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1 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Projeto e Análise de Compensadores por Intermédio da Resposta em Frequência Utilizando o Fator k 1. OBJETIVO Realizar o projeto e a análise de compensadores utilizando a técnica do fator k, aplicado a um conversor CC-CC abaixador de tensão; 2. MATERIAL UTILIZADO A Atividade Prática de Controle Contínuo será utilizada com a utilização do software de simulação gratuito Scilab. O aluno poderá fazer o download do software no endereço. https://www.scilab.org/download/6.1.1 Além disso, aconselha-se fortemente, assistir a Aula prática 1 (Aula 7) e a Aula Prática 3 (Aula 9). O aluno deverá simular e resolver os seguintes exercícios e entregar o relatório em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA no ícone Trabalhos. 3. INTRODUÇÃO Os conversores CC-CC são circuitos eletrônicos de potência que tem a finalidade de alterar um nível de tensão em corrente contínua, da sua entrada para a sua saída, por isso são chamados de conversores CC-CC. Eles podem elevar ou diminuir uma tensão CC, dependendo da topologia e do funcionamento. Para esta Atividade Prática, vamos utilizar o conversor CC-CC abaixador de tensão, cujo circuito é mostrado na Figura 1. Figura 1 – Conversor CC-CC abaixador-elevador de tensão. Este circuito possui uma função de transferência dada por https://www.scilab.org/download/6.1.1 2 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas 𝑣𝑐(𝑠) 𝑑(𝑠) = 𝑉𝑖 𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿 𝑅 𝑠 + 1 onde vc(s) que representa a tensão no capacitor saída é o sinal de saída, e d(s) que representa a razão cíclica é o sinal de entrada. Para os exercícios a seguir, considere os seguintes parâmetros da função de transferência. - L = 2 mH - C = 470 F - R = 2 Ω - E = 100 V - D = 0,25 Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar um sistema de controle para este conversor. O fator k é uma técnica de controle que permite o projeto de três tipos de compensadores, cada qual com sua característica específica, denominados de compensadores Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3, mostrados na Figura 2. Nos circuitos da Figura 2, o sinal IN é o sinal amostrado da tensão de saída do conversor CC-CC. O sinal Vref é o valor normalizado que se deseja na saída. Figura 2 – Compensadores do Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3. Por exemplo, vamos supor que um circuito como mostrado na Figura 1, possui uma tensão de saída (que é a tensão sobre o capacitor e sobre o resistor) seja de 100 V. Então deve-se projetar um divisor resistivo, por exemplo, de modo 3 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas que a tensão no ponto médio seja equivalente a 100V. Esta tensão pode ser de 2,5 V, por exemplo, e será o sinal IN do compensador. Assim sabe-se que se no ponto médio do divisor resistivo houver 2,5 V, na saída haverá 100 V. Portanto, a tensão Vref deve ser de 2,5 V. Então os compensadores atuam sobre a diferença entre o sinal Vref e IN, e com base na atuação, resulta-se no sinal OUT, que atuará sobre o conversor, regulando a tensão de saída. Independentemente do tipo de compensador utilizado, alguns passos devem ser seguidos para o projeto dos compensadores. Passo 1) Obter o diagrama de Bode da planta em malha aberta. Passo 2) Escolher a frequência de corte desejada (fc). Passo 3) Escolher a margem de fase desejada (MF). A margem de fase é um valor escolhido pelo projetista que deve ficar entre 45º e 90º. Para a maioria dos casos, 60º é uma boa escolha. Passo 4) Determinar o ganho do compensador (G). Este ganho é calculado fazendo 20 log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵 O valor de GdB é o valor obtido no gráfico de magnitude, em dB, do diagrama de Bode, na frequência de corte (fc) escolhida. Passo 5) Determinar o avanço de fase desejado (α). O avanço de fase desejado é dado por 𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90º onde P é a defasagem provocada pelo sistema, que é o ângulo na frequência de corte no gráfico de fase no diagrama de Bode. Passo 6) Escolher o compensador (Tipo 1, Tipo 2 ou Tipo 3). Passo 7) Cálculo do fator k Para um compensador do Tipo 1, o fator k é sempre 1. Para um compensador do Tipo 2, o fator k é dado por 𝑘 = 𝑡𝑔 ( 𝛼 2 + 45º) 4 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Para um compensador do Tipo 3, o fator k é dado por 𝑘 = [𝑡𝑔 ( 𝛼 4 + 45º)] 2 Após o Passo 7, cada um dos compensadores possui um equacionamento específico para a determinação de seus componentes. Independentemente do tipo do compensador escolhido, deve-se atribuir um valor para o resistor R1, e a partir dele, e de alguns dados determinados nos Passos de 1 a 7, determina-se o valor dos demais elementos. A seguir segue o equacionamento de cada um dos compensadores. Compensador Tipo 1 𝐶1 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1 Compensador Tipo 2 𝐶2 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑅1 𝐶1 = 𝐶2(𝑘 2 − 1) 𝑅2 = 𝑘 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1 Compensador Tipo 3 𝐶2 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1 𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1) 𝑅2 = √𝑘 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1 𝑅3 = 𝑅1 𝑘 − 1 𝐶3 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ √𝑘 ∙ 𝑅3 5 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas 4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS QUESTÃO 1) A partir da função de transferência do conversor CC-CC, apresente a reposta em frequência (diagrama de Bode) para uma frequência de 1 mHz até 1 MHz. Mostre o código que foi implementado no Scilab. Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. Código Implementado no Scilab para a declaração da função de transferência e da resposta em frequência do conversor s = %s; L = 2e-3; //L = 2 mH C = 470e-6; //C = 470 uF R = 2; //R = 2 ohms Vi = 100; //Vi = 100 V fmin = 1e-3; //frequência mínima de 1 mHz fmax = 1e6; //frequência máxima de 1 MHz Gs = syslin('c',Vi/(L*C*s^2+(L/R)*s+1)); //funcão de transferência do conversor bode(Gs,fmin,fmax) //Digrama de Bode entre 1 mHz e 1 MHz Figura da resposta em frequência do conversor. Gráfico de módulo e de fase entre 1 mHz e 1 MHz QUESTÃO 2) Para uma margem de fase de 50º projete os componentes de um compensador do Tipo 3, para o referido conversor CC-CC. Adote 300 Hz como frequência de corte desejada. Para o valor do resistor R1 adote o número do seu RU divido por 1000, sem arredondamentos. Exemplo: 𝑅𝑈 1649402 → 𝑅1 = 1649402 1000 → 𝑅1 = 1649,402 6 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Preencha a tabela com o que é solicitado. Defasamento provocado pelo sistema na frequência de corte desejada (P) P = –141,1º Ganho em dB na frequência de corte desejada (GdB) GdB = 30,45 dB Cálculo e valor do ganho do compensador (G) 20 ∙ log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵 20 ∙ log 𝐺 = 30,45 log 𝐺 = 1,5225 𝐺 = 101,5225 𝐺 = 33,304 Cálculo e valor do avanço de fase desejado (alfa) 𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90° 𝛼 = 50° − (−141,1°) − 90° 𝛼 = 101,1° Cálculo e valor do fator k 𝑘 = [𝑡𝑔 ( 𝛼 4 + 45°)] 2 𝑘 = [𝑡𝑔 ( 101,1° 4 + 45°)] 2 𝑘 = 7,778 Cálculo e valor de R1 𝑅1 = 1649,402 Ω Cálculo e valor de C2 𝐶2 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1 𝐶2 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ 33,304 ∙ 1649,402 = 9,65 𝑛𝐹 Cálculo e valor de C1 𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1) = 9,65 ∙ 10 −9(7,778 − 1) = 65,4 𝑛𝐹 Cálculo e valor de R2 𝑅2 = √𝑘 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1 𝑅2 = √7,778 2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ 65,4 ∙ 10−9 = 22,623 𝑘Ω Cálculo e valor de R3 𝑅3 = 𝑅1 𝑘 − 1 = 1649,402 7,778 − 1 = 243,34 Ω 7 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Cálculo e valor de C3 𝐶3 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ √𝑘 ∙ 𝑅3 𝐶3 = 1 2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ √7,778 ∙ 243,34 = 781 𝑛𝐹 QUESTÃO 3) Apresente a dedução matemática para a obtenção da função de transferência do compensador do Tipo 3, e a função de transferência numérica, considerando os valores dos componentesencontrados na QUESTÃO 2. Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. Dedução matemática da função de transferência do compensador do Tipo 3 Cálculo de Z1 1 𝑠𝐶3 + 𝑅3 = 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 𝑠𝐶3 𝑍1 = ( 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 𝑠𝐶3 ) ∙ 𝑅1 ( 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 𝑠𝐶3 ) + 𝑅1 = 𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1 𝑠𝐶3 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 + 𝑠𝑅1𝐶3 𝑠𝐶3 = = 𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1 𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 Cálculo de Z2 1 𝑠𝐶1 + 𝑅2 = 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠𝐶1 8 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas 𝑍2 = ( 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠𝐶1 ) ∙ 1 𝑠𝐶2 ( 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠𝐶1 ) + 1 𝑠𝐶2 = 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠2𝐶1𝐶2 𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2 𝑠2𝐶1𝐶2 = = 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2 Obtenção da função de transferência 𝐸𝑜(𝑠) 𝐸𝑖(𝑠) = − 𝑍2 𝑍1 = − 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2 𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1 𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 = = − 𝑠𝑅2𝐶1 + 1 𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2 ∙ 𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1 Numerador da função de transferência 𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶3 + 𝑠 2𝑅2𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑠𝑅2𝐶1 + 𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 𝑠2𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3) + 𝑠(𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)) + 1 Denominador da função de transferência 𝑠3𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3 + 𝑠 2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠 2𝑅1𝑅3𝐶1𝐶3 + +𝑠𝑅1𝐶1 + 𝑠 2𝑅1𝑅3𝐶2𝐶3 + 𝑠𝑅1𝐶2 Termo s3 𝑠3𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3 Termo s2 𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠 2𝑅1𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑠 2𝑅1𝑅3𝐶2𝐶3 = 𝑠2𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3) Termo s 𝑠𝑅1𝐶1 + 𝑠𝑅1𝐶2 = 𝑠𝑅1(𝐶1 + 𝐶2) Função de transferência do compensador do Tipo 3 𝐸𝑜(𝑠) 𝐸𝑖(𝑠) = − 𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)𝑠 2 + (𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3))𝑠 + 1 𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3𝑠 3 + 𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3)𝑠 2 + 𝑅1(𝐶1 + 𝐶2)𝑠 QUESTÃO 4) Considerando a função de transferência do compensador do Tipo 3, dada por 9 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas 𝐸𝑜(𝑠) 𝐸𝑖(𝑠) = 𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)𝑠 2 + (𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3))𝑠 + 1 𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3𝑠3 + 𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3)𝑠2 + 𝑅1(𝐶1 + 𝐶2)𝑠 Apresenta a função de transferência do compensador, preenchendo a tabela a seguir. Código Implementado no Scilab para a declaração da função de transferência e da resposta em frequência do compensador. FT_Tipo_3 = syslin('c',(R2*C1*C3*(R1+R3)*s^2+ (R2*C1+C3*(R1+R3))*s+1)/(R1*R2*R3*C1*C2*C3*s^3+ R1*(R2*C1*C2+R3*C1*C3+R3*C2*C3)*s^2+R1*(C1+C2)*s)); //função de transferência do compensador Tipo 3 figure; bode(FT_Tipo_3,fmin,fmax) //Digrama de Bode do compensador entre 1 mHz e 1 MHz Figura da resposta em frequência do compensador. Gráfico de módulo e de fase entre 1 mHz e 1 MHz QUESTÃO 5) Obtenha a resposta ao degrau para o sistema em malha aberta sem compensação. - Sistema em malha aberta sem compensação: Em que d(s) = 0,25 e G(s) é a função de transferência da planta. O vetor de tempo deve ser declarado como t = (0:0.0001:0.03). Preencha a tabela a seguir com as respostas 10 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Código implementado no Scilab para a visualização da resposta ao degrau em malha aberta sem compensação. t = (0:0.0001:0.03); y = csim('step',t,(D*Gs)); figure; plot(t,y) xgrid; Figura da resposta ao degrau em malha aberta. QUESTÃO 6) Considerando o seguinte diagrama em malha fechada com compensação. em que C(s) é a função de transferência do compensador, e que G(s) é a função de transferência da planta. Apresente a resposta em frequência em malha aberta, e a medição da margem de fase e da margem de ganho. Utilize a ferramenta Toggle Datatip Mode para verificar a margem de fase e de ganho. Código implementado no Scilab para a visualização da resposta em frequência da função de transferência em malha FTMA = FT_Tipo_3*Gs; //função de transferência de malha aberta figure; bode(FTMA,fmin,fmax) //Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta 11 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas aberta. Figura da resposta em frequência da função de transferência em malha aberta de 1 mHz até 1 MHz. Medição e valor da margem de fase no Scilab. MF = –254º–(–180º) = –74º 12 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Medição e valor da margem de ganho no Scilab. MG = 46,21 dB QUESTÃO 7) Apresente graficamente os polos e zeros da planta e do compensador. Utilize o comando plzr do Scilab. Código implementado no Scilab para a visualização os polos e zeros da planta plzr(Gs) //polos e zeros da planta Figura dos polos e zeros da planta da planta, G(s) Posição dos polos: – 531,915 ± j883,683 13 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Código implementado no Scilab para a visualização os polos e zeros do compensador plzr(Cs) //polos e zeros da planta Figura dos polos e zeros do compensador, C(s) Posição do zero: –675,872 Posição dos polos: 0 ; –5257,248 ; –5257,248 Observações: 14 Controle Contínuo Atividade Prática Prof. Samuel Polato Ribas Todas as observações a seguir devem OBRIGATORIAMENTE, serem atendidas. Qualquer uma delas que não seja atendida o trabalho será DESCONSIDERADO: • Não serão aceitas figuras na forma de fotos de caderno e fotos de tela do computador. Questões que não atenderem este item serão desconsideradas; • Todos os cálculos devem ser digitados utilizando um editor de equações. Figuras e textos com baixa resolução, ou em tamanho desproporcional serão desconsiderados. • As questões devem ser respondidas EXCLUSIVAMENTE no espaço destinado a cada cálculo nas tabelas apresentadas em cada questão. • O tamanho das tabelas pode ser alterado para que os cálculos e figuras caibam no espaço destinado à resposta. • Quaisquer outras dúvidas, podem ser esclarecidas pela tutoria. Opcional: Para os alunos que desejarem se aprofundar mais em relação a projetos de controladores por meio do fator k, podem ler o artigo, em inglês, no link http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA 724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf Vale ressaltar que a leitura do artigo é opcional, não sendo necessária a sua leitura para a realização desta Atividade Prática. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf
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