Distribuição de Weibull e Log-normal

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Distribuição Weibull e 
Log-normal
Confiabilidade de Produtos e Processos
Engenharia de Produção - PUC Minas
Distribuição Weibull
 Proposta originalmente por Waloddi Weibull em estudos relacionados ao
tempo de falha nos anos 50.
 É a mais popular das distribuições utilizadas em aplicações na Engenharia de
Confiabilidade.
Distribuição Weibull
 Usada frequentemente para modelar tempo de vida de produtos industriais, 
componentes eletrônicos, capacitores e cerâmicas.
 Descreve adequadamente o tempo de vida de produtos formados de várias partes 
(elementos) cuja falha ocorre quando a primeira parte falhar, dentre outros.
Distribuição Weibull
 A curva da distribuição Weibull é dada por:
𝑓 𝑡 =
𝛽
η𝛽
𝑡𝛽−1𝑒
−
𝑡
η
𝛽
 𝑡 ≥ 0
 𝛽 é um parâmetro de forma da distribuição.
 η é um parâmetro de escala da distribuição ou característica de vida.
 η representa o tempo de vida 𝑡 em que 63,2% dos produtos terá falhado.
 𝛽 e η são obtidos experimentalmente.
Distribuição Weibull
 A média (mean-time to failure ou MTTF) e o desvio-padrão da distribuição 
Weibull são dadas por:
𝜇 = 𝑀𝑇𝑇𝐹 = η𝛤
1
𝛽
+ 1
𝜎 = η 𝛤
2
𝛽
+ 1 − 𝛤
1
𝛽
+ 1
2
𝛤(𝑥) = න
0
∞
𝑢𝑥−1𝑒−𝑢𝑑𝑢 , 𝑥 ≥ 0
𝛤 𝑥 = 𝑥 − 1 !, 𝑥 𝜖 𝑁+
Distribuição Weibull
 Possui grande variedade de formas.
 Pode-se ajustar bem a muitos tipos de tempo até a falha (time to failure - TTF) 
apenas alterando parâmetros dessa distribuição.
Distribuição Weibull
 Vermelho: 𝛽 = 3.5 (se aproxima da distribuição normal) 
 Azul: 𝛽 = 1.0 (se aproxima da distribuição exponencial)
 Verde: 𝛽 = 0.5
 η = 100.000
Distribuição Weibull
 A distribuição Weibull acumulada (área à esquerda do ponto na curva de 
distribuição) é dada por:
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
 𝑡 ≥ 0
 A distribuição acumulada é útil quando se deseja saber probabilidades até um 
dado intervalo de tempo.
 A probabilidade de sobrevivência ou confiabilidade após decorrido um tempo 
é dada pelo complemento da acumulada da falha, ou 𝑅 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 .
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
Distribuição Weibull
 Em algumas situações, é interessante saber em qual tempo 𝑡 um certo
percentual de produtos, ou percentil 𝑝, terá falhado. Para isso, buscamos
isolar o tempo 𝑡 na função acumulada.
𝐹 𝑡 = 𝑝
𝑝 = 1 − 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
𝑒
−
𝑡
η
𝛽
= 1 − 𝑝
ln 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
= ln(1 − 𝑝)
−
𝑡
η
𝛽
= ln(1 − 𝑝)
𝑡 = η − ln(1 − 𝑝)
1
𝛽
Distribuição Weibull
 Exemplo 1. Considere um capacitor cujo tempo de vida segue uma distribuição
Weibull com η = 100.000 horas e 𝛽 = 0,5.
 Qual a confiabilidade após 1 ano de uso?
 Com quantas horas de uso 10% dos capacitores terão falhado?
 Qual a média do tempo de vida do capacitor?
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do capacitor?
Distribuição Weibull
 Qual a confiabilidade após 1 ano de uso?
 1 ano = 365 ∗ 24 = 8760 horas
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
𝑅 8760 = 𝑒
−
8760
100000
0,5
≈ 0,7438
Distribuição Weibull
 Com quantas horas de uso 10% dos capacitores terão falhado?
𝑡 = η − ln(1 − 𝑝)
1
𝛽
𝑡 = 100.000 ∗ − ln(1 − 0,1)
1
0,5
𝑡 = 100.000 ∗ − ln(0,9) 2
𝑡 = 100.000 ∗ 0,10536 2
𝑡 ≈ 1110,08 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Distribuição Weibull
 Qual a média do tempo de vida do capacitor?
𝜇 = 𝑀𝑇𝑇𝐹 = η𝛤
1
𝛽
+ 1 = 100.000 ∗ 𝛤
1
0.5
+ 1
𝛤 3 = 3 − 1 ! = 2! = 2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 100.000 ∗ 𝛤 3 = 200.000
Distribuição Weibull
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do capacitor?
𝜎 = η 𝛤
2
𝛽
+ 1 − 𝛤
1
𝛽
+ 1
2
𝜎 = 100.000 𝛤
2
0,5
+ 1 − 𝛤
1
0,5
+ 1
2
= 100.000 ∗ 𝛤 5 − 𝛤[3]2
𝛤 5 = 5 − 1 ! = 4! = 24
𝛤 3 = 3 − 1 ! = 2! = 2
𝜎 = 100.000 ∗ 24 − 4 = 100.000 ∗ 4,4721 = 447.213,6
Distribuição Weibull
 Exemplo 2. Suponha que o tempo de vida de um componente seja modelado
pela distribuição Weibull com valores de η = 50.000 horas e 𝛽 = 0,3.
 Calcule a probabilidade de o aparelho durar mais do que o tempo de cobertura da
garantia estabelecida pela fábrica de 20.000 horas.
 Com quantas horas de uso 50% dos componentes terão falhado?
Distribuição Weibull
 Calcule a probabilidade de o aparelho durar mais do que o tempo de cobertura
da garantia estabelecida pela fábrica de 20.000 horas.
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
𝑅 20000 = 𝑒
−
20000
50000
0,3
= 𝑒 −0,7597 ≈ 0,4678
 Garantia está mal estimada para a empresa pois apenas 46,78% dos produtos
duram mais do que a garantia.
Distribuição Weibull
 Com quantas horas de uso 50% dos componentes terão falhado?
𝑡 = η − ln(1 − 𝑝)
1
𝛽
𝑡 = 50.000 ∗ − ln(1 − 0,5)
1
0,3
𝑡 = 50.000 ∗ − ln(0,5)
10
3
𝑡 = 50.000 ∗ 0,6931472
10
3
𝑡 ≈ 14.736,29 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Distribuição Log-normal
 É a distribuição que melhor descreve os tempos de vida de componentes
semicondutores cujos mecanismos de falha envolvem interações químicas.
 Corrosão, acúmulo superficial de cargas elétricas, degradação de contatos, etc.
 O logaritmo natural do tempo até a falha (TTF) em uma distribuição log-normal
segue uma distribuição normal.
Distribuição Log-normal
 A curva da distribuição log-normal é dada por:
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝜎𝑡
𝑒
−
1
2
ln(𝑡)−𝜇
𝜎
2
 𝑡 ≥ 0
 𝜇 e 𝜎 são parâmetros da distribuição.
Distribuição Log-normal
 A média (mean-time to failure ou MTTF) e o desvio-padrão (SD) da
distribuição log-normal são dadas por:
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝑒
𝜇+
𝜎2
2
𝑆𝐷 = 𝑒 2𝜇+2𝜎
2
− 𝑒 2𝜇+𝜎
2
Distribuição Log-normal
 Tempo até a falha (TTF) em uma distribuição log-normal.
Distribuição Log-normal
 A distribuição log-normal acumulada (área à esquerda do ponto na curva de 
distribuição) é dada por:
𝐹 𝑡 = 1 − Φ −
ln 𝑡 − 𝜇
𝜎
 𝑡 ≥ 0
 Φ é a função de distribuição acumulada de uma normal padrão (disponível em 
tabelas no final dos livros de estatística).
 A probabilidade de sobrevivência ou confiabilidade após decorrido um tempo 
é dada pelo complemento da acumulada da falha, ou 𝑅 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 .
𝑅 𝑡 = Φ −
ln 𝑡 − 𝜇
𝜎
Distribuição Log-normal
 Em algumas situações, é interessante saber em qual tempo 𝑡 um certo 
percentual de produtos, ou percentil 𝑝, terá falhado. 
𝑡 = 𝑒 𝑧𝑝𝜎+𝜇
 Em que 𝑧𝑝 é o percentil da normal-padrão.
Distribuição Log-normal
 Exemplo 1. Considere um componente semicondutor cujo tempo de vida segue
uma distribuição log-normal com 𝜇 = 9,65 horas e 𝜎 = 0,1053 horas.
 Qual a confiabilidade após 20.000 horas de uso?
 Com quantas horas de uso 25% dos componentes terão falhado?
 Qual a média do tempo de vida do componente?
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do componente?
Distribuição Log-normal
 Qual a confiabilidade após 20.000 horas de uso?
𝑅 𝑡 = Φ −
ln 𝑡 − 𝜇
𝜎
𝑅 20000 = Φ −
ln 20000 − 9,65
0,1053
= Φ −2,41 = 0,008
Distribuição Log-normal
 Com quantas horas de uso 25% dos componentes terão falhado?
𝑡 = 𝑒 𝑧𝑝𝜎+𝜇
𝑡 = 𝑒 𝑧0,250,1053+9,65
𝑧0,25 = −0,67449
𝑡 = 𝑒 −0,67449∗0,1053+9,65 = 𝑒 9,57898
𝑡 ≈ 14.457,61 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Distribuição Log-normal
 Qual a média do tempo de vida do componente?
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝑒
𝜇+
𝜎2
2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝑒
9,65+
0,10532
2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 15.608,08 horas
Distribuição Log-normal
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do componente?
𝑆𝐷 = 𝑒 2𝜇+2𝜎
2
− 𝑒 2𝜇+𝜎
2
𝑆𝐷 = 𝑒 2∗9,65+2∗0,1053
2
− 𝑒 2∗9,65+0,1053
2
𝑆𝐷 = 1.648,097 horas
Histograma
 Também conhecido como distribuição de frequências.
 Representação gráfica em barras de dados divididos em classes (intervalos).
 Eixo 𝑥 representa as classes e eixo 𝑦 representa a frequência.
Histograma
 Para a determinação da quantidade 𝑘 de classes em um histograma, pode-se 
utilizar a regra de Sturges:
𝑘 = 3,322 ∗ log 𝑛 + 1
 A amplitude total (𝐴) dos dados com a diferença entre o maior e o menor 
valor é calculada.
 A amplitude de cada classe ou intervalo (ℎ) é calculada através da razão da 
amplitude total pelo número de classes 𝑘.
ℎ =
𝐴
𝑘
Histograma
 Exemplo. Foram calculadas 36
medidas de durabilidade de um
componente em dias e deseja-
se construir um histograma das
medidas.
Dias Dias Dias1 60,29 13 56,65 25 59,47
2 59,41 14 60,51 26 60,19
3 61,14 15 58,36 27 57,65
4 55,14 16 55,95 28 61,29
5 64,44 17 65,94 29 61,71
6 61,41 18 51,00 30 60,26
7 59,36 19 56,07 31 66,82
8 64,30 20 54,60 32 60,23
9 56,17 21 63,23 33 50,46
10 58,33 22 59,34 34 61,86
11 59,27 23 57,98 35 60,11
12 61,11 24 63,27 36 63,24
Histograma
 Regra de Sturges:
𝑘 = 3,322 ∗ log𝑛 + 1
𝑘 = 3,322 ∗ log 36 + 1 = 3,322 ∗ 1,5563 + 1 = 6,1859 = 7
 A amplitude total (𝐴) dos dados com a diferença entre o maior e o menor 
valor é calculada.
𝐴 = 66,82 − 50,46 = 16,36
 A amplitude de cada classe ou intervalo (ℎ) é calculada através da razão da 
amplitude total pelo número de classes 𝑘.
ℎ =
𝐴
𝑘
=
16,36
7
≈ 2,337
Histograma
 Calcula-se os limites das classes com base no menor valor somado ao intervalo 
ℎ calculado. 
 Por exemplo, a classe 1 é calculada assim:
 Limite inferior: 50,46 (menor valor)
 Limite superior: 50,46+2,337 ≈ 52,80
Classes Limite Inferior Limite Superior
1 50,46 52,80
2 52,80 55,13
3 55,13 57,47
4 57,47 59,81
5 59,81 62,15
6 62,15 64,48
7 64,48 66,82
Histograma
 Inclui-se para cada classe a quantidade de observações que se encontra neste 
intervalo:
Classes Limite Inferior Limite Superior Frequência Absoluta
1 50,46 52,80 2
2 52,80 55,13 1
3 55,13 57,47 5
4 57,47 59,81 9
5 59,81 62,15 12
6 62,15 64,48 5
7 64,48 66,82 2
Histograma
 Gera-se um gráfico de barras com os dados de frequência absoluta observada 
das classes:
Histograma
 Inclui-se para cada classe também a frequência relativa de cada classe:
Classes Limite Inferior Limite Superior Frequência Absoluta Frequência Relativa
1 50,46 52,80 2 5,56%
2 52,80 55,13 1 2,78%
3 55,13 57,47 5 13,89%
4 57,47 59,81 9 25,00%
5 59,81 62,15 12 33,33%
6 62,15 64,48 5 13,89%
7 64,48 66,82 2 5,56%
Histograma
 Gera-se um gráfico de barras com os dados de frequência relativa das classes:
Histograma
 O formato dos histogramas vai gerar uma boa aproximação para as 
distribuições de probabilidade do evento estudado.
Distribuição Normal Distribuição Exponencial
Referências
 O'CONNOR, Patrick D. T.; KLEYNER, Andre. Practical reliability engineering. 5th
ed. Chichester, West Sussex, England: Wiley, c2012. xviii, 484 p. ISBN
9780470979815
 MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico de qualidade. 7. ed.
Rio de Janeiro, RJ: LTC -Livros Técnicos e Científicos, 2016.
 COSTA, Antonio Fernando Branco; EPPRECHT, Eugenio Kahn; CARPINETTI, Luiz
Cesar Ribeiro. Controle estatístico de qualidade. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
334 p.
Dúvidas?