Problemas de Matemática Avançada

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Segunda VE de Métodos VII – 10 Sem. 2008
Turma B
Professor: Heloisa Bauzer Medeiros
1) A função u(x, t) é solução de:



utt = 9uxx x ∈ R, t > 0
u(x, 0) =
{
1 se x ∈ [0, 1]
0 se x < 0 ou x > 1
ut(x, 0) = 0
Descreva u(x, 2) e esboce o seu gráfico.
2)v(x, t) satisfaz vtt = vxx, v(x, 0) = f(x), vt(x, 0) = g(x).
• a) Descreva o domı́nio de dependência do ponto (1, 2);
• b) Descreva a região de influência do ponto (2, 0);
• c) Quanto tempo, um observador parado em x = 1, levará para
perceber um sinal emitido em t = 0, x = −1?
3)A função Γ(p) :=
∫∞
0
e−xxp−1dx, p > 0.
1. Mostre que: Γ(p + 1) = pΓ(p);
2. Mostre que: p ∈ ℵ, Γ(p + 1) = p!,
3. se Γ(1/3) = a, calcule Γ(−2/3) em função de a.
4)Uma função u(x, y) é harmônica no interior do disco : x2 + y2 = 1. No
bordo do disco u(x, y) = 1
2
( y
x
). Pedrinho calculou que u(1/2, 1/2) = 10 .
Você acha que Pedrinho acertou a conta? JUSTIFIQUE sua resposta!!.
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