−++−=






−++−=
−++−
=
+−
−
++
=






=












=
−
−
−
−
+
−
−
+
−


 
 
 
 
Exemplo 7: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
 
Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e 
outro da região plana D sobre a qual o sólido está. 
 Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical 
x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. 
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região 
triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. 
 
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: 
 
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. 
Portanto o volume de T é: 
(1, ½, 0) 
(0, 1, 0) 
(0, 0, 2) 
x + 2y + z = 2 
x = 2y 
x 
y 
z 
x 
y 
1 
1 
½ 
x + 2y = 2 
x = 2y 
D 
T 
 
( ) ( )  
( )
3
1
3
x
xxdxxx21
dx
4
x
2
x
x
4
x
x1
2
x
xx2
dx
4
x
2
x
x
2
x
1
2
x
1x
2
x
12
dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V
1
0
3
2
1
0
2
1
0
2222
1
0
222
1
0
2
x1
2
x
2
1
0
2
x1
2/xD
=





+−=+−=








++−−+−+−−=








++−





−−





−−





−=
−−=−−=−−=



 
−
−
 
 
 
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 
 
 
1)  +=+
DDD
dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[ 
2)  =
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante 
3)  +=
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , 
 
 
Exemplo 8: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem 
D
xdAcosy2 , onde D é a região do 
plano xy limitada pelos gráficos de 
6
x

= , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 
 
Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
se D = D1  D2, onde D1 e D2 não se 
sobrepõem exceto, possivelmente, nas 
fronteiras. 
3 
/6 
y =3 
y =1 
x =/6 
3y + x = 10 
x = y2 
D 
A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região 
D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 
 
1) Inscrita na faixa vertical /6  x  4 e, nesse caso dividi-la em 
 D1 = { (x,y) | /6  x  1, 1  y  3 } e 
 D2 = { (x,y) | 1  x  4, 
3
x10
yx
−
 } 
2) Inscrita na faixa horizontal 1  y  3 e, nesse caso, dividi-la em 
 D1 = { (x,y) | 1  y  2, /6  x  y
2 } e 
 D2 = { (x,y) | 2  y  3, /6  x  10 – 3y } 
Na forma 1), as integrais iteradas são: 
  
−
+=+=
4
1
3
10
1
6
3
1
cos2cos2cos2cos2cos2
21
dxxdyydxxdyyxdAyxdAyxdAy
x
xDDD 
 
Na forma 2), as integrais iteradas são: 
  
−
+=+=
3
2
310
6
2
1
6
cos2cos2cos2cos2cos2
2
21
dyxdxydyxdxyxdAyxdAyxdAy
yy
DDD 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule as integrais: 
 
( )
( )
( ) ( )
3
8
3
4
4
3
4444242642
2
22
6622
2
331)
1
0
31
0
2
1
0
22
1
0
2
2
1
0
22
0
21
0
22
0
=−=





−=−=+−+−+=







 −
+−+−=





++=++

 
−−
x
xdxxdxxxxx
dx
x
xxxdx
y
xyydxdyyxa
xx
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
6
11
6
5
1
6
5
3
2
3
3
14
6
5
3
2
3
3
14
3
10
26
3
14
3
8
88
3
8
6126242
3
22
2
22
3
2
22
32
3
2
3)
1
0
432
1
0
32
1
0
3
2322
1
0
3221
0
22
0
3221
0
22
0
2
=+=+−−=





+−−=





+−−=






−+−++−++−=







 −
+
−
+
−
=





++=++


 
−−
xxxxdxxxx
dx
x
xxxxxxx
dx
xx
x
x
dx
yy
x
y
dxdyyxyyb
xx
 
 
( ) ( )
( ) ( )   112244242642
2
22
6622
2
33)
1
0
42
1
0
3
1
0
3232
1
0
2
322
1
0
22
0
2
2
1
0
22
0
2
=−=−=−=+−+−+=







 −
+−+−=





++=++

 
−−
xxdxxxdxxxxxxx
dx
x
xxxxxdx
y
xyxxydxdyxyxxc
xx
 
d) 24:Re4
3
1
5
2
spdydx  
 
e) 234:Re)62(
4
1
2
1
2 spdxdyyxx 
−
+ 
 
f) 3/32:Re)4(
2
0
2
3
2
spdxdyyx
x
x
  + 
 
g)  
3
1
6
2
cos.2
y
dydxxy

 
 
h) 36:Re)812(
2
1
2
1
32 −− 
−
spdxdyxxy 
 
i) 
120
163
Resp.
2
1 1
2
  −
x
x
dxdyyx 
 
j)
60
47
:Re)( 3
1
0
2
2 spdxdyxy
x
x
+  
 
k)   +
3
0
4
0
2 )32( dxdyyxx Resp: 252 
 
l)   +
3
1
1
0
)41( dydxxy Resp: 10 
 
m) ∬ ( 𝑥3𝑦2 + 𝑥)𝑑
𝐷
A − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Resp: 0 
 
n) ∬ 2 cos 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑
𝐷
A 0 ≤ y ≤ 𝝅 𝟎 ≤ x ≤
𝝅
𝟐
 
 
o) ∫ ∫ ( 2𝑥 − 4𝑥𝑦 )
2𝑥
𝑥
1
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
p) ∬ ( 𝑥 + 𝑦 − 4)𝑑
𝐷
A 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 
 
q) ∬ ( 3𝑥² + 𝑦² − 10)𝑑
𝐷
A , sendo D a região definida por 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 3 
 
r) ∫ ∫ (2𝑥𝑦
√𝑥
𝑥²
1
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
s) ∬ ( 𝑥² + 𝑦² − 10)𝑑
𝐷
A 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 
t) ∫ ∫ (𝑥𝑦2 − 𝑥𝑦 )
𝑦
−𝑦
2
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 
2) Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral 
 i) coloque os limites 
 ii) calcule o valor da integral 
 
a)_∬ 𝑥 𝑦 𝑑 𝐴 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑦 = 
3𝑥
2𝐷
 e y = √𝑥 
 
𝑏) ∬ 𝑥²𝑦𝑑
𝐷
A entre y= 3 x² e y = 3𝑥 
 
c) ∬ 10 𝑥𝑦𝑑
𝐷
A entre y = -3 x² e y = - 3𝑥 
 
d ) ∬ 𝑥𝑦𝑑
𝐷
A entre y = - 
𝑥
2
 e y = −√𝑥 
 
e) ∬ 10 𝑥𝑦𝑑
𝐷
A entre y = -4 x² e y = - 4x