Revisão para Avaliação 1

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Revisão para Avaliação 1
Confiabilidade de Produtos e Processos
Engenharia de Produção - PUC Minas
Prof. Hendrigo Batista
Avaliação 1
 Data: 29/03/2021
 Horário: 19h00 às 21h00.
 Local: Canvas, clicando na guia Testes.
 Valor: 30 pontos.
 A interpretação do enunciado faz parte da avaliação. Caso tenha alguma dúvida
de interpretação, deixar escrito na prova.
 A data foi marcada no início do semestre a tempo de todos se planejarem. Logo,
quem não puder realizar a prova, deverá fazer a prova de reavaliação no final
do semestre.
Matéria de Estudo para a Avaliação
1. Introdução e Conceitos;
2. Distribuições Estatísticas;
3. Taxa de Risco e Curva da Banheira;
4. Modelos de Sistemas em Confiabilidade.
Introdução e Conceitos
 Características gerais;
 Objetivos da confiabilidade;
 Aplicações;
 Tipos de sistemas;
 Etapas na confiabilidade.
Distribuições Estatísticas
 Distribuição normal;
 Distribuição binomial;
 Distribuição de Poisson;
 Distribuição exponencial;
 Distribuição Weibull;
 Distribuição log-normal;
 Médias, desvios-padrão, probabilidades, percentis.
Distribuição Normal
 Exemplo. Montgomery (2016). A vida de uma bateria de automóvel é
normalmente distribuída com média de 900 dias e desvio-padrão de 35 dias.
Que fração dessas baterias se espera que dure mais de 1000 dias?
Distribuição Normal
 Mais de 1000 dias:
 A área em verde é o complemento da área obtida consultando a tabela.
 1 − Φ 𝑧
Distribuição Normal
 Mais de 1000 dias:
 𝑃 𝑥 ≥ 1000 = 𝑃 𝑧 ≥
𝑥−𝜇
𝜎
= 𝑃 𝑧 ≥
1000−900
35
= 𝑃 𝑧 ≥ 2,85
 𝑃 𝑧 ≥ 2,85 = 1 − 𝑃 𝑧 ≤ 2,85 = 1 − Φ 2,85 = 1 − 0,99781 = 0,00219
Distribuição Binomial
 Exemplo. A probabilidade de um produto em uma linha de produção estar fora
das conformidades é de 0,02. Os produtos são inspecionados. Em uma amostra
de cinco produtos, quais são as probabilidades de se obter:
 A) nenhum produto defeituoso?
 B) exatamente um produto defeituoso?
 C) exatamente dois produtos defeituosos?
 D) pelo menos três produtos defeituosos?
Distribuição Binomial
 A) nenhum produto defeituoso?
 𝑥 = 0
 𝑃 𝑌 = 𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥=
5!
0! 5−0 !
0,020(1 − 0,02)5−0= 0,985 =
0,9039207968
 𝑃 𝑌 = 0 = 0,9039207968
Distribuição Binomial
 B) exatamente um produto defeituoso?
 𝑥 = 1
 𝑃 𝑌 = 𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥=
5!
1! 5−1 !
0,021(1 − 0,02)5−1= 0,1 ∗ 0,984 =
0,0922368160
 𝑃 𝑌 = 1 = 0,0922368160
Distribuição Binomial
 C) exatamente dois produtos defeituosos?
 𝑥 = 2
 𝑃 𝑌 = 𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥=
5!
2! 5−2 !
0,022(1 − 0,02)5−2= 0,004 ∗ 0,983 =
0,0037647680
 𝑃 𝑌 = 2 = 0,0037647680
Distribuição Binomial
 D) pelo menos três produtos defeituosos?
 𝑃 𝑌 ≥ 3 = 1 − 𝑃 𝑌 = 0 − 𝑃 𝑌 = 1 − 𝑃 𝑌 = 2
 𝑃 𝑌 ≥ 3 = 1 − 0,9039207968 − 0,0922368160 − 0,0037647680
 𝑃 𝑌 ≥ 3 = 0,0000776192
Distribuição de Poisson
 Exemplo. Suponha que falhas em um processo produtivo ocorram segundo uma
distribuição de Poisson com uma taxa de 1,5 falhas por semana.
 Calcule a probabilidade de acontecer exatamente 3 falhas em uma semana.
 Qual a média de falhas?
 Qual o desvio-padrão?
Distribuição de Poisson
 Exatamente 3 falhas:
 𝑝 𝑥 =
𝑒−λλ𝑥
𝑥!
 𝑝 𝑥 = 3 =
𝑒−1,51,53
3!
=
0,22313∗3,375
6
= 0,12551
Distribuição de Poisson
 Média de falhas:
 Em uma Poisson, a média é exatamente a taxa. Logo,
 𝜇 = λ
 𝜇 = 1,5
 Desvio-padrão:
 Como a variância é exatamente a taxa, o desvio-padrão é a raiz da taxa.
 𝜎2 = λ
 𝜎 = λ = 1,5 = 1,2247
Distribuição Exponencial
 Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um smartphone seja modelado pela
distribuição exponencial com média de vida igual a 4 anos. Calcule a
probabilidade de o aparelho durar mais do que o tempo de cobertura da
garantia estabelecida pela fábrica de 1 ano.
Distribuição Exponencial
 Média = 4 anos
 𝜇 =
1
λ
= 4
 λ = 0,25
 Probabilidade do aparelho durar mais do que 1 ano.
 𝑃 𝑥 ≥ 1 = 1 − 𝐹 𝑥 = 1 = 1 − 1 − 𝑒−0,25∗1 = 1 − 1 − 0,7788 = 0,7788
Distribuição Exponencial
 Exemplo. Suponha que o tempo entre chegadas de veículos a um pedágio seja
modelado pela distribuição exponencial com uma taxa de chegada de 15 carros
por hora.
 Calcule a probabilidade de não chegar nenhum veículo nos próximos 12 minutos.
 Calcule a probabilidade de o próximo carro chegar ao pedágio entre 5 e 10 minutos.
Distribuição Exponencial
 λ = 15 carros/hora = 15 carros/ 60 minutos
 λ = 0,25 carros/minuto
 Calcule a probabilidade de não chegar nenhum veículo nos próximos 12
minutos.
 𝑃 𝑥 ≥ 12 = 1 − 𝐹 𝑥 = 12 = 1 − (1 − 𝑒−0,25∗12) = 0,04979
Distribuição Exponencial
 λ = 15 carros/hora = 15 carros/ 60 minutos
 λ = 0,25 carros/minuto
 Calcule a probabilidade de o próximo carro chegar ao pedágio entre 5 e 10 
minutos.
 𝑃 5 ≤ 𝑥 ≤ 10 = 𝐹 𝑥 = 10 − 𝐹 𝑥 = 5 = 1 − 𝑒−0,25∗10 − 1 − 𝑒−0,25∗5 =
 𝑃 5 ≤ 𝑥 ≤ 10 = 1 − 0,0820 − 1 + 0,2865 = 0,2045
Distribuição Weibull
 Exemplo. Considere um capacitor cujo tempo de vida segue uma distribuição
Weibull com η = 100.000 horas e 𝛽 = 0,5.
 Qual a confiabilidade após 1 ano de uso?
 Com quantas horas de uso 10% dos capacitores terão falhado?
 Qual a média do tempo de vida do capacitor?
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do capacitor?
Distribuição Weibull
 Qual a confiabilidade após 1 ano de uso?
 1 ano = 365 ∗ 24 = 8760 horas
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
𝑅 8760 = 𝑒
−
8760
100000
0,5
≈ 0,7438
Distribuição Weibull
 Com quantas horas de uso 10% dos capacitores terão falhado?
𝑡 = η − ln(1 − 𝑝)
1
𝛽
𝑡 = 100.000 ∗ − ln(1 − 0,1)
1
0,5
𝑡 = 100.000 ∗ − ln(0,9) 2
𝑡 = 100.000 ∗ 0,10536 2
𝑡 ≈ 1110,08 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Distribuição Weibull
 Qual a média do tempo de vida do capacitor?
𝜇 = 𝑀𝑇𝑇𝐹 = η𝛤
1
𝛽
+ 1 = 100.000 ∗ 𝛤
1
0.5
+ 1
𝛤 3 = 3 − 1 ! = 2! = 2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 100.000 ∗ 𝛤 3 = 200.000
Distribuição Weibull
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do capacitor?
𝜎 = η 𝛤
2
𝛽
+ 1 − 𝛤
1
𝛽
+ 1
2
𝜎 = 100.000 𝛤
2
0,5
+ 1 − 𝛤
1
0,5
+ 1
2
= 100.000 ∗ 𝛤 5 − 𝛤[3]2
𝛤 5 = 5 − 1 ! = 4! = 24
𝛤 3 = 3 − 1 ! = 2! = 2
𝜎 = 100.000 ∗ 24 − 4 = 100.000 ∗ 4,4721 = 447.213,6
Distribuição Log-normal
 Exemplo. Considere um componente semicondutor cujo tempo de vida segue
uma distribuição log-normal com 𝜇 = 9,65 horas e 𝜎 = 0,1053 horas.
 Qual a confiabilidade após 20.000 horas de uso?
 Com quantas horas de uso 25% dos componentes terão falhado?
 Qual a média do tempo de vida do componente?
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do componente?
Distribuição Log-normal
 Qual a confiabilidade após 20.000 horas de uso?
𝑅 𝑡 = Φ −
ln 𝑡 − 𝜇
𝜎
𝑅 20000 = Φ −
ln 20000 − 9,65
0,1053
= Φ −2,41 = 0,008
Distribuição Log-normal
 Com quantas horas de uso 25% dos componentes terão falhado?
𝑡 = 𝑒 𝑧𝑝𝜎+𝜇
𝑡 = 𝑒 𝑧0,250,1053+9,65
𝑧0,25 = −0,67449
𝑡 = 𝑒 −0,67449∗0,1053+9,65 = 𝑒 9,57898
𝑡 ≈ 14.457,61 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Distribuição Log-normal
 Qual a média do tempo de vida do componente?
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝑒
𝜇+
𝜎2
2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝑒
9,65+
0,10532
2
𝑀𝑇𝑇𝐹 = 15.608,08 horas
Distribuição Log-normal
 Qual o desvio-padrão do tempo de vida do componente?
𝑆𝐷 = 𝑒 2𝜇+2𝜎
2
− 𝑒 2𝜇+𝜎
2
𝑆𝐷 = 𝑒 2∗9,65+2∗0,1053
2
− 𝑒 2∗9,65+0,1053
2
𝑆𝐷 = 1.648,097 horas
Taxa de Risco e Curva da Banheira
 Características gerais;
 Cálculo da taxa de risco;
 Definições de curva da banheira;
Exemplo
 Considere que um celular pode apresentar 3 tipos de
falhas:
 1) defeito de fábrica;
 2) queda;
 3) desgaste;
 Cada um desses tipos de falhas pode ser modelado de
forma independente:
 Defeito de fabricação: 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 η = 7 𝑑𝑖𝑎𝑠, 𝛽 = 0,4
 Queda: 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 η = 200 𝑑𝑖𝑎𝑠, 𝛽 = 1,0
 Desgaste: 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 η = 400 𝑑𝑖𝑎𝑠, 𝛽 = 2,7
 Calcular a confiabilidade 𝑅 𝑡 e taxa de risco ℎ 𝑡 para
𝑡 = 30 dias, 𝑡 = 365 dias e 𝑡 = 800 dias e desenhar a
“curva da banheira”para a taxa de risco total.
Exemplo
 Calcular a confiabilidade para 𝑡 = 30 dias:
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
 Defeito: 𝑅 30 = 𝑒
−
30
7
0,4
= 0,16699
 Queda: 𝑅 30 = 𝑒
−
30
200
1,0
= 0,86071
 Desgaste: 𝑅 30 = 𝑒
−
30
400
2,7
= 0,99908
Exemplo
 Calcular a confiabilidade para 𝑡 = 365 dias:
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
 Defeito: 𝑅 365 = 𝑒
−
365
7
0,4
= 0,00773
 Queda: 𝑅 365 = 𝑒
−
365
200
1,0
= 0,16122
 Desgaste: 𝑅 365 = 𝑒
−
365
400
2,7
= 0,45797
Exemplo
 Calcular a confiabilidade para 𝑡 = 800 dias:
𝑅 𝑡 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
 Defeito: 𝑅 800 = 𝑒
−
800
7
0,4
= 0,00129
 Queda: 𝑅 800 = 𝑒
−
800
200
1,0
= 0,01832
 Desgaste: 𝑅 800 = 𝑒
−
800
400
2,7
= 0,00151
Exemplo
 Calcular a taxa de risco para 𝑡 = 30 dias:
ℎ 𝑡 =
𝛽
η𝛽
𝑡𝛽−1
 Defeito: ℎ 30 =
0,4
70,4
300,4−1 = 0,02386
 Queda: ℎ 30 =
1,0
2001,0
301,0−1 = 0,005
 Desgaste: ℎ 30 =
2,7
4002,7
302,7−1 = 0,00008
Exemplo
 Calcular a taxa de risco para 𝑡 = 365 dias:
ℎ 𝑡 =
𝛽
η𝛽
𝑡𝛽−1
 Defeito: ℎ 365 =
0,4
70,4
3650,4−1 = 0,00533
 Queda: ℎ 365 =
1,0
2001,0
3651,0−1 = 0,005
 Desgaste: ℎ 365 =
2,7
4002,7
3652,7−1 = 0,00578
Exemplo
 Calcular a taxa de risco para 𝑡 = 800 dias:
ℎ 𝑡 =
𝛽
η𝛽
𝑡𝛽−1
 Defeito: ℎ 800 =
0,4
70,4
8000,4−1 = 0,00333
 Queda: ℎ 800 =
1,0
2001,0
8001,0−1 = 0,005
 Desgaste: ℎ 800 =
2,7
4002,7
8002,7−1 = 0,02193
Exemplo
 Taxa de risco:
𝒕
𝒉 𝒕
Defeito
𝒉 𝒕
Queda
𝒉 𝒕
Desgaste
𝒉 𝒕
Total
30 0,02386 0,00500 0,00008 0,02896
365 0,00533 0,00500 0,00578 0,01611
800 0,00333 0,00500 0,02193 0,03026
Modelos de Sistemas em Confiabilidade
 Características gerais;
 Sistemas em série;
 Sistemas em paralelo;
 Sistemas em paralelo de redundância m-de-n;
Modelo de Sistemas em Série
 Exemplo. Considere um sistema composto de 3 componentes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 ,
dispostos em série. O tempo até a falha (time to failure) ou 𝑇𝑇𝐹 de cada
componente é dada conforme abaixo:
 𝑇𝑇𝐹𝐴 ~ 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜇 = 50ℎ, 𝜎 = 5ℎ ;
 𝑇𝑇𝐹𝐵 ~ 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Τ
1
λ = 55ℎ ;
 𝑇𝑇𝐹𝐶 ~𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 η = 60ℎ, 𝛽 = 0,9 ;
 Calcule a confiabilidade do sistema em 𝑡 = 60ℎ.
Modelo de Sistemas em Série
 𝑅𝐴 𝑡 = 60 = 𝑃 𝑇𝑇𝐹𝐴 ≥ 60 = 𝑃 𝑧 ≥
60−50
5
= 𝑃 𝑧 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑧 ≤ 2 = 0,023
 𝑅𝐵 𝑡 = 60 = 𝑒
(−λ∗𝑡) = 𝑒(−( Τ
1
55)∗60) = 0,336
 𝑅𝐶 𝑡 = 60 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
= 𝑒
−
60
60
0,9
= 0,368
 𝑅𝑠 60 = 𝑅𝐴 60 ∗ 𝑅𝐵 60 ∗ 𝑅𝐶 60 = 0,023 ∗ 0,336 ∗ 0,368 = 0,0028
A B C
Modelo de Sistemas em Paralelo
 Exemplo. Considere um sistema composto de 3 componentes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 ,
dispostos em paralelo. O tempo até a falha (time to failure) ou 𝑇𝑇𝐹 de cada
componente é dada conforme abaixo:
 𝑇𝑇𝐹𝐴 = 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜇 = 50ℎ, 𝜎 = 5ℎ ;
 𝑇𝑇𝐹𝐵 = 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Τ
1
λ = 55ℎ ;
 𝑇𝑇𝐹𝐶 = 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 η = 60ℎ, 𝛽 = 0,9 ;
 Calcule a confiabilidade do sistema em 𝑡 = 60ℎ.
Modelo de Sistemas em Paralelo
 𝑅𝐴 𝑡 = 60 = 𝑃 𝑇𝑇𝐹𝐴 ≥ 60 = 𝑃 𝑧 ≥
60−50
5
=
𝑃 𝑧 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑧 ≤ 2 = 0,023
 𝑅𝐵 𝑡 = 60 = 𝑒
(−λ∗𝑡) = 𝑒(−( Τ
1
55)∗60) = 0,336
 𝑅𝐶 𝑡 = 60 = 𝑒
−
𝑡
η
𝛽
= 𝑒
−
60
60
0,9
= 0,368
A
B
C
Modelo de Sistemas em Paralelo
 𝑅𝑠 60 = 1 − 1 − 𝑅𝐴 60 ∗ 1 − 𝑅𝐵 60 ∗ 1 − 𝑅𝐶 60
 𝑅𝑠 60 = 1 − 1 − 0,023 ∗ 1 − 0,336 ∗ 1 − 0,368
 𝑅𝑠 60 = 1 − 0,977 ∗ 0,664 ∗ 0,632
 𝑅𝑠 60 = 1 − 0,41
 𝑅𝑠 60 = 0,59 A
B
C
Modelo de Sistemas de Redundância 
m-de-n
 Exemplo. Considere que um drone possui 8 hélices. Se 6 ou
mais rodarem perto da velocidade ideal, o drone consegue
continuar voando. Sem manutenção, a confiabilidade de
cada hélice neste modelo de drone segue distribuição
normal com média de μ = 10ℎ e desvio-padrão 𝜎 = 2ℎ de
uso. Qual a confiabilidade do drone após 9ℎ de uso sem
manutenção das hélices?
H
H
H
H
H
H
H
H
Modelo de Sistemas de Redundância 
m-de-n
 Confiabilidade de cada hélice girar perto da velocidade ideal:
 𝑅𝐻 𝑡 = 9 = 𝑃 𝑇𝑇𝐹 ≥ 9 = 𝑝 𝑧 ≥
9−10
2
= 𝑝 𝑧 ≥ −0,50
 𝑅𝐻 𝑡 = 9 = 0,69
Modelo de Sistemas de Redundância 
m-de-n
 Confiabilidade do drone em um sistema de redundância m-de-n:
 𝑛 = 8
 𝑚 = 6
 𝑅𝑠 𝑡 = σ𝑖=𝑚
𝑛 𝑛
𝑖
∗ 𝑅 𝑡 𝑖 ∗ 1 − 𝑅 𝑡
𝑛−𝑖
 𝑅𝑠 9 = σ𝑖=6
8 8
𝑖
∗ 0,69𝑖 ∗ 1 − 0,69 8−𝑖
 𝑅𝑠 9 =
8
6
∗ 0,696 ∗ 1 − 0,69 8−6 +
8
7
∗ 0,697 ∗ 1 − 0,69 8−7 +
8
8
∗ 0,698 ∗ 1 − 0,69 8−8
 𝑅𝑠 9 = 0,280 + 0,184 + 0,051
 𝑅𝑠 9 = 0,515
Referências para Estudo
 Materiais, vídeos e notas de aula disponibilizados nos módulos do Canvas.
 O'CONNOR, Patrick D. T.; KLEYNER, Andre. Practical reliability engineering. 5th
ed. Chichester, West Sussex, England: Wiley, c2012. xviii, 484 p. ISBN
9780470979815
Dúvidas???