Compilação de Calculo II Engenharia Química 2020 até derivada parcial

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1 
 
INSTITUTO FEDERAL DO SUL DE MINAS GERAIS 
CAMPUS POUSO ALEGRE - MG 
Curso de Engenharia Química 
 
 
 
 
 
 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
COMPILAÇÃO PARA CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POUSO ALEGRE - MG 
2020 
 
2 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compilação para Cálculo II 
 
 
 
 
 
Apostila referente à disciplina de Cálculo II, do 
curso de Engenharia Química do Instituto 
Federal do Sul de Minas Gerais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
POUSO ALEGRE - MG 
2020 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico esta apostila a todos os alunos que tiveram o 
ímpeto de agregar mais uma etapa na sua vida: A 
Graduação, que apesar das dificuldades da união dos 
primordiais vínculos: trabalho, estudo e família, fazem 
ainda mais valorizar esta batalha! 
 
4 
 
RESUMO: 
A finalidade desta compilação tem com principal objetivo, ajudar a melhoria do 
aprendizado de cálculo III, e suas aplicações no cotidiano do curso de engenharia. Para 
conseguir este objetivo foram introduzidos novos tópicos, com uma linguagem 
academicamente simples com exemplos familiares do cotidiano. Sabe-se que o Cálculo, 
também chamado de Cálculo Infinitesimal, nasce no fim do século XVII, com os trabalhos de 
Newton e Leibniz. Os assuntos foram desenvolvidos sistematicamente por intermédio de 
exemplos resolvidos e questões propostas com respostas. Alguns teoremas foram 
demostrados rigorosamente. Para que este aprendizado consiga a eficácia necessária, os 
assuntos pertinentes ao ensino básico – leia-se: Ensino médio – tenha uma base satisfatória, 
principalmente com referencia a: fatoração, geometria analítica e trigonometria. Foram 
utilizados todos os livros que constam na bibliografia básica, assim como alguns livros da 
bibliografia complementar. 
Palavras-chave: Cálculo. Matemática. Engenharia. 
 
5 
 
Índice 
 
I – Função a várias variáveis.................................................................................... Página 6 
II – Cônicas ............................................................................................................. Página 14 
III – Superfícies Quadráticas.................................................................................... Página 28 
IV - Limites e Continuidade ..................................................................................... Página 33 
V - Derivadas Parciais.............................................................................................. Página 40 
VI - Derivadas Direcionais e Gradientes ................................................................. Página 50 
VII - Derivadas Parciais de Ordem Superior ........................................................... Página 60 
VIII - Extremos para funções de Mais de Uma variável .......................................... Página 65 
IX - Integrais Múltiplas 
IX.1 - Repetidas................................................... ................................. Página 75 
IX.2 – Integrais Duplas.................................................................................. Página 80 
IX.3 - Integrais Triplas................................................................................... Página 96 
Referencias Biliográficas.......................................................................................... Página 101 
Anexo – Ementa da disciplina de cálculo III............................................................. Página 103 
 
 
 
6 
 
h 
r 
I - Funções a Várias Variáveis 
Nos cálculos anteriores trabalhamos exclusivamente com funções de uma única 
variável real; contudo, há situações práticas nas quais a função depende de diversas 
variáveis. Por exemplo, a frequência de um circuito sintonizador depende de sua 
capacitância, da sua indutância e da sua resistência; a pressão de um gás depende de sua 
temperatura e de seu volume; e assim por diante. 
 Um cilindro circular reto, fechado nas extremidades, com base de raio r e altura h, 
tem a área da superfícies total S, representado na figura 1 abaixo, por: 
 
 
 
 
 
 Dizemos então que a variável S(dependente) é uma função a duas variáveis r e h 
(Independentes), e escrevemos: 
 ( ) 
 Por exemplo, se r = 11 cm e h = 5 cm, então: 
 ( ) ( )( ) ( ) 
 Definição: 
 Função a duas variáveis. 
Uma função real f a duas variáveis reais é uma relação que transforma em um único 
número real z cada par ordenado (x;y) de números reais de um certo conjuntos D, 
chamado de domínio da função. Se a relação f transforma no número real z o par 
ordenado (x;y) em D, então escrevemos z = f(x;y). 
Na equação x = f(x;y), chamamos z de variável dependentes e nos referimos a x e a 
y como varáveis independentes. O Conjunto de todos os valores possíveis de z, pode ser 
obtido aplicando a relação f aos pares ordenados (x;y) em D, é denominado imagem da 
função f. 
 Definimos o gráfico de uma função f a duas variáveis como 
sendo o conjunto de todos os pontos (x; ;y; z) no espaço 
cartesiano tridimensional, tal que (x;y) pertence ao domínio 
D e de f e sendo z = f(x;y).O domínio D pode ser 
representado através de um conjunto de pontos no plano 
xy e o gráfico de f com uma superfície cuja projeção 
perpendicular ao plano xy é D, figura 2, nesta figura, o ponto indicado como (x;y) é na 
verdade (x; y; 0); contudo, a terceira coordenada foi propositalmente omitida. 
Figura 2 
Figura 1 
 
7 
 
Observe que quando o ponto (x; y) varia de D, o ponto correspondente: 
(x; y; z) – (x; y; f(x;y)) varia sobre a superfície. 
Exemplos: 
Esboce o gráfico das funções a duas variáveis dadas abaixo. 
 
1. A função f cujo domínio D é o disco circular consistindo em todos os pontos (x;y) 
tais que e que está definida pela equação: 
 ( ) √ 
Solução: 
Um ponto (x; y; z) pertence ao gráfico de f se, e somente se, z = f(x;y); isto é, 
 √ é equivalente às duas condições z  0 e x² + y² + z² =1. Deste modo, o gráfico 
consiste na posição da esfera x² + y²+ z² =1 sobre o plano xy, graficamente fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A função f cujo domínio D é o plano xy e que está definida pela equação ( ) 
 
 
 
. 
Solução: 
O ponto (x; y; z) pertence ao gráfico se, e somente se, 
 
 
; isto é 
 . Portanto o gráfico de f consiste num plano que intercepta os 
eixos nos pontos (1; 0 ;0), (0, 2, 0) e (0, ;0 ;1). Uma porção deste plano, 
mostrando as intersecções como nos planos xy; xz e yz estão apresentadas na 
figura 4 abaixo. 
 
𝒇(𝒙 𝒚) √𝟏 𝒙𝟐 𝒚 
 
Figura 3 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
 Função a várias variáveis. 
Uma função real f a n variáveis reais é uma relação que transforma em um único 
número real w cada n-upla ordenado (x1; x2, x3, ..., xn) de números reais de um certo 
conjuntos D, chamado de domínio da função. Se a relação f transforma no número real w 
a n-upla (x1; x2, x3, ..., xn) em D, então escrevemos w = f(x1; x2, x3, ..., xn). 
Na equação w = f(x1; x2, x3, ..., xn), chamamos w de variável dependentes e nos 
referimos a x1; x2, x3, ..., xn como varáveis independentes. O Conjunto de todos os valores 
possíveis de z, pode ser obtido aplicando a relação f às n-upla (x1; x2, x3, ..., xn) em D é 
denominado imagem da função f. No caso n = 2, w = f(x1; x2) é geralmente representada 
na forma w = f(x; y), como na definição anterior. No caso de n = 3, w = f(x1; x2, x3) e 
representada por w = f(x; y e z). 
Exemplos: 
3. Se f está definida por f(x;y) = 3x+2y para todos os valores de x e y, encontre: 
a) f(1;2); 
b) f(sen t; cos t). 
Solução: 
a) f(1;2)=3.(1)+2.(2)=7 
b) f(sen t; cos t)=3.(sen t)+2.(cos t)=3 sen t+2 cos t 
 
4. Se ( ) 
 
 
 para todos os valores x; y e z exceto aqueles que anulam o 
denominador. Encontre: 
a) g(2;3;7) 
b) f(sent; cos t; 0) 
 
𝑓(𝑥) 𝑥 
𝑦
 
 
Figura 4 
 
9 
 
O valor de escalar f(x; y) 
correspondente ao ponto (x; y) do 
domínio D está apresentado na 
figura ao lado, como uma 
“bandeira” fincada no ponto. 
Como o ponto (x; y) move-se no 
interior da região D, a “bandeira” 
desloca-se com ele e o número 
f(x; y) nela indicado varia. 
Solução: 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) 
 
( ) ( ) 
 
Observação: 
Se um função f a várias variáveis está definida por uma equação ou uma fórmula 
então (a não ser que esteja estipulado o contrário) entende-se por domínio de f o 
conjunto de todas as n-uplas de variáveis independes para as quais a equação ou 
fórmula admitem respostas. 
Exemplo: 
Encontre e esboce o domínio de ( ) 
√ 
 
. 
Solução: 
O domínio de f consiste em todos os pares ordenados (x;y) 
para os quais x²+y²  4 e y  0. Este é o conjunto de todos os 
pontos que estão no interior da região limitada pelo círculo 
c²+y²=4, exceto aqueles que estão sobre os eixos x, conforme 
figura 5, ao lado. 
 
Campos escalares 
Vimos que uma função f a duas variáveis independentes pode ser considerada através 
do seu gráfico, que é uma superfície no espaço xyz. Há uma segunda maneira de 
representar tal função, que para alguns fins, é mais sugestiva que usar seu gráfico; a saber, 
a função f é considerada em campos escalar num domínio bidimensional D como se segue: 
O domínio D visualizado como um conjunto de pontos (x; y) e numa certa região do plano xy 
e a cada ponto (x; y), nesta região, está associado um escalar correspondente f(x; y) pela 
função , como na figura 6, a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x²+y²  4 e y  0 
Esta parte do 
eixo dos x está 
excluída. 
Figura 5 
Figura 6 
 
10 
 
O escalar f(x; y) associado ao ponto (x; y) pode representar, por exemplo, a 
temperatura em (x; y), ou a pressão atmosférica em (x; y), a velocidade do vento em (x; y), a 
intensidade do campo magnético em (x; y) e assim por diante. 
Exemplo: 
Na figura 7, abaixo, suponha que f(x; y) dê a temperatura em graus F no ponto com 
coordenadas cartesianas (x; y), onde x e y estão medidos em ilhas. Seja: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Encontre a temperatura no ponto (60; 75). 
b) Encontre a equação da curva a o longo da qual a temperatura tem um valor 
constante igual a 70°F. 
c) Esboce o a curva do item “b”. 
Solução: 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Curva de nível 
Uma curva ao longo da qual o campo escalar tem valor constante (tal como a curva 
ao longo da qual a temperatura do exemplo anterior manteve-se como valor constante de 
70°F) é denominada curva de nível do campo ou da função f que define o campo. A 
equação da curva de nível ao longo da qual a função f assume o valor constante k é: 
 ( ) 
 As curvas de nível para vários campos escalares recebem geralmente denominação 
especial, dependendo da natureza do campo – isotermas para curvas de nível de um campo 
de temperatura, linhas equipotenciais para curvas de nível de campo de potencial elétrico, e 
assim por diante. 
 
Figura 7 
 
11 
 
 
 Suponha que por uma função f se estabeleça a 
altura z = f(x; y) de certa superfície do plano xy no ponto (x; 
y). (S é então o gráfico da função f). A intersecção da 
superfície S como plano z = k produz a curva C constituída 
por todos os pontos da superfície que estejam a k unidades 
acima do plano xy, como na figura 8, ao lado. 
A projeção perpendicular da curva C sobre o plano xy resulta na curva de nível da 
função f. Tal curva de nível, cuja equação no plano xy é: 
 ( ) 
 É denominada linha de contorno da superfície S. Desenhando 
certo número de diferentes linhas de contorno, cada qual identificada 
pelo próprio valor de k a ela associado, obtemos um mapa de 
contorno da superfície S, como na figura 9, ao lado. 
 
Tal mapa de contorno facilita-nos a visualização da superfície como se estivéssemos 
sobre ela, observando suas intersecções como planos horizontais de altura variadas. Se 
essas alturas são consideradas de modo a diferir por iguais quantidades, então uma grande 
quantidade de linha de contorno sucessiva indica uma parte relativamente íngreme da 
superfície. 
 Exemplo: Seja a superfície S dada por z = x²-y²+20 para x  0. Desenhe as linhas de 
contorno para esta superfície correspondente a z = 0; z = 10; z = 20; z = 30 e z = 40. 
 
Solução: 
Para z = 0, na figura 10, temos: 
z = x²-y²+20  0 = x²-y²+20  y²-x²=20, que é uma hipérbole com eixo transverso vertical. 
Desde que x  0, obteremos somente as partes desta hipérbole situadas no 1º e 4º 
quadrantes como as linhas de contorno para z = 0, o mesmo para z = 10 que será também 
uma hipérbole com a equação dada por: y²-x²=10. 
 
Para z =2 0 temos: 
z = x²-y²+20  20 = x²-y²+20  y²=x² y =  x, que são retas bissetrizes dos quadrantes 
pares e ímpares. 
 
Figura 8 
Figura 9 
 
12 
 
Para z =30, temos: 
z = x²-y²+20  30 = x²-y²+20  x²-y² =10, que é uma hipérbole com eixo transverso 
horizontal. Desde que x  0, obteremos somente as partes desta hipérbole situadas no 1º e 
4º quadrantes como as linhas de contorno para z = 30, o mesmo para z = 40 que será 
também uma hipérbole com a equação dada por: x²-y² =20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Determine e esboce o domínio de cada função a duas variáveis. 
 ) ( ) ) ( ) ) ( ) √ ) ( ) 
 ) ( ) √ ) ( ) √ 
 
2. Calcule o valor de cada expressão, usando as funções f, g e h definida por: 
 ( ) ( ) √ ( ) 
 
 
 
 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) (√ ) ) ( ) 
 
3. Especifique o domínio da função e calcule f(x; y) para os valores de x e y. 
 ) ( ) √ ) ( ) 
 
 
 
 
→ 𝒚 𝒙 
→ 𝒚 𝒙𝟐 𝟐𝟎 
→ 𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟎 
→ 𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟎 
→ 𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝟎 
→ 𝒚 𝒙 
Figura 10 
 
13 
 
4. Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z = f(x; y) mostrando as linhas de 
contorno correspondentes aos valores de z dados: 
 ) ( ) 
 ) ( ) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ( ) 
 
Gabarito: 
1) Domínios: 
a) D(f) = IR² b) D(f) = IR² c) D(f) = {(x;y)  IR²/ x²+y² ≤ 4} 
d) D(f) = IR² e) {(x;y)  IR²/ x²+y² ≤ 9} f) D(f) = IR² 
 
 Esboço dos domínios: 
 (a), (b), (d) e (f): (c) (e) 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) -39 b) | | c) 
 
 
 d) √ e) sen 2t. 
3) a) Todos os pares ordenados (x; y) tais que x + y 4 e f(-4;16) = √ 
 b) Todos os pares ordenados (x; y) tais que y  2x e f(4;-1) = 7 
 
 
 
4) a) b) c) 
IR 
IR 
Y 
X 2 
2 
- 2 
- 2 
Y 
X 3 
3 
- 3 
- 3 
Figura 11 
Figura 12 
Figura 13 
Figura 14 
Figura 15 
Figura 16 
 
14 
 
II – CÔNICAS 
II.1 - CIRCUNFERÊNCIA. 
 Equação reduzida 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto 
fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a 
distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
 
 √( )
 ( )
 √( ) ( ) 
( ) ( ) 
 
 
 
 
Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite 
determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do 
centro e o raio. 
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem [C(0,0)], a equação da 
circunferência será x² + y² = r². 
 
 Equação geral 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equaçãogeral da circunferência: 
( ) ( ) 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro: 
C(2, -3) e raio r = 4. 
 
Figura 17 
Figura 18 
Figura 19 
 
15 
 
A equação reduzida da circunferência é: 
( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16 
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: 
 
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de 
trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos 
o centro e o raio da circunferência. 
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: 
 os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + 
y² - 6x + 2y - 6 = 0. 
 Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente 
X²- 6x + _ + y² + 2y + _ = 6 
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas 
variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes: 
 ⏟ 
 
 ⏟
 
 ⏟
 ( ) 
 ⏟
 
 
 
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos 
( x - 3 )² + ( y + 1 )² = 16 
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio: 
 
 
} ( ) 
 
 Posição de um ponto em relação a uma circunferência 
Em relação à circunferência de equação ( x - a )² + ( y - b )² = r², o ponto P(m, n) pode 
ocupar as seguintes posições: 
a) P é exterior à circunferência 
 √( )
 
 ( )
 
 
 √( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Figura 20 
 
16 
 
b) P pertence à circunferência 
 
 ( ) ( ) 
c) P é interior à circunferência 
 
 ( ) ( ) 
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma 
circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão: 
( x - a )² + ( y - b )² - r²: 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência; 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² = 0, então P pertence à circunferência; 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência. 
 
 Posição de uma reta em relação a uma circunferência 
 Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência  de equação 
( x - a)² + ( y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e : 
 
 
 * + 
 * + 
 
 
 
Figura 21 
Figura 22 
Figura 23 
 
17 
 
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma 
circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a 
reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência : 
(x - a)² + ( y - b )² = r², temos: 
 
| |
√ 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições de tangência entre reta e circunferência 
 
 Dados uma circunferência  e um ponto P(x, y) do plano, temos: 
 
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência 
por P 
 
 
 
 
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P 
 
𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝛼 𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 
Figura 24 Figura 25 Figura 26 
Figura 27 
Figura 28 
 
18 
 
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando 
pelo ponto P 
 
II.2 – ELIPSE 
 
A Elipse é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto de duas 
folhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número 
real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do 
plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2ª, ou 
seja: 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1 F2 < 2a, 
temos: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura obtida é uma elipse. 
 
Figura 29 
Figura 30 
Figura 31 
 
19 
 
Observações: 
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa 
trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos 
planetas também apresentam esse comportamento. 
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um 
cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. 
 
 Elementos 
 Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: 
 
 
 focos : os pontos F1 e F2 
 centro: o ponto O, que é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 semi-eixo maior: a 
 semi-eixo menor: b 
 semidistância focal: c 
 vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
 eixo maior: | | 
 eixo menor: | | 
 distância focal: | | 
 
 Relação fundamental 
 Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo 
em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: 
a²=b²+c² 
 
Figura 32 
 
20 
 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
𝒚 
𝒂 
 
𝒙 
𝒃 
 𝟏 
 
 Excentricidade 
Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
 
 
 
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1. 
Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse 
se aproxima de uma circunferência. 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
 
Caso 1: centro na origem 
 
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal 
 Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse: 
 
 
 
 
 
 
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
 
 
Figura 33 
Figura 34 
 
21 
 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
 
 
(𝒙 𝒉) 
𝒂 
 
(𝒚 𝒌) 
𝒃 
 𝟏 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
 
(𝒚 𝒉) 
𝒂 
 
(𝒙 𝒌) 
𝒃 
 𝟏 
Caso 2: centro na fora da origem 
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal 
 
 
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II.3 - HIPÉRBOLE 
A Hipérbole é obtida seccionando-se verticalmente um cone circular reto de duas 
folhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número 
real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do 
plano  tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre 
igual a 2ª, ou seja: | | 
Figura 35 
Figura 36 
Figura 37 
 
22 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos 
 Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: 
 
 
 focos: os pontos F1 e F2 
 vértices: os pontos A1 e A2 
 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 semi-eixo real: a 
 semi-eixo imaginário: b 
 semidistância focal: c 
 distância focal: | | 
 eixo real: | | (contém os focos) 
 eixo imaginário: | | (b > 0 e tal que a²=b²+c² - relação fundamental) 
 
Figura 38 
Figura 39 
 
23 
 
 Excentricidade 
 Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
 
 
 
Como c > a, temos e > 1. 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo OX 
 
 
 
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo OY 
 
 
 
 
|𝒅𝑭𝟏𝑷 𝒅𝑭𝟐𝑷| 𝟐𝒂 
𝒙 
𝒂𝒚 
𝒃 
 𝟏 
F1 (-c, 0) 
F2 ( c, 0) 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
Obtemos a equação da hipérbole 
 
|𝒅𝑭𝟏𝑷 𝒅𝑭𝟐𝑷| 𝟐𝒂 
𝒚 
𝒃 
 
𝒙 
𝒂 
 𝟏 
F1 (0, -c) 
F2 ( 0, c) 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
Obtemos a equação da hipérbole 
 
Figura 40 
Figura 41 
 
24 
 
 Hipérbole equilátera 
 Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário 
são iguais: 
 
a = b 
 
 Assíntotas da hipérbole 
 
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. 
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é 
a
b
m  ; 
quando é vertical, o coeficiente é 
b
a
m  
 
 
Equação 
Vamos considerar os seguintes casos: 
a) eixo real horizontal e C(0, 0) 
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular 
a
b
m  ; logo, suas 
equações são da forma: 
 
 
 
 
 
y 
 
x 
 
 
Figura 42 
Figura 43 
Figura 44 
 
25 
 
 
b) eixo vertical e C(0, 0) 
 As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular 
b
a
m  ; logo, suas 
equações são da forma: 
 
 
 
 
 
 
II.4 - PARÁBOLA 
Dados uma reta d e um ponto F (F d), de um plano , chamamos de parábola o 
conjunto de pontos do plano  equidistantes de F e d. 
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano  e d uma reta desse 
mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: 
 
 
 
 
 
Observações: 
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 
 
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com 
velocidade constante é parabólica. 
 
Figura 45 
Figura 46 
 
26 
 
 Elementos 
 Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: 
 
 foco: o ponto F 
 diretriz: a reta d 
 vértice: o ponto V 
 parâmetro: p 
Então, temos que: O vértice V e o 
foco F ficam numa mesma reta, o eixo de 
simetria e. Assim, sempre temos e  d. 
DF = p 
 V é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ . 
 
 
/ 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) Parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria 
horizontal. 
 
 Como a reta d tem equação 
 
 
 e na parábola temos: 
 .
 
 
 / ( ) 
dPF = dPd ( definição); 
 obtemos, então, a equação da parábola: 
 
y²=2px 
 
Figura 47 
Figura 48 
 
27 
 
 
b) Parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria 
horizontal. Nessas condições, a equação da parábola é: 
 
y² = -2px 
 
 
c) Parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical. 
 
x² = 2py 
 
 
 
d) Parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical. 
 
x² = -2py 
 
 
Figura 49 
Figura 50 
Figura 51 
 
28 
 
III – Superfícies Quadráticas: 
A equação 
0222222  qpznymxfyzexzdxyczbyax 
onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero, representa uma superfície 
quádrica. Por simplicidade, limitaremos nosso estudo ao caso em que os coeficientes d, e, f, 
m, n, e p são todos zeros. 
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no 
plano, ou seja, a intersecção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados 
ou por planos paralelos a eles é uma cônica. 
Há três tipos de superfícies quádricas: elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. 
III.1 - Elipsoide 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 – Traços e seus esboços - elipsoide 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Elipse 
Ou círculo (a = b) 
 
Traço - yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 
Elipse 
Ou círculo (b=c) 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Elipse 
Ou círculo (a = c) 
 
 
Se três sinais algébricos são positivos. 
Centro : 
Centro : 
Figura 52 
 
29 
 
III.2 – Hiperboloide: 
 
 Hiperboloide de uma folha: 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 – Traços e seus esboços – Hiperboloide de 1 folha. 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Elipse 
Ou círculo(a=b). 
 
Traço – yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 
Hipérbole 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Hipérbole 
 
 
 
Centro : Se dois sinais algébricos são positivos e um 
negativo. 
 
Figura 53 
 
30 
 
Exemplos no winplot: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hiperboloide de duas folhas: 
 
 
 
 
 
 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Nenhuma Não há gráfico 
Traço – yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 Hipérbole 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Hipérbole 
 
 
Centro : 
 
 
 
Tabela 3 – Exemplos de Hiperboloide de 1 folha 
Tabela 4 – Traços e seus esboços – Hiperboloide de duas folhas 
Figura 54 
 
31 
 
Exemplos no winplot 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.3 – Paraboloide: 
 Elíptico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro : 
 
 
 
𝑥 
𝑎 
 
𝑦 
𝑏 
 𝑐𝑧 
(𝐶 ) 
 
𝑥 
𝑎 
 
𝑦 
𝑏 
 𝑐𝑧 
(𝐶 ) 
 
 
Tabela 5 – Exemplos de Hiperboloide de 2 folhas. 
Figura 55 
Tabela 6 – Exemplos de Paraboloides. 
 
32 
 
 Hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro : 
 
 
Figura 56 
Tabela 7 – Exemplos de hiperboloides. 
 
33 
 
IV - Limites e Continuidade 
O conceito de limite estende-se facilmente para funções de duas ou mais variáveis. 
Por exemplo, afirmar que f(x; y) tende ao limite L quando (x; y) tende a (x0; y0) significa que o 
número f(x; y) pode estar tão perto do número L quando se deseja pela escolha do ponto (x; 
y) suficientemente próximo do ponto (x0; y0), contanto que (x; y)  (x0; y0). A notação é: 
 
( )→( )
 ( ) 
 → 
 → 
 ( ) 
Como um exemplo específico, observe que: 
 
( )→( )
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
Visto que 
 
√ 
 aproxima-se de 
 
 
 quando o ponto (x; y) aproxima-se de (0; 0). 
Através de argumentos semelhantes aos utilizados em cálculo I, podemos mostrar que 
todas as propriedades de limites de funções de uma variável estendem-se às funções a 
várias variáveis; por exemplo, o limite da soma, diferença, produto ou quociente é a soma, 
diferença, produto ou quociente dos limites, respectivamente, contando que esses limites 
existam e que os denominadores não se anulem. Temos, além disso: 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
Exemplo: calcule os limites; 
 ) 
( )→( )
( 
 
 
) 
 
Solução: 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
(
 
 
) 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
(
 
 
) 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
( ) 
 
( )→( )
 
 
( )→( )
 
 
 
 
34 
 
 
 
( )→( )
( 
 
 
) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
 ) 
( )→( )
[ ( ) ( )] 
Solução: 
 
( )→( )
[ ( 
 ) ( )] ( 
 )⏞ 
 
 ( )⏞ 
 
 
 
( )→( )
[ ( 
 ) ( )] 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 
 → 
 ( ) 
Tratando com limite de uma função a duas variáveis, isto é: 
 
( )→( )
 ( ) 
Devemos supor que o ponto (x. y) se aproxime do ponto (a; b) não apenas pela direita 
ou pelaesquerda, mas também por qualquer outra direção, como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda supor que (x; y) se aproxime de (a; b) ao longo de uma curva, figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Dizer que: 
 
( )→( )
 ( ) 
Significa que quando (x; y) tende a (a; b) por qualquer direção f(x; y) tende ao mesmo 
limite L. Portanto, um meio conveniente demostrar que um particular limite: 
 
( )→( )
 ( ) ( ) ( ) 
( ) 
 
Figura 57 
Figura 58 
 
35 
 
Exemplo: 
1. Seja f a função definida por: ( ) 
 
 
 
a. Calcule os limites de f(x; y) quando (x; y) tende a (0;0) ao longo de cada um dos 
seguintes caminhos: i) eixo dos x ii) eixo dos y iii) a reta y = x iv) a parábola y = x². 
b. O limite de f(x; y) existe? Em caso afirmativo qual o seu valor? 
Solução: 
 ) ( ) ( ) 
 ( )
 ( ) 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
(
 
 
) 
 
 
 
 → 
 ( ) 
b) ao longo de todos os caminhos do item (a), o limite é o mesmo, zero. 
 
2. Seja f a função definida por: ( ) 
 
 
 
a. Calcule os limites de f(x; y) quando (x; y) tende a (0;0) ao longo de cada um dos 
seguintes caminhos: i) eixo dos x ii) eixo dos y iii) a reta y = x iv) a parábola y = x². 
b. O limite de f(x; y) existe? Em caso afirmativo qual o seu valor? 
 
Solução: 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 
36 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
( )
( )
 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
*
( )
( )
+ 
( )
( )
 
 → 
 ( ) 
 
b) Como nos itens (i) e (ii) os valores dos limites foram diferentes o limite não existe. 
 
As definições e propriedades dos limites são facilmente generalizadas para as funções 
a três ou mais variáveis. Por exemplo, se o número f(x; y; z) aproxima-se do número L tanto 
quanto desejarmos pela escolha de um ponto suficientemente próximos de (x0, y0, z0 ),mas 
diferentemente do mesmo, escrevemos então: 
 
 
( )→( )
 ( ) 
 → 
 → 
 → 
 ( ) 
 
Continuidade de uma função a duas variáveis. 
A definição de continuidade para funções a uma variável pode ser facilmente 
generalizada para funções a várias variáveis. Por exemplo, para funções a duas variáveis 
temos a seguinte definição: 
Suponha que f seja uma função a duas variáveis e que o ponto (x0, y0) seja o centro de 
um disco circular de raio positivo contido no domínio de f. Dizemos que f é contínua em (x0, 
y0) se: 
( ) 
( )→( )
 ( ) 
( ) 
( )→( )
 ( ) ( ) 
Exemplo: Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados. 
 ) ( ) ( ) 
 ) ( ) {
 
 
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 
Solução: 
 ) 
 
( )→( )
( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
} 
( )→( )
( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
37 
 
Figura 60 
 ) 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 ( ) 
( )→( )
 ( ) 
 
Seja D um conjunto de pontos o plano xy. Um ponto (x0; y0) será denominado ponto 
interior a D se existir um disco circular de raio positivo e centro, em (x0; y0),contido em D ver 
figura ao lado. Por outro lado, um ponto (a; b) será 
denominado ponto-fronteira de D se qualquer disco circular 
de raio positivo e centro (a; b) contiver, pelo menos, um 
ponto pertencente a D e o pelo menos um não 
pertencente. Não se exige que um o ponto de fronteira (a; 
b) pertence ao conjunto D. Um conjunto D é aberto se ele 
não contém nenhum de seus próprios pontos-fronteira, enquanto que o mesmo conjunto é 
dito fechado se ele contém todos os seus pontos-fronteiras, como na figura 59.. 
Note que a definição de continuidade se aplica somente ao ponto no interior de seu 
domínio. 
Exemplo – Mostre que o domínio da função: ( ) 
 
 
 é um conjunto aberto. Esboce 
o domínio de f e prove que ela é contínua. 
Solução: 
O domínio de f consiste em todos os pontos do plano xy exceto os 
que pertencem à reta y= x. Suponha que (x0; y0) seja um ponto no 
domínio D de f, ou seja, (x0; y0) não pertence à reta y = x. Se d é a 
distância de (x0; y0) à reta y = x, então qualquer disco circular de raio r, 
com 0 < r< d está contido em D; daí (x0; y0) está no interior de D. Segue 
pois que o domínio D é aberto, já que para x0  y0, 
 
( )→( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
Conclui-se que f é contínua em qualquer ponto (x0; y0) de seu domínio. Portanto f é uma 
função contínua. 
 
(x0; y0) um ponto interior de D. 
(a; b) um ponto de 
fronteira de D. 
(x0; y0) 
Figura 59 
 
38 
 
Figura 61 
Propriedades da continuidade para funções a duas variáveis. 
Suponha que (x0; y0) seja um ponto interior ais domínio das funções f e g a duas variáveis 
suponha ainda f e g contínuas em (x0; y0). Então: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) , ( )- ( ) 
 
Exemplo – Quais os pontos interiores ao domínio da função u definida por: 
 ( ) √ ( ) 
U é contínua em tais pontos? Esboce o domínio de u. 
Solução: 
A expressão √ é definida para ou seja 
 . A condição é verdadeira quando (x; y) está no 
interior do círculo x²+y²=1 de raio 1 e centro (0; 0). Já na expressão ln 
(x+y) é definida apenas para x + y > 0, ou seja, apenas quando o ponto 
(x; y) está acima da reta, cuja equação é x + y=0. O domínio de u, 
portanto é a região sombreada na figura ao lado, dentro ou sobre o 
círculo x²+y², mas acima da reta x + y = 0, representado na figura 61. 
 
Continuidade de uma função a três ou mais variáveis. 
A definição de continuidade para funções a uma variável pode ser facilmente 
generalizada para funções a várias variáveis. Naturalmente, toda função polinomial a várias 
varáveis e contínua. Além disso, a razão entre tais funções polinomiais – isto é, uma função 
racional a diversas variáveis – tem domínio aberto e é contínua para todo o ponto de seu 
domínio, por exemplo, a funçãof definida por: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
É contínua em todo (x; y; z) para o qual o denominado é não nulo, ou seja: 
 
 
 
 
39 
 
Exercícios: 
1. Calcule os limites de: 
 ) 
( )→( )
( ) ) 
( )→.
 
 
 /
( ) 
 ) 
( )→( )
[ ( ) ( )] 
2. a) Calcule o limite de f(x; y) quando (x; y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos 
caminhos em (i). (ii), (iii) e (iv). 
b) Determine o limite se existir: 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 ) ( ) {
( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 
3. Verifique se a função é contínua no ponto indicado. 
 ) ( ) √ ( ) 
 ) ( ) {
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ) ( ) {
( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
4. Nos itens abaixo: 
i. Esboce um diagrama representado o domínio de cada função no plano xy; 
ii. Especifique que pontos do domínio são pontos interiores; 
iii. Determine em quais pontos interiores ao domínio a função é descontínua. 
 ) ( ) √ ) ( ) 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 ) ( ) 
 
√ 
 
 
 
40 
 
Gabarito: 
1. a) -1 b) c) e+1 
2.1) a) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0; (iv) 0 b) 0 
2.2 a) i) 0; (ii) 0; (iii) 1/2; (iv) 
 
 
 b) não existe o limite 
2.3) a) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0; (iv) 0 b) 0 
3. a) Contínua b) Descontínua c) Contínua 
4) 
a) (i) Todos os pontos (x; y) tais que x  0; y  0 ou x x  0; y ; (ii) x> 0, y> 0 ou x < 0, y < 0 (iii) 
nenhum. 
b) (i) Todos os pontos (x; y) tais que y 2x; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum. 
c) (i) Todos os pontos (x; y) tais que y 1; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum. 
d) (i) Todos os pontos (x; y) tais que x²+y² <9; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum. 
 
V - Derivadas Parciais: 
As técnicas, regras e fórmulas desenvolvidas para diferenciar funções a uma variável 
pode ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, considerando-se uma das 
variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação à variável 
remanescente. 
Exemplo: 
 ( ) 
Consideremos, temporariamente, a segunda variável y, como sendo constante e 
diferenciemos em relação à primeira variável x. Por conseguinte, visto que y é constante 
temos: 
 
 
, ( )- 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
, ( )- 
A fim de enfatizar que apenas x pode variar, ou seja y deve ser mantido constante, 
quando a derivada é calculada, é usual substitui-se o símbolo 
 
 
 por 
 
 
. 
Observação: O símbolo  é chamado de “d round”, “Derrô” ou "Derronde" é uma 
corruptela do francês "de rond" que quer dizer "dê redondo", isto se deveu ao fato de os 
franceses na época da Revolução Francesa, adotarem esta forma especial de escreverem a 
letra D. 
Portanto, da equação acima, teremos: 
 
 
, ( )- 
 
 
( ) 
A derivada calculada em relação a x enquanto y é mantido temporariamente constante 
é denominada derivadas parcial em relação a x, e 
 
 
 é chamado de operador derivada 
parcial em relação a x. 
 
 
41 
 
Analogamente, se desejamos manter a variável x fixa e diferenciamos em relação a y, 
usamos o símbolo 
 
 
. Desse modo, para a função f definida por ( ) , 
teremos: 
 
 
, ( )- 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
Formalmente, teremos a seguinte definição: 
 
V.1 - Derivadas parciais a duas variáveis. 
Se f é uma função a duas variáveis e (x; y) é um ponto no domínio de f, então as 
derivadas parciais 
 ( )
 
 e 
 ( )
 
 de f em (x;y) em relação à primeira e `a segunda variável 
são definidas por: 
 ( )
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
 ( )
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
e 
 ( )
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
 ( )
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
Contanto que os limites existam. O procedimento para encontrar as derivadas parciais 
é denominado diferenciação parcial. 
É conveniente se ter uma notação para derivadas parciais que seja análoga a 
anotação f´(x) para funções de uma variável. Assim, se z = f(x; y) frequentemente se 
escreve f1(x; y) ao invés de 
 
 
 ou 
 ( )
 
 para a derivadas parcial de f em relação a x. O 
índice 1 (respectivamente índice x) denota a diferenciação parcial em relação `a primeira 
variável ( relação a x). A notação do operador Df para derivadas ordinárias pode ser 
adaptadas para derivadas parciais, e teremos: 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Analogamente, para a derivada parcial em relação a y teremos: 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Use a definição para encontrar 
 
 
 
 
 
 se ( ) 
Solução: 
 
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
 → 
, ( ) ( ) - ( )
 
 
 
 
 
 → 
, ( ) - 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 → 
 ( )
 
 
 
 
 
 → 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 → 
 ( ) ( )
 
 
 → 
, ( ) ( ) - ( )
 
 
 
 
 
 → 
, ( )- 
 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 → 
 ( )
 
 
 
 
 
 → 
( ) 
 
 
 
 
V.2 - Derivadas parciais a mais de duas variáveis. 
 
Derivadas parciais de funções a mais de duas variáveis são definidas pela 
generalização da definição de derivadas parciais de funções a duas variáveis, ou seja: 
Seja f uma função a n variáveis e suponha que (x1, x2, ..., xk, ...,xn) pertença ao 
domínio de f. Se 1  k  n, então a derivadas parciais de f em relação à k-ésima variável xk é 
definida por: 
 ( ) 
 → 
 ( ) ( )
 
 
Contanto que o limite exista. 
Se w = f(x1, x2, ..., xk, ...,xn) então usamos também as seguintes notações para 
derivadas parcial de f em relação `a k-ésima variável xk: 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
43 
 
 Técnicas para o cálculo de derivadas parciais. 
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram 
válidas para funções ordinárias, exceto que todas as variáveis independentes, que não 
aquela em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente com 
constantes. 
 
Exemplos: 
 
 ) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Solução: 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
Solução: 
 ( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
( )
( ) 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) 
 
 ( ) 
( ) 
( ) 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
( )
( ) 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) 
 
 ( ) 
( ) 
( ) 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
 ) ( ) ( ) 
Solução: 
 () 
 
 
( ) 
 
 
( )