intro-econofisica09

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ECONOFÍSICA
Uma Breve Introdução
L. Moriconi 
IF-UFRJ
• I Panorama
• II Conceitos Basilares
• III Modelagem de Black-Scholes
• IV Mercados Não-Gaussianos
• V Econofísica & Turbulência
• VI Conclusões
 
 I. PANORAMA
Métodos de investigação oriundos da física estatística e sistemas não-lineares 
têm sido aplicados ao estudo de problemas econômicos, principalmente àqueles 
relacionados às flutuações dos índices financeiros produzidas nas bolsas de 
valores.
Assistimos, a partir de meados da década de 1990, à formação de uma sólida 
comunidade de físicos fortemente envolvida nesta nova área da física aplicada, 
chamada de “econofísica”.
A relação entre física e economia é antiga e pode ser reconhecida desde o século 
XVIII, começando com Adam Smith (sob o impacto da revolução newtoniana) e 
passando pelos princípios da microeconomia e da teoria neoclássica (sob 
influência da mecânica estatística de equilíbrio de Boltzmann). 
O grau de interdisciplinaridade economia/física da pesquisa em econofísica 
é, entretanto, historicamente inédito.
Informações úteis: http://www.econophysics.org/ 
 http://omnis.if.ufrj.br/~mbr/econofisica/intro/
 
Econofis 2007
Organizadores:
Marcelo Byrro (UFRJ)
Rosane Riera (PUC-RIO)
L.M.
Um inesperado sucesso.
Edição 2009 : IFT/São Paulo
(Novembro)
Um grande encontro (APFA)
ocorrerá em 2011 no Brasil.
 
S&P500
 
S&P500 31/03/2009 http://finance.yahoo.com/
 
 A Econofísica dos Mercados Financeiros
 Fenomenologia
 das flutuações
 dos índices 
 financeiros
Modelos microscópicos
- sistemas interagentes 
 de agentes financeiros
 “Portfolio Theory”
 Engenharia Financeira
Cosmos
Econômico
(Neoclássico?)
 
 II. CONCEITOS BASILARES
• Índices Financeiros .....................S(t)
• Log-Retornos...............................x(t)=Log[S(t+∆)/S(t)]
• Taxas de crescimento...................µ
• Taxa de juros livre de risco..........r
• Volatilidade..................................σ
• Mercado Eficiente........................Processos de Markov, Martingales
• Arbitragem...................................“A arte de ganhar do mercado”
• Derivativos...................................F[S(t)]
 
50000 100000 150000 200000
-0.003
-0.002
-0.001
0.001
0.002
0.003
Log-retornos do FTSE100, minuto a minuto,
no período de 2003 a 2005.
Taxas semanais de crescimento removidas.
Flutuações Não-Gaussianas!
 
Em um mundo gaussiano, a probabilidade do colapso de 
outubro de 1987 seria de 10-135 !
 
Derivativos; Opções de compra (call) e venda (put).
Call: quero comprar ações de você, daqui há um certo tempo, 
por um preço combinado (strike price).
Você escreve um contrato que me dá o direito de comprá-las.
Eu pago um prêmio pelo contrato. 
No dia “D” eu gostaria que as ações estivessem valorizadas – sou touro (bull).
No dia “D” você gostaria que as ações estivessem desvalorizadas – você é urso 
(bear).
Put: quero vender minhas ações a você, daqui há um certo tempo, 
por um preço combinado (strike price).
Você escreve um contrato que me dá o direito de vendê-las.
Eu pago um prêmio pelo contrato. 
No dia “D” eu gostaria que as ações estivessem desvalorizadas – sou urso (bear).
No dia “D” você gostaria que as ações estivessem valorizadas – você é touro (bull).
 PROBLEMA CRUCIAL: COMO PRECIFICAR OPÇÕES?
 
Exemplo: ações da Microsoft em 31/03/09
 
SPOT PRICE = 18.66
 
 Mercado Justo Os valores de opções são dados
 ou pelas linhas sólidas nas figs à
“O Jogo dos Bonzinhos” esquerda
Put Buyer Put Writer
Call Buyer Call Writer
 
III. MODELAGEM DE BLACK-SCHOLES 
Bachelier, em sua tese de doutorado (orientado por 
Poincarè) apresentada no ano de 1900, concebe as 
flutuações nas bolsas de valores como um processo 
estocástico, essencialmente idêntico ao “movimento 
browniano” introduzido por Einstein em 1905.
O trabalho de Bachelier, curiosamente, não desperta grande 
interesse acadêmico.
Suas idéias seriam reformuladas cerca de 70 anos depois 
por Black, Scholes e Merton (Scholes e Merton receberam 
o prêmio Nobel de economia em 1997). Apesar do grande 
sucesso do modelo de Black-Scholes - uma verdadeira 
revolução no mundo das finanças – este baseia-se em 
hipóteses que mostraram-se errôneas quando confrontadas 
com dados empíricos.
 
 
S(t)
S(t+∆)
S
t
Bachelier (1900)
 
Log[S(t)]
Log[S(t+∆)]
Log[S]
t
Black-Scholes (1973)
 17
Teoria de Black e Scholes do Hedging Dinâmico
S = índice
µ = taxa de crescimento
σ = volatilidade
η(t) = ruído gaussiano
Mercado Ideal Gaussiano:
 18
x= 1.0;H* volatility *L
sigma= 0.3;H* interest rate *L
mu= 1.0;H* time step *L
delta= 0.001;H* number of iterations *L
niter= 500;
<< Statistics`ContinuousDistributions`H* stock index list *L
stock= 8<;
Do@
eta = Random@NormalDistribution@0.0, 1 Sqrt@deltaDDD;
x= x+ delta*Hmu+ sigma*etaL* x;
stock = Append@stock, xD, 8i, 1, niter<D
Simulação da equação de evolução do Índice
 19
100 200 300 400 500
1.1
1.2
1.3
1.4
S (Índice)
T (Tempo)
 Flutuações seguem a distribuição log-normal. σ2 α T 
 
Black and Scholes mostraram que é possível definir 
uma carteira simples de investimentos, completamente 
livre de riscos, consistindo apenas de opções e índices, 
assumindo que a carteira pode ser constantemente 
atualizada até a data de vencimento das opções 
(dynamical hedging).
 F. Black and M. Scholes, J. Pol. Econ. 81, 637 (1973).
r,σ
T
E
S
VBS
 21
Carteira Mínima (ponto de vista do “writer”):
∆ = número de ações
V = valor da opção
Imponha que:
(i)
(ix) 
 r é a taxa de juros livre de risco
Então, usando o lema de Ito... 
 22
…obtemos a equação de Black-Scholes 
(uma equação de difusão “disfarçada”):
Condições finais são definidas para V = V(S,T).
A equação de BS é resolvida para trás no tempo,
para se achar V = V(S,t) para t < T.
O modelo é interessante e bem formulado,
entretanto...
NÃO É FIEL AOS 
MERCADOS REAIS!!!
 
r
T
E
S
V
σimp
A realidade prática dos mercados:
“volatilidade implícita”
BS
 24
IV. Mercados Não-Gaussianos
Crítica Essencial ao Modelo de BS: * A volatilidade flutua fortemente; 
 * Índices não flutuam log-normalmente;
 * Séries temporais irreversíveis.
FTSE100 – (2003-2005; horizonte temporal = 1 min):
 25
10 20 30 40 50 60 70
0.06
0.07
0.08
0.09
0.11
Flutuações de volatilidade do Footsie (2002-2005)
médias tomadas em ~ faixas de uma semana
volatilidade anualizada = vol_min * sqrt(8.5 * 60 * 250)
 
Modelo alternativo de precificação de opções:
L. Moriconi, 
“Delta Hedged Option Valuation with Underlying Non-Gaussian Returns”, 
Physica A 380, 343 (2007).
r,σ
T
E
S(t)
V
50000 100000 150000 200000
-0.003
-0.002
-0.001
0.001
0.002
0.003
BSG
FILTRO
 
 r,σ
T
E
S(t)
V
 r
T
E
Jogando o jogo do mercado:
σimp
BS
50000 100000 150000 200000
-0.003
-0.002
-0.001
0.001
0.002
0.003
FILTRO
BSG
 
 29
Volatility Smiles
 
V. ECONOFÍSICA & TURBULÊNCIA*
- Flutuações de índices financeiros, como a diferença de logs de 
cotações de determinada ação, assemelham-se às flutuações de 
velocidade encontradas em turbulência:
- Comportamento não-gaussiano para intervalos de tempo 
suficientemente pequenos;
- Lei de escala análoga ao decaimento espectral de Kolmogorov 
(compatível com hipótese do “mercado eficiente”);
- Conjectura-se a existência de uma cascata de informação de 
grandes para pequenas escalas temporais, a la Richardson (?);
- Estruturas coerentes (?). Cascatas lognormais. 
* veja, “Desafios da Turbulência”, L.M. , Ciência Hoje, outubro de 2008.
 
Estruturas Coerentes no Mercado Financeiro ?
 
 
VI. CONCLUSÕES* Econofísica é uma área efervescente e interdisciplinar da 
física aplicada, como atestam o já enorme número de artigos 
científicos, congressos regulares, livros introdutórios, grupos 
de pesquisa e programas de pós-graduação estabelecidos em 
diversos institutos de ponta espalhados pelo mundo;
* A contribuição da econofísica ao domínio das finanças é 
fato; até onde a econofisica pode alcançar dentro do cosmos 
econômico é uma pergunta interessante. A pesquisa atual tem 
se concentrado em uma diversidade de tópicos tais como:
Previsibilidade de mercados, análise de eventos raros, 
mecanismos de bolhas e crashes, análise de risco, estratégia de 
investimentos, simulações estocásticas de séries financeiras, 
simulações de sistemas de agentes, distribuição de riquezas e 
modelagem de networks.