Resumo Física II | Ondas mecânicas Dedução física da equação de onda e da velocidade de propagação da onda.

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Dedução física da equação de onda e da velocidade de
propagação da onda.
RESUMO | FISICA II
ONDAS
MECÂNICAS
f
DEDUÇÃO DA VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ONDA TRANSVERSAL
Faremos aqui a dedução da velocidade da onda transversal e provaremos que a
velocidade de propagação depende das propriedades do meio. 
Temos uma corda esticada e vamos começar
analisando o que acontece com um pedacinho da
corda quando a onda passa por ele. Quando a onda
passa pelo pedaço da corda, os pontos são
deslocados da posição de equilíbrio. 
Chamamos o parâmetro μ (mi) de densidade linear
de massa da corda, que é a relação entre a massa e
o comprimento da corda. Não nos preocuparemos
com a mudança de densidade ao longo do
movimento da corda.
Vamos analisar quais forças estão atuando nesse
trecho da corda e o que elas estão causando nele.
As forças que atuam são: força F1 que o resto da
corda faz no lado esquerdo e força F2 que o resto
da corda faz no lado direito (ambas tangentes ao
ponto extremo). Fazemos a decomposição em x e y
desses vetores.
A resultante da força em x tem que ser 0, porque o pedaço da corda se desloca
verticalmente. Por isso as componentes em x são de mesmo módulo e, mais, é
exatamente o valor da tensão da corda esticada na horizontal.
Vamos calcular, então qual a força resultante produzidas pelas componentes em y
em termos da tensão aplicada na horizontal (F)
Observamos primeiro a relação entre F1y e F, de acordo
com o triângulo retângulo formado pelos 2. Pela relação
entre catetos temos que:
F1y
F
θ
tg θ = F1y
F
Com isso conseguimos dizer que a tangente no pedacinho
de baixo, no ponto extremo também é tg θ.
Supondo que o desenho da corda seja uma função,
sabemos, do cálculo, encontrar a tangente de uma função:
basta derivar a altura y em relação à x!
É importante lembrarmos que y é uma função de x e de t,
pois a posição y da corda varia também com o passar do
tempo. Logo é uma derivada parcial que, neste caso,
iremos fixar o tempo t como sendo constante.
Dito isso, a relação ao lado é valida devido à essa relação
da tangente no ponto extremo de baixo da corda.
O sinal negativo aparece devido à força F1y. Ele pode ser
negativo ou positivo, mas nesse caso é negativo apesar
da inclinação da reta tangente ser positiva. Por isso o
sinal negativo na equação, para encontrarmos um valor
positivo. Já a força F entra apenas em módulo (módulo da
tensão aplicada na corda)
Podemos fazer exatamente a mesma análise para a
extremidade de cima, fazendo a relação, agora, com F e
F2y. A diferença é que a derivada não é acompanhada do
sinal negativo.
Agora, manipulamos as equações encontradas para
chegarmos ao valor de Fy, a resultante vertical, e com a
relação [F = m.a] conseguimos relacionar essa resultante
com a aceleração y da corda.
 μ = m 
l
onde:
μ = densidade linear
da corda;
l = variação de x μ.Δx = m 
F = m . a
∂x ∂x ∂x ∂ x²
Para melhorar a equação, passamos o F para
o lado direito da equação. A partir daí, nós
queremos analisar o movimento de uma
partícula da corda, então, aplicamos o limite
na equação para que o comprimento da
corda, ou seja, a Δx, tenda a 0.
Conseguimos reescrever o primeiro lado da
equação de maneira mais simplificada como
descrito ao lado.
Após a manipulação, conseguimos observar
que chegamos exatamente a equação de
onda já mostrada inicialmente. Dessa vez,
foi feita a dedução matemática com os
termos físicos.
Aqui, conseguimos ver que a constante de
proporcionalidade da equação vale μ/F que
deve ser igual ao termo encontrado na
equação deduzida anteriormente que vale
1/v². Igualando as duas equação chegamos
ao valor da velocidade e fica provado que a
velocidade de propagação do meio depende
de μ, que é característico do meio.
lim f (x + Δx) - f (x) = ∂f
Δx -> 0
Δx ∂x
∂f = ∂ ∂y = ∂ y2( )
Além disso: 
Desmembrando o lado esquerdo: 
Reescrevendo, temos:
Equação de onda
NÃO CONFUNDA! A velocidade só se altera com o meio, a mudança da frequência não
muda a velocidade. O comprimento de onda que muda com a frequência.
v = λ. f
Quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quando maior o
comprimento de onda, menor a frequência.
SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I e Física II.
14ª. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008
REFERÊNCIAS DE ESTUDO: