Derivada Direcional no Espaço

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VI.2 - Derivada Direcional e Gradiente no espaço 
Assim como uma função a duas variáveis pode ser consideradas como um 
campo escalar no plano, uma função f a três variáveis pode ser descrita como um 
campo escalar no espaço xyz, isto é podemos pensar em f relacionando-a com escalar 
w, figura 68, dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as ideias e técnicas introduzidas para campo escalares no plano xy 
estendem-se naturalmente para campos escalares no espaço xyz. Por exemplo, se w 
= f(x;y;z), onde f é uma função diferencial, definimos o gradiente de w (o de f) por: 
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ ( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ 
 
Da mesma forma que no plano a derivada direcional em espaço será: 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) 
Exemplo 1: Se f(x;y;z) = 3x²+8y²-5z², encontre a derivada direcional de f em 
(1; -1; 2) na direção do vetor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗. 
Solução: 
Nesse caso ⃗ não é um vetor unitário, contudo, um vetor unitário na direção 
de ⃗ é dado pela sua normalização que consiste em: 
 ⃗⃗ 
 ⃗
| ⃗|
 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗
√ ( ) 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
Temos: 
 ( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ 
 ( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
Figura 68 
 
 
2 
 
No ponto (1; -1; 2), temos: 
 ( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
Portanto sua derivada direcional será: 
 ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) (
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗) ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗ ( ) 
 
 
 
Exemplo 2: O potencial elétrico V em volts no ponto P(x;y;z) no espaço xyz 
é dado por: 
 ( ) 
 
 
Onde x, y e z são dados em cm. Qual a taxa de variação de V no instante 
que passamos por P0=(2; 1; -2) no sentido de P1(4; 3; 0). 
Solução 
A taxa de variação de V, em volts por cm, é dada por ⃗⃗⃗ , no sentido vetor 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ [ ( )] ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, que normalizando temos: 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗
√ ( ) ( ) 
 
 
 √ 
 ⃗ 
 
 √ 
 ⃗ 
 
 √ 
 ⃗⃗ 
√ 
 
 ⃗⃗⃗ 
√ 
 
 ⃗ 
√ 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 [ 
 
 
 ( ) 
 
 ] ⃗ [ 
 
 
 ( ) 
 
 ] ⃗
 [ 
 
 
 ( ) 
 
 ] ⃗⃗ 
 [ ( ) 
 
 ] ⃗ [ ( ) 
 
 ] ⃗
 [ ( ) 
 
 ] ⃗⃗ 
 [ ( ) 
 
 ] ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) 
No ponto P0=(2; 1; -2), temos: 
 [ [ ( ) ] 
 
 ] ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) 
 
 
 ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) 
Portanto sua derivada direcional em P0 na direção ⃗⃗ é: 
 
 
 
3 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) (
√ 
 
 ⃗⃗⃗ 
√ 
 
 ⃗ 
√ 
 
 ⃗⃗) [
 
 
 ( ⃗ ⃗ ⃗⃗)]
 
 √ 
 ( )
 ( ) 
 ⃗⃗⃗ 
 √ 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Nos itens abaixo encontre (i) o gradiente f(x0; y0 e z0) e (ii) a derivada direcional 
 ⃗⃗⃗ ( ) para a função f dada para o ponto (x0; y0 e z0) e para o vetor ⃗⃗. 
 ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 ) ( ) ( ) ( 
 
 
 ) ⃗⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
2. Encontre (i) o valor máximo da derivada direcional e (ii) um valor unitário ⃗⃗. No 
sentido em que a a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no 
ponto indicado 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 ) ( ) ( ) ( ) 
 
Gabarito: 
1) a)( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ (ii) 
 
 
 b) (i) ⃗ ⃗⃗ (ii) 
 
 
 
2) a)( ) 
√ 
 
 (ii) 
 √ 
 
 ⃗ 
√ 
 
 ⃗ 
 √ 
 
 ⃗⃗ b) (i) e1 (ii) ⃗