livro4-2023-matematica

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4MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
GIUSEPPE NOBILIONI
Coordenador e Professor 
do Curso e Colégio Objetivo
JORGE KRIKORIAN
MAURO GRESPAN
Professores do Curso e Colégio Objetivo
Índice
Álgebra
Capítulo 1 Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Capítulo 2 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Capítulo 3 Exercícios-tarefa (binômio, análise
combinatória e probabilidade) . . . . . . . . . . . . . 32
Capítulo 4 Inversão de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Capítulo 5 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Capítulo 6 Exercícios-tarefa (matrizes, 
determinantes, inversão e 
sistemas lineares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Capítulo 7 Noções de estatística . . . . . . . . . . . . . . . 64
Capítulo 8 Noções de lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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Geometria Analítica
Capítulo 1 Estudo da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Capítulo 2 Estudo das cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Geometria Métrica
Capítulo 1 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Capítulo 2 Troncos e semelhança de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Capítulo 3 Esfera e Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Capítulo 4 Inscrição e circunscrição de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Capítulo 5 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Geometria de Posição
Capítulo 1 Retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Capítulo 2 Diedros, triedos, poliedros e ângulos poliédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Capítulo 3 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
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Sorte ou azar?
Em cada aposta da Mega-Sena, joga-se em seis dezenas, escolhidas entre 60. O número total de apostas 
possíveis é igual ao número de combinações de 60 elementos, tomados 6 a 6, e é, pois, igual a 
A probabilidade de ganhar na Mega-Sena, com uma única aposta, é 1 / 50 063 860, o que é, aproxima damente, 
igual a 1 / 50 000 000 = 0,00000002 = 0,000002%. É realmente muito pequena! Para avaliar, concretamente, 
quão pequena é esta chance, faremos uma analogia utilizando grãos de feijão. Observe a sequência de resultados.
• Um grão de feijão ocupa, aproximadamente, o espaço de um prisma quadrangular regular de
altura 1 cm e aresta da base 0,4 cm. 
O volume é (0,4 cm)2 · 1 cm = 0,16 cm3 = 0,16 · 10– 6 m3
O volume ocupado por 50 milhões de grãos de feijão é (50.106) · (0,16 · 10– 6m3) = 8 m3
• Oito metros cúbicos é o volume de um depósito cúbico de 2 metros de aresta.
• 50 milhões de grãos de feijão é, portanto, a quantidade que pode ser armazenada num depósito
cúbico de 2 metros de aresta.
• Suponha que apenas um dos 50 000 000 de grãos de feijão, do depósito cúbico descrito
acima, seja pintado de branco.
• Imagine, agora, que uma pessoa, de olhos vendados e aleatoria mente, retire um único grão de feijão do tal depósito.
• A probabilidade de o feijão retirado ser aquele pintado de branco é 1 / 50 000 000.
• A probabilidade de ganhar na Mega-Sena com uma única aposta é, aproximadamente, igual à de retirar o tal feijão branco
numa única tentativa. 
Jogando muitas semanas consecutivas, consegue-se aumentar significativamente a chance de ganhar? Vejamos! 
Duas apostas por semana, durante as 52 semanas de um ano, durante 100 anos, totalizam
10400 apostas. Uma pessoa que jogue na Mega-Sena com duas apostas por semana, durante todas
as semanas de sua vida, talvez consiga um total de 10 000 apostas, já que viver 100 anos ou mais é
pouco provável. Mesmo assim, a chance de essa pessoa ganhar é muito pequena, já que 10 000 ainda
é muito menor que 50 000 000.
Assim sendo, se você já jogou muitas vezes na Mega-Sena e ainda não ganhou, não se pode dizer
que você é uma pessoa de sorte, mas também não se deve considerá-lo uma pessoa azarada. Você é uma pessoa normal,
completamente de acordo com as perspectivas matemáticas! A Matemática, neste caso, mostra uma realidade desanimadora
que tira toda a ilusão de quem gosta de jogar e apostar. Entretanto, para as pessoas que gostam de jogar, o pensamento deve
ser outro: “Vou continuar jogando porque, apesar de ser difícil, não é impossível ganhar”. O jogador poderá também pensar:
“Já que, de vez em quando, alguém ganha na Mega-Sena, se eu jogar, esse felizardo poderá ser eu”.
60 · 59 · 58 · 57 · 56 · 55
––––––––––––––––––––– = 50 063 860
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
1ÁlgebraAnálise combinatória
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1. Princípio fundamental da contagem
Os problemas de Análise Combinatória são, basica mente, problemas de contagem. A abordagem desses proble mas
é baseada em um fato, de fácil comprovação, denominado Princípio Fundamental da Contagem ou, simplesmente,
Regra do Produto, que enunciaremos e exemplificaremos a seguir.
Enunciado
Um acontecimento é composto de dois estágios su ces sivos e independentes. O primeiro estágio pode ocorrer de m
modos distintos; em seguida, o segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Nestas condições, dizemos que “o
número de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é igual ao produto m · n”.
Exemplo
Um estudante, ao se inscrever num concurso para vestibular, deve escolher o curso e a faculdade que deseja cursar.
Sabe-se que existem cinco cursos possíveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Arquitetura e Direito. Cada curso pode
ser feito em três faculdades possíveis: estadual, federal e particular. Qual é o número total de opções que o estudante
pode fazer?
Resolução
De acordo com o Princípio Fundamental da Con tagem, o número total de opções que o estudante pode fazer é 5×3,
ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 opções com o auxílio da árvore de possibilidades, observando que, para cada um dos
cinco cursos possíveis (E, M, O, A, D), existem três faculdades possíveis (E, F, P).
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Generalizações
Um acontecimento é composto por k estágios
sucessivos e independentes, com, respectivamente, n1, 
n2, n3, ..., nk possibilidades cada um. O número total
de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é 
n1 · n2 · n3 · ... · nk.
2. Técnicas de contagem
Seja A = {a; b; c; d; ...; j} um conjunto formado por
10 elementos distintos, e consideremos os “agrupa men -
tos ab, ac e ca”.
Os agrupamentos ab e ac são considerados sempre
distintos, pois diferem pela natureza de um elemento.
Os agrupamentos ac e ca, que diferem apenas pela
ordem de seus elementos, podem ser considerados dis -
tin tos ou não.
Se, por exemplo, os elementos do conjunto A forem
pontos, A = {A1, A2, A3, ..., A10}, e, ligando estes
pontos, desejarmos obter retas, então os agrupamentos 
↔
A1A2 e A2A1
↔
são iguais, pois representam a mesma reta.
Se, por outro lado, os elementos do conjunto A forem
algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estesalgarismos
desejarmos obter números, então os agrupamentos 12 e
21 são distintos, pois representam números diferentes.
Do que foi exposto, podemos concluir:
a) Existem problemas de contagem em que os
agrupamentos, a serem contados, são considerados
distintos, apenas quando diferem pela natureza de pelo
menos um de seus elementos. É o caso em que ac = ca.
Neste caso, os agrupamentos são chamados com -
binações.
Caso típico
O conjunto A é formado por pontos e o problema é
saber quantas retas esses pontos determinam.
b) Existem problemas de contagem em que os
agrupamentos, a serem contados, são considerados
distintos, quando diferem tanto pela natureza como
também pela ordem de seus elementos. É o caso em que
ac ≠ ca.
Neste caso, os agrupamentos são chamados arranjos.
Caso típico
O conjunto A é formado por algarismos e o proble -
ma é contar os números por eles determinados.
3. Arranjos simples
Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um na tu ral
menor ou igual a n.
Chamam-se arranjos simples k a k, dos n elemen -
tos de A, os agrupamentos, de k elementos dis tintos cada
um, que diferem entre si ou pela natureza ou pela
ordem de seus elementos.
Cálculo do número 
de arranjos simples
Na formação de todos os arranjos simples dos n
elementos de A, tomados k a k, temos:
n possibilidades na escolha do 1o. elemento.
n – 1 possibilidades na escolha do 2o. elemento,
pois um deles já foi usado.
n – 2 possibilidades na escolha do 3o. elemento,
pois dois deles já foram usados.
�
n – (k – 1) possibilidades na escolha do ko. ele -
mento, pois k – 1 deles já foram usados.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, represen -
tando com o símbolo An, k o número total de arranjos
simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
(é o produto de k fatores)
Multiplicando e dividindo por (n – k)!:
n(n – 1) (n – 2) · ... · (n – k + 1) · (n – k)!
An,k = 
___________________________________ ,
(n – k)!
e notando que n(n – 1)(n – 2) · ... · (n – k + 1) · (n – k)! = n!,
podemos também escrever
An,k = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · (n – k + 1)
n!
An,k = ––––––––
(n – k)!
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1. Calcular o número de arranjos simples de 10 elementos
tomados 4 a 4.
Resolução
A10,4 = 
(10 – 4)!
________10! = 
6!
____10! = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040
Resposta: 5040
2. Quantos números, de três algarismos distintos, podemos
formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
Resolução
Como 1 2 3 � 1 3 2, por exemplo, devemos calcular os arranjos
de 6 elementos 3 a 3.
A6,3 = 6 · 5 · 4 = 120
Resposta: 120
3. Quantos números de algarismos distintos e compreendidos
entre 100 e 1000 podem ser obtidos utilizando os algarismos 
1, 2, 3, 5, 6?
Resolução
Os números em questão são formados por três algarismos
distin tos, escolhidos entre os 5 algarismos dados. 
O número procurado é A5,3 = 5 · 4 · 3, e, portanto, 60.
Resposta: 60
4. Uma clínica dispõe de 4 enfermeiras, 2 clíni cos gerais e 
3 cirurgiões para os plantões. Cada plantão deve ter uma equipe
composta de uma enfermeira, um clínico geral e um cirur gião.
O número de equipes diferentes que podem ser for ma das é:
a) 11 b) 16 c) 24 d) 32 e) 40
Resolução
O número de equipes diferentes que podem ser formadas, nas
con dições do enunciado é 4 · 2 · 3 = 24, pelo Princípio Fun -
damental da Con tagem.
Resposta: C
5. Na figura, temos um quadrado maior de lado 4 cm, subdividido
em vários quadrados de lados 1 cm, 2 cm e 3 cm. Quantos
quadrados diferentes podem ser con tados na figura?
a) 16 b) 20 c) 26 d) 28 e) 30
Resolução
Quadrado de lado 4 cm = 1
Quadrados de lados 3 cm = 22 = 4
Quadrados de lados 2 cm = 32 = 9
Quadrados de lados 1 cm = 42 = 16
São, portanto, 1 + 4 + 9 + 16 = 30 quadrados diferentes no total.
Resposta: E
6. O comitê organizador da Copa do Mundo 2014
criou a logomarca da Copa, composta de uma
figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”,
com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o
comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da
bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a
logomarca, de forma que regiões vizinhas tivessem cores
diferentes.
Disponível em: www.pt.fifa.com. 
Acesso: em: 19 nov. 2013 (adaptado).
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa
poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
a) 15 b) 30 c) 108 d) 360 e) 972
Resolução
A figura, por ser plana, tem seis regiões distintas. Neste caso,
teríamos 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 972 formas de pintá-las, como
sugere a figura seguinte.
Observação:
Não se pode assegurar que as quatro cores sejam sem pre
usadas em cada logotipo.
Observe ainda que nas 972 formas de pintar as 6 regiões da
figura não se considerou a possibilidade de pintar o slogan, que
também faz parte da Logomarca.
Resposta: E
JUNTOS NUM SÓ RITMO
3 3
3
3
3
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7. (FUVEST) – Considere todas as trinta e duas sequências, com
cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os
algaris mos 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem pelo
menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16
8. (VUNESP) – De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 
4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma
vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem
exa tamente uma bola de cada cor?
a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12
9. (FATEC) – Dispondo de cinco cores distintas, uma pessoa
pretende pintar as letras da palavra de acordo com 
os seguintes critérios: 
• na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão a
mesma cor; 
• letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e 
• cada letra será pintada com uma única cor. 
O número de modos distintos de se realizar essa pintura é 
a) 120 b) 90 c) 80 d) 50 e) 40 
10. (UEL) – Para responder a certo questionário, preenche-se o
cartão apresentado a seguir, colocando-se um “x” em uma só
res posta para cada questão.
De quantas maneiras distintas se pode responder a esse
questio nário?
a) 3125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10
11. (FGV) – O total de números pares não negativos de até quatro
algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2
e 3, sem repetir algarismos, é igual a
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 
12. (UFSCar) – Um encontro científico conta com a participação de
pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 quí micos, 5 físicos e
4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu
for mar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em
um con gresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser
for mada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas
distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a:
a) 46 b) 59 c) 77 d) 83 e) 91
13. (UFRJ) – Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo,
cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele
deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que
duas casas consecutivas não possuam a mesma cor.
Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam:
Primeira
verde amarelo bege verde cinza
Segunda
verde cinza verde bege cinza
Determine o número de possibilidades diferentes de pintura.
14. Um modelo de telefone celular oferece a opção de
desblo quear a tela usando um padrão de toques
como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões
numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3,
4 ou 5 toques ao todo.
Qual expressão representa o número total de códigos
existentes?
a) 45 – 44 – 43 b) 45 + 44 + 43 c) 45 x 44 x 43
d) (4!)5 e) 45
FATEC
CARTÃO-RESPOSTA
QUESTÕES 1 2 3 4 5
SIM o o o o o
NÃO o o o o o
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15. (MACKENZIE) – Cada um dos círculos da figura ao lado deverá
ser pintado com uma única cor,
escolhida entre quatro disponí -
veis. Saben do-se que dois círculos consecutivos nunca serão
pintados com a mesma cor, então o número de formas de se
pintar oscírculos é:
a)100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040
16. (UNESP) – Uma rede de supermercados fornece a seus clientes
um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras
distintas (entre 26), seguidas de 4 al garismos distintos. Uma
determinada cidade receberá os cartões que têm L como
terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A
quantidade total de cartões distintos ofere cidos por tal rede de
supermer ca dos para essa cidade é 
a) 33 600 b) 37 800 c) 43 200 
d) 58 500 e) 67 600 
17. Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e
V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro
quesitos são julgados, cada um por dois jurados,
que podem atribuir somente uma entre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10.
A campeã será a escola que obtiver mais pontuação na soma de
todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a
que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no
quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile
desse ano no momento em que faltava somente a divulgação
das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas
pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?
a) 21 b) 90 c) 750
d) 1250 e) 3125
18. (FGV) – Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel no
qual Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três
últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347.
Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda
garota era um nú mero par, não divisível por 5 e que não havia
algarismos repe tidos. Apaixonado, resol veu testar todas as
combinações nu méricas possíveis. Azarado! Restava apenas
uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu
telefone celular. Até então, Teodoro havia feito:
a) 23 ligações b) 59 ligações c) 39 ligações
d) 35 ligações e) 29 ligações
19. (PUC) – No vestiário de uma Academia de Ginástica há exata -
mente 30 armários, cada qual para uso individual.
Se, no instante em que dois alunos dessa Academia en tram no
vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão
desocupados, quantas opções eles terão para escolher seus
respectivos armários?
a) 14 b) 28 c) 48 d) 56 e) 112
20. Quantos números de 3 algarismos distintos, maiores que 500,
podemos formar com os algarismos de 0 a 9?
21. Quantos números diferentes de quatro algarismos distintos
existem no sistema decimal de numeração?
22. Quantos números ímpares diferentes, de quatro algarismos
distintos, existem no sistema decimal de numeração?
23. Quantos números pares diferentes, de quatro algarismos
distintos, existem no sistema decimal de numeração?
24. (PUC) – O número total de inteiros positivos que podem ser
formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é
repetido em nenhum inteiro, é:
a) 54 b) 56 c) 58
d) 60 e) 64
25. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a
disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente outro
no seu campo e no campo desse. Quantos jogos serão realiza -
dos?
26. (UFMG) – O total de números inteiros, com todos os algarismos
distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é:
a) 576 b) 648 c) 728
d) 738 e) 741
�������
–––––––––––––––––––––––––––
Quesitos
1. Fantasia
e Alegoria
2. Evolução e
Conjunto
3. Enredo e
Harmonia
4. Bateria
Total
Jurado A B A B A B A B
Escola 
I
6 7 8 8 9 9 8 55
Escola 
II
9 8 10 9 10 10 10 66
Escola 
III
8 8 7 8 6 7 6 50
Escola 
IV
9 10 10 10 9 10 10 68
Escola 
V
8 7 9 8 6 8 8 54
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27. (UNESP) – As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectivamente, apenas
as letras das palavras OURO, PRATA e BRONZE. Uma a uma
são retiradas letras dessas urnas, ordenadamente e de forma
cíclica, ou seja, a primeira letra retirada é da urna 1, a segunda é
da urna 2, a terceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1,
a quinta volta a ser da urna 2, e assim sucessivamente. O
número mínimo de letras retiradas das urnas dessa maneira até
que seja possível formar, com elas, a palavra PRAZER é igual a
a) 8 b) 6 c) 10 d) 9 e) 7 
28. (FUVEST-2021) – Um aplicativo de videoconferências
estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando
um alfabeto completo de 26 letras. A quantidade de códigos
distintos possíveis está entre
a) 10 bilhões e 100 bilhões. b) 100 bilhões e 1 trilhão.
c) 1 trilhão e 10 trilhões. d) 10 trilhões e 100 trilhões.
e) 100 trilhões e 1 quatrilhão.
Note e adote: log1013 � 1,114; 1 bi = 10
9
7
4. Permutações
Definição
Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos
simples n a n, dos n elementos de A, são chamados
permutações simples de n elementos.
Observe que, de acordo com a definição, todas as
permutações têm os mesmos elementos. São os n ele -
mentos de A. Assim sendo: duas permutações diferem
entre si apenas pela ordem de seus elementos.
Cálculo do número 
de permutações simples
Representando com o símbolo Pn o número total de
permutações simples de n elementos e fazendo k = n na
fórmula An,k = n(n – 1) (n – 2) · ... · (n – k + 1), temos:
Pn = An,n = n(n – 1) · (n – 2) · ... · (n – n + 1) =
= n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 1 = n!
5. Combinações simples
Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um natural
menor ou igual a n. Chamam-se combinações simples k
a k, dos n elementos de A, os agrupamentos, de k
elementos distintos cada um, que diferem entre si
apenas pela natureza de seus elementos.
Exemplo
Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos
distintos. Com os elementos de A podemos formar 4
combinações de três elementos cada uma:
Permutanto-se os 3 elementos de uma delas, por
exemplo abc, obtemos P3 = 6 arranjos distintos:
Permutando-se os 3 elementos das 4 combinações,
obtemos todos os arranjos 3 a 3:
Assim sendo, (4 combinações) × (6 permutações) =
= 24 arranjos e, portanto, C4,3 · P3 = A4,3.
Cálculo do número 
de combinações simples 
Representando com o símbolo Cn,k o número total
de combinações simples dos n elementos de A, tomados
k a k, de modo análogo ao exemplo apresentado, temos:
Pn = n!
abc abd acd bcd
abc abd acd bcd
acb
bac
bca
cab
cba
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dab dac dbc
cba dba dca dcb
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a) permutando os k elementos de uma com -
binação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.
b) permutando os k elementos das Cn,k com bina -
ções k a k, obtemos Cn,k · Pk arranjos distintos.
Assim sendo:
Lembrando que An,k = , Pk = k! e 
= , podemos também escrever:� nk
An,k
Cn,k · Pk = An,k ou ainda Cn,k = –––––
Pk
An,k n! n
Cn,k = ––––– = –––––––– = � �Pk k!(n – k)! k
n!–––––––––
k!(n – k)!
n!–––––––
(n – k)!
�
29. Quantos anagramas tem a palavra PAI?
Resolução
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
30. Quais os anagramas da palavra PAI?
Resolução
Os 6 anagramas da palavra PAI são:
PAI, PIA, AIP, API, IAP, IPA
31. Quantos anagramas tem a palavra PALMITO?
Resolução
P7 = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
32. Quantos são os anagramas da palavra PALMITO começados
com a letra P?
Resolução
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
33. Calcular C7,3
Resolução
C7,3 = = = = 35
34. Cinco pessoas querem acomodar-se em um automóvel de cinco
lugares. De quantas maneiras isso poderá ser feito?
Resolução
As cinco pessoas só podem trocar de lugar; como são cinco
lugares, temos:
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
35. Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um
grupo de 8 pessoas?
Resolução
Temos 8 pessoas e devemos escolher 3 destas, de modo que
importa apenas a natureza, pois, se mudarmos a ordem das
pessoas dentro de uma comissão, esta comissão continua a
mesma. Assim, a quantidade de comissões é dada por:
C8,3 = = 56
36. Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade
de 4 doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos
diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens
com 4 doces diferentes ele poderá oferecer?
Resolução
O fabricantedeve escolher 4 doces diferentes, em que só
impor ta a natureza, pois, se mudarmos a ordem dos doces
dentro da embalalagem, o resultado não se altera. Assim, temos
que o número procurado é dado por:
C10,4 = = 210
37. A escrita Braille para cegos é um sistema de
símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 
6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos
um se destaca em relação aos demais.
Por exemplo, a letra A é representada por .
O número total de caracteres que podem ser represen tados no
sistema Braille é
a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720 
Resolução
A partir do enunciado, conclui-se que o número total de
caracteres que podem ser representados no sistema Braille é:
C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 = 2
6 – 1 = 63
Resposta: D
 Obs.: Note que nos 63 caracteres possíveis de serem obtidos
está incluído aquele em que os seis pontos estão “em destaque”.
Neste caso, não existe pelo menos 1 que se destaque dos
demais; todos, porém, destacam-se em relação ao plano do papel.
38. Num veículo com 9 lugares, sendo um deles o do motorista,
deverão viajar 9 pessoas das quais apenas 4 podem dirigir.
Nessas condições, de quantas maneiras essas pessoas poderão
ser dispostas no referido veículo?
a) 20 160 b) 40 320 c) 80 640
d) 161 280 e) 362 880
Resolução
Para cada um dos 4 que podem ocupar a posição do motorista,
per mutamos entre si as demais 8 pessoas.
Portanto, 4 · P8 = 4 · 8! = 161 280
Resposta: D
• •• •• •
7 · 6 · 5
––––––––
3 · 2 · 1
7!
––––––
3! 4!
7!
–––––––––
3!(7 – 3)!
8 · 7 · 6
––––––––
3!
10 · 9 · 8 · 7
–––––––––––––
4!
P
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39. Calcular o número total de anagramas da palavra VESTIBULAR.
Questões de 40 a 47
Considerando-se os anagramas da palavra ALIMENTO, qual é o
número total dos que
40. começam com a letra M?
41. terminam com a letra O?
42. começam com a letra M e terminam com a letra L?
43. começam com uma vogal?
44. terminam com uma consoante?
45. começam com vogal e terminam em consoante?
46. começam e terminam com vogal?
47. começam com vogal ou terminam em consoante?
48. (MACKENZIE) – Um trem de passageiros é constituído de uma
locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante.
Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão res -
taurante não pode ser colocado imediatamente após a locomo -
tiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:
a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720
49. (FUVEST) – Um lotação possui três bancos para passageiros,
cada um com três lugares, e deve transportar os três membros
da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas.
Além disso, 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os
nove passageiros no lotação é igual a:
a) 928 b) 1152 c) 1828 d) 2412 e) 3456
50. Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de
alugar dois filmes por vez. Quando os devolve,
sem pre pega outros dois filmes e assim suces -
sivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lan -
çamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama
e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses
16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de
ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades
de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama,
até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum
filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia
desse cliente poderá ser posta em prática? 
a) 20 x 8! + (3!)2 b) 8! x 5! x 3! 
c) d)
e)
51. (MACKENZIE) – O número de maneiras distintas de um grupo
formado por dois meninos e por cinco meninas posicionar-se
lado a lado para um “selfie” de tal maneira que cada menino
tenha, à sua esquerda e à sua direita, pelo menos uma menina,
é:
a) 120 b) 240 c) 720 d) 960 e) 1.440
52. O grupo de estudantes Ana, Beto, Caio, Deise, Ester, Fábio e
Gabrie la foi assistir a uma palestra no auditório da Fatec-São
Paulo e ocupou os lugares de uma fileira com exatamente sete
cadeiras, de modo que cada um dos rapazes sentou-se entre
duas moças do grupo. 
Na situação descrita, o número de modos distintos que esse
grupo poderia ocupar esses sete lugares é 
a) 144 b) 360 c) 720 d) 1240 e) 2520 
53. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca são colineares. Qual o
número total de triângulos com vértices nestes pontos?
Questões 54 a 56.
Considere duas retas paralelas. Marque 7 pontos distintos numa
delas e 4 pontos distintos na outra.
Determine, em seguida, o número total de
54. retas determinadas por estes 11 pontos;
55. triângulos com vértices nestes 11 pontos; 
56. quadriláteros convexos com vértices nestes 11 pontos.
57. Dados 20 pontos do espaço, dos quais não existem 
4 coplanares, quantos planos ficam definidos?
58. De quantas maneiras doze brinquedos dife rentes podem ser
distribuídos entre três crianças, de modo que a mais nova ganhe
cinco brinquedos, a mais velha quatro, e a outra três?
8! x 5! x 3!
––––––––––––
22
8! x 5! x 3!
––––––––––––
28
16!
––––
28
9
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59. Como não são adeptos da prática de esportes, um
grupo de amigos resolveu fazer um torneio de
futebol utilizando videogame. Decidiram que cada
jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores.
O campeão será aquele que conseguir o maior número de
pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende
do número de jogadores, como mostra o quadro:
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão
realizadas?
a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) 28
60. (MACKENZIE) – Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3), que
podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são ao todo:
a) 83 b) 84 c) 85 d) 168 e) 169
61. (VUNESP) – De um grupo constituído de 6 en fermeiros e 2 mé -
dicos, deseja-se formar comissões de 5 pes soas. Quantas
dessas comissões podem ser formadas se os 2 mé di cos devem,
neces sariamente, fazer parte de todas as comissões?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 168 e) 336
62. (MACKENZIE) – Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais
somente 4 são advogadas, para formar um único júri com 7 ju ra -
dos. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 
1 ad vo gado, é:
a) 120 b) 108 c) 160 d) 140 e) 128
63. (GV) – Em uma universidade, no Departamento de Veterinária,
existem 7 professores com especialização em Parasitologia e 
4 em Microbiologia. Em um congresso, para a exposição dos
seus trabalhos, serão formadas equipes da seguinte forma: 
4 com especialização em Parasitologia e 2 com especialização
em Mi cro bio logia. Quantas equipes diferentes poderão ser
formadas?
64. (UNESP-2021) – Uma montadora registrou a patente de um
motor em que cada cilindro tem capacidade cúbica diferente,
contrariando o modelo usual. Para um motor com 1 500 cilin -
dradas, ao invés de termos um motor com três cilindros iguais
de 500 cilindradas, poderemos ter um motor com três cilindros,
mas de 300, 400 e 800 cilindradas, por exemplo. Em teoria, isso
daria maior versatilidade e eficiência ao motor, quando
combinado com a tecnologia de desativação de cilindros.
Nesse novo motor, no lugar de termos apenas a opção de
desativação de cilindros de 500 cilindradas, o gerenciamento
eletrônico poderá desativar um cilindro de 300 cilindradas, por
exemplo, ou fazer a desativação de vários cilindros, conforme a
necessidade. Com esta solução, o leque de opções de
motorização, baseado nos diferentes ajustes de uso de um ou
mais cilindros, passa de 3 configurações possíveis para 
7 configurações de cilindradas resultantes. Já para um motor 
4 cilindros, as possibilidades sobem de 4 para até 15 configu -
rações diferentes de motorização.
Considere o Triângulo de Pascal.
Um motor com 3 800 cilindradas, com cilindros de 200, 250,
300, 400, 800 e 1 850 cilindradas, terá, com a tecnologia de
desativação de cilindros, uma quantidadede opções de
motorização igual a
a) 30 b) 63 c) 64 d) 36 e) 72
65. (FAMERP-2021) – Em uma empresa, o número de pessoas
atuando na limpeza em cada dia pode variar de 1 a 9,
dependendo da ocupação do prédio. Para compor a equipe de
cada dia, a empresa conta com 5 funcionários experientes e 
4 em treinamento. Sabendo que a equipe de limpeza de um dia
deve ter, necessariamente, um funcionário experiente a mais do
que a quantidade de funcionários em treinamento, o total de
equipes diferentes que podem ser formadas é igual a
a) 104 b) 116 c) 120 d) 126 e) 132 
66. (FMABC-2021) – Um pai comprou 7 camisas numeradas de 1 a
7, todas do mesmo tamanho. Seus filhos Gustavo e Henrique
devem escolher, cada um, 3 camisas, e a camisa restante ficará
com o pai. Sabendo que Gustavo não escolherá a camisa de
número 5 e Henrique escolherá a camisa de número 1, o
número de maneiras distintas de essa distribuição ser feita é
a) 40 b) 35 c) 45 d) 30 e) 50 
67. (SANTA CASA-2021) – Ana, Beatriz e Carina são médicas
intensivistas. Diana, Elisa, Fernanda, Gabriela, Helena, Inês e
Júlia são enfer meiras da unidade de terapia intensiva (UTI). No
sábado, haverá plantão de duas médicas intensivistas e quatro
enfermeiras nessa UTI.
No domingo, o plantão será feito pela médica intensivista que
não fez plantão no sábado e por cinco enfermeiras, sendo que
três delas não fizeram plantão no sábado. O total de
combinações diferentes que esse cronograma de trabalho do
fim de semana permite é igual a
a) 840 b) 245 c) 420 d) 490 e) 630 
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
10 1
6 1
Quantidade de jogadores 2 3 4 5 6 7
Número de partidas 1 3 6 10 15 21
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6. Arranjos completos
Arranjos completos de n elementos, tomados k a k,
são os arranjos de k elementos não necessariamente
distintos.
Ao calcular os arranjos completos, portanto,
devemos considerar tanto os arranjos com elementos
distintos (que são os arranjos simples) como também
aqueles com elementos repetidos.
O número total de arranjos completos de n
elementos, tomados k a k, e representado pelo símbolo
An,k,* é dado por:
7. Permutações 
com elementos repetidos
Sejam α elementos iguais a a, β elementos iguais a
b, γ elementos iguais a c, ..., λ elementos iguais a l, num
total de α + β + γ + ... + λ = n elementos. 
Representando com o símbolo Pn
α, β, γ, …, λ o número
de permutações distintas que podemos formar com os n
elementos, temos:
A*n,k = n
k
n!
Pn
α, β, γ, ..., λ = ––––––––––––––––
α! · β! · γ! · ... · λ!
11
68. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de
salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O
garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído
para que ela contivesse sempre só 2 diferen tes tipos de
salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos
modos diferen tes teve o garçom a liberdade de sele cionar os
salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?
a) 90 b) 21 c) 240 d) 38 e) 80
69. (FUVEST) – Participam de um torneio de voleibol 20 times
distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada uma. Na 1a. fase do
torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno),
todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de
cada chave passam para a 2a. fase. Na 2a. fase, os jogos são
eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor
permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até
que se apure o campeão do torneio é:
a) 39 b) 41 c) 43 d) 45 e) 47
70. (FUVEST) – Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com
exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de 5 alu nos, com
a exigência de que cada membro se relacione bem com todos
os outros. Quantas comis sões podem ser formadas?
a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87
71. (IBMEC) – Considere um cubo ABCDEFGH, cujas arestas
medem 2 cm. O número de maneiras diferentes de escolher
três de seus vértices de modo que a área do triângulo por eles
determinados seja maior do que 2 cm2 é igual a:
a) 32 b) 36 c) 40 d) 48 e) 56
72. (FUVEST) – Doze pontos são assinalados sobre quatro
segmentos de reta de forma que três pontos sobre três
segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados
com os vértices nos pontos assinalados é
a) 200 b) 204 c) 208 d) 212 e) 220 
73. Uma família composta por sete pessoas adultas,
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou
o site de uma empresa aérea e constatou que o
voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura,
disponi bilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas
com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em
branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse
voo é calculado por:
a) b) c) 7! 
d) . 4! e) . 
9!
––––
2!
9!
–––––––
7! · 2!
5!
––––
2!
5!
––––
4!
4!
––––
3!
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74. Quantas placas de automóvel podem ser formadas, tendo cada
uma três letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de 
4 al ga ris mos do sistema decimal de numeração?
Resolução
A*26,3 · A
*
10,4 = 26
3 · 104 = 175 760 000
75. Quantos são os anagramas da palavra MACACA?
Resolução
Das 6 letras da palavra MACACA, 3 são iguais a A, 2 são iguais
a C. Logo:
P 3,2
6
= 
3! 2!
_____6! = 60
76. Numa cesta existem peras, maçãs, laranjas e bananas. Existem
pelo menos três de cada tipo e as frutas de mesmo tipo são
todas iguais. De quantas maneiras diferentes é possível escolher
a) três frutas de tipos diferentes?
b) três frutas?
Resolução:
a) C4,3 = 3 · 2 · 1
_________4 · 3 · 2 = 4
Observe quais são as 4 maneiras possíveis:
b) C*
4,3
= C4 + 3 – 1,3 = C6,3 = 3 · 2 · 1
________6 · 5 · 4 = 20
Observe quais são as 20 maneiras possíveis:
77. De quantas maneiras uma oficina pode pintar 5 automóveis
iguais, recebendo, cada um, tinta de uma única cor, se a oficina
dispõe apenas de 3 cores e não quer misturá-las?
Resolução
Como os cinco automóveis são iguais, a ordem em que eles
forem pintados não irá alterar o resultado; necessariamente irá
ocorrer repetição de cor, pois são 5 carros e apenas 3 cores.
Trata-se, portanto, da combinação de 3 elementos, classe 5,
com repetição. O resultado é dado por:
C*3,5 = C3 + 5 – 1,5 = C7,5 = C7,2 = 2!
_____7 · 6 = 21
78. Quantos são os números de três algarismos do sistema decimal
de numeração que possuem pelo menos dois algarismos iguais?
a) 126 b) 144 c) 252 d) 378 e) 504
Resolução
O total de números de três algarismos do sistema decimal de
numeração é igual a 9 · 10 · 10 = 900, dos quais 9 · 9 · 8 = 648
têm os algarismos distintos.
Portanto, os que possuem pelo menos dois algarismos iguais
são em número de 900 – 648 = 252
Resposta: C
79. As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul
e as ruas dessa mesma cidade na direção leste-oeste. Paulo
mora em uma das esquinas da cidade, e sua namorada, Tânia,
em outra esquina situada, em relação à de Paulo, três quadras
ao sul e cinco quadras a leste. Quantos caminhos diferentes
Paulo pode fazer para ir de sua casa até a casa de Tânia
caminhando apenas para sul e para leste?
a) 28 b) 35 c) 56 d) 84 e) 120
Resolução
L L L A A A A
PML PMB PLB MLB
PPP PLL MMM MLB
PPM PBB MML LLL
PPL PLB MMB LLB
PPB PLM MLL LBB
PMM PMB MBB BBB
8. Combinações completas
Combinações completas de n elementos, tomados
k a k, são combinações de k elementos não neces saria -
mente distintos.
Ao calcular as combinações completas, portanto,
devemos considerar tanto as combinações com
elementos distintos (que são as combinações simples)
como também aquelas com elementos repetidos.
O número total de combinações completas de n ele -
mentos, tomados k a k, e representado pelo símbolo C*n,k,
é dado por:
n + k – 1
C*n,k = Cn + k – 1,k = � �k
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80. (INSPER) –Em certa edição de um programa, n candidatos
tiveram pelo menos um dos 4 jurados se virando durante sua
apresentação. O conjunto de todos os jurados que se viraram,
porém, nunca foi o mesmo para dois quaisquer desses 
n candidatos. Dessa forma, n pode valer, no máximo, 
a) 4 b) 6 c) 12 d) 15 e) 24 
81. Quantos são os anagramas da palavra ARARAS?
82. (FATEC) – No boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista
tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o
cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se
para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, criou uma sequência
com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois
diretos, um cruzado e um gancho.
Assim, o número máximo de sequências que ele pôde criar foi de
a) 180 b) 160 c) 140 d) 120 e) 100 
83. Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome da
personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a
frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da
frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes
aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o
espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9! b) 4! 5! c) 2 x 4! 5!
d) e)
84. Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em
um condomínio fechado de uma cidade. O
quadriculado representa a localização das ruas
paralelas e perpen diculares, delimitando quadras de mesmo
tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão
localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos,
respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo,
sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do
condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→)
ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para
realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 4 b) 14 c) 17 d) 35 e) 48 
85. (FUVEST) – A figura a seguir representa parte do mapa de uma
cidade no qual estão assinalados as casas de João (A), de Maria
(B), a escola (C) e um possível caminho que João percorre para,
passando pela casa de Maria, chegar à escola. 
Lembre-se de que: 
n!
Permutação com repetição Pn
k1,k2, k3,… = ––––––––––––
k1!k2!k3!...
4! 5!
–––––
2
9!
–––
2
Na figura considere o ponto P onde mora Paulo e T onde mora
Tânia. Se S representa sul e L leste, dois possíveis caminhos
para Paulo ir de sua casa até onde mora Tânia, de acordo com o
que se pede é SSSLLLLL e SSLLLSLL.
O número de caminhos possíveis é igual à quantidade de
anagramas da “palavra” SSSLLLLL, que é P
8
(3;5) = = 56
Resposta: C 
8!
––––––
3!5!
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Caminhando somente para Norte(N) ou Leste(L), qual o número
total de caminhos que João poderá percorrer para ir de sua casa
à escola, passando pela casa de Maria?
86. (FGV) – O número de permutações da palavra ECONOMIA que
não começam nem terminam com a letra O é
a) 9 400 b) 9 600 c) 9 800 
d) 10 200 e) 10 800 
87. (UnB) – Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura
a seguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao
quadrado direito inferior (DI).
Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical
(V) e diagonal (D), conforme ilustrado nas representações
seguintes.
Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de
análise combinatória, julgue os itens a seguir em verdadeiro ou
falso.
( ) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e
verti cais, então o número de percursos possíveis será igual
a 70.
( ) Se forem utilizados movimentos horizontais, verticais e
ape nas um movimento diagonal, o número de percursos
possíveis será igual a 140.
( ) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movi men -
tos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a 10.
88. (ITA) – O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero,
da equação x + y + z + w = 5 é:
a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56
89. (MACKENZIE) – Entre os anagramas distintos que podemos
formar com n letras, das quais somente duas são iguais, 
120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 122
90. Quantos números naturais de 4 algarismos existem, ao todo, no
sistema decimal de numeração, tendo cada um pelo menos dois
algarismos iguais?
91. Quantos números de três algarismos existem no sistema
decimal de numeração?
92. Um feirante possui, em sua banca, maçãs, peras e laranjas em
grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o
feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de modo que
cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantos tipos de
pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela?
93. Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é
formado por uma carreta e dez carrinhos nela
transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é
feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do
brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarela,
branca, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com
uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa
determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo
menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis.
Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não
gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos
distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa em presa
poderá produzir?
a) C6,4 b) C9,3 c) C10,4 d) 6
4 e) 46
94. (VUNESP) – Dez rapazes, em férias no litoral, estão organizando
um torneio de voleibol de praia. Cinco deles são selecionados
para escolher os parceiros e capitanear as cinco equipes a
serem formadas, cada uma com dois jogadores.
a) Nessas condições, quantas possibilidades de formação de
equipes têm os capitães escolhidos?
b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se
realizarão, se cada uma das equipes deverá enfrentar todas
as outras uma única vez?
95. (UNICAMP) – 
a) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais
entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo
menos, 5 bolas?
b) Escolhendo, aleatoriamente, uma das distribuições do item
(a), qual a probabilidade de uma delas receber exatamente 
9 bolas? 
ES
DI
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 14
96. Uma empresa construirá sua página na internet e
espera atrair um público de aproximadamente um
milhão de clientes. Para acessar essa página, será
necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa.
Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador,
descritas no quadro, em que “L” e “D” representam,
respectivamente, letra maiúscula e dígito.
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os
dígitos, entre os 10 possíveis, se podem repetir em qualquer das
opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo
número de senhas distintas possíveis seja superior ao número
esperado de clientes, mas que esse número não seja superior
ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adéqua às condições da empresa é
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
97. (UNESP) – Um professor, ao elaborar uma prova composta de
10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e
apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de
alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de
respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam
assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por
diante, como mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas
diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será
a) 302 400 b) 113 400 c) 226 800 
d) 181 440 e) 604 800 
98. (FAMERP) – Artur e Roberto pretendem iniciar um curso de
inglês. Antes da escolha de uma escola de línguas, eles listaram
10 escolas diferentes, sendo que cada uma será visitada por
apenasum deles e, em seguida, os dois pretendem trocar suas
impressões pessoais sobre as respectivas escolas visitadas. Um
deles ficará responsável por visitar 6 das escolas, e o outro pelas
demais 4 escolas, podendo qualquer um visitar 6 ou 4 escolas.
O total de maneiras diferentes que Artur e Roberto podem 
orga nizar-se para cumprir o planejamento de visitas às 
10 escolas é igual a
a) 1 024 b) 210 c) 840 d) 2 048 e) 420 
Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD
A B C D E
01 X
02 X
03 X
04 X
05 X
06 X
07 X
08 X
09 X
10 X
15
7) C 8) C 9) C 10) C
11) B 12) D 13) 324 14) B
15) D 16) A 17) C 18) A
19) D 20) 360 21) 4 536 22) 2 240
23) 2 296 24) E 25) 182 26) C 
27) A 28) E 39) 3 628 800 40) 5 040
41) 5 040 42) 720 43) 20160 44) 20 160
45) 11 520 46) 8 640 47) 28 800 48) D
49) E 50) B 51) E 52) A
53) 1 330 54) 30 55) 126 56) 126
57) 1 140 58) 27 720 59) E 60) E
61) C 62) A 63) 210 64) B
65) D 66) D 67) E 68) A
69) E 70) A 71) A 72) D
73) A 80) D 81) 60 82) A
83) E 84) C 85) 150 86) E
87) V, V, F 88) E 89) C 90) 4 464
91) 900 92) 21 93) B
94) a)120 b) 10 95) a) 21 b) 
96) E 97) B 98) E
2
––
7
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 15
16
1. Ponto amostral, 
espaço amostral, evento
Ao realizar uma experiência com um número finito de
resultados, todos com a “mesma chance”, dizemos que:
• Ponto amostral é qualquer um dos resultados pos -
síveis.
• Espaço amostral é o conjunto de todos os resul -
tados possíveis. Representaremos o espaço amostral por
S e o número de elementos do espaço amostral por n(S).
• Evento é qualquer subconjunto do espaço amos -
tral. Representaremos o evento por A e o número de
elementos do evento por n(A).
• Os conjuntos Ø e S, por serem subconjuntos de S,
também são eventos. O conjunto Ø é chamado evento
impossível, pois nunca ocorre. O conjunto S é chamado
evento certo, pois sempre ocorre.
2. Conceito de probabilidade
A probabilidade de ocorrer o evento A, represen tada
por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é o quociente
entre o número de elementos de A e o número de ele -
mentos de S. 
Simbolicamente:
Na prática, costuma-se dizer que a probabilidade é o
quociente entre o número de casos favoráveis, que é
n(A), e o número de casos possíveis, que é n(S).
Exemplo 1
Na experiência de jogar um
dado ho nesto de seis faces,
numeradas de 1 a 6, e fazer
a leitura da face voltada
para cima, temos:
a) O ponto amos tral é a face numerada ou apenas o
número.
b) O espaço amostral é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
c) O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 6.
d) O evento número par é o conjunto A1 = {2, 4, 6} � S.
e) O número de elementos do evento número par é
n(A1) = 3.
f)A probabilidade do evento número par é , pois
g) O evento número menor que três é o conjunto 
A2 = {1, 2} � S.
h) O número de elementos do evento número menor
que 3 é n(A2) = 2.
i) A probabilidade do evento número menor que 3
é , pois
Exemplo 2
Na experiência de retirar uma carta de um baralho
comum de 52 cartas, temos:
a) O ponto amostral é a carta.
b) O espaço amostral é o conjunto S de todas as
cartas do baralho e, portanto, n(S) = 52.
1––
3
1––
2
n(A)
P(A) = –––––
n(S)
n(A1) 3 1P(A1) = –––––– = –– = ––n(S) 6 2
n(A2) 2 1P(A2) = –––––– = –– = ––n(S) 6 3
2ÁlgebraProbabilidade
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17
c) O evento “dama” é o conjunto A1 � S formado
pela dama de copas, dama de paus, dama de ouros e
dama de espadas e, portanto, n(A1) = 4.
d) A probabilidade do evento “dama” é , pois
e) O evento “carta de copas” é o conjunto A2 � S
for mado pelas cartas: ás de copas, dois de copas, três de
copas, …, dez de copas, valete de copas, dama de copas
e rei de copas.
f) O número de elementos do evento “carta de
copas” é, portanto, n(A2) = 13.
g) A probabilidade do evento “carta de copas” é
25%, pois P(A2) = = = = 0,25 = 25%
3. Propriedades de um espaço
amostral finito e não vazio
a) A probabilidade do evento impossível é zero e a
do evento certo é 1. Simbolicamente:
e
b) Se A for um evento qualquer de S, então:
c) Se A
–
for o complemento de A em S, então:
Demonstração das propriedades
Se S for um espaço amostral finito e não vazio, então:
a)
b) Ø � A � S ⇔ n(Ø) ≤ n(A) ≤ n(S) ⇔
n(Ø) n(A) n(S) ⇔ ––––– ≤ ––––– ≤ ––––– ⇔ 0 ≤ P(A) ≤ 1
n(S) n(S) n(S)
c)
n(A) n(A
–
) n(S)⇔ ––––– + ––––– = ––––– ⇔
n(S) n(S) n(S)
⇔ P(A) + P(A–) = 1 ⇔ P(A–) = 1 – P(A)
4. União de eventos
Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral
S, finito e não vazio, então:
n(A � B) = n(A) + n(B) – n(A � B) ⇔
n(A � B) n(A) n(B) n(A � B)⇒ ––––––––– = ––––– + ––––– – –––––––––– 
n(S) n(S) n(S) n(S)
e portanto:
Eventos mutuamente exclusivos
Se A � � = Ø, então A e B serão chamados
mutuamente exclusivos. Note que P(A � B) = 0 e
portanto:
Se os eventos A1, A2, A3, ..., An de S forem, dois a
dois, sempre mutuamente exclusivos, então, de modo
análogo, temos:
1–––
13
1
––
4
13
–––
52
n(A2)–––––
n(S)
0n(Ø) = 0 ⇒ P(Ø) = ––––– ⇒ P(Ø) = 0
n(S)
n(S)P(S) = ––––– ⇒ P(S) = 1
n(S)
�
A � A
–
= S
⇔ n(A) + n( A– ) = n(S) ⇔
A � A
–
= �
n(A1) 4 1P(A1) = –––––– = –––– = ––––n(S) 52 13
P(Ø) = 0 P(S) = 1
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A
–
) = 1 – P(A)
P(A � B) = P(A) + P(B)
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
P(A1 � A2 � A3 � ... � An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)
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18
Eventos exaustivos
Os eventos A1, A2, A3, ..., An de S, dois a dois,
mutuamente exclusivos, são chamados exaustivos se 
A1 � A2 � A3 � ... � An = S.
Neste caso, temos:
Assim sendo:
P(A1 � A2 � ... � An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) 
e
P(A1 � A2 � ... � An) = P(S) = 1
�
P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
1. Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de
seis faces numeradas de 1 a 6 e lê-se o
número da face voltada para cima.
Calcular a pro babilidade de obter o
número 2.
Resolução
a) Na experiência de jogar o dado e ler a face voltada para cima,
o espaço amostral é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e,
portanto, n(S) = 6. 
b) O evento “número 2” é o conjunto A = {2} e, portanto, n(A) = 1.
c) A probabilidade de obter o número 2 é , pois 
P(A) = = 
Resposta:
2. Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces numeradas
de 1 a 6 e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular a
probabilidade de obter um número maior do que 4.
Resolução
a) Na experiência de jogar um dado e ler a face voltada para
cima, o espaço amostral é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e,
portanto, n(S) = 6.
b) O evento “número maior que 4” é o conjunto A = {5, 6} e,
portanto, n(A) = 2.
c) A probabilidade de obter um número maior do que 4 é , pois
P(A) = = =
Resposta: 
3. Numa urna, existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que diferem
apenas pela numeração. Retiram-se duas bolas ao acaso e
simulta neamente. Qual a probabilidade de se obterem bolas
com nú me ros que têm soma par?
Resolução
a) Na experiência de retirar duas bolas da urna, o espaço amos -
tral é S = {(1 e 2), (1 e 3), (1 e 4), (2 e 3), (2 e 4), (3 e 4)} e o
número de elementos do espaço amostral é n(S) = C4,2 = 6.
b) O evento “soma par” é o conjunto A = {(1 e 3), (2 e 4)} e,
portanto, n(A) = 2.
c) A probabilidade de obter-se “soma par” é , pois
P(A) = = = 
Resposta: 
4. Retirando, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 
52 cartas, qual é a probabilidade de obter-se “uma dama ou uma
carta de copas”?
Resolução
a) Na experiência de retirar uma carta de um baralho comum de
52 cartas, o espaço amostral S é o conjunto de todas as
cartas e, portanto, n(S) = 52.
b) Se A1 for o evento “dama” e A2 o evento “carta de copas”,
então n(A1) = 4 e n(A2) = 13.
c) Entre as quatro damas e as treze cartas de copas, existe uma
úni ca carta comum: é a dama de copas. Assim sendo, 
n(A1 � A2) = 1.
d) P(A1 � A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 � A2) ⇒
⇒ P(A1 � A2) = + – = = 
Resposta: 
5. Retirando, ao acaso, uma carta de um baralhocomum de 
52 cartas, qual é a probabilidade de obter-se “uma dama ou um
rei”?
Resolução
a) S é o conjunto de todas as cartas e, portanto, n(S) = 52.
b) Se A1 for o evento “dama” e A2 o evento “rei”, então 
n(A1) = 4 e n(A2) = 4.
c) Os eventos A1 e A2 são mutuamente exclusivos, pois 
A1 � A2 = Ø.
d) Se A1 e A2 são mutuamente exclusivos, então
P(A1 � A2) = P(A1) + P(A2) = + = = 
Resposta: 
1
––
6
n(A)
––––
n(S)
1
––
6
1
––
6
1
––
3
n(A)
–––––
n(S)
2
–––
6
1
–––
3
1
–––
3
1
–––
3
n(A)
–––––
n(S)
2
–––
6
1
–––
3
1
–––
3
4
–––
52
13
–––
52
1
–––
52
16
–––
52
4
–––
13
4
–––
13
2
–––
13
8
–––
52
4
–––
52
4
–––
52
2
–––
13
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19
6. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o
Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma
reunião comemorativa. Várias delas haviam-se casado e tido
filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade
de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.
A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a)
filho(a) único(a) é
a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15 d) 7/23 e) 7/25 
Resolução
A partir da distribuição apresentada no gráfico, temos:
8 mulheres sem filhos.
7 mulheres com 1 filho.
6 mulheres com 2 filhos.
2 mulheres com 3 filhos.
Como as 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade
de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é 
igual a P = .
Resposta: E
7. Um município de 628 km2 é atendido por duas
emis soras de rádio cujas antenas A e B alcançam
um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar
a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente
pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos
uma das emissoras.
Essa probabilidade é de, aproximadamente, 
a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%
Resolução
A área de alcance de pelo menos uma das emissoras é
= 157km2. 
A probabilidade de um morador en con trar-se na área de al can ce de
pelo menos uma das emissoras é = 25%.
Resposta: B
8. A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o
jogo presente em praticamente todo computador
pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 x 16 foram
abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus
8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no
canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro,
cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme,
antes de se abrir qualquer quadrado.
Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher entre os
quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T um para abrir,
sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de
conter uma mina.
O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra
a) P. b) Q. c) R. d) S. e) T.
Resolução
Cada um dos 8 quadrados em torno do quadrado que contém o
número 2 tem probabilidade de conter uma bomba. Assim,
a probabilidade de P ter uma bomba é De
modo análogo, as probabilidades de Q, T e S conterem bombas
são, respectivamente, .
Excluídos os quadrados abertos e os seus vizinhos, restam 
16 x 16 – 4 · 9 = 220 quadrados e 40 – (2 + 1 + 3 + 4) = 30
bombas. A probabilidade de R conter uma bomba é � 0,136.
Assim, dos cinco quadrados, P, Q, R, S e T, o que tem menor
probabilidade de conter uma bomba é Q.
Resposta: B
7
––––
25
π 102
–––––––
2
157
–––––
628
2
––
8
2 1
–– = –– = 0,25.
8 4
1 3 4
––– = 0,125, ––– = 0,375 e ––– = 0,5
8 8 8
30
––––
220
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20
9. (UNESP) – Numa pesquisa feita com 200 ho mens, observou-se
que 80 eram casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram
solteiros. Escolhido um homem ao acaso, a probabilidade de ele
não ser solteiro é
a) 0,65 b) 0,6 c) 0,55 d) 0,5 e) 0,35 
10. Uma casa lotérica oferece cinco opções de jogos.
Em cada opção, o apostador escolhe um grupo de
K números distintos em um cartão que contém
um total de N números disponíveis, gerando, dessa forma, um
total de C combinações possíveis para se fazer a marcação do
cartão. Ganha o prêmio o cartão que apresentar os K números
sorteados. Os valores desses jogos variam de R$ 1,00 a R$ 2,00,
conforme descrito no quadro.
Um apostador dispõe de R$ 2,00 para gastar em uma das cinco
opções de jogos disponíveis.
Segundo o valor disponível para ser gasto, o jogo que oferece ao
apostador maior probabilidade de ganhar prêmio é o
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
11. Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, das quais,
a pedido, sessenta deveriam ser bem mais apimentadas. Por
pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao
acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A
probabilidade de alguém retirar uma empadinha mais
apimentada é:
a) b) c) d) e)
12. (MACKENZIE) – Se 4 bolas são retiradas sucessivamente, ao
acaso e sem reposição, de uma caixa contendo bolas
numeradas de 1 a 100, a probabilidade de que a primeira bola
retirada tenha um número maior que o da última é
a) b) c) d) e)
13. (UFRGS) – O Google, site de buscas na internet criado em 1998,
usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de
pesquisas de forma muito eficiente. Na rede mundial de
computadores, são realizadas, a cada segundo, 30.000 buscas,
em média. A tabela abaixo apresenta a distribuição desse total
entre os maiores sites de busca. 
De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem
simultanea mente uma busca na internet, a probabilidade de que
pelo menos uma delas tenha usado o Google é
a) 67% b) 75% c) 83% d) 91% e) 99% 
14. (UNICAMP) – Um dado não tendencioso de seis faces será
lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido
nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a
a) b) c) d)
15. (Albert Einstein) – Em um kit com 10 testes rápidos de
gravidez, dois estão com defeito de fabricação. Se os dez testes
forem alinhados aleatoriamente, a probabilidade de que os dois
com defeito fiquem lado a lado no alinhamento é de
a) 18% b) 20% c) 16% d) 15% e) 12% 
16. (UNESP) – Dois dados convencionais e honestos foram
lançados ao acaso. Sabendo-se que saiu o número 6 em pelo
menos um deles, a probabilidade de que tenha saído o número
1 no outro é igual a
a) b) c) d) e)
17. Em uma central de atendimento, cem pessoas
rece beram senhas numeradas de 1 até 100. Uma
das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a
probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
a) b) c) d) e)
Jogo
Valor
do 
jogo
(R$)
Números
a serem
escolhidos
Números
disponíveis
Combinações
possíveis 
(C )
I 1,50 6 45 8 145 060
II 1,00 6 50 15 890 700
III 2,00 5 60 5 461 512
IV 1,00 6 60 50 063 860
V 2,00 5 50 2 118 760
1
–––
90
2
–––
3
1
–––
60
1
–––
2
1
–––
3
1
–––
100
1
–––
50
1
–––
8
1
–––
4
1
–––
2
Sites Buscas
Google 21.000
Yahoo 2.700
Microsoft 800
Outros 5.500
Total 30.000
1
––
9
1
––
7
1
––
5
1
––
3
1
––
18
1
––
6
2
––
11
8
––
11
2
––
9
80
––––
100
21
––––
100
20
––––
100
19
––––
100
1
–––––
100
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18. Sete lâmpadas de néon são dispostas formando um “oito”,
como no mostrador de uma calculadora (figura I), e podem ser
acesas independentemente umas das outras. Estando todas as
sete apagadas, acendem-se quatro delas ao mesmo tempo, ao
acaso. A probabilidade de ser formado o algarismo 4, como
aparece na figura II, é:
a) b) c) d) e)
19. (MACKENZIE) – Escolhe-se, ao acaso, um número de três
algarismos distintos tomados do conjunto {1; 2; 3; 4; 5}. A
probabilidade de nesse número aparecer o algarismo 2 e não
aparecer o algarismo 4 é: 
a) b) c) d) e)
20. (SANTA CASA-2021) – O símbolo � denota inclusão entre
conjuntos. Por exemplo, � � � quer dizer que o conjunto dos
números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
Dizemos, ainda, que todo conjunto está contido em si mesmo,
por exemplo, �� �. Sendo X um conjunto, serão listadas todas
as possibilidades de X em que {1, 2} � X � {1, 2, 3, 4, 5}.
Sorteando-se aleatoriamente uma dessas possibilidades, a
probabilidade de que ela repre sente um conjunto que possui o
número 3 como um dos seus elementos é igual a
a) b) c) d) e)
21. (MACKENZIE) – 4 homens e 4 mulheres devem ocupar os 8
lugares de um banco. A probabilidade de que nunca fiquem lado
a lado duas pessoas do mesmo sexo é:
a) b) 1 c) d) e)
22. (FUVEST) – Considerando um polígono regular de n lados, n ≥ 4,
e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a proba -
bilidade de que ela passe pelo centro é 
a) 0 se n é par. b) se n é ímpar.
c) 1 se n é par. d) se n é ímpar.
e) se n é par.
23. (FUVEST) – Numa urna, são depositadas n etiquetas numeradas
de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a
probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?
a) b) c)
d) e) 6(n – 2) (n – 1)
24. (MACKENZIE) – Em uma das provas de uma gincana, cada um
dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola
de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser
reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa
prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas
pelos seus membros.
Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um
ponto é
a) b) c) d) e)
25. (FUVEST) – Dois dados cúbicos, não viciados, com faces
numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A
probabi lidade de que sejam sorteados dois números conse cuti -
vos, cuja soma seja um número primo, é de
a) b) c) d) e)
26. (FGV) – Em uma urna há 72 bolas idênticas mas com cores
diferentes. Há bolas brancas, vermelhas e pretas. Ao
sortearmos uma bola da urna, a probabilidade de ela ser branca
é 1/4 e a probabilidade de ela ser vermelha é 1/3.
A diferença entre o número de bolas pretas e o número de bolas
brancas na urna é
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4
27. (FAMERP-2021) – Em uma loteria são sorteados dois números
de um conjunto de n números, com n ≥ 5. Se João escolheu
cinco dos n números, a probabilidade de que os dois números
sorteados estejam entre os números escolhidos por ele é igual a
a) b) c)
d) e)
28. (UNIFESP) – Uma caixa possui n cartas, numeradas de 1 até n.
Desta caixa são sorteadas, ao acaso, m cartas.
a) Para n = 10 e m = 6, qual é a probabilidade de que entre as
cartas sorteadas tenha saído uma com o número 1?
b) Estabeleça uma fórmula que calcule a probabilidade de que,
entre as m cartas sorteadas do total de n cartas, tenham
saído k cartas pré-estabelecidas, com k variando de 1 até m.
Apresente sua fórmula com notação de fatorial, simplificada
ao máximo, e com o domínio de validade de n, m e k.
1
–––
28
1
–––
5
1
–––
3
1
–––
2
1
–––
35
7
–––
10
5
–––
10
3
–––
10
4
–––
5
3
–––
5
4
–––
5
4
–––
9
1
–––
2
3
–––
8
5
–––
9
1
–––
35
1
–––
32
1
–––
16
1
–––
56
1
––
2
1
––
n
1
–––––
n – 3
(n – 2)!
–––––––
3! n!
(n – 3)!
–––––––
n!
(n – 2)!
–––––––
n!
(n – 2)! 3!
––––––––––
n!
11
–––
12
9
–––
10
7
–––
8
5
–––
4
15
–––
16
5
–––
9
4
–––
9
1
–––
3
2
–––
9
2
–––
3
20
––––––
n2 – n
10
–––
n!
10
––––––
n2 – n
20
––––––
(n – 2)!
10
––––––
(n – 2)!
21
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 21
29. (UNESP) – Uma loja de departamentos fez uma pesquisa de
opinião com 1000 consumidores, para monitorar a qualidade de
atendimento de seus serviços. Um dos consumidores que
opinaram foi sorteado para receber um prêmio pela participação
na pesquisa.
A tabela mostra os resultados percentuais registrados na
pesquisa, de acordo com as diferentes categorias tabuladas.
Se cada consumidor votou uma única vez, a probabilidade de o
consumidor sorteado estar entre os que opinaram e ter votado
na categoria péssimo é, aproximadamente,
a) 20% b) 30% c) 26% d) 29% e) 23% 
30. (UNICAMP) – Uma urna contém 50 bolas que se distinguem
apenas pelas seguintes características:
• X delas são brancas e numeradas sequencialmente com os
números naturais de 1 a X.
• X + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com os
números naturais de 1 a X + 1.
• X + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente com
os números naturais de 1 a X + 2.
• X + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente de 1 a 
X + 3.
a) Qual é o valor numérico de X?
b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul
ou uma bola com o número 12?
31. (FUVEST) – Em uma equipe de basquete, a distribuição de
idades dos seus jogadores é a seguinte:
 
Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jogadores
que representará a equipe junto aos dirigentes.
a) Quantas possibilidades distintas existem para formar esta
comissão?
b) Qual a probabilidade da média de idade dos dois jogadores
da comissão sorteada ser estritamente menor que a média
de idade de todos os jogadores?
categorias percentuais
ótimo 25
regular 43
péssimo 17
não opinaram 15
Idade No. de jogadores
22 1
25 3
26 4
29 1
31 2
32 1
22
5. Probabilidade condicionada
Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S,
finito e não vazio, chama-se probabilidade de B con -
dicionada a A, a probabilidade de ocorrer B sabendo
que já ocorreu A. 
Representa-se por . 
Assim:
6. Eventos independentes
Dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, finito
e não vazio, são independentes se, e somente se:
7. Intersecção de eventos
Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral
S, finito e não vazio, então:
n(A � B) n(A � B) ÷ n(S) P(A �B)
P(B/A) = –––––––– = ––––––––––––– = ––––––––
n(A) n(A) ÷ n(S) P(A)� n(A � B) n(A � B) ÷ n(S) P(A �B)P(A/B) = –––––––– = ––––––––––––– = ––––––––
n(B) n(B) ÷ n(S) P(B)
P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)
P(B/A)
n(A � B)
P(B/A) = ––––––––––
n(A)
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 22
23
Assim sendo:
Se A e B forem eventos independentes, então 
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A); portanto:
Existem duas maneiras de verificar se os eventos A
e B são independentes: utilizar a definição ou calcular a
probabilidade de A � B. 
Simbolicamente:
A e B independentes ⇔ P(A/B) = P(A)
ou
A e B independentes ⇔ P(A� B) = P(A) · P(B)
P(A � B) = P(A) · P(B/A)
P(A � B) = P(B) · P(A/B)
P(A � B) = P(A) · P(B)
32. Para analisar o desempenho de um método
diagnóstico, realizam-se estudos em populações
con tendo pacientes sadios e doentes. Quatro
situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste:
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é
POSITIVO.
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é
NEGATIVO.
Um índice de desempenho para avaliação de um teste
diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de
o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a
doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A,
aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem
prática. São Paulo: Sarvier, 2011. (adaptado).
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de
a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% 
d) 94,4% e) 95,0% 
Resolução
A sensibilidade do teste diagnóstico é a probabilidade de o
resultado ser positivo, se o paciente estiver com a doença e,
portanto, é de = 95%
Resposta: E
33. (UNESP) – Um dado convencional e uma moeda, ambos não
viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da
moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número
6. A probabi lidade de que a média aritmética entre o número
obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4
é igual a
a) b) c) d) e)
Resolução
Sendo m o resultado do lançamento da moeda e d o resul tado
do lançamento do dado, com m ∈ {3; 6} e d ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6},
os pares (m; d) que apresentam a média aritmética de m e d
entre 2 e 4, excluídos, são (3; 2), (3; 3), (3; 4) e (6; 1).
Portanto, a probabilidade pedida é 
p = = = 
Resposta: A34. (UNICAMP) – Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes,
obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que
as caras tenham saído consecutivamente é igual a 
a) 1/4 b) 3/8 c) 1/2 d) 3/4 
Resolução
Jogando-se quatro vezes uma moeda balanceada, as
possibilidades de se obter exatamente três caras são:
Ca Ca Ca Co
Ca Ca Co Ca
Ca Co Ca Ca
Co Ca Ca Ca
Dessas quatro possibilidades, em apenas duas delas as três caras
são consecutivas (Ca Ca Ca Co; Co Ca Ca Ca).
A probabilidade pedida é, pois, =
Resposta: C
Resultado 
do teste
Doença A
Presente Ausente
Positivo 95 15
Negativo 5 85
95
–––––
100
3
–––
4
1
–––
2
2
–––
3
1
–––
3
1
–––
4
1
–––
3
4
––––
12
4
–––––
2.6
1
–––
2
2
–––
4
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 23
35. (MACKENZIE) – Um professor de matemática entrega aos seus
alunos uma lista contendo 10 problemas e avisa que 5 deles
serão escolhidos ao acaso para compor a prova final. Se um
aluno conseguiu resolver, corretamente, apenas 7 dos 10
problemas, a probabilidade de que ele acerte todos os
problemas da prova é
a) b) c) d) e) 1
Resolução
Existem C10;5 = = = 252 
formas de escolher cinco entre as dez questões propostas.
Existem C7;5 = = = 21 formas 
de escolher cinco entre as sete questões que o aluno conseguiu
resolver.
Assim, a probabilidade de o aluno acertar todos os problemas da
prova é = = 
Resposta: A
36. (Albert Einstein) – Em uma urna vazia foram colocadas fichas
iguais; em cada uma delas foi escrito apenas um dos anagramas
da palavra HOSPITAL. A probabilidade de que, ao sortear-se uma
única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras
inicial e final sejam ambas consoantes é
a) b) c) d)
Resolução
I) O número total de anagramas da palavra HOSPITAL é P8 = 8!
II) O número de anagramas da palavra HOSPITAL que começam
e terminam em consoante é 5 · 4 · P6 = 20 · P6 = 20 · 6!
III) A probabilidade pedida é
= = =
Resposta: A
37. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual
a probabilidade de obter-se uma dama, sabendo-se que a carta
é de copas?
Resolução
Sendo A o evento “carta de copas” e B o evento “dama”, temos:
n(A) = 13, n(B) = 4 e n(A � B) = 1.
Assim: P(B/A) = =
Resposta: 
38. (INSPER) – O treinador de Rafael propôs a ele o cálculo de um
índice de precisão que avalie a sua habilidade como atirador.
Para calculá-lo, Rafael precisa:
• multiplicar cada pontuação possível do alvo pela proba bilidade
de ele acertar uma flecha na faixa correspondente;
• somar os resultados das multiplicações feitas para as 6 faixas.
Rafael registrou na tabela a seguir as pontuações que ele obteve
durante um treino no qual ele lançou 200 flechas.
Usando os dados da tabela para estimar as probabilidades, o
índice de precisão de Rafael é
a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 
Resolução
A tabela mostra a pontuação, o número de acertos, a proba -
bilidade de Rafael acertar na região do alvo que permite essa
pontuação e o índice de precisão para cada região do alvo.
Assim, o índice de precisão de Rafael é
1 + 3 + 8 + 20 + 32 + 32 = 96
Resposta: A
39. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, os
eventos “dama” e “carta de copas” são independentes?
Resolução
Sendo A o evento “carta de copas” e B o evento “dama”, temos:
n(A) = 13, n(B) = 4, n(A � B) = 1 e n(S) = 52.
Assim sendo:
Primeiro Processo
⇒
⇒ P(A/B) = P(A) A e B são independentes
77
–––
84
59
–––
84
21
–––
84
7
–––
84
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!
–––––––––––––––––––
5! · 5 · 4. 3 · 2 · 1
10!
–––––––––––
(10 – 5)! · 5!
7 · 6 · 5!
–––––––––
2! · 5!
7!
–––––––––––
(7 – 5)! · 5!
7
––––
84
1
––––
12
21
–––––
252
9
––
14
4
––
7
3
––
7
5
––
14
5
–––
14
20
––––––
8 · 7
20 · 6!
–––––––––
8 · 7 · 6!
20 · 6!
–––––––
8!
1
–––
13
n(A � B)
–––––––––
n(A)
1
–––
13
Pontuação 10 20 40 80 160 320
Acertos 20 30 40 50 40 20
Pon tuação Acertos
Probabi lidade de
acertos
Produto da 
pon tuação pela 
proba bilidade
10 20
20 1
–––– = –––
200 10
1
10 · ––– = 1 
10
20 30
30 3
–––– = –––
200 20
3
20 · ––– = 3 
20
40 40 40 1–––– = –––
200 5
1
40 · ––– = 8 
5
80 50
50 1
–––– = –––
200 4
1
80 · ––– = 20 
4
160 40
40 1
–––– = –––
200 5
1
160 · ––– = 32 
5
320 20
20 1
–––– = –––
200 10
1
320 · ––– = 32 
10
�
13 1
P(A) = –––– = –––
52 4
n(A · B) 1
P(A/B) = ––––––––– = –––
n(B) 4
24
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 24
25
Segundo Processo
⇒
⇒ P(A / B) = P(A) · P(B) ⇒ A e B são independentes
Resposta: Os eventos “dama” e “carta de copas” são 
in depen dentes.
40. Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces numeradas
de 1 a 6 e lê-se o número da face voltada para cima. Sabendo que
este número é par, calcule a probabilidade de ser o número 2.
Resolução
Sendo ND o evento “número 2” e NP o evento “número par”,
temos:
n(ND) = 1, n(NP) = 3 e n(ND � NP) = 1
Assim sendo:
P(ND/NP) = =
Resposta:
41. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado “honesto” de
seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos “número
dois” e “número par” são independentes.
Resolução
Sendo ND o evento “número 2” e NP o evento “número par”,
temos: n(ND) = 1, n(NP) = 3, n(ND � NP) = 1 e n(S) = 6. Assim
sendo:
Primeiro Processo
⇒
⇒ P(ND/NP) � P(ND) ⇔ ND e NP não são eventos
independentes
Segundo Processo
⇒
⇒ P(ND � NP) � P(ND) · P(NP) ⇔ ND e NP não são
independentes
Resposta: Os eventos “número dois” e “número par” não
são independentes.
42. Numa urna, existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. 
As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as bolas azuis, de
1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar
se os eventos “bola vermelha” e “número par” são
independentes.
Resolução
Sendo BV o evento “bola vermelha” e NP o“número par”; te mos: 
 n(BV) = 6, n(NP) = 5, n(BV � NP) = 3 e N(S) = 10.
Assim sendo:
Primeiro Processo
⇒
⇒ P(BV/NP) = P(BV) ⇔ os eventos BV e NP são independentes
Segundo Processo
⇒
⇒ P(BV � NP) = P(BV) · P(NP) ⇔ os eventos BV e NP são
independentes
Resposta: Os eventos “bola vermelha” e “número par” são
in depen dentes.
43.
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 7 azuis e 3 verdes.
Retirando-se duas bolas ao acaso e sem reposição da primeira
antes de retirar a segunda, qual a probabilidade de as duas bolas
serem ver des?
a) b) c) d) e) 
Resolução
Representando por PA o evento “primeira bola azul”, SA o
evento “segunda bola azul”, PV o evento “primeira bola verde”
etc., temos:
P(PV � SV) = P(PV) · P(SV/PV) = . =
Resposta: A
1
––
3
n(ND � NP)
––––––––––––
n(NP)
1
––
3
�
n(ND > NP) 1
P(ND/NP) = –––––––––––– = –––
n(NP) 3
n(ND) 1
P(ND) = ––––––– = –––
n(S) 6
�
n(ND) 1
P(ND) = ––––––– = ––– 
n(S) 6
n(NP) 3 1
P(NP) = –––––– = ––– = ––– 
n(S) 6 2 
n(ND > NP) 1
P(ND > PP) = –––––––––––– = –––
n(S) 6
�
n(BV � NP) 3
P(BV/NP) = –––––––––––– = –––
n(NP) 5
n(BV) 6 3
P(BV) = ––––––– = –––– = –––
n(S) 10 5
�
13 1
P(A) = –––– = –––
52 4
4 1
P(B) = –––– = ––––
52 13
1 
P(A � B) = –––– 
52 
�
n(BV) 6 3
P(BV) = ––––––– = –––– = –––
n(S) 10 5
n(NP) 5 1
P(NP) = ––––––– = –––– = –––
n(S) 10 2
n(BV � NP) 3
P(BV � NP) = –––––––––––– = ––––
n(S) 10
1
–––
4
1
–––
3
1
–––
5
2
–––
15
1
–––
15
1
–––
15
2
––
9
3
–––
10
Livro 4_Matematica_Rose_2023 13/07/2022 13:43 Página 25
26
44. Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de
verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 se gundos. Desse
tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a
amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do
semáforo, um veículo tem uma determinada proba bilidade de
encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa
aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a
probabilidade