Transformação de Matrizes e Sistemas Lineares

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS 
Programa de Pós-graduação de Engenharia Elétrica – PPGEE 2024-2 
TEORIA DE SISTEMAS LINEARES 
LISTA 
Discente: Gil Gabriel Muanido 
Docente: Prof. Dr. Raymundo Cordero García 
1. Calcular a transformação de similaridade (�̅�) das seguintes matrizes. Usar como base, 
os autovetores de A. Caso seja necessário, usar autovetores generalizados. 
a) Matriz A 
𝐴 = [
6 6 6
6 6 6
6 6 6
] 
Encontrando os autovalores: 
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
6 − 𝜆 6 6
6 6 − 𝜆 6
6 6 6 − 𝜆
] 
Resultando em 𝜆1 = 18; 
Calculando os autovetores: 
Para 𝜆1 = 18: 
(𝐴 − 18𝐼)𝑣 = 0 
[
6 − 18 6 6
6 6 − 18 6
6 6 6 − 18
] × [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
[
−12 6 6
6 −12 6
6 6 −12
] × [
𝑥
𝑦
𝑧
] = 0 
[
−12𝑥 6𝑦 6𝑧
6𝑥 −12𝑦 6𝑧
6𝑥 6𝑦 −12𝑧
] = 0 
[
−12𝑥 6𝑦 6𝑧
6𝑥 −12𝑦 6𝑧
6𝑥 6𝑦 −12𝑧
|
−12𝑥 6𝑦
6𝑥 −12𝑦
6𝑥 6𝑦
] = 0 
(−12𝑥 × (−12𝑦) × (−12𝑧)) + (6𝑦 × 6𝑧 × 6𝑥) + (6𝑧 × 6𝑥 × 6𝑦)
− (6𝑧 × (−12𝑦) × 6𝑥) − ((−12𝑥) × 6𝑧 × 6𝑦) − (6𝑦 × 6𝑥 × (−12𝑧))
= 0 
−1728𝑥𝑦𝑧 + 216𝑦𝑧𝑥 + 216𝑦𝑥𝑧 + 432𝑥𝑦𝑧 + 432𝑥𝑧𝑦 + 432𝑥𝑧𝑦 = 0 
2 
 
Tem-se: 
𝑣1 = [
1
1
1
] 
Para 𝜆1 = 0: 
(𝐴 − 0𝐼)𝑣 = 0 
[
6 6 6
6 6 6
6 6 6
] × [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 
𝑣2 = [
1
−1
0
] , 𝑣3 = [
1
0
−1
] 
Assim sendo, a matriz Q será: 
𝑄 = [
1 1 1
1 −1 0
1 0 −1
] 
E a inversa da matriz 𝑄−1 será: 
𝑄−1 =
[
 
 
 
 
 
1
3
1
3
1
3
1
3
−
2
3
1
3
1
3
1
3
−
2
3]
 
 
 
 
 
=
1
3
[
1 1 1
1 −2 1
1 1 −2
] 
Calculando a matriz de similaridade �̅�: 
�̅� = 𝑄−1 𝐴𝑄 =
1
3
[
1 1 1
1 −2 1
1 1 −2
] × [
6 6 6
6 6 6
6 6 6
] × [
1 1 1
1 −1 0
1 0 −1
] 
�̅� = [
18 0 0
0 0 0
0 0 0
] 
b) Matriz A 
𝐴 = [
1 0 −1
0 1 0
0 0 2
] 
Encontrando os autovalores: 
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
1 − 𝜆 0 1
0 1 − 𝜆 0
0 0 2 − 𝜆
] 
3 
 
Tendo os autovalores: 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 1 e 𝜆3 = 0 
Calculando os autovetores: 
Para 𝜆1 = 2: 
(𝐴 − 2𝐼)𝑣 = 0 
𝐴 − 2𝐼 = [
1 − 2 0 1
0 1 − 2 0
0 0 2 − 2
] 
[
−1 0 −1
0 −1 0
0 0 0
] 𝑣 = 0 
𝑣1 = [
1
0
1
] 
Para 𝜆2 = 1: 
(𝐴 − 𝐼)𝑣 = 0 
𝐴 − 𝐼 = [
1 − 1 0 −1
0 1 − 1 0
0 0 2 − 1
] 
[
0 0 −1
0 0 0
0 0 1
] 𝑣 = 0 
𝑣2 = [
1
0
0
] 
Para 𝜆3 = 0: 
(𝐴 − 0I)𝑣 = 0 
𝐴𝑣 = [
1 0 −1
0 1 0
0 0 2
] 
𝑤3 = [
0
1
1
] 
Assim sendo, a matriz Q será: 
𝑄 = [
1 1 0
0 0 1
1 0 1
] 
A inversa de Q, 𝑄−1 será: 
𝑄−1 = [
0 −1 1
1 1 −1
0 1 0
] 
4 
 
Calculando a matriz de similaridade �̅�: 
�̅� = 𝑄−1 𝐴𝑄 
�̅� = [
0 −1 1
1 1 −1
0 1 0
] × [
1 0 −1
0 1 0
0 0 2
] × [
1 1 0
0 0 1
1 0 1
] 
�̅� = [
2 0 1
−2 1 −2
0 0 1
] 
Questão 2: 
Obter os valores de 𝒇𝟏(𝑨) = (𝑨)𝟒 e 𝒇𝟐(𝑨) = 𝒆𝑨𝒕 para as duas matrizes 𝐀 usando 
transformação de similaridade: 𝒇(𝑨) = 𝑸𝒇(�̅�)𝑸−𝟏 
a) 
𝐴 = [
4 8
2 −2
] 
Achando os autovetores: 
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 
|
4 − 𝜆 8
2 −2 − 𝜆
| = (4 − 𝜆)(−2 − 𝜆) − 2 × 8 = 𝜆2 − 2𝜆 − 24 
𝜆2 − 2𝜆 − 24 = 0 
𝜆1,2 =
2 ± √4 + 96
2
=
2 ± 10
2
 
𝜆1 = 6 𝜆2 = −4 
Determinando os autovetores: 
Para 𝜆1 = 6: 
(𝐴 − 6𝐼)𝑣 = 0 
[
−2 8
2 −8
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
𝑣1 = [
4
1
] 
Para 𝜆 = −4: 
(𝐴 + 4𝐼)𝑣 = 0 
[
8 8
2 2
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
𝑣2 = [
−1
1
] 
Formando a matriz Q constituída pelos autovetores da matriz A: 
5 
 
𝑄 = [
4 −1
1 1
] 
A matriz diagonal �̅� 
�̅� = [
6 0
0 −4
] 
Determinando 𝑓1(𝐴) = 𝐴4 
𝐴4 = 𝑄 × �̅�4 × 𝑄−1 
�̅�4 = [
64 0
0 (−4)4] = [
1296 0
0 256
] 
A inversa de Q: 
𝑄−1 =
1
5
[
1 1
−1 4
] 
Substituindo na equação: 
𝐴4 = 𝑄 × �̅�4 × 𝑄−1 
𝐴4 = [
4 −1
1 1
] × [
1296 0
0 256
] ×
1
5
[
1 1
−1 4
] 
Pelo MATLAB, tem-se: 
𝐴4 = [
1088 832
208 464
] 
Calculando 𝑓2(𝐴) = 𝑒𝐴𝑡 
𝑒𝐴𝑡 = 𝑄 × 𝑒 �̅�𝑡 × 𝑄−1 
Sendo: 
𝑒 �̅�𝑡 = [𝑒
6𝑡 0
0 𝑒−4𝑡] 
𝑒𝐴𝑡 = [
4 −1
1 1
] × [𝑒
6𝑡 0
0 𝑒−4𝑡] ×
1
5
[
1 1
−1 4
] 
Com apoio do MATLAB, obteve-se: 
𝑒𝐴𝑡 =
[
 
 
 
𝑒−4𝑡
5
+
4
5
 𝑒6𝑡
4
5
𝑒6𝑡 −
4
5
𝑒−4𝑡
𝑒6𝑡
5
−
𝑒−4𝑡
5
4
5
𝑒−4𝑡 +
1
5
𝑒6𝑡
]
 
 
 
 
b) 
𝐴 = [
1 1 0
0 0 1
0 0 1
] 
Autovalores: 
6 
 
Sendo a matriz A triangular superior, os autovalores são os elementos da diagonal 
principal: 
𝜆1 = 1 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 2) e 𝜆2 = 0; 
Determinando os autovetores: 
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = [
1 − 𝜆 1 0
0 0 − 𝜆 1
0 0 1 − 𝜆
] × [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
] 
Para 𝜆1 = 1: 
(𝐴 − 1𝐼)𝑣 = [
1 − 1 1 0
0 −1 1
0 0 1 − 1
] × [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
] 
 
⇒ [
0 1 0
0 −1 1
0 0 0
] × [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
] = 0 
Tem-se: 
𝑣1 = [
1
0
0
] e 𝑣2 = [
0
1
1
] 
Para 𝜆2 = 0: 
(𝐴 − 0𝐼)𝑣 = [
1 − 0 1 0
0 0 − 0 1
0 0 1 − 0
] × [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
] 
 
⇒ [
1 1 0
0 0 1
0 0 1
] × [
𝑣1
𝑣2
𝑣3
] = 0 
𝑣3 = [
−1
1
0
] 
Formando a matriz Q: 
𝑄 = [
1 0 −1
0 1 1
0 1 0
] 
E a matriz canônica de Jordan J é: 
𝐽 = [
1 1 0
0 1 0
0 0 0
] 
Determinando 𝑓1(𝐴) e 𝑓2(𝐴): 
𝐴4 = 𝑄 × 𝐽4 × 𝑄−1 
7 
 
𝐽4 = [
1 4 0
0 1 0
0 0 0
] e 𝑄−1 = [
1 1 −1
0 0 1
0 1 −1
] 
𝐴4 = [
1 0 −1
0 1 1
0 1 0
] × [
1 4 0
0 1 0
0 0 0
] × [
1 1 −1
0 0 1
0 1 −1
] 
𝑨𝟒 = [
𝟏 𝟏 𝟑
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
] 
Calculando 𝑓2(𝐴) = 𝑒𝐴𝑡 
𝑒𝐴𝑡 = 𝑄 × 𝑒𝐽𝑡 × 𝑄−1 
Do MATLAB, tem-se: 
𝒆𝑨𝒕 = [
𝒆𝒕 𝒆𝒕 − 𝟏 𝒕 × 𝒆𝒕 − 𝒆𝒕 + 𝟏
𝟎 𝟏 𝒆𝒕 − 𝟏
𝟎 𝟎 𝒆𝒕
] 
Questão 3: 
Obter os valores de 𝑓1(𝐀) = (𝐀)4 e 𝑓2(𝐀) = 𝑒𝐀𝑡 para as duas matrizes 𝐀 da questão 2, 
mas usando método de Cayley-Hamilton. Comparar com os resultados obtidos na 
questão 2 (os resultados deveriam ser iguais). 
𝐴 = [
4 8
2 −2
] 
Encontrando o polinômio característico de A: 
|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0, obtém-se: 
[
4 − 𝜆 8
2 −2 − 𝜆
] = 0 
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores: 
(4 − 𝜆)(−2 − 𝜆) − 2 × 8 = 0 
−8 − 4𝜆 + 2𝜆 + 𝜆2 − 16 = 0 
𝜆2 − 2𝜆 − 24 = 0 
𝜆1 = 6, 𝜆1 = −4 
O polinômio caraterístico é: 
𝒉(𝝀) = (𝝀 − 𝟔)(𝝀 + 𝟒) = 𝝀𝟐 + 𝟐𝝀 − 𝟐𝟒 
a) Calculando 𝑓1(𝐴) = 𝐴4 usando o teorema de Cayley-Hamilton: 
𝐴4 = 𝐴2 + 2𝐴 − 24𝐼 
𝐴4 = [
32 16
4 20
] + [
8 16
4 −4
] + 
8 
 
𝐴4 = [
3456 3584
928 −448
] 
b) Calcular 𝑓2(𝐴) = 𝑒𝐴𝑡 usando o teorema de Cayley-Hamilton: 
Primeiramente, temos que encontrar o polinômio característico normalizado: 
𝑝(𝜆) =
ℎ(𝜆)
(𝜆 − 6)(𝜆 + 4)
= 𝜆 + 2 
𝑒𝐴𝑡 = 𝑐0𝐼 + 𝑐1𝐴 
Onde: 
𝑐0 = 𝑒6𝑡 
𝑐1 =
𝑒6𝑡 − 𝑒−4𝑡
6 + 4
 
𝑒𝐴𝑡 =
[
 
 
 𝑒6𝑡
𝑒6𝑡 − 𝑒−4𝑡
10
2(𝑒6𝑡 − 𝑒−4𝑡)
10
𝑒−4𝑡
]
 
 
 
 
 
Matriz A da questão 2b: 
𝐴 = [
1 1 0
0 0 1
0 0 1
] 
Determinando o polinômio caraterístico da matriz: 
det|𝐴 − 𝜆𝐼|: 
|
1 − 𝜆 1 0
0 −𝜆 1
0 0 1 − 𝜆
| = 0 
𝜆1 = 1, 𝜆2 = 0, 𝜆3 = 1 
ℎ(𝜆) = (𝜆 − 1)2(𝜆 − 0) = 𝜆3 − 2𝜆2 + 𝜆 
Aplicando o teorema de Cayley-Hamilton, tem-se: 
𝑓1(𝐴) = 𝐴4 
𝐴3 − 2𝐴2 + 𝐴 = 0 
𝐴4 = 2𝐴2 − 𝐴 
𝐴4 = [
3 2 1
0 1 1
0 0 1
] 
Calculando 𝑓2(𝐴) = 𝑒𝐴𝑡 usando o teorema de Cayley-Hamilton: 
9 
 
𝑝(𝜆) =
ℎ(𝜆)
(𝜆 − 1)2(𝜆 − 0)
= 𝜆2 − 2𝜆 + 1 
𝑒𝐴𝑡 = 𝑐0𝐼 + 𝑐1𝐴 + 𝑐2𝐴
2 
Onde: 
𝑐0 = 𝑒𝑡, 𝑐1 = −2𝑒𝑡 + 2, e 𝑐2 = 𝑒𝑡 − 1 
𝑒𝐴𝑡 = [
𝑒𝑡 𝑒𝑡 − 1 𝑒𝑡 − 1
0 𝑒𝑡 𝑒𝑡 − 1
0 0 𝑒𝑡
]