Compilação de Calculo II Engenharia Química 2020_ até limite atualizado

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INSTITUTO FEDERAL DO SUL DE MINAS GERAIS 
CAMPUS POUSO ALEGRE - MG 
Curso de Engenharia Química 
 
 
 
 
 
 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
COMPILAÇÃO PARA CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POUSO ALEGRE - MG 
2020 
 
2 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compilação para Cálculo II 
 
 
 
 
 
Apostila referente à disciplina de Cálculo II, do 
curso de Engenharia Química do Instituto 
Federal do Sul de Minas Gerais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
POUSO ALEGRE - MG 
2020 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico esta apostila a todos os alunos que tiveram o 
ímpeto de agregar mais uma etapa na sua vida: A 
Graduação, que apesar das dificuldades da união dos 
primordiais vínculos: trabalho, estudo e família, fazem 
ainda mais valorizar esta batalha! 
 
4 
 
RESUMO: 
A finalidade desta compilação tem com principal objetivo, ajudar a melhoria do 
aprendizado de cálculo III, e suas aplicações no cotidiano do curso de engenharia. Para 
conseguir este objetivo foram introduzidos novos tópicos, com uma linguagem 
academicamente simples com exemplos familiares do cotidiano. Sabe-se que o Cálculo, 
também chamado de Cálculo Infinitesimal, nasce no fim do século XVII, com os trabalhos de 
Newton e Leibniz. Os assuntos foram desenvolvidos sistematicamente por intermédio de 
exemplos resolvidos e questões propostas com respostas. Alguns teoremas foram 
demostrados rigorosamente. Para que este aprendizado consiga a eficácia necessária, os 
assuntos pertinentes ao ensino básico – leia-se: Ensino médio – tenha uma base satisfatória, 
principalmente com referencia a: fatoração, geometria analítica e trigonometria. Foram 
utilizados todos os livros que constam na bibliografia básica, assim como alguns livros da 
bibliografia complementar. 
Palavras-chave: Cálculo. Matemática. Engenharia. 
 
5 
 
Índice 
 
I – Função a várias variáveis.................................................................................... Página 6 
II – Cônicas ............................................................................................................. Página 14 
III – Superfícies Quadráticas.................................................................................... Página 28 
IV - Limites e Continuidade ..................................................................................... Página 33 
V - Derivadas Parciais.............................................................................................. Página 40 
VI - Derivadas Direcionais e Gradientes ................................................................. Página 50 
VII - Derivadas Parciais de Ordem Superior ........................................................... Página 60 
VIII - Extremos para funções de Mais de Uma variável .......................................... Página 65 
IX - Integrais Múltiplas 
IX.1 - Repetidas................................................... ................................. Página 75 
IX.2 – Integrais Duplas.................................................................................. Página 80 
IX.3 - Integrais Triplas................................................................................... Página 96 
Referencias Biliográficas.......................................................................................... Página 101 
Anexo – Ementa da disciplina de cálculo III............................................................. Página 103 
 
 
 
6 
 
h 
r 
I - Funções a Várias Variáveis 
Nos cálculos anteriores trabalhamos exclusivamente com funções de uma única variável real; 
contudo, há situações práticas nas quais a função depende de diversas variáveis. Por exemplo, a 
frequência de um circuito sintonizador depende de sua capacitância, da sua indutância e da sua 
resistência; a pressão de um gás depende de sua temperatura e de seu volume; e assim por diante. 
 Um cilindro circular reto, fechado nas extremidades, com base de raio r e altura h, tem a área 
da superfícies total S, representado na figura 1 abaixo, por: 
 
 
 
 
 
 Dizemos então que a variável S(dependente) é uma função a duas variáveis r e h 
(Independentes), e escrevemos: 
 ( ) 
 Por exemplo, se r = 11 cm e h = 5 cm, então: 
 ( ) ( )( ) ( ) 
 Definição: 
 Função a duas variáveis. 
Uma função real f a duas variáveis reais é uma relação que transforma em um único número 
real z cada par ordenado (x;y) de números reais de um certo conjuntos D, chamado de domínio da 
função. Se a relação f transforma no número real z o par ordenado (x;y) em D, então escrevemos 
z = f(x;y). 
Na equação x = f(x;y), chamamos z de variável dependentes e nos referimos a x e a y como 
varáveis independentes. O Conjunto de todos os valores possíveis de z, pode ser obtido aplicando 
a relação f aos pares ordenados (x;y) em D, é denominado imagem da função f. 
 Definimos o gráfico de uma função f a duas variáveis como sendo o 
conjunto de todos os pontos (x; ;y; z) no espaço cartesiano 
tridimensional, tal que (x;y) pertence ao domínio D e de f e sendo z 
= f(x;y).O domínio D pode ser representado através de um conjunto 
de pontos no plano xy e o gráfico de f com uma superfície cuja 
projeção perpendicular ao plano xy é D, figura 2, nesta figura, o 
ponto indicado como (x;y) é na verdade (x; y; 0); contudo, a terceira coordenada foi 
propositalmente omitida. 
Figura 2 
Figura 1 
 
7 
 
Observe que quando o ponto (x; y) varia de D, o ponto correspondente: 
(x; y; z) – (x; y; f(x;y)) varia sobre a superfície. 
Exemplos: 
Esboce o gráfico das funções a duas variáveis dadas abaixo. 
 
1. A função f cujo domínio D é o disco circular consistindo em todos os pontos (x;y) tais que 
 e que está definida pela equação: 
 ( ) √ 
Solução: 
Um ponto (x; y; z) pertence ao gráfico de f se, e somente se, z = f(x;y); isto é, 
 √ é equivalente às duas condições z  0 e x² + y² + z² =1. Deste modo, o gráfico consiste 
na posição da esfera x² + y²+ z² =1 sobre o plano xy, graficamente fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A função f cujo domínio D é o plano xy e que está definida pela equação ( ) 
 
 
. 
Solução: 
O ponto (x; y; z) pertence ao gráfico se, e somente se, 
 
 
; isto é 
 . Portanto o gráfico de f consiste num plano que intercepta os eixos nos pontos (1; 0 ;0), 
(0, 2, 0) e (0, ;0 ;1). Uma porção deste plano, mostrando as intersecções como nos planos 
xy; xz e yz estão apresentadas na figura 4 abaixo. 
 
𝒇(𝒙 𝒚) √𝟏 𝒙𝟐 𝒚 
 
Figura 3 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
 Função a várias variáveis. 
Uma função real f a n variáveis reais é uma relação que transforma em um único número real 
w cada n-upla ordenado (x1; x2, x3, ..., xn) de números reais de um certo conjuntos D, chamado de 
domínio da função. Se a relação f transforma no número real w a n-upla (x1; x2, x3, ..., xn) em D, 
então escrevemos w = f(x1; x2, x3, ..., xn). 
Na equação w = f(x1; x2, x3, ..., xn), chamamos w de variável dependentes e nos referimos a 
x1; x2, x3, ..., xn como varáveis independentes. O Conjunto de todos os valores possíveis de z, 
pode ser obtido aplicando a relação f às n-upla (x1; x2, x3, ..., xn) em D é denominado imagem da 
função f. No caso n = 2, w = f(x1; x2) é geralmente representada na forma w = f(x; y), como na 
definição anterior. No caso de n = 3, w = f(x1; x2, x3) e representada por w = f(x; y e z). 
Exemplos: 
3. Se f está definida por f(x;y) = 3x+2y para todos os valores de x e y, encontre: 
a) f(1;2); 
b) f(sen t; cos t). 
Solução: 
a) f(1;2)=3.(1)+2.(2)=7 
b) f(sen t; cos t)=3.(sen t)+2.(cos t)=3 sen t+2 cos t 
 
4. Se ( ) 
 
 
 para todos os valores x; y e z exceto aqueles que anulam o 
denominador. Encontre: 
a) g(2;3;7) 
b) f(sen t; cos t;0) 
 
𝑓(𝑥) 𝑥 
𝑦
 
 
Figura 4 
 
9 
 
O valor de escalar f(x; y) 
correspondente ao ponto (x; y) do 
domínio D está apresentado na 
figura ao lado, como uma 
“bandeira” fincada no ponto. 
Como o ponto (x; y) move-se no 
interior da região D, a “bandeira” 
desloca-se com ele e o número 
f(x; y) nela indicado varia. 
Solução: 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) 
 
( ) ( ) 
 
Observação: 
Se um função f a várias variáveis está definida por uma equação ou uma fórmula então (a não 
ser que esteja estipulado o contrário) entende-se por domínio de f o conjunto de todas as n-uplas 
de variáveis independes para as quais a equação ou fórmula admitem respostas. 
Exemplo: 
Encontre e esboce o domínio de ( ) 
√ 
 
. 
Solução: 
O domínio de f consiste em todos os pares ordenados (x;y) 
para os quais x²+y²  4 e y  0. Este é o conjunto de todos os 
pontos que estão no interior da região limitada pelo círculo 
c²+y²=4, exceto aqueles que estão sobre os eixos x, conforme 
figura 5, ao lado. 
 
Campos escalares 
Vimos que uma função f a duas variáveis independentes pode ser considerada através do seu 
gráfico, que é uma superfície no espaço xyz. Há uma segunda maneira de representar tal função, 
que para alguns fins, é mais sugestiva que usar seu gráfico; a saber, a função f é considerada em 
campos escalar num domínio bidimensional D como se segue: O domínio D visualizado como um 
conjunto de pontos (x; y) e numa certa região do plano xy e a cada ponto (x; y), nesta região, está 
associado um escalar correspondente f(x; y) pela função , como na figura 6, a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x²+y²  4 e y  0 
Esta parte do 
eixo dos x está 
excluída. 
Figura 5 
Figura 6 
 
10 
 
O escalar f(x; y) associado ao ponto (x; y) pode representar, por exemplo, a temperatura em 
(x; y), ou a pressão atmosférica em (x; y), a velocidade do vento em (x; y), a intensidade do campo 
magnético em (x; y) e assim por diante. 
Exemplo: 
Na figura 7, abaixo, suponha que f(x; y) dê a temperatura em graus F no ponto com 
coordenadas cartesianas (x; y), onde x e y estão medidos em ilhas. Seja: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Encontre a temperatura no ponto (60; 75). 
b) Encontre a equação da curva a o longo da qual a temperatura tem um valor constante 
igual a 70°F. 
c) Esboce o a curva do item “b”. 
Solução: 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Curva de nível 
Uma curva ao longo da qual o campo escalar tem valor constante (tal como a curva ao longo 
da qual a temperatura do exemplo anterior manteve-se como valor constante de 70°F) é denominada 
curva de nível do campo ou da função f que define o campo. A equação da curva de nível ao longo 
da qual a função f assume o valor constante k é: 
 ( ) 
 As curvas de nível para vários campos escalares recebem geralmente denominação especial, 
dependendo da natureza do campo – isotermas para curvas de nível de um campo de temperatura, 
linhas equipotenciais para curvas de nível de campo de potencial elétrico, e assim por diante. 
 
Figura 7 
 
11 
 
 
 Suponha que por uma função f se estabeleça a altura z = f(x; 
y) de certa superfície do plano xy no ponto (x; y). (S é então o 
gráfico da função f). A intersecção da superfície S como plano z = k 
produz a curva C constituída por todos os pontos da superfície que 
estejam a k unidades acima do plano xy, como na figura 8, ao lado. 
A projeção perpendicular da curva C sobre o plano xy resulta 
na curva de nível da função f. Tal curva de nível, cuja equação no plano xy é: 
 ( ) 
 É denominada linha de contorno da superfície S. Desenhando certo 
número de diferentes linhas de contorno, cada qual identificada pelo próprio 
valor de k a ela associado, obtemos um mapa de contorno da superfície S, 
como na figura 9, ao lado. 
 
Tal mapa de contorno facilita-nos a visualização da superfície como se estivéssemos sobre 
ela, observando suas intersecções como planos horizontais de altura variadas. Se essas alturas são 
consideradas de modo a diferir por iguais quantidades, então uma grande quantidade de linha de 
contorno sucessiva indica uma parte relativamente íngreme da superfície. 
 Exemplo: Seja a superfície S dada por z = x²-y²+20 para x  0. Desenhe as linhas de contorno 
para esta superfície correspondente a z = 0; z = 10; z = 20; z = 30 e z = 40. 
 
Solução: 
Para z = 0, na figura 10, temos: 
z = x²-y²+20  0 = x²-y²+20  y²-x²=20, que é uma hipérbole com eixo transverso vertical. Desde 
que x  0, obteremos somente as partes desta hipérbole situadas no 1º e 4º quadrantes como as 
linhas de contorno para z = 0, o mesmo para z = 10 que será também uma hipérbole com a equação 
dada por: y²-x²=10. 
 
Para z =2 0 temos: 
z = x²-y²+20  20 = x²-y²+20  y²=x² y =  x, que são retas bissetrizes dos quadrantes pares e 
ímpares. 
 
Figura 8 
Figura 9 
 
12 
 
Para z =30, temos: 
z = x²-y²+20  30 = x²-y²+20  x²-y² =10, que é uma hipérbole com eixo transverso horizontal. 
Desde que x  0, obteremos somente as partes desta hipérbole situadas no 1º e 4º quadrantes como 
as linhas de contorno para z = 30, o mesmo para z = 40 que será também uma hipérbole com a 
equação dada por: x²-y² =20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Determine e esboce o domínio de cada função a duas variáveis. 
 ) ( ) ) ( ) ) ( ) √ ) ( ) 
 ) ( ) √ ) ( ) √ 
 
2. Calcule o valor de cada expressão, usando as funções f, g e h definida por: 
 ( ) ( ) √ ( ) 
 
 
 
 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) (√ ) ) ( ) 
 
3. Especifique o domínio da função e calcule f(x; y) para os valores de x e y. 
 ) ( ) √ ) ( ) 
 
 
 
 
→ 𝒚 𝒙 
→ 𝒚 𝒙𝟐 𝟐𝟎 
→ 𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟎 
→ 𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟎 
→ 𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝟎 
→ 𝒚 𝒙 
Figura 10 
 
13 
 
4. Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z = f(x; y) mostrando as linhas de contorno 
correspondentes aos valores de z dados: 
 ) ( ) 
 ) ( ) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ( ) 
 
Gabarito: 
1) Domínios: 
a) D(f) = IR² b) D(f) = IR² c) D(f) = {(x;y)  IR²/ x²+y² ≤ 4} 
d) D(f) = IR² e) {(x;y)  IR²/ x²+y² ≤ 9} f) D(f) = IR² 
 
 Esboço dos domínios: 
 (a), (b), (d) e (f): (c) (e) 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) -39 b) | | c) 
 
 
 d) √ e) sen 2t. 
3) a) Todos os pares ordenados (x; y) tais que x + y 4 e f(-4;16) = √ 
 b) Todos os pares ordenados (x; y) tais que y  2x e f(4;-1) = 7 
 
 
 
4) a) b) c) 
IR 
IR 
Y 
X 2 
2 
- 2 
- 2 
Y 
X 3 
3 
- 3 
- 3 
Figura 11 
Figura 12 
Figura 13 
Figura 14 
Figura 15 
Figura 16 
 
14 
 
II – CÔNICAS 
II.1 - CIRCUNFERÊNCIA. 
 Equação reduzida 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, 
desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância 
de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
 
 √( )
 ( )
 √( ) ( ) 
( ) ( ) 
 
 
 
 
Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os 
elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. 
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem [C(0,0)], a equação da 
circunferência será x² + y² = r². 
 
 Equação geral 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:( ) ( ) 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro: 
C(2, -3) e raio r = 4. 
 
Figura 17 
Figura 18 
Figura 19 
 
15 
 
A equação reduzida da circunferência é: 
( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16 
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: 
 
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio 
quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio 
da circunferência. 
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: 
 os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y 
- 6 = 0. 
 Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente 
X²- 6x + _ + y² + 2y + _ = 6 
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, 
somando a ambos os membros as parcelas correspondentes: 
 ⏟ 
 
 ⏟
 
 ⏟
 ( ) 
 ⏟
 
 
 
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos 
( x - 3 )² + ( y + 1 )² = 16 
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio: 
 
 
} ( ) 
 
 Posição de um ponto em relação a uma circunferência 
Em relação à circunferência de equação ( x - a )² + ( y - b )² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as 
seguintes posições: 
a) P é exterior à circunferência 
 √( )
 
 ( )
 
 
 √( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Figura 20 
 
16 
 
b) P pertence à circunferência 
 
 ( ) ( ) 
c) P é interior à circunferência 
 
 ( ) ( ) 
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, 
basta substituir as coordenadas de P na expressão: 
( x - a )² + ( y - b )² - r²: 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência; 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² = 0, então P pertence à circunferência; 
se ( m - a)² + ( n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência. 
 
 Posição de uma reta em relação a uma circunferência 
 Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência  de equação 
( x - a)² + ( y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e : 
 
 
 * + 
 * + 
 
 
 
Figura 21 
Figura 22 
Figura 23 
 
17 
 
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência 
calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a 
circunferência : 
(x - a)² + ( y - b )² = r², temos: 
 
| |
√ 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições de tangência entre reta e circunferência 
 
 Dados uma circunferência  e um ponto P(x, y) do plano, temos: 
 
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P 
 
 
 
 
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P 
 
𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝛼 𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑑𝐶 𝑠 𝑟 𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 
Figura 24 Figura 25 Figura 26 
Figura 27 
Figura 28 
 
18 
 
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo 
ponto P 
 
II.2 – ELIPSE 
 
A Elipse é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto de duas folhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real maior 
que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a 
soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2ª, ou seja: 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1 F2 < 2a, temos: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura obtida é uma elipse. 
 
Figura 29 
Figura 30 
Figura 31 
 
19 
 
Observações: 
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. 
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também 
apresentam esse comportamento. 
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone 
circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. 
 
 Elementos 
 Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: 
 
 
 focos : os pontos F1 e F2 
 centro: o ponto O, que é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 semi-eixo maior: a 
 semi-eixo menor: b 
 semidistância focal: c 
 vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
 eixo maior: | | 
 eixo menor: | | 
 distância focal: | | 
 
 Relação fundamental 
 Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, 
podemos escrever a seguinte relação fundamental: 
a²=b²+c² 
 
Figura 32 
 
20 
 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
𝒚 
𝒂 
 
𝒙 
𝒃 
 𝟏 
 
 Excentricidade 
Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
 
 
 
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1. 
Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se 
aproxima de uma circunferência. 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
 
Caso 1: centro na origem 
 
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal 
 Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse: 
 
 
 
 
 
 
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
 
 
Figura 33 
Figura 34 
 
21 
 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
 
 
(𝒙 𝒉) 
𝒂 
 
(𝒚 𝒌) 
𝒃 
 𝟏 
Nessas condições, a equação da elipse é 
 
 
(𝒚 𝒉) 
𝒂 
 
(𝒙 𝒌) 
𝒃 
 𝟏 
Caso 2: centro na fora da origem 
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal 
 
 
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II.3 - HIPÉRBOLE 
A Hipérbole é obtida seccionando-se verticalmente um cone circular reto de duas folhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menor 
que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano  tais que o 
módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2ª, ou seja: 
| | 
Figura 35 
Figura 36 
Figura 37 
 
22 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos 
 Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: 
 
 
 focos: os pontos F1 e F2 
 vértices: os pontos A1 e A2 
 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 semi-eixo real: a 
 semi-eixo imaginário: b 
 semidistância focal: c 
 distância focal: | | 
 eixo real: | | (contém os focos) 
 eixo imaginário: | | (b > 0 e tal que a²=b²+c² - relação fundamental) 
 
Figura 38 
Figura 39 
 
23 
 
 Excentricidade 
 Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
 
 
 
Como c > a, temos e > 1. 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo OX 
 
 
 
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo OY 
 
 
 
 
|𝒅𝑭𝟏𝑷 𝒅𝑭𝟐𝑷| 𝟐𝒂 
𝒙 
𝒂 
 
𝒚 
𝒃 
 𝟏 
F1 (-c, 0) 
F2 ( c,0) 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
Obtemos a equação da hipérbole 
 
|𝒅𝑭𝟏𝑷 𝒅𝑭𝟐𝑷| 𝟐𝒂 
𝒚 
𝒃 
 
𝒙 
𝒂 
 𝟏 
F1 (0, -c) 
F2 ( 0, c) 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
Obtemos a equação da hipérbole 
 
Figura 40 
Figura 41 
 
24 
 
 Hipérbole equilátera 
 Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são 
iguais: 
 
a = b 
 
 Assíntotas da hipérbole 
 
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. 
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é 
a
b
m  ; quando é 
vertical, o coeficiente é 
b
a
m  
 
 
Equação 
Vamos considerar os seguintes casos: 
a) eixo real horizontal e C(0, 0) 
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular 
a
b
m  ; logo, suas equações 
são da forma: 
 
 
 
 
 
y 
 
x 
 
 
Figura 42 
Figura 43 
Figura 44 
 
25 
 
 
b) eixo vertical e C(0, 0) 
 As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular 
b
a
m  ; logo, suas equações são da 
forma: 
 
 
 
 
 
 
II.4 - PARÁBOLA 
Dados uma reta d e um ponto F (F d), de um plano , chamamos de parábola o conjunto de 
pontos do plano  equidistantes de F e d. 
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano  e d uma reta desse mesmo 
plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: 
 
 
 
 
 
Observações: 
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 
 
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade 
constante é parabólica. 
 
Figura 45 
Figura 46 
 
26 
 
 Elementos 
 Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: 
 
 foco: o ponto F 
 diretriz: a reta d 
 vértice: o ponto V 
 parâmetro: p 
Então, temos que: O vértice V e o foco F ficam 
numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, 
sempre temos e  d. 
DF = p 
 V é o ponto médio de ̅̅ ̅̅ . 
 
 
/ 
 
 Equações 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) Parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal. 
 
 Como a reta d tem equação 
 
 
 e na parábola temos: 
 .
 
 
 / ( ) 
dPF = dPd ( definição); 
 obtemos, então, a equação da parábola: 
 
y²=2px 
 
Figura 47 
Figura 48 
 
27 
 
 
b) Parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal. 
Nessas condições, a equação da parábola é: 
 
y² = -2px 
 
 
c) Parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical. 
 
x² = 2py 
 
 
 
d) Parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical. 
 
x² = -2py 
 
 
Figura 49 
Figura 50 
Figura 51 
 
28 
 
III – Superfícies Quadráticas: 
A equação 
0222222  qpznymxfyzexzdxyczbyax 
onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero, representa uma superfície quádrica. Por 
simplicidade, limitaremos nosso estudo ao caso em que os coeficientes d, e, f, m, n, e p são todos 
zeros. 
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano, ou 
seja, a intersecção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos 
paralelos a eles é uma cônica. 
Há três tipos de superfícies quádricas: elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. 
III.1 - Elipsoide 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 – Traços e seus esboços - elipsoide 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Elipse 
Ou círculo (a = b) 
 
Traço - yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 
Elipse 
Ou círculo (b=c) 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Elipse 
Ou círculo (a = c) 
 
 
Se três sinais algébricos são positivos. 
Centro : 
Centro : 
Figura 52 
 
29 
 
III.2 – Hiperboloide: 
 
 Hiperboloide de uma folha: 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 – Traços e seus esboços – Hiperboloide de 1 folha. 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Elipse 
Ou círculo(a=b). 
 
Traço – yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 
Hipérbole 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Hipérbole 
 
 
 
Centro : Se dois sinais algébricos são positivos e um 
negativo. 
 
Figura 53 
 
30 
 
Exemplos no winplot: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hiperboloide de duas folhas: 
 
 
 
 
 
 
Traço Equação do Traço Descrição do traço Esboço do Traço 
Traço - xy 1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Nenhuma Não há gráfico 
Traço – yz 1
2
2
2
2

c
z
b
y
 Hipérbole 
 
Traço - xz 1
2
2
2
2

c
z
a
x
 
Hipérbole 
 
 
Centro : 
 
 
 
Tabela 3 – Exemplos de Hiperboloide de 1 folha 
Tabela 4 – Traços e seus esboços – Hiperboloide de duas folhas 
Figura 54 
 
31 
 
Exemplos no winplot 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.3 – Paraboloide: 
 Elíptico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro : 
 
 
 
𝑥 
𝑎 
 
𝑦 
𝑏 
 𝑐𝑧 
(𝐶 ) 
 
𝑥 
𝑎 
 
𝑦 
𝑏 
 𝑐𝑧 
(𝐶 ) 
 
 
Tabela 5 – Exemplos de Hiperboloide de 2 folhas. 
Figura 55 
Tabela 6 – Exemplos de Paraboloides. 
 
32 
 
 Hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro : 
 
 
Figura 56 
Tabela 7 – Exemplos de hiperboloides. 
 
33 
 
IV - Limites e Continuidade 
O conceito de limite estende-se facilmente para funções de duas ou mais variáveis. Por 
exemplo, afirmar que f(x; y) tende ao limite L quando (x; y) tende a (x0; y0) significa que o número f(x; 
y) pode estar tão perto do número L quando se deseja pela escolha do ponto (x; y) suficientemente 
próximo do ponto (x0; y0), contanto que (x; y)  (x0; y0). A notação é: 
 
( )→( )
 ( ) 
 → 
 → 
 ( ) 
Como um exemplo específico, observe que: 
 
( )→( )
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
Visto que 
 
√ 
 aproxima-se de 
 
 
 quando o ponto (x; y) aproxima-se de (0; 0). 
Através de argumentos semelhantes aos utilizados em cálculo I, podemos mostrar que todas 
as propriedades de limites de funções de uma variável estendem-se às funções a várias variáveis; 
por exemplo, o limite da soma, diferença, produto ou quociente é a soma, diferença, produto ou 
quociente dos limites, respectivamente, contando que esses limites existam e que os denominadores 
não se anulem. Temos, além disso: 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
Exemplo: calcule os limites; 
 ) 
( )→( )
( 
 
 
) 
 
Solução: 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
(
 
 
) 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
( )→( )
( ) 
( )→( )
( ) 
 
( )→( )
 
 
( )→( )
( )
 
 
( )→( )
( 
 
 
) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
( )→( )
( 
 
 
) 
 
 
34 
 
 
 ) 
( )→( )
[ ( ) ( )] 
Solução: 
 
( )→( )
[ ( 
 ) ( )] ( 
 )⏞ 
 
 ( )⏞ 
 
 
 
( )→( )
[ ( 
 ) ( )] 
 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 
 → 
 ( ) 
Tratando com limite de uma função a duas variáveis, isto é: 
 
( )→( )
 ( ) 
Devemos supor que o ponto (x. y) se aproxime do ponto (a; b) não apenas pela direita ou pela 
esquerda, mas também por qualquer outra direção, como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda supor que (x; y) se aproxime de (a; b) ao longo de umacurva, figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Dizer que: 
 
( )→( )
 ( ) 
Significa que quando (x; y) tende a (a; b) por qualquer direção f(x; y) tende ao mesmo limite L. 
Portanto, um meio conveniente demostrar que um particular limite: 
 
( )→( )
 ( ) ( ) ( ) 
( ) 
 
Figura 57 
Figura 58 
 
35 
 
Exemplo: 
1. Seja f a função definida por: ( ) 
 
 
 
a. Calcule os limites de f(x; y) quando (x; y) tende a (0;0) ao longo de cada um dos seguintes 
caminhos: i) eixo dos x ii) eixo dos y iii) a reta y = x iv) a parábola y = x². 
b. O limite de f(x; y) existe? Em caso afirmativo qual o seu valor? 
Solução: 
 ) ( ) ( ) 
 ( )
 ( ) 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 → 
 ( ) 
b) ao longo de todos os caminhos do item (a), o limite é o mesmo, zero. 
 
2. Seja f a função definida por: ( ) 
 
 
 
a. Calcule os limites de f(x; y) quando (x; y) tende a (0;0) ao longo de cada um dos seguintes 
caminhos: i) eixo dos x ii) eixo dos y iii) a reta y = x iv) a parábola y = x². 
b. O limite de f(x; y) existe? Em caso afirmativo qual o seu valor? 
 
Solução: 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 
36 
 
 ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
 
 → 
 ( ) 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
( )
( )
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
*
( )
( )
+ 
( )
( )
 
 → 
 ( ) 
 
b) Como nos itens (i) e (ii) os valores dos limites foram diferentes o limite não existe. 
 
As definições e propriedades dos limites são facilmente generalizadas para as funções a três 
ou mais variáveis. Por exemplo, se o número f(x; y; z) aproxima-se do número L tanto quanto 
desejarmos pela escolha de um ponto suficientemente próximos de (x0, y0, z0 ),mas diferentemente 
do mesmo, escrevemos então: 
 
 
( )→( )
 ( ) 
 → 
 → 
 → 
 ( ) 
 
Continuidade de uma função a duas variáveis. 
A definição de continuidade para funções a uma variável pode ser facilmente generalizada para 
funções a várias variáveis. Por exemplo, para funções a duas variáveis temos a seguinte definição: 
Suponha que f seja uma função a duas variáveis e que o ponto (x0, y0) seja o centro de um 
disco circular de raio positivo contido no domínio de f. Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se: 
( ) 
( )→( )
 ( ) 
( ) 
( )→( )
 ( ) ( ) 
Exemplo: Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados. 
 ) ( ) ( ) 
 ) ( ) {
 
 
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 
Solução: 
 ) 
 
( )→( )
( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
} 
( )→( )
( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
37 
 Figura 60 
 ) 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 
 
 → 
 → 
 ( ) 
 → 
 ( ) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
(
 
 
) 
 → 
( ) {
 
 
 
 → 
 ( ) 
 ( ) 
( )→( )
 ( ) 
Seja D um conjunto de pontos o plano xy. Um ponto (x0; y0) será denominado ponto interior a D 
se existir um disco circular de raio positivo e centro, em (x0; y0),contido em D ver figura ao lado. Por 
outro lado, um ponto (a; b) será denominado ponto-fronteira de D se qualquer disco circular de raio 
positivo e centro (a; b) contiver, pelo menos, um ponto pertencente a D e o pelo menos um não 
pertencente. Não se exige que um o ponto de fronteira (a; b) pertence ao conjunto D. Um conjunto D 
é aberto se ele não contém nenhum de seus próprios pontos-fronteira, enquanto que o mesmo 
conjunto é dito fechado se ele contém todos os seus pontos-fronteiras, como na figura 59. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a definição de continuidade se aplica somente ao ponto no interior de seu domínio. 
Exemplo – Mostre que o domínio da função: ( ) 
 
 
 é um conjunto aberto. Esboce o 
domínio de f e prove que ela é contínua. 
Solução: 
O domínio de f consiste em todos os pontos do plano xy exceto os que 
pertencem à reta y= x. Suponha que (x0; y0) seja um ponto no domínio D de f, ou 
seja, (x0; y0) não pertence à reta y = x. Se d é a distância de (x0; y0) à reta y = x, 
(x0; y0) um ponto interior de D. 
(a; b) um ponto de fronteira de D. 
(x0; y0) 
Figura 59 
d 
 
38 
 
Figura 61 
então qualquer disco circular de raio r, com 0 < r< d está contido em D; daí (x0; y0) está no interior de D. 
Segue pois que o domínio D é aberto, já que para x0  y0, 
 
( )→( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
Conclui-se que f é contínua em qualquer ponto (x0; y0) de seu domínio. Portanto f é uma função 
contínua. 
 
Propriedades da continuidade para funções a duas variáveis. 
Suponha que (x0; y0) seja um ponto interior do domínio das funções f e g a duas variáveis suponha 
ainda f e g contínuas em (x0; y0). Então: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) , ( )- ( ) 
 
Exemplo – Quais os pontos interiores ao domínio da função u definida por: 
 ( ) √ ( ) 
U é contínua em tais pontos? Esboce o domínio de u. 
Solução: 
A expressão √ é definida para ou seja 
 . A condição é verdadeira quando (x; y) está no interior do 
círculo x²+y²=1 de raio 1 e centro (0; 0). Já na expressão ln (x+y) é definida 
apenas para x + y > 0  y > -x, ou seja, apenas quando o ponto (x; y) está acima 
da reta, cuja equação é x + y=0. O domínio de u, portanto é a região sombreada 
na figura ao lado, dentro ou sobre o círculo x²+y², mas acima da reta x + y = 0, 
representado na figura 61. 
 
y=-x 
 
39 
 
Continuidade de uma função a três ou mais variáveis. 
A definição de continuidade para funções a uma variável pode ser facilmente generalizada para 
funções a várias variáveis. Naturalmente, todafunção polinomial a várias varáveis e contínua. Além 
disso, a razão entre tais funções polinomiais – isto é, uma função racional a diversas variáveis – tem 
domínio aberto e é contínua para todo o ponto de seu domínio, por exemplo, a função f definida por: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
É contínua em todo (x; y; z) para o qual o denominado é não nulo, ou seja: 
 
 
Exercícios: 
1. Calcule os limites de: 
 ) 
( )→( )
( ) ) 
( )→.
 
 
 /
( ) 
 ) 
( )→( )
[ ( ) ( )] 
2. a) Calcule o limite de f(x; y) quando (x; y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos em 
(i). (ii), (iii) e (iv). 
b) Determine o limite se existir: 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 ) ( ) {
( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 
 
40 
 
 
3. Verifique se a função é contínua no ponto indicado. 
 ) ( ) √ ( ) 
 ) ( ) {
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ) ( ) {
( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
4. Nos itens abaixo: 
i. Esboce um diagrama representado o domínio de cada função no plano xy; 
ii. Especifique que pontos do domínio são pontos interiores; 
iii. Determine em quais pontos interiores ao domínio a função é descontínua. 
 ) ( ) √ ) ( ) 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 ) ( ) 
 
√ 
 
 
Gabarito: 
1. a) -1 b) c) e+1 
2.1) a) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0; (iv) 0 b) 0 
2.2 a) i) 0; (ii) 0; (iii) 1/2; (iv) 
 
 
 b) não existe o limite 
2.3) a) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0; (iv) 0 b) 0 
3. a) Contínua b) Descontínua c) Contínua 
4) 
a) (i) Todos os pontos (x; y) tais que x  0; y  0 ou x x  0; y ; (ii) x> 0, y> 0 ou x < 0, y < 0 (iii) nenhum. 
b) (i) Todos os pontos (x; y) tais que y 2x; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum. 
c) (i) Todos os pontos (x; y) tais que y 1; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum. 
d) (i) Todos os pontos (x; y) tais que x²+y² <9; (ii) Todos os pontos do domínio; (iii) nenhum.