Trabalho 1 de Método dos Elementos Finitos - Mayra Branco

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Engenharia Civil 
 
 
 
 
MAYRA BRANCO 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO 
2017 
1. APRESENTAÇÃO DO PÓRTICO ANALISADO 
 
O pórtico proposto a ser resolvido pelo método dos elementos finitos está representado na 
Figura 1, bem como a configuração de sua seção. 
 
Figura 1 – Configuração e dimensões do pórtico e da seção do material a ser analisado 
 
O módulo de elasticidade longitudinal do material utilizado (aço) é de 205 GPa. Os casos 
a serem analisados estão representados na Figura 2. 
 
Figura 2 – Casos 1 e 2 do pórtico a serem analisados 
Para cada caso serão determinados: 
a) Os deslocamentos nodais; 
b) As reações de apoio; 
c) Os diagramas de esforços solicitantes; 
d) A representação da configuração deformada em funções dos deslocamentos nodais 
obtidos no item (a). 
 
2. RESOLUÇÃO DOS CASOS 
 
2.1. CASO 1 
 
Os graus de liberdade dos nós estão expostos na Figura 3. 
 
 
Figura 3 – Graus de liberdade dos nós do caso 1 
 
É possível observar que o ângulo formado entre o elemento e a horizontal (α) é de 90° 
para o elemento E1 e de 0° para o elemento E2. A matriz de rigidez de cada elemento pode ser 
elaborada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
 (2) 
 
 
 
 (3) 
 (4) 
 (5) 
 
Aplicando-se as equações (1) a (5) ao elemento E1, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir destes valores, tem-se a matriz de rigidez do elemento E1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um processo análogo foi realizado para o elemento E2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerando, assim, a matriz de rigidez do elemento E2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível juntar as duas matrizes na matriz de rigidez da estrutura através do seguinte 
modelo: 
 
1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
4 5 6 7 8 9 
4
5
6
7
8
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças nos nós são determinadas de acordo com a seguinte equivalência, gerada pelo 
carregamento distribuído de 3 kN/m e pela força concentrada de 5 kN, como representado na 
Figura 4. 
 
 
Figura 4 – Forças equivalentes no elemento E2 
 
Sabendo-se também que as forças associadas aos apoios são incógnitas e que os 
respectivos deslocamentos são nulos, tem-se a matriz de rigidez da estrutura, expressa abaixo. 
Para sua resolução, reduz-se a matriz a uma matriz 6x6, descartando-se as três primeiras linhas e 
três primeiras colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2.1.1 Deslocamentos nodais 
 
Através de resolução da matriz de rigidez da estrutura por meio do software Excel, foram 
encontrados os seguintes deslocamentos nodais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.2 Reações de apoio 
 
As reações de apoio foram calculadas por meio das três primeiras equações do sistema 
linear apresentado anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.3 Diagramas de esforços solicitantes 
 
Através das reações calculadas no item anterior e dos carregamentos do pórtico, foi 
possível elaborar os diagramas de esforço normal, cortante e de momento fletor, como 
apresentado na Figura 5. 
 
 
Figura 5 – Diagramas do esforço normal, cortante e de momento fletor obtidos pelos carregamentos no caso 1 
 
Entretanto, também é possível obter os respectivos diagramas a partir das forças 
equivalentes consideradas no pórtico (Figura 6). 
 
 
Figura 6 – Diagramas do esforço normal, cortante e de momento fletor obtidos pelas forças equivalentes no 
caso 1 
 
Observa-se uma diferença nos diagramas de cortante e de momento fletor realizados 
através dos carregamentos submetidos ao pórtico e às forças equivalentes calculadas no caso 1, 
sendo os últimos uma aproximação dos diagramas da Figura 5. Esta aproximação está 
relacionada ao número de elementos do pórtico considerados no caso 1. 
2.1.4 Representação da configuração deformada 
 
Observando-se os deslocamentos nodais encontrados, é possível determinar a 
configuração deformada para o pórtico analisado (Figura 7). 
 
 
Figura 7 – Configuração deformada do pórtico para o caso 1 (linha tracejada) 
 
2.2. CASO 2 
 
Os graus de liberdade dos nós estão expostos na Figura 8. 
 
 
Figura 8 – Graus de liberdade dos nós do caso 2 
 
Os comprimentos dos elementos e os ângulos formados entre os mesmos e a horizontal 
estão apresentados na Tabela 1. 
 
Tabela 1 – Comprimentos e ângulos formados entre os elementos e a horizontal para o caso 2 
Elemento Comprimento (m) Ângulo com a horizontal (°) 
E1 1,5 90 
E2 1,5 90 
E3 1,0 0 
E4 1,0 0 
 
Para os elementos E1 e E2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As matrizes de rigidez dos elementos E1 e E2 são, portanto:Para os elementos E3 e E4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As matrizes de rigidez dos elementos E3 e E4 são, portanto: 
 
 
1 2 3 4 5 6 
1
2
3
4
5
6 
4 5 6 7 8 9 
4
5
6
7
8
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças equivalentes nos nós foram determinadas como apresentado na Figura 9. No 
Nó 4, comum aos elementos E3 e E4, as forças e momentos foram sobrepostos. 
 
Figura 9 – Forças equivalentes nos elementos E3 e E4 
 
Elaborando, então, a matriz de rigidez da estrutura, tem-se: 
7 8 9 10 11 12 
7 
8 
9 
10
11
12 
10 11 12 13 14 15 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
2.2.1 Deslocamentos nodais 
 
De forma análoga ao caso 1, a matriz foi resolvida excluindo-se as três primeiras linhas e 
três primeiras colunas para determinação dos deslocamentos, expressos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2 Reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.3 Diagramas de esforços solicitantes 
 
Os diagramas dos esforços solicitantes estão apresentados na Figura 10. Como as reações 
calculadas para o Caso 2 são as mesmas encontradas para o Caso 1, os diagramas também se 
mantém iguais. Entretanto, considerando os pontos intermediários dispostos no Caso 2 do 
pórtico, foram apresentados também os seus valores intermediários correspondentes dos esforços. 
 
 
Figura 10 – Diagramas do esforço normal, cortante e de momento fletor obtidos pelos carregamentos no caso 
2 
 
Já os diagramas elaborados através das forças equivalentes consideradas no caso 2 podem 
ser observados na Figura 11. 
 
 
Figura 11 – Diagramas do esforço normal, cortante e de momento fletor obtidos pelas forças equivalentes no 
caso 2 
 
Observa-se uma maior aproximação, ainda que minuciosa, do caso 2 aos diagramas da 
Figura 10, devido à discretização do pórtico em um maior número de elementos. 
 
 
2.2.4 Representação da configuração deformada 
 
Na Figura 12 está representada a configuração deformada do pórtico no Caso 2. 
 
 
Figura 12 – Configuração deformada do pórtico para o caso 2 (linha tracejada)