MATEMÁTICA CMRJ 6 ANO 2020-2021 - Questões resolvidas

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1) e (Medidas de superfícies) 
2) b (Unidades de medida e medidas de volume) 
3) c (Porcentagem) 
4) a (Múltiplos) 
5) c (Probabilidade, porcentagem e sistema monetário brasileiro) 
6) d (Sistemas de numeração indo-arábico e romano, classes e ordens de um número natural) 
7) b (Média aritmética, frações e porcentagem) 
8) c (Medidas de massa) 
9) a (Classificação de sólidos geométricos) 
10) e (MDC) 
11) d (Interpretação de informações em tabelas e médias) 
12) d (Problemas envolvendo frações) 
 
ROVA DE MATEMÁTICA – CMRJ 6º ANO – 2020/2021 
ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) A foto aérea abaixo é da Praça Thomaz Coelho, local onde acontecem as formaturas do Colégio Militar 
do Rio de Janeiro (CMRJ). No centro, há dois palcos, um no formato de um pentágono e outro circular. 
 
O esquema a seguir representa esses palcos. 
 
As áreas A e B juntas são equivalentes à área C, e a área A tem o formato de um retângulo com 8 m de base. 
O Comandante do CMRJ deseja pintar o piso dos palcos com a famosa cor “verde oliva”, usada no Exército. 
Sabendo que uma lata de tinta cobre 4 m2 de superfície, quantas latas de tinta são necessárias para pintar os 
dois palcos? 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 
 
Resposta: e 
 
A área do palco em forma de pentágono é a soma da área do retângulo A com a área do triângulo B. 
A área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura. O retângulo A tem base 8m e altura 4m, então 
sua área é: 
28 4 32AS m=  = 
A área de um triângulo é igual à metade do produto de um lado pela altura relativa a ele. O triângulo B tem 
um lado de 8m e altura relativa a ele é 6 4 2m− = , então sua área é: 
22 8 8
2
BS m

= = . 
Como as áreas A e B juntas são equivalentes à área C, então a área do círculo C é: 
232 8 40C A BS S S m= + = + = 
A área total S dos dois palcos é igual à soma das áreas A, B e C, então: 
 
232 8 40 80T A B CS S S S m= + + = + + = 
Se cada lata de tinta cobre 4m2 de superfície, então serão necessárias 80 4 20 = latas de tinta. 
 
3 
 
2) Tia May proibiu o Homem Aranha de usar suas “teias” para subir ao telhado e aproveitar seus momentos 
de lazer e treinamentos de super-herói. Ela se aborreceu por conta da sujeira que as teias deixavam nas 
paredes. O Homem Aranha decidiu, então, construir uma escada de concreto, com 102 degraus. Cada 
degrau terá o formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões: 1200 mm de comprimento, 40cm de 
largura e 3dm de altura. O cimento utilizado para fazer o concreto é vendido em sacos. Se, com um saco 
de cimento, faz-se 2 metros cúbicos de concreto, quantos desses sacos, no mínimo, o Homem Aranha vai 
precisar comprar para construir todos os degraus desta escada? 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
Resposta: b 
Cada degrau tem: 
1200 1, 2mm m= de comprimento; 
40 0,4cm m= de largura; 
3 0,3dm m= de altura. 
Então, o volume de um degrau é: 
31,2 0,4 0,3 0,144V m=   = 
O volume dos 102 degraus é 3102 0,144 14,688m = 
Se com um saco de cimento faz-se 2m3 de concreto, a quantidade de sacos necessária será: 
14,688 2 7,344 = 
Como só podemos comprar quantidades inteiras de sacos de cimento, o Homem Aranha precisará comprar, 
no mínimo, 8 sacos. 
 
3) Thomaz adora brincar de bater pênalti. Outro dia, durante o treino de seu time, ele bateu um total de 120 
pênaltis, distribuídos em duas etapas. Na primeira etapa, foram 80 chutes, dos quais errou apenas 30%. 
Depois disso, ficou cansado e seu rendimento, na segunda etapa, piorou. De qualquer modo, ao final das 
duas etapas, ele acertou 55% do total de pênaltis. Quantos pênaltis Thomaz errou na segunda etapa? 
 
a) 10 b) 24 c) 30 d) 45 e) 54 
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Resposta: c 
Na primeira etapa Thomaz bateu 80 pênaltis e errou 30%, ou seja: 
30
80 24
100
= pênaltis. 
Ao final das duas etapas de 120 pênaltis cobrados, ele acertou 55% do total de pênaltis, então ele 
errou: 
100% 55% 45%− = dos pênaltis, ou seja, ele errou no total: 
45
120 54
100
= 
Se ele errou 24 pênaltis na primeira etapa e 54 pênaltis no total, então na segunda etapa Thomaz errou 
54 24 30− = pênaltis. 
 
4) As cutias estão economizando suas mesadas desde o início do ano. Até agora, nem Zilah nem seu irmão 
Thomaz alcançaram, separadamente, os mil reais. O valor que Thomaz economizou corresponde ao maior 
múltiplo de 32 e o de Zilah, ao maior múltiplo de 29. Juntos, eles vão comprar um novo computador para 
presentear a mãe, que faz aniversário no final do ano. O presente custa R$ 2.530,00. A quantia que está 
faltando é um número cuja soma dos algarismos é: 
 
a) 12 b) 17 c) 20 d) 23 e) 27 
 
Resposta: a 
O maior múltiplo de 32 menor do que 1000 é: 
1000 32 31,25
32 31 992
 =
 =
 
O maior múltiplo de 29 menor do que 1000 é: 
1000 29 34,4
29 34 986
 =
 =
 
Portanto, Thomaz e Zilah juntaram no total 992 986 1978+ = reais e faltam para comprar o computador 
2350 1978 372− = reais. 
A soma dos algarismos de 372 é 3 7 2 12+ + = . 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
5) Maria Clara tem um cofrinho de moedas, que será aberto no fim do ano, para comprar brinquedos e doar 
a orfanatos. No domingo passado, tia Andréa foi visitá-la e depositou 80 moedas no cofrinho. Eram apenas 
moedas de 25 e de 50 centavos. Sabe-se que, dentre as moedas que a tia depositou, se pegarmos uma, ao 
acaso, a probabilidade de ser uma moeda de 25 centavos é de 75%. Representando a quantia total 
depositada por tia Andréa através de cédulas, qual das opções a seguir seria a correta? 
 
 
 
Resposta: c 
Se pegarmos uma moeda, ao acaso, dentre as depositadas pela tia, a probabilidade de ser uma moeda de 25 
centavos é de 75%. Logo, 75% das 80 moedas depositadas são de 25 centavos, ou seja, foram 
depositadas: 
75
80 60
100
= moedas de 25 centavos. 
Logo, as outras 80 60 20− = moedas depositadas eram de 50 centavos. A quantia 
total depositada foi: 
60 0,25 20 0,5 15 10 25 +  = + = reais. 
Esse valor pode ser representado por 3 cédulas de 5 reais e 1 cédula de 10 reais, que é o que aparece na opção 
c). 
 
6) O sistema de numeração indo-arábico é formado por apenas 10 símbolos, conhecidos como algarismos: 
 
 
 
Uma diferença entre esse sistema e o romano, por exemplo, é que ele é um sistema de valor posicional. Isso 
quer dizer que o mesmo símbolo pode ser usado para representar quantidades diferentes, a depender da 
posição do símbolo (ou algarismo). Observe a situação a seguir. 
 
 
 
 
6 
 
 
Usando apenas algarismos ímpares, temos os números M e N, de modo que: 
• M é o maior número de 5 algarismos diferentes. 
• N é o menor número de 5 algarismos diferentes. 
O algarismo 7 ocupa posições diferentes em M e N. 
A quantidade de unidades que representa este algarismo em M menos a quantidade de unidades que 
representa este algarismo em N resulta no número K. 
 
Assinale a opção que representa a quinta parte do número K escrita no sistema de numeração romano. 
a) VI̅ CMXIII b) VI̅ CMXXX c) VI̅ CCCXXVI 
d) MCCCLXXXVI e) MCLXXX 
Resposta: d 
Para obtermos o maior número de 5 algarismos ímpares diferentes, devemos usar os maiores algarismos nas 
posições mais à esquerda do número, então: 97531M = . 
Para obtermos o menor número de 5 algarismos ímpares diferentes, devemos usar os menores algarismos nas 
posições mais à esquerda do número, então 13579N = . 
No número 97531M = M, o algarismo 7 está na posição das unidades de milhar, então ele representa 7000 
unidades. 
No número 13579N = , o algarismo 7 está na posição das dezenas simples, então ele representa 70 unidades. 
Logo, 7000 70 6930K = − = . 
A quinta parte de K é: 
6930
1386
5
= . 
Em algarismos romanos é MCCCLXXXVI. 
 
7) Considerando todos os 125 alunos da professora Maria Helena, sabe-se que 60% são meninas. No último 
final de semana, a professora corrigiu as provas trimestrais de todos os seus alunos. Sobre os resultados, 
MariaHelena observou que 80% dos meninos e 40% das meninas obtiveram nota igual a 7 (sete). Além 
disso, 
1
5
 do total de alunos obteve nota 5 (cinco). A seguir, a professora verificou que 
2
3
 do restante 
obtiveram nota 8 (oito) e os demais, nota 10 (dez). A média aritmética das notas de todos os alunos é um 
número entre: 
 
a) 6,3 e 6,7. b) 6,8 e 7,2. c) 7,3 e 7,7. d) 7,8 e 8,2. e) 8,3 e 8,7. 
Resposta: b 
Como 60% dos 125 alunos são meninas, então a quantidade de meninas na turma é: 
60
125 75
100
AM = = 
Logo, a quantidade de meninos na turma é 125 75 50OM = − = . 
A quantidade de meninos que obteve nota 7 é: 
7 
 
80
50 40
100
= 
A quantidade de meninas que obteve nota 7 é: 
40
75 30
100
= 
A quantidade de alunos que obteve nota 5 é: 
1
125 25
5
= . 
A quantidade de alunos que obteve nota 8 é: 
2
30 20
3
= 
Como os demais alunos obtiveram nota 10, então a quantidade de alunos que obteve nota 10 é: 
125 40 30 25 20 10− − − − = 
A média aritmética das notas dos alunos é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )40 7 30 7 25 5 20 8 10 10
125
M
 +  +  +  + 
= 
280 210 125 160 100
125
875
7
125
M
M
+ + + +
=
= =
 
Portanto, a média das notas é um número entre 6,8 e 7,2. 
 
8) A Tenente Íris, bibliotecária do CMRJ, transferirá o acervo da biblioteca para novas instalações, situadas 
dois andares acima. No caminho para a nova biblioteca, a tenente sempre usará um elevador, cuja 
capacidade máxima é de 400 quilos. E, em todas as viagens, sempre terá o auxílio do Soldado João, com 
seu carrinho, como pode ser observado na figura. 
 
A tabela a seguir nos mostra a quantidade de livros que serão transferidos para as novas instalações. 
 
Disciplina Quantidade de livros Massa de cada livro 
 Matemática 330 2100 dg 
 Ciências Naturais 390 0,280 kg 
 História 450 3,15 hg 
 Geografia 510 43,7 dag 
 
Sabe-se que a tenente tem massa de 75 kg, o soldado, de 73 kg e o carrinho, de 30 kg. 
Qual o número mínimo de viagens de subida que eles farão para transportar todos os livros da tabela? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Resposta: c 
Como a tenente tem massa de 75 kg, o soldado, de 73 kg e o carrinho, de 30 kg, em cada viagem, a capacidade 
de carga disponível é: 
8 
 
( )400 75 73 30 222Kg− + + = 
Cada livro de Matemática tem massa 2100 0,21dg Kg= 2100 e os 330 livros têm massa: 
330 0,21 69,3Kg = . 
Cada livro de Ciências Naturais tem massa 0,28kg e os 390 livros têm massa: 
390 0,28 109,2Kg = . 
Cada livro de História tem massa 3,15 0,315hg Kg= e os 450 livros têm massa: 
450 0,315 141,75Kg = . 
Cada livro de Geografia tem massa 43,7 0,437dag Kg= e os 510 kg têm massa: 
510 0,437 222,87Kg = . 
A massa que precisará ser transportada é: 
69,3 109,2 141,75 222,87 543,12Kg+ + + = . 
Assumindo que sempre é possível utilizar toda a capacidade de carga do elevador, o número de viagens de 
subida necessárias é: 
543,12
2, 45
222
 , ou seja, serão necessárias pelo menos 3 viagens. 
 
9) No Laboratório de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro, há somente os modelos de sólidos 
da imagem a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que são 40 esferas e que o número de cilindros é três vezes o número de arestas da pirâmide. Sabe-se 
também que existem 24 poliedros de 5 faces e que o número de cones é igual ao quádruplo do número de 
faces do prisma. Já a quantidade de prismas é um número menor do que 50 e múltiplo, simultaneamente, de 
6 e 7. 
Dentre as frações abaixo, qual representa a quantidade de poliedros em relação à quantidade total de sólidos? 
a) b) c) d) e) 
 
Resposta: a 
 
 
40 Esferas 4 7 28 = 
Cones 
3 8 24 = 
Cilindros 
24 Pirâmides 
(5 faces) 
42 Prismas 
(7 faces) 
 
A quantidade de sólidos é 40 28 24 24 42 158+ + + + = e a quantidade de poliedros (pirâmides e prismas) é 
14 42 66 = , então a quantidade de poliedros em relação à quantidade total de sólidos é: 
66 33
158 79
= 
 
9 
 
10) Observe o diálogo abaixo: 
 
O General Himário, ex-aluno e ex-comandante do CMRJ, está sempre nos presenteando. A notícia alegrou 
muito o Coronel Isaías, comandante do Colégio, e ele logo solicitou à Tenente Íris que reservasse algumas 
prateleiras nas estantes da biblioteca, exclusivamente, para essas revistas. As revistas serão organizadas 
sempre em quantidades iguais por prateleira. Cada prateleira terá quantidade máxima de revistas e não haverá 
mistura de títulos em uma mesma prateleira. 
A doação consta de 220 revistas “A Cavalaria”, 120 revistas “Jogos da Amizade”, 80 revistas “O 
Infante” e os outros exemplares são todos da revista “Matemática Viva”. 
É correto afirmar que: 
a) para organizar todas as revistas “O Infante”, serão necessárias 6 prateleiras a menos do que a 
quantidade de prateleiras necessárias para organizar todas as revistas “A Cavalaria”. 
b) para organizar todas as revistas “Jogos da Amizade”, serão necessárias 5 prateleiras a menos do que a 
quantidade de prateleiras necessárias para organizar todas as revistas “Matemática Viva”. 
c) para organizar todas as revistas “A Cavalaria”, serão necessárias 4 prateleiras a mais do que a 
quantidade de prateleiras necessárias para organizar todas as revistas “Jogos da Amizade”. 
d) para organizar todas as revistas “Jogos da Amizade”, serão necessárias 3 prateleiras a mais do que a 
quantidade de prateleiras necessárias para organizar todas as revistas “O Infante”. 
e) para organizar todas as revistas “Matemática Viva”, serão necessárias 2 prateleiras a mais do que a 
quantidade de prateleiras necessárias para organizar todas as revistas “A Cavalaria”. 
 
Resposta: e 
O total de revistas doadas é: 
1
2049 680
3
= 
A doação consta de 220 revistas “A Cavalaria”, 120 revistas “Jogos da Amizade”, 80 revistas “O Infante”, 
então a quantidade de revistas “Matemática Viva” é: 
( )680 220 120 80 260− + + = . 
Para que as revistas sejam organizadas em quantidades iguais por prateleira, essa quantidade seja máxima e 
não haja mistura de títulos em uma mesma prateleira, a quantidade de revistas em cada prateleira deve ser o 
maior divisor comum da quantidade de revistas de cada tipo, ou seja, deve ser o 
( )
( )2 3 4 2
220;120;80;260
2 5 11;2 3 5;2 5;2 5 13
MDC
MDC       
 
10 
 
 
O MDC é composto pelos fatores comuns das decomposições em fatores primos elevados a seus menores 
expoentes, então: 
( )
( )2 3 4 2 2
220;120;80;260
2 5 11;2 3 5;2 5;2 5 13 2 5 20
MDC
MDC        =  =
 
Logo, as 220 revistas “A Cavalaria” ocuparão 220 20 11 = prateleiras, 120 revistas “Jogos da Amizade” 
ocuparão 120 20 6 = , 80 revistas “O Infante” ocuparão 80 20 4 = prateleiras e as 260 revistas “Matemática 
Viva” ocuparão 260 20 13 = prateleiras. Vamos analisar as alternativas. 
a) (Incorreta) 
b) (Incorreta) 
c) (Incorreta) 
d) (Incorreta) 
e) (Correta)