Tabalho Vigas e LAjes_pav de concreto_REV02

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
Alison Matheus dos Reis Souza 201703406176 
Luan Nascimento Martins 202201091801 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de viga e laje 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém 
2023
 
 
O objetivo do trabalho foi chegar ao dimensionamento das vigas e lajes em 
questão e para isso foi escolhido o projeto arquitetônico do tipo C, como mostrado 
no projeto de planta baixa e layout. 
 
Uma vez definido as seções das vigas, lajes, fck do concreto e demais informações, 
partimos para análise de comportamento das vigas através do Ftool. 
Feita análise e tendo tirado informações, prosseguiu-se com os cálculos para 
dimensionamento: 
Todas as vigas seguiram os mesmos passos: achar a linha neutra, verificar 
domínio, achar área do aço em seguida foi feito o cálculo para resistência à flexão e 
cisalhamento. 
Para as lajes será adotado os valores : 25kn/m³ para concreto armado, 
1kn/m² para pesos adicionais ( piso, contra piso e cerâmica) 
 
PESO PRÓPRIO 
 
 Laje 01: 
Comp: 3,45 mt 
LARG: 3,50 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
Peso total da laje 01: 
X:3,45x3,50x3 
X:36,23kn 
Laje 02: 
Comp: 2,45 mt 
LARG: 1,95 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
 
Peso total da laje 02: 
X:2,45x1,95x3 
X:14,33kn 
Laje 03: 
Comp: 2,45 mt 
LARG: 1,95 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
Peso total da laje 03: 
X:2,45x1,95x3 
X:14,33kn 
 
 
Laje 04: 
Comp: 2,45 mt 
LARG: 2,85 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
Peso total da laje 04: 
X:2,45x2,85x3 
X:20,95kn 
Laje 05: 
Comp: 2,65 mt 
LARG: 3,50 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
Peso total da laje 05: 
X:2,65x3,50x3 
 
X:27,83 
 
Laje 06: 
Comp: 3,75 mt 
LARG: 6,75 mt 
Esp: 10 cm ou 0,10 mt 
Calculo por metro quadrado: 
X: (0,10x25)+1 
X: 3kn/m² 
Peso total da laje 06: 
X:3,75x6,75x3 
X:75,94kn 
Para as vigas será adotado os valores : 25kn/m³ para concreto armado. 
Viga 01: 
Comp: 10,50 mt 
LARG :25 cm ou 0,25 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,25x0,40) 
X: 2,5kn/m 
Peso total da viga 01: 
X:10,50x2,5 
X:26,25kn 
Viga 02: 
Comp: 6,75 mt 
LARG :15 cm ou 0,15 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,15x0,40) 
X1,5kn/m 
Peso total da viga 02: 
X:6,75x1,5 
X:10,13kn 
 
 
Viga 03: 
Comp: 3,5 mt 
LARG :25 cm ou 0,25 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,25x0,40) 
X: 2,5kn/m 
Peso total da viga 03: 
X:3,5x2,5 
X:8,75kn 
Viga 04: 
Comp: 10,50 mt 
LARG :25 cm ou 0,25 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,25x0,40) 
X: 2,5kn/m 
Peso total da viga 04: 
X:10,50x2,5 
X:26,25kn 
Viga 05: 
Comp: 3,45 mt 
LARG :25 cm ou 0,25 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,25x0,40) 
X: 2,5kn/m 
Peso total da viga 05: 
X:3,45x2,5 
X:8,63kn 
Viga 06: 
Comp: 6,50 mt 
LARG :15 cm ou 0,15 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,15x0,40) 
X1,5kn/m 
Peso total da viga 06: 
X:6,50x1,5 
X:9,75kn 
Viga 07: 
Comp: 2,45mt 
LARG :15 cm ou 0,15 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,15x0,40) 
X1,5kn/m 
Peso total da viga 07: 
X:2,45x1,5 
X:3,68kn 
Viga 08: 
Comp: 2,45mt 
LARG :15 cm ou 0,15 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,15x0,40) 
X1,5kn/m 
Peso total da viga 08: 
X:2,45x1,5 
X:3,68kn 
Viga 09: 
Comp: 6,20 mt 
LARG :25 cm ou 0,25 mt 
Esp: 40 cm ou 0,40 mt 
Calculo por metro Linear: 
X: 25x( 0,25x0,40) 
X: 2,5kn/m 
Peso total da viga 09: 
 
X:6,2x2,5 
X:15,50kn 
 
Agora iremos calcular o peso total da laje e da viga juntos para achar quantos KN as 
vigas precisam suportar: 
Viga 01: 
X: peso da viga 1+ L1+L2+L3+L4 
X: 26,25+36,23+14,33+14,33+20,95 
X: 112,09 kn 
Viga 02: 
X: peso da viga 2+ L2+L3+L4+L6 
X: 10,13+14,33+14,33+20,95+75,94 
X: 135,68 kn 
Viga 03: 
X: peso da viga 3+L1+L5 
X: 8,75+36,23+27,83 
X: 72,81kn 
 
Viga 04: 
X: peso da viga 4+L5+L6 
X: 26,25+27,83+75,94 
X: 130,02kn 
Viga 05: 
X: peso da viga 5+L1+L5 
X: 8,63+36,23+27,83 
X: 72,69kn 
Viga 06: 
X: peso da viga 6+L1+L2+L5+L6 
X: 9,75+36,23+14,33+27,83+75,94 
X: 164,08kn 
Viga 07: 
X: peso da viga 7+L2+L3 
X: 3,68+14,33+14,33 
X: 32,34kn 
 
Viga 08: 
X: peso da viga 8+L3+L4 
X: 3,68+14,33+20,95 
X: 38,96kn 
Viga 09: 
X: peso da viga 9+L4+L6 
X:15,50+20,95+75,94 
X: 112,39kn 
 
DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS SELECIONADAS 
 
Dimensionamento da viga 07 
Informações da viga: 
Bw: 15 cm 
H:40 cm 
D:36 cm 
Msk:24,3 kn.m 
md: 3402 kn.cm 
aço -CA 50: 500mpa 
fyd: 43,47 kn 
Fck:25 mpa 
Fcd:1,78 kn 
 
Para achar o D: 0,9.H 
D:36cm 
Para achar o md: 
Md: (msk.1,4).100 
Md: 3402kn.cm 
Para achar o fyd: 
Fyd: (ca-50)/(1,15.10) 
Fyd: 43,47 kn 
Para achar o fcd: 
Fcd: (fck)/(1,4.10) 
Fcd: 1,78 
 
 
Linha neutra: 
0,272x²-0,68.d.x+(md)/(bw.fcd) = 0 
Jogando os valores teremos: 
0,272x²-24,48x+127,41 = 0 
Aplicando a fómula de Bhaskara teremos: 
 (24,48 +-21,46)/0,544 
X1= 5,55cm 
X2= 84,44 cm 
Verificação do domínio: 
X2 = 0,259.d 
X2 = 0,259.36 
X2 = 9,324 cm 
X3 = 0,45.d 
X3 = 16,2 cm 
 
Com isso verificamos que x1 = 5,55 < 9,324, logo nossa viga se encontra no domínio 
02 
 
Determinação da área de aço (AS): 
As = md/ (fyd.(d-0,4x)) 
As = 3402/ (43,47.(36-0,4.5,55) 
As = 2,23 cm² 
 
Cálculo do cisalhamento da viga: 
Cálculo de verificação da biela: 
VRD2 = 0,45.bw.d.fcd.y 
VRD2 = 0,45.15.36.1,78.0,528 
VRD2 = 228,39 kn 
Como VRD2 = 228,39 kn > vsd 55,44 kn então a biela não esmaga. 
Cálculo da área de aço do estribo (ASW): 
 
ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
Para esse cálculo precisamos achar o Vc que sera igual ao V0 =0,6.bw.d.fctd 
 
Mas para acharmos o Fctd precisaremos do fctk = 0,7.fctm 
E para achar o fctm usaremos a formula fctm = 0,3. ∛fck² 
Assim: 
Fctm = 0,3. 8,549 
Fctm = 2,56 
Fctk = 0,7.fctm 
Fctk = 0,7.2,56 
Fctk = 1,79 
Fctd = 1,79/ 1,4 
Fctd = 1,79/ 1,4 
Fctd = 1,28 kn 
Retornando para a formula do V0: 
V0 =0,6.bw.d.fctd 
V0 =0,6.15.36.1,28 
V0 =41,47 kn 
Sabendo que VC = V0 entao : 
ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
Asw = ( 55,44-41,47).(100) / (0,9.36.43,47) 
Asw = 0,989cm² 
Área mínima de estribo: 
ASWmin = (0,2.bw.s.fctm) / fywk 
ASWmin = (0,2.15.100.2,56)/500 
ASWmin = 1,53 cm² 
Para calcular a área do aço por estribo: 
Asw∅ = (∅².π).( n. pernas ) /4 
Asw∅ = 0,39 cm² 
 
 
Número de estribos por metro: 
N =ASWmin/ Asw∅ 
N = 4 estribo 
 
Dimensionamento da viga 08 
Informações da viga: 
 
Bw: 15 cm 
H:40 cm 
D:36 cm 
Msk:29,2 kn.m 
md: 4088 kn.cm 
aço -CA 50: 500mpa 
fyd: 43,47 kn 
Fck:25 mpa 
Fcd:1,78 kn 
 
Para achar o D: 0,9.H 
D:36cm 
Para achar o md: 
Md: (msk.1,4).100 
Md: 4088kn.cm 
Para achar o fyd: 
Fyd: (ca-50)/(1,15.10) 
Fyd: 43,47 kn 
Para achar o fcd: 
Fcd: (fck)/(1,4.10) 
Fcd: 1,78 
Linha neutra 
0,272x²-0,68.d.x+(md)/(bw.fcd) = 0 
Jogando os valores teremos: 
0,272x²-24,48x+153,10 = 0 
Aplicando a fómula de Bhaskara teremos: 
 (24,48 +-20,80)/0,544 
X1= 6,76cm 
X2= 50,14 cm 
Verificação de domínio: 
X2 = 0,259.d 
X2 = 0,259.36 
X2 = 9,324 cm 
X3 = 0,45.d 
 
X3 = 16,2 cm 
 
Com isso verificamos que x1 = 6,76< 9,324, logo nossa viga se encontra no domínio 
02 
Determinar área de aço (AS): 
As = md/ (fyd.(d-0,4x)) 
As =4088/ (43,47.(36-0,4.6,76) 
As = 2,82 cm² 
Cálculo do cisalhamento da viga: 
Cálculo de verificação da biela: 
VRD2 = 0,45.bw.d.fcd.y 
VRD2 = 0,45.15.36.1,78.0,528 
VRD2 = 228,39 kn 
Como VRD2 = 228,39 kn > vsd 66,78 kn então a biela não esmaga. 
Calculo da área de aço do estribo (ASW):ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
Para esse calculo precisamos achar o Vc que sera igual ao V0 =0,6.bw.d.fctd 
Mas para acharmos o Fctd precisaremos do fctk = 0,7.fctm 
E para achar o fctm usaremos a formula fctm = 0,3. ∛fck² 
Assim: 
Fctm = 0,3. 8,549 
Fctm = 2,56 
Fctk = 0,7.fctm 
Fctk = 0,7.2,56 
Fctk = 1,79 
Fctd = 1,79/ 1,4 
Fctd = 1,79/ (1,4.10) 
Fctd = 0,128 kn 
Retornando para a formula do V0: 
V0 =0,6.bw.d.fctd 
V0 =0,6.15.36.1,28 
V0 =41,47 kn 
Sabemos que VC = V0 entao : 
ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
 
Asw = ( 66,78-41,47).(100) / (0,9.36.43,47) 
Asw = 1,79cm² 
Agora iremos para a área mínima de estribo: 
ASWmin = (0,2.bw.s.fctm) / fywk 
ASWmin = (0,2.15.100.2,56)/500 
ASWmin = 1,53 cm² 
Para calcular a área do aço por estribo: 
Asw∅ = (∅².π).( n. pernas ) /4 
Asw∅ = 0,39 cm² 
Numero de estribos por metro: 
N =ASW / Asw∅ 
N = 5 estribos 
Dimensionamento da viga 03 
Informações da viga: 
Bw: 25 cm 
H:40 cm 
D:36 cm 
Msk:111,5 kn.m 
Msd:15610 kn.cm 
aço -CA 60: 600mpa 
fyd: 52,17 kn 
Fck:35 mpa 
Fcd:2,5 kn 
 
Para achar o D: 0,9.H 
D:36cm 
Para achar o md: 
Md: (msk.1,4).100 
Md: 15610kn.cm 
Para achar o fyd: 
Fyd: (ca-60)/(1,15.10) 
Fyd: 52,17 kn 
Para achar o fcd: 
Fcd: (fck)/(1,4.10) 
 
Fcd: 2,5 kn 
Linha neutra 
0,272x²-0,68.d.x+(md)/(bw.fcd) = 0 
Aplicando valores teremos: 
0,272x²-24,48x+249,76 = 0 
Aplicando a fórmula de Bhaskara teremos: 
(24,48 +-18,09)/0,544 
X1= 11,74cm 
X2= 78,25 cm 
Verificação do domínio: 
X2 = 0,259.d 
X2 = 0,259.36 
X2 = 9,324 cm 
X3 = 0,45.d 
X3 = 16,2 cm 
Com isso verificamos que x1 = 11,74< 16,2, logo nossa viga se encontra no domínio 
03 
Para achar a área do aço (AS): 
As = md/ (fyd.(d-0,4x)) 
As =15610/ (52,17.(36-0,4.11,74) 
As = 9,55 cm² 
Cálculo do cisalhamento da viga: 
Cálculo de verificação da biela: 
VRD2 = 0,45.bw.d.fcd.y 
VRD2 = 0,45.25.36.2,5.0,528 
VRD2 = 534,6kn 
Como VRD2 = 534,6 kn > vsd 177,8 kn então a biela não esmaga. 
Calculo da área de aço do estribo (ASW): 
ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
Para esse calculo precisamos achar o Vc que sera igual ao V0 =0,6.bw.d.fctd 
Mas para acharmos o Fctd precisaremos do fctk = 0,7.fctm 
E para achar o fctm usaremos a formula fctm = 0,3. ∛fck² 
Assim: 
Fctm = 0,3. 10,69 
 
Fctm = 3,20 
Fctk = 0,7.fctm 
Fctk = 0,7.3,20 
Fctk = 2,24 
Fctd = 2,24/( 1,4.10) 
Fctd = 0,16 kn 
Agora voltaremos para a formula do V0: 
V0 =0,6.bw.d.fctd 
V0 =0,6.25.36.0,16 
V0 = 86,4kn 
Sabemos que VC = V0 entao : 
ASW = (Vs-Vc).S/ (0,9.d.fywd) 
Asw = ( 178,36-86,4).(100) / (0,9.36.52,17) 
Asw = 5,46cm² 
Agora iremos para a área mínima de estribo: 
ASWmin = (0,2.bw.s.fctm) / fywk 
ASWmin = (0,2.25.100.3,2)/600 
ASWmin = 2,66 cm² 
Para calcular a área do aço por estribo: 
Asw∅ = (∅².π).( n. pernas ) /4 
Asw∅ = 0,39 cm² 
Numero de estribos por metro: 
N =ASW / Asw∅ 
N =5,46 / 0,39 
 N = 14 estribos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possuindo todos os dados através dos cálculos acima, foi possível determinar a 
bitola do aço e seus espaçamentos pela tabela a seguir, sempre em função da área 
de aço encontrada. 
 
 
Com tudo em mãos, foi plotado as informações para os projetos de forma e 
armação, como mostrado na página seguinte.