ZOLINHO-ALGEBRA e G ANALITICA

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Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importância de matrizes e aplicabilidade da Álgebra Linear e Geometria Analítica- 
Resolução de tarefas. 
 
 
 Nome do Estudante: Heleno Zolinho Luís 
Código: 708217045 
Turma: D 
 
 
 
 
 Curso: Licenciatura em ensino de Matemática 
 Disciplina: Álgebra Linear e G. Analítica 
 Ano de Frequência: 3º Ano 
 Docente: Gimo José Maundera 
 
 
 
 
 
Quelimane, Maio 2023 
 
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máxima 
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do 
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Estrutura 
Aspectos 
organizacionais 
 Capa 0.5 
 
 Índice 0.5 
 Introdução 0.5 
 Discussão 0.5 
 Conclusão 0.5 
 Bibliografia 0.5 
Conteúdo 
Introdução 
 Contextualização 
(Indicação clara do 
problema) 
1.0 
 
 Descrição dos 
objectivos 
1.0 
 Metodologia 
adequada ao objecto 
do trabalho 
2.0 
Análise e 
discussão 
 Articulação e 
domínio do discurso 
académico 
(expressão escrita 
cuidada, coerência / 
coesão textual) 
2.0 
 
 Revisão 
bibliográfica 
nacional e 
internacionais 
relevantes na área de 
estudo 
2. 
 Exploração dos 
dados 
2.0 
Conclusão 
 Contributos teóricos 
práticos 
2.0 
Aspectos 
gerais 
Formatação 
 Paginação, tipo e 
tamanho de letra, 
paragrafo, 
espaçamento entre 
linhas 
1.0 
Referências 
Bibliográficas 
Normas APA 6ª 
edição em 
citações e 
bibliografia 
 Rigor e coerência 
das 
citações/referências 
bibliográficas 
4.0 
 
 
 
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
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Índice 
1.0 Introdução ......................................................................................................................................... 2 
2.0 Objectivo Geral ................................................................................................................................. 2 
2.1 Objectivos específicos ....................................................................................................................... 2 
3.0 Metodologia ...................................................................................................................................... 2 
Tarefa 1 ................................................................................................................................................... 3 
Tarefa 2 ................................................................................................................................................... 5 
Conclusão .............................................................................................................................................. 13 
Referências bibliográficas ..................................................................................................................... 14 
 
 
2 
 
1.0 Introdução 
Neste trabalho, trata-se de resolução de duas actividades, sendo a primeira actividade está 
baseada em desenvolver um texto resumo relacionado com importância e aplicabilidade das 
matrizes na Álgebra Linear e Geometria Analítica e a segunda actividade está baseada em 
resolver tarefas relacionadas a problemas práticos, tem como propósito de integrar diversas 
estratégias nos futuros professores de modo a lidarem com precisão no processo de ensino e 
aprendizagem, visando desenvolver competências e buscar saberes a respeito de equações de 
recta, sistema de equações, matrizes, equações e gráficos de hipérbole, elipse, elipsóide e suas 
relações. Entretanto, o trabalho propõe que o futuro professor adquira conhecimento suficiente 
sobre Álgebra e Geometria Analítica para que torne com êxito as funções didácticas. 
2.0 Objectivo Geral 
 Resolver problemas algébricos que envolvem equações de recta matrizes, hipérbole, 
elipse e elipsóide, e suas relações no plano cartesiano; 
2.1 Objectivos específicos 
 Resolver problemas relacionados a sistema de equações; 
 Aplicar correctamente a distância entre um ponto a uma recta; 
 Determinar as equações e os gráficos de hipérbole e elipse com os seus respectivos 
elementos; 
 Reconhecer a importância das matrizes na vida prática; 
 
3.0 Metodologia 
Para a produção deste trabalho, recorreu-se essencialmente pesquisa bibliográfica que segundo 
MARCONI & LAKATOS (2003, p.158) “é um apanhado geral sobre os principais trabalhos já 
realizados, revestidos de importância, por serem capazes de fornecer dados actuais e relevantes 
relacionados com as actividades deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Tarefa 1 
Importância de matrizes e aplicabilidade da Álgebra linear e Geometria Analítica 
A matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato 𝑚 × 𝑛, onde 𝑚 representa o 
número de linhas e 𝑛 o número de colunas. 
𝑀 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 …
𝑎21 𝑎22 𝑎23 …
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
𝑎𝑚3
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
] 
O estudo das matrizes tem importância singular na resolução de problemas que envolvem 
sistema de equações lineares. A álgebra linear e, em particular a teoria das matrizes e a teoria 
das transformações lineares são áreas da matemática que podem ser aplicadas não só dentro da 
própria matemática (programação linear, equações vectoriais da recta, demonstrações das 
equações de rectas, problemas de optimização entre outros) , mas também em
várias outras 
áreas do conhecimento humano, como física, química, biologia, todas as engenharias, 
computação, economia, etc. 
Nos dias actuais, deparamos, a todo momento, com as imagens digitais, obtidas através da 
computação gráfica e exibidas na televisão, no cinema, em jogos de computadores, etc. Embora 
a maioria das pessoas não saiba, na base do desenvolvimento de um projecto nessa área está a 
utilização da matemática, e em particular da álgebra linear. 
Nos problemas concretos, como por exemplo “num parque de estacionamento estão entre 
motas e carros um total de 70 veículos e 180 rodas, quantos carros e quantas motas há no que? 
” esse tipo de problema requer o sistema de equações que poderá ser resolvido com a matriz, 
ou seja o problema pode ser traduzido: 
Seja 𝑥 a quantidade de carros e seja 𝑦 a quantidade de motas. 
4𝑥 a quantidade de rodas de cada carro. 
2𝑦 a quantidade de rodas de cada mota. 
{
𝑥 + 𝑦 = 70
4𝑥 + 2𝑦 = 180
 assim podemos associar a matrizes. 
 
 
4 
 
As matrizes são aplicadas em diversas áreas, mas as mais destacadas são: 
a) Na economia (problemas de optimização ou mesmo programação linear) ; 
b) Na engenharia; 
c) Na matemática (alicerce do surgimento das equações de rectas, sistema de equações); 
d) Na física (grandezas vectoriais); 
e) Na meteorologia; 
f) Na edição de imagens e vídeos; 
g) Na área de programação, entre outros. 
 
Podemos trazer algumas aplicacoes das matrizes: Determinar equação geral do plano 𝜋 que 
passa pelo ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 𝜋1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 𝜋2: x + y + 2z 
-3 = 0. 
�⃗�1 = (2; −1; −4) 
�⃗�2 = (1; 1; 2) 
�⃗�3 = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟 (
𝑖 𝑗 𝑘
2 −1 −4
1 1 2
) 
 
�⃗�3 = 𝑖 (
−1 −4
1 2
) − 𝑗 (
2 −4
1 2
) + 𝑘 (
2 −1
1 1
) 
�⃗�3 = 𝑖(−2 + 4) − 𝑗(4 + 4) + 𝑘(2 + 1) 
�⃗�3 = 2𝑖 − 8𝑗 + 3𝑘 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�3 = 0 → (𝑥 − 4; 𝑦 − 1; 𝑧)(2; −8; 3) = 0 
2(𝑥 − 4) − 8(𝑦 − 1) + 3𝑧 ) = 0 
2𝑥 − 8 − 8𝑦 + 8 + 3𝑧 = 0 
2𝑥 − 8𝑦 + 3𝑧 = 0 
A equação geral da recta é 2𝑥 − 8𝑦 + 3𝑧 = 0 
 
5 
 
 
Tarefa 2 
 
1.Define matriz A de ordem 3x2 sabendo que a 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 para i de 1 a 3 e j de 1 a 3. 
Resolução 
Obedecendo a relação 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 Tem-se: 
𝑎11 = 1 + 1 = 2 
𝑎12 = 1 + 2 = 3 
𝑎21 = 2 + 1 = 3 
𝑎22 = 2 + 2 = 4 
𝑎31 = 3 + 1 = 4 
𝑎32 = 3 + 2 = 5 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
) 
A matriz A será dada: 
𝐴 = (
2 3
3 4
4 5
) 
1. Demostre que uma matriz simétrica é matriz quadrada 
 
Uma matriz diz-se simétrica se for igual a sua transposta. 
𝑆 = 𝑆𝑇 = |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
| 
Matriz quadrada é aquela que o número de linha é igual ao número de coluna. 
6 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 …
𝑎21 𝑎22 𝑎23 …
⋮
𝑎𝑛1
⋮
𝑎𝑛2
⋮
𝑎𝑛3
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
] 
A ordem de uma matriz quadrada é 𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒏 os simplesmente 𝒏. 
Demostração: 
Hipótese 1: Seja matriz B simétrica, e 𝐵 uma matriz quadrada então pela definição: 𝐵 = 𝐵𝑇 
Hipótese 2: Seja matriz B simétrica, e 𝐵 uma matriz não quadrada então: 𝐵 ≠ 𝐵𝑇, logo B não 
é simétrica. 
Portanto, a Hipótese 1 é verdadeira. Ou seja para que uma matriz seja simétrica ela primeiro 
deve ser quadrada. 
2. Dada a matriz 𝐴 = |
 2 −1 3
 4 0 5
−2 −4 1
| 
 
a) Qual é a dimensão da matriz A? 
Resposta: A dimensão é de 3 𝑝𝑜𝑟 3 ou seja a dimensão de 𝐴 é de 3 linhas e 3 colunas (𝐴3×3). 
b) Apresente a matriz transposta de A. 
Resposta: 
𝐴𝑇 = |
 2 4 −2
 −1 0 −4
 3 5 1
| 
c) Quais são os elementos da diagonal de matriz A? 
Resposta: Os elementos da diagonal principal: 2;0; 1 
Os elementos da diagonal secundária: −2; 0; 3 
d) Será 𝐵 = |
1 0 0
0 1 1
0 0 1
| uma matriz identidade? Porquê? 
Resposta: A matriz 𝐵 não é uma matriz identidade porque para além da diagonal principal ter 
unidades, existe um elemento que não pertence a diagonal principal e tem unidade (𝑏23). 
7 
 
 e) Quais são os valores de x e de y para que a matriz 𝑪 = [
 𝟏 −𝟐 𝒙
−𝟐 𝟓 −𝟑
 𝟏 𝒚 𝟒
] seja 
simétrica ? 
Resposta: 𝐶 = 𝐶𝑇 
𝐶𝑇 = [
 1 −2 1
−2 5 𝑦
 𝑥 −3 4
] 
𝐶 = 𝐶𝑇 => [
 1 −2 𝑥
−2 5 −3
 1 𝑦 4
] = [
 1 −2 1
−2 5 𝑦
 𝑥 −3 4
] 
Logo: 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = −3 
4. Dada as matrizes 𝐴 = [
2 4
1 2
], 𝐵 = [
−2 3
 1 −2
], 𝐶 = [
2 3
6 9
], 𝐷 = [
1 1
1 3
] 
Determine: 
a)𝐴 + 𝐵 
Resolução: 𝐴 + 𝐵 = [
2 − 2 4 + 3
1 + 1 2 − 2
] = [
0 7
2 0
] <=> 𝐴 + 𝐵 = [
0 7
2 0
] 
b) 3B 
Resolução: 3𝐵 = 3 [
−2 3
 1 −2
] = [
−6 9
 3 −6
] <=> 3𝐵 = [
−6 9
 3 −6
] 
c) 3𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 
Resolução: 3𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 3 [
2 4
1 2
] + 2 [
−2 3
 1 −2
] − 2 [
2 3
6 9
] + [
1 1
1 3
] 
= [
6 12
3 6
] + [
−4 6
 2 −4
] − [
4 6
12 18
] + [
1 1
1 3
] 
3𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = [
−1 13
−6 −13
] 
5. Mostre que A (-1,1) B (1, 3) C (7, 9) são colineares. 
 Demonstração: 
Resolução: Vamos determinar a equação da recta que passa entre pontos A e B. 
8 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑜) 
𝑦 − 1 =
3 − 1
1 + 1
(𝑥 + 1) 
𝑦 = 𝑥 + 2 
Vamos verificar quando 𝑥 for 7 
𝑦 = 7 + 2 = 9 
 Quando 𝑥 for 7 tem-se 𝑦 = 9, ou seja o ponto C pertence a equação 𝑦 − 𝑥 − 2 = 0. 
Portanto, os pontos A, B e C pertencem a mesma recta, logo são colineares. 
6. Calcule o determinante da 3ª ordem 𝐷 = |
1 3 2
2 5 2
4 3 1
| 
Resolução: 
|
1 3 2
2 5 2
4 3 1
|
1 3
2 5
4 3
 𝐷 = (5 + 24 + 12) − (40 + 6 + 6) = −11 => 𝐷 = −11 
7. Determinas equação das rectas suportes dos lados do triângulo cujo vértice são A (0, 0); B 
(1, 3) e C (4, 0). 
Resolução 
Recta 1:𝑦 − 0 =
3−0
1−0
(𝑥 − 0) => 𝑦 = 3𝑥 
Recta 2: 𝑦 − 3 =
0−3
4−1
(𝑥 − 1) => 𝑦 = −𝑥 + 4 
Recta 3: 𝑦 = 0 
8. Se uma recta r passa por A (0, 3) e B (-1, 0) qual é a equação reduzida? 
 
Resolução 
𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
9 
 
𝑦 − 0 =
3 − 0
0 + 1
(𝑥 + 1) 
Portanto, a equação reduzida é: 𝑦 = 3𝑥 + 3 
9. Calcula a distância do ponto P (2, -3) a recta r = 3x - 4y + 2= 0 
𝑑𝑃𝑟 =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|
√𝑎2 + 𝑏2
 
𝑑𝑃𝑟 =
|3 × 2 − 4(−3) + 2|
√32 + (−4)2
=
20
5
= 4 
10. Calcula o cumprimento de altura AH, do triângulo de vértices A (-3, 0), B (0, 0) e C (6, 8). 
 
11. Determine os pontos de interseção do elipsoide 
𝑥2
81
+
𝑦2
36
+
𝑧2
9
= 1 e a recta 
𝑥−3
3
=
𝑦−4
−6
=
𝑧+2
4
 
Resolução: 
 É preciso que:|𝑥| < 9; |𝑦| < 6 e |𝑧| < 3 , com 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0 para não contradizer a equação da 
elipsóide. 
Se o 𝑥 for 3, tem se 𝑦 = 4 e 𝑧 = −2 portanto o ponto é:(3; 4; −2) 
Se o 𝑥 for 6, tem se 𝑦 = −2 e 𝑧 = 2 portanto o ponto (6; −2; 2) 
 
32
81
+
42
36
+
(−2)2
9
= 1 
 
12. Mostra que a equação 4𝑥2 + 9𝑦2 + 36𝑧2 − 18𝑥 − 18𝑦 − 72𝑧 + 13 = 0 determina um 
elipsoide. 
Resolução: 
 4𝑥2 + 9𝑦2 + 36𝑧2 − 18𝑥 − 18𝑦 − 72𝑧 + 13 = 0 
10 
 
4𝑥2 − 18𝑥 + 9𝑦2 − 18𝑦 + 36𝑧2 − 72𝑧 + 13 = 0 Agrupando os da mesma variável; 
4(𝑥2 −
18𝑥
4
) + 9(𝑦2 − 2𝑦) + 36(𝑧2 − 2𝑧) + 13 = 0 
4[(𝑥 −
9
4
)2 −
81
16
] + 9[(𝑦 − 1)2 − 1] + 36[(𝑧 − 1)2 − 1] + 13 = 0 
4(𝑥 −
9
4
)2 −
81
4
+ 9(𝑦 − 1)2 − 9 + 36(𝑧 − 1)2 − 36 + 13 = 0 
4(𝑥 −
9
4
)2 + 9(𝑦 − 1)2 + 36(𝑧 − 1)2 = 36 + 9 − 13 +
81
16
 
4(𝑥 −
9
4
)2 + 9(𝑦 − 1)2 + 36(𝑧 − 1)2 =
209
4
 
(𝑥 −
9
4
)2
9
+
(𝑦 − 1)2
4
+ (𝑧 − 1)2 =
209
4
 
Visto que o resultado do segundo membro (
209
4
) é diferente de 1 então a equação 4𝑥2 − 18𝑥 +
9𝑦2 − 18𝑦 + 36𝑧2 − 72𝑧 + 13 = 0 não representa elipsóide. 
13. Se uma hipérbole tem o eixo real 6 e distância focal 10, determina a equação reduzida da 
hipérbole e esboce com todos elementos. 
Eixo real:6 
𝑑(𝐹1𝐹2) = 10 
2𝑎 = 6 
𝑎 = 3 
2𝑐 = 10 
𝑐 = 5 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
52 = 32 + 𝑏2 
𝑏2 = 25 − 9 
11 
 
𝑏2 = 16 
𝑏 = √16 = 4 
Tem se então a equação: 
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 
 
 
Elementos: 
Focos: 𝐹1(−5; 0)𝑒 𝐹2(5; 0) 
Eixo real:6 
Eixo imaginario:8 
Distancia focal:10 
12 
 
Excentricidade:𝑒 =
𝑐
𝑎
=
5
3
= 1,667 
14. Caracteriza a cónica representada
pela equação 4𝑥2 + 9𝑦2 = 36 e esboçar o seu gráfico. 
Dividindo ambos membros por 36, tem-se: 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
𝑥2
32
+
𝑦2
22
= 1 portanto, trata-se de uma equação da elipse. 
Se o 𝑥 = 0, tem –se 𝑦 = ±2 
Se o 𝑦 = 0, tem –se 𝑥 = ±3 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Conclusão 
O trabalho ora findo, consistiu na resolução de actividades da secção 2, da álgebra e geometria 
analítica. Constatou-se que todas actividades estavam baseadas no plano cartesiano. 
Desenvolveu-se competências consistentes, princípios algébricos e saberes relativamente a 
recta, sistema de equações, matrizes, equações de hipérbole, de elipse e suas relações. A 
geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o 
nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em 
geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas (isso mesmo, aquele dos eixos x e y) para 
manipular equações para planos, rectas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões (o 
espaço ), Mas por vezes também em três ou mais dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Referências bibliográficas 
 
WINTERLE Paulo. (2000). Vectores e Geometria Analítica, São Paulo 
MATACA,J Coutinho, Manual de Álgebra Linear e Geometria Analítica, UCM., Sofala, Mz 
IEZZI, Gelson. (1977), Fundamentos de Geometria Analítica, São Paulo