Calculo Avançado com Números Complexos - Atividade A1

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CÁLCULO AVANÇADO 
COM NÚMEROS 
COMPLEXOS 
 
ATIVIDADE A1 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALAFE COPA 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE 
 
Como já é sabido o teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de 
Green (que trata de integrais sobre contorno fechados, em que se é necessário distinguir 
entre as duas orientações possíveis do contorno, uma das quais é escolhida como a 
orientação positiva), para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar 
determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa. 
 
Com base no teorema de Stokes ou no processo de cálculo direto (sem o teorema 
de Stokes), calcule, apresentando os cálculos, o valor da integral: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 
 
Onde: 
 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝐼 + 𝑥𝐽 + 𝑦�̂� 
 
e 
 
𝛼(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, 2 − 𝑢² − 𝑣²) 
 
Com: 
 
𝑢2 + 𝑣2 ≤ 1 
 
Sendo n, a normal apontando para cima. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Pelo teorema de Stokes, sabe-se que: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∬(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�). �⃗⃗�. 𝑑𝑆 (1) 
 
Resolvendo o rotacional de �⃗�: 
 
(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�) = ||
𝐼 𝐽 �̂�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦 𝑥 𝑦
|| 
 
= (
𝜕
𝜕𝑦
(𝑦) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥)) 𝐼 + (
𝜕
𝜕𝑧
(𝑦) −
𝜕
𝜕𝑥
(𝑦)) 𝐽 + (
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑦)) �̂� 
 
= (1 − 0)𝐼 + (0 − 0)𝐽 + (1 − 1)�̂� = 1𝐼 + 0𝐽 + 0�̂� 
 
(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�) = 〈1,0,0〉 (2) 
 
Parametrizando a superfície em coordenadas cilíndricas: 
 
𝑥 = 𝑢 = 𝑟. cos 𝜃 
𝑦 = 𝑣 = 𝑟. sin 𝜃 
𝑧 = 2 − 𝑢2 − 𝑣2 = 2 − (𝑢2 + 𝑣2) = 2 − 𝑟2 
 
0 ≤ 𝜃 ≥ 2𝜋 
0 ≤ 𝑟 ≥ 1 
 
Para o cálculo do vetor normal �⃗⃗� da superfície 𝑑𝑆, temos que: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑆 = �⃗⃗⃗�. 𝑑𝐴 
 
Calculando os vetores tangentes a superfície S nas direções 𝑟 e 𝜃 : 
 
𝑆𝑟 = (
𝜕𝑟
𝜕𝑥
,
𝜕𝑟
𝜕𝑦
,
𝜕𝑟
𝜕𝑧
) = (cos 𝜃 , sin 𝜃 , −2𝑟) 
 
𝑆𝜃 = (
𝜕𝜃
𝜕𝑥
,
𝜕𝜃
𝜕𝑦
,
𝜕𝜃
𝜕𝑧
) = (−𝑟. sin 𝜃 , 𝑟. cos 𝜃 , 0) 
 
O vetor �⃗⃗⃗� é obtido pelo produto vetorial entre os vetores 𝑆𝑟 e 𝑆𝜃: 
 
�⃗⃗⃗� = 𝑆𝑟 𝑋 𝑆𝜃 = |
𝐼 𝐽 �̂�
cos 𝜃 sen 𝜃 −2𝑟
−𝑟 sen 𝜃 𝑟 cos 𝜃 0
| 
 
= (0 + 2𝑟2 cos 𝜃)𝐼 + (2𝑟2 sen 𝜃 − 0)𝐽 + (𝑟 cos2 𝜃 + 𝑟 sen2 𝜃)�̂� 
 
= 2𝑟2 cos 𝜃 𝐼 + 2𝑟2 sen 𝜃 𝐽 + 𝑟�̂� 
 
�⃗⃗⃗� = 〈2𝑟2 cos 𝜃 , 2𝑟2 sen 𝜃 , 𝑟〉 
 
A partir desse resultado, podemos escrever: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑆 = �⃗⃗⃗�. 𝑑𝐴 = �⃗⃗⃗�. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 = 〈2𝑟2 cos 𝜃 , 2𝑟2 sen 𝜃 , 𝑟〉. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 (3) 
 
Substituindo os resultados obtidos nas equações (2) e (3) na integral (1), temos: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∬(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�). �⃗⃗�. 𝑑𝑆 = ∬(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�). �⃗⃗⃗�. 𝑑𝐴 
 
= ∬〈1,0,0〉 ∙ 〈2𝑟2 cos 𝜃 , 2𝑟2 sen 𝜃 , 𝑟〉. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 = ∬ 2𝑟2 cos 𝜃 . 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 
 
Aplicando o teorema de Fubini para resolução da integral dupla, temos: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∬(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�). �⃗⃗�. 𝑑𝑆 = ∫ ∫ 2𝑟2 cos 𝜃 . 𝑑𝑟
1
0
. 𝑑𝜃
2𝜋
0
= ∫ [2.
𝑟3
3
. cos 𝜃|
1
0
] 𝑑𝜃
2𝜋
0
= 2 ∙ ∫ [
13
3
−
03
3
] . cos 𝜃 . 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
 
= 
2
3
∫ cos 𝜃 . 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
2
3
 sen 𝜃|
2𝜋
0
=
2
3
⌊sen 2𝜋 − sen 0⌋ = 0 
 
Portanto, o resultado da integral de linha do campo vetorial �⃗� sobre o contorno 
dado pelas equações das curvas apresentadas, é equivalente a zero: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∬(∇⃗⃗⃗𝑋�⃗�). �⃗⃗�. 𝑑𝑆 = 0 
 
Esse resultado pode ser observado no gráfico abaixo projetado no aplicativo 
Geogebra. A projeção do vetor que representa o rotacional do campo �⃗�, em preto, não flui 
sobre as superfícies formadas pelas linhas de contorno parametrizas a partir das curvas 
em vermelho e azul, porque possui apenas a componente no eixo Î que é perpendicular ao 
plano da superfície: 
 
 
 
 
Projeção do campo rotacional do campo vetorial �⃗�: 
 
Rotacional do campo F: 
𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 〈𝟏, 𝟎, 𝟎〉 
Superfície com parâmetros: 
(𝒓, 𝜽) = ( 𝒓. 𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓. 𝒔𝒆𝒏𝜽, 𝟐 − 𝒓²) 
Curva: 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
Curva: 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛 = 𝟐 
Linha de Contorno com parâmetros: 
(𝒓, 𝜽) = (𝒓. 𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓. 𝒔𝒆𝒏𝜽, 𝟏) 
 
 
Uma segunda forma de encontrar o mesmo resultado é calcular diretamente a 
integral de linha do campo vetorial �⃗�, sem a aplicação do teorema de Stokes: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∮(𝑦𝐼 + 𝑥𝐽 + 𝑦�̂�). �⃗⃗�. 𝑑𝑙 (4) 
 
Parametrizando a curva denominada como ϕ, com r = 1, temos: 
 
𝑥 = 1 ∙ cos 𝜃 = cos 𝜃 
𝑦 = 1 ∙ sen 𝜃 = sen 𝜃 
𝑧 = 2 − 12 = 1 
 
0 ≤ 𝜃 ≥ 2𝜋 
 
Portanto: 
 
𝜑(𝜃) = (cos 𝜃 , sen 𝜃 , 1) 
 
O diferencial de linha de contorno 𝑑𝑙, pode ser obtido pela relação expressão 
abaixo: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 𝜑′(𝜃). 𝑑𝜃 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = (− sen 𝜃 , cos 𝜃 , 0). 𝑑𝜃 (5) 
 
Substituindo x, y e a equação (5) na equação (4), temos: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∮(𝑦𝐼 + 𝑥𝐽 + 𝑦�̂�). �⃗⃗�. 𝑑𝑙 
 
= ∮ 〈sen 𝜃 , cos 𝜃 , sen 𝜃 〉. 〈− sen 𝜃 , cos 𝜃 , 0〉. 𝑑𝜃 
 
= ∮(− sen2 𝜃 + cos2 𝜃 + 0). 𝑑𝜃 = ∮(cos2 𝜃 − sen2 𝜃). 𝑑𝜃 = ∮ cos(2𝜃) . 𝑑𝜃 
 
= [
sen 2𝜃
2
|
2𝜋
0
] = [
sin 4𝜋
2
−
sin 0
2
] = 0 
 
 Esse resultado também pode ser observado graficamente analisando as direções 
das linhas do campo vetorial �⃗� , em laranja, sobre a linha de contorno parametrizada, em 
verde. 
Em todos os pontos ao redor da linha de contorno, existem vetores se anulando, 
justificando o resultado zero da integral de linha. 
 
Projeção nos eixos K e J: Projeção nos eixos K e I: Projeção nos eixos I e J: 
 
 
 
A constatação desse resultado também pode ser demonstrada analisando se o 
campo vetorial é conservativo, porque a integral de linha em um contorno fechada de um 
campo conservativo é zero. 
 
Para tanto, pode-se substituir os limites de integração no campo vetorial e 
observar se o resultado é o mesmo nos dois pontos. Sendo assim, dado o campo vetorial: 
 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝐼 + 𝑥𝐽 + 𝑦�̂� 
 
E os parâmetros da linha de contorno em coordenadas cilíndricas: 
 
𝑥 = cos 𝜃 
𝑦 = sen 𝜃 
𝑧 = 1 
 
0 ≤ 𝜃 ≥ 2𝜋 
 
Temos a seguinte expressão para o campo vetorial: 
 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝐼 + 𝑥𝐽 + 𝑦�̂� → 𝐹(𝜃, 𝑟) = 〈sen 𝜃 , cos 𝜃 , 1〉 
 
Substituindo os limites de integração: 
 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 θ = 2π → 𝐹(𝜃, 𝑟) = 〈0,1,1〉 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 θ = 0 → 𝐹(𝜃, 𝑟) = 〈0,1,1〉 
 
Portanto, conclui-se que o campo é conservativo e: 
 
∮ �⃗�. �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 0