ANALISE COMPLEXA

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ANALISE COMPLEXA
(NUMEROS COMPLEXOS)
ANALISE MATEMATICA III (ENGENHARIA ELECTRICA)
−𝑎 = 𝑎 −1
Edmundo Victorino R.N. Marronta
Funções complexas de variável
complexas(N0COES BASICAS)
Consideremos uma função 𝑓 ∶ 𝐷 → ℂ, onde 𝐷 é um subconjunto 
de ℂ. A função 𝑓 diz-se uma função complexa de uma variável 
complexa. Trata-se de uma correspondência que associa a cada 
elemento 𝑧 ∈ 𝐷 um único elemento 𝑤 no plano complexo 
(designado por imagem de 𝑧 por 𝑓 ou valor de 𝑓 em 𝑧):
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦)𝑖
Onde 𝑢(𝑥, 𝑦) é a parte real e 𝑣(𝑥, 𝑦) é a parte imaginária
𝐼𝑁 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ 𝐼𝑅 ⊂ ℂ
Continuacao
A soma e a diferença de dois números complexos são definidas pela 
soma ou subtração de suas partes reais e imaginárias
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
Exemplo: (1 − 𝑖) + (4 + 7𝑖) = (1 + 4) + (−1 + 7)𝑖 = 5 + 6𝑖
NOTA: Uma vez que 𝑖2 = −1 ⇒ 𝑖 = −1; 𝑖3 = −𝑖; 𝑖4 = 1
𝑒𝑖𝜃 = ෍
𝑛=0
+∞
1
𝑛!
(𝑖𝜃)𝑛 Continuacao
O produto de dois números complexos é definido de forma que 
as propriedades comutativa e distributiva usuais sejam 
válidas:
⇒ 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 𝑐 + 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2
⇒ 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Exemplo: −1 + 3𝑖 2 − 5𝑖 = −1 2 − 5𝑖 + 3𝑖 2 − 5𝑖 = −2 +
5𝑖 + 6𝑖 − 15𝑖2 = −2 + 5𝑖 + 6𝑖 + 15 = 13 + 11𝑖
Continuação 
A divisão entre números complexos se parece muito com a 
racionalização do denominador de uma expressão racional. Para 
um número complexo , definimos seu complexo conjugado como 
. Para encontrarmos o quociente de dois números complexos, 
multiplicamos o numerador e o denominador pelo complexo 
conjugado do denominador.
(𝑎+𝑏𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)
=
𝑎+𝑏𝑖 𝑐−𝑑𝑖
𝑐+𝑑𝑖 𝑐−𝑑𝑖
=
𝑎 𝑐−𝑑𝑖 +𝑏𝑖(𝑐−𝑑𝑖)
(𝑐)2−(𝑑𝑖)2
=
𝑎𝑐−𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑𝑖2
𝑐2+𝑑2
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑 + 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖
𝑐2+𝑑2
cos 𝜃 = ෍
𝑛=0
∞
(−1)𝑛𝜃2𝑛
(2𝑛)!
Exemplo: 
−1+3𝑖
2+5𝑖
=
(−1+3𝑖)(2−5𝑖)
(2+5𝑖)(2−5𝑖)
=
−1 2−5𝑖 +3𝑖(2−5𝑖)
22−(5𝑖)2
=
−2+5𝑖+6𝑖−15𝑖2
22+52
⇒
−2 + 15 + 5 + 6 𝑖
4 + 25
=
13 + 11𝑖
29
=
13
29
+
11
29
𝑖
continuação
Propriedades dos numeros complexos
Considerando que: 𝑍1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑒 𝑍2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entao:
Soma: (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
Subtracao: 𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
Multiplicacao: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = (
)
𝑎𝑐
− 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Divisão: 
(𝑎+𝑏𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)
=
𝑎+𝑏𝑖 𝑐−𝑑𝑖
𝑐+𝑑𝑖 𝑐−𝑑𝑖
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑 + 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖
𝑐2+𝑑2
Conjugado de um numero complexo (Reflexão ҧ𝑍): 
se 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 então ҧ𝑍 = 𝑎 − 𝑏𝑖
dizer que : 𝑧 + 𝑤 = ҧ𝑧 + ഥ𝑤
Representacao Geometrica de um numero 
complexo
Visto que 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑣 𝑥, 𝑦 𝑖; onde 𝑎 é a parte real e 𝑏 é a parte 
imaginaria, que também pode ser representado pelo par ordenado 
𝑎, 𝑏 . Desenhando como um ponto no plano de Argand temos:
Onde o eixo na vertical é o eixo 
Imaginário (Im) e o eixo na 
horizontal é o eixo Real (Re).
módulo ou valor absoluto 
Modulo de um número complexo, |𝑍|, é a sua distância do ponto até 
a origem. Conforme ilustrado na Figura a direita:
Como 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 enta 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2
Forma polar 
Sabemos que qualquer número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 pode ser
considerado como um ponto (𝑎, 𝑏 ) e que esse ponto pode ser
representado em coordenadas polares (𝑟, 𝜃) com 𝑟 ≥ 0.
Fórmula de Euler:
𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos 𝜃 =
𝑎
𝑟
; 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑏
𝑟
Continuacao 
𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑏 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖
z = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
r = 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2 e tg(𝜃) =
𝑏
𝑎
O ângulo 𝜃 é chamado argumento de 𝑧 e escrevemos 
𝜃 arg(𝑧). Observe que arg(𝑧) não é único; quaisquer 
dois argumentos de 𝑧 diferem entre si por um 
múltiplo inteiro de 2𝜋. 
Exemplo 1: 𝑍 = 1 + 𝑖; Z = 12 + 12 = 2 = 𝑟 ⇒ 𝑡𝑔𝜃 =
𝑏
𝑎
= 1;⇒
𝜃 = 45° =
𝜋
4
𝑍 = 𝑟 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 2 𝐶𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑆𝑒𝑛
𝜋
4
Exemplo 2: 𝑍 = 3 − 𝑖; 𝑍 = 3
2
+ −1 2 = 3 + 1 = 4 = 2;⇒
𝑡𝑔𝜃 =
−1
3
=
− 3
3
; 𝜃 = −30 = −
𝜋
6
𝜃 = arg(𝑍)
x
Propriedades (Cont.)
𝑍1 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃1 𝑒 𝑍2 = 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃2)
𝑍1.𝑍2 = 𝑟1(cos 𝜃1 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) 𝑟2(cos 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃2 )
𝑍1.𝑍2 = 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃1 + 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃1 + 𝜃2
𝑍1
𝑍2
=
𝑟1
𝑟2
cos 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝜃2 ; com 𝑍2 ≠ 0
1
𝑍
=
1
𝑟
(cos(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(𝜃))
Teorema de De Moivre
Isso nos diz que para obtermos a n-ésima potência de 
um número complexo, elevamos à n-ésima potência o 
módulo e multiplicamos o argumento por n
Se e n for um inteiro positivo, então:
𝑍𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 )
Exemplo: 𝑍2 = 𝑟2(cos 2𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 2𝜃 )
𝑍3 = 𝑟3(cos 3𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜃 )
Exemplo:𝑍10 =
1
2
+
1
2
𝑖
10
⇒ 𝑍 =
1
2
2
+
1
2
2
=
1
4
+
1
4
=
2
4
=
2
2
;
𝑡𝑔 𝜃 =
1
2
1
2
= 1 ⇒ 𝜃 = 45° =
𝜋
4
; 
𝑍10 = 210 cos
10𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
10𝜋
4
=
2
2
10
ቀ
ቁ
cos
5𝜋
2
+
𝑖𝑠𝑒𝑛
5𝜋
2
=
25
210
cos
5𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
5𝜋
2
=
1
32
𝑖
Continuação
Raízes de um Número Complexo
Seja e seja n um inteiro positivo. Então 𝑧
= 𝑟(cos(𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃)) e seja 𝑛 um inteiro positivo. 
Entao tem as 𝑛 raízes 𝑛-ésimas distintas 
𝑊𝑘 = 𝑟
1
𝑛 𝐶𝑜𝑠
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖𝑆𝑒𝑛
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
Onde 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1.
NB: |𝑊𝑘| = 𝑟
1
𝑛
continuacao
Exemplo: Encontre as seis raízes sextas de 𝑧 = −8 e 
represente-as no plano complexo.
𝑧 = 8(cos(𝜋) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜋))
𝑤𝑘 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
𝜋+2𝑘𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋+2𝑘𝜋
6
; fazendo 
𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5obtemos as seis raízes
𝑊0 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
= 2
3
2
+
1
2
𝑖
𝑊1 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 2𝑖
𝑊2 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
5𝜋
6
= 2 −
3
2
+
1
2
𝑖
𝑊3 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
7𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
6
= 2 −
3
2
−
1
2
𝑖
Continuacao
𝑊4 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
= − 2𝑖
𝑊5 = 8
1
6 𝑐𝑜𝑠
11𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
11𝜋
6
= 2
3
2
−
1
2
𝑖
Todos esses pontos estão sobre a 
circunferência de raio , como mostrado 
na Fig. A esquerda 
Continuação 
Def.1: Consideremos uma função 𝑓 ∶ 𝐷 → ℂ definida em 
𝐷 ⊂ ℂ. Seja𝑧0 ∈ ℂ tal que f está definida numa certa 
vizinhança de 𝑍0 (não necessariamente no ponto 𝑧0). 
Definição: Diz-se que 𝑓 tem limite 𝐿 no ponto Z = 𝑍0 (ou 
que o número complexo 𝐿 é o limite de f quando Z se 
aproxima do ponto 𝑍0), e denota-se por:
lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 = 𝐿
se para qualquer 𝛿 > 0 existe 𝜀 > 0 tal que |𝑓(𝑧) − 𝐿| <
𝛿 sempre que 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝜀. Se existe o limite de f no 
ponto 𝑧0 então este limite é único.
Limites e continuidade
1. lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 ± 𝑔 𝑧 = lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 ± lim
𝑧→𝑧0
𝑔 𝑧 ;
2. lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 . 𝑔 𝑧 = lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 . lim
𝑧→𝑧0
𝑔 𝑧 ;
3. lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 /𝑔 𝑧 = lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 / lim
𝑧→𝑧0
𝑔 𝑧 ; desde 
que lim
𝑧→𝑧0
𝑔 𝑧 ≠ 0.
Propriedades operacionais dos limites
Continuação 
Sejam 𝑓 ∶ 𝐷 → ℂ uma função complexa de variável complexa 
e 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑦0𝑖 tal que f está definida numa certa vizinhança 
de 𝑧0. Sendo 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑒 𝑣(𝑥, 𝑦) as partes real e imaginária de f 
demonstra-se (exercício seguinte) que, para 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ,
lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 , 𝑦0)
𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 , 𝑦0)
𝑣 𝑥, 𝑦
onde os dois últimos limites são de funções reais de duas 
variáveis reais. 
Definição 2 Sejam 𝑓 ∶ 𝐷 → ℂ uma função complexa de 
variável complexa e 𝑧0 ∈ 𝐷 tal que 𝑓 está definida numa certa 
vizinhança de 𝑧0. A função 𝑓 diz-se contínua em 𝑧0 se
lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧0
Continuacao
Além disso, podemos ainda concluir que 𝑓 é contínua em 𝑧0
= 𝑥0 +𝑦0𝑖 se e só se as funções reais de variáveis reais 
𝑢 𝑒 𝑣 são contínuas em (𝑥0 , 𝑦0) . Deste modo, o estudo da 
continuidade de funções complexas reduz-se ao estudo da 
continuidade de funções reais de variáveis reais.
Exemplos: Seja 𝑓 ∶ 𝐷 → 𝐶 uma função complexa de 
variável complexa, 𝑓(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦)
Continuacao
lim
𝑧→−1+2𝑖
(3𝑥𝑦 + 𝑖 𝑥 − 𝑦2 )
lim
(𝑥,𝑦)→(−1,2)
3𝑥𝑦 + 𝑖 lim
(𝑥,𝑦)→(−1,2)
(𝑥 − 𝑦2)
lim
(𝑥,𝑦)→(−1,2)
3 −1 2 + 𝑖 lim
(𝑥,𝑦)→(−1,2)
( −1 − 22)
lim
(𝑥,𝑦)→(−1,2)
−6 − 5𝑖
Exemplo 2:
lim
𝑧→1+𝑖
𝑍2 − 5
𝑖𝑍
= lim
𝑧→1+𝑖
(1 + 𝑖)2−5
𝑖(1 + 𝑖)
= lim
𝑧→1+𝑖
1 + 2𝑖 + 𝑖2 − 5
𝑖 + 𝑖2
= lim
𝑧→1+𝑖
1 + 2𝑖 − 1 − 5
𝑖 − 1
lim
𝑧→1+𝑖
−5 + 2𝑖
−1 + 𝑖
= lim
𝑧→1+𝑖
(−5 + 2𝑖)(−1 − 𝑖)
(−1 + 𝑖)(−1 − 𝑖)
=
7
2
+
3
2
𝑖
NB: vale dizer que a regra de L’hospital é valida. 
lim
𝑧→𝑖
𝑍(𝑍2 + 1)
𝑍 − 𝑖
= lim
𝑧→𝑖
𝑖(𝑖2 + 1)
𝑖 − 𝑖
=
0
0
lim
𝑧→𝑖
𝑍(𝑍2 + 1)(𝑍 + 𝑖)
(𝑍 − 𝑖)(𝑍 + 𝑖)
= lim
𝑧→𝑖
𝑍(𝑍2 + 1)(𝑍 + 𝑖)
𝑍2 − 𝑖2
= lim
𝑧→𝑖
𝑍(𝑍2 + 1)(𝑍 + 𝑖)
𝑍2 + 1
= lim
𝑧→𝑖
𝑍(𝑍 + 𝑖)
lim
𝑧→𝑖
𝑖(𝑖 + 𝑖) = lim
𝑧→𝑖
𝑖2 + 𝑖2 = −2
Exemplo 3.
Derivação e analiticidade
Seja 𝑓 uma função complexa de variável complexa definida num 
conjunto aberto 𝐷 e seja 𝑧0 ∈ 𝐷. Define-se a derivada de 𝑓 𝑒𝑚 𝑧0, 
e denota-se por 𝑓′(𝑧0)(𝑜𝑢 𝑑𝑓 /𝑑𝑧 𝑜𝑢 𝑑𝑤/𝑑𝑧) como sendo o limite:
𝑓′ 𝑧0 = lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0
𝑧 − 𝑧0
(caso exista). Se 𝑓 tem derivada em 𝑧0 (se este limite existe) 
então 𝑓 diz-se diferenciável em 𝑧0 .Escrevendo ∆𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 ,a 
definição é equivalente à expressão
𝑓′ 𝑧0 = lim
∆𝑧→0
𝑓(𝑧0 + ∆𝑧) − 𝑓 𝑧0
∆𝑧
Exemplos: 
Seja 𝑓(𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦𝑖 de domínio ℂ. Vejamos que 𝑓 não é 
diferenciável em nenhum ponto 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. Calculemos o limite 
respetivo, considerando ∆𝑧 = ∆𝑥 + 𝑖∆𝑦, onde ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 e 
∆𝑦 = 𝑦 − 𝑥0:
𝑓′ 𝑧0 = lim
∆𝑧→0
2 𝑥0 + ∆𝑥 + 3 𝑦0 + ∆𝑦 𝑖 − 2𝑥0 + 3𝑦0𝑖
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
𝑓′ 𝑧0 = lim
∆𝑧→0
2∆𝑥 + 3𝑖∆𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
Suponhamos que ∆𝑧 → 0 ao longo de uma recta horizontal 
(caminho I). Então ∆𝑦 = 0 e o valor do limite (direcional) é
Continuação 
lim
∆𝑧→0
2∆𝑥 + 3𝑖∆𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
= lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥
= 2
Por outro lado, se escolhermos outra direção, por 
exemplo que ∆𝑧 → 0 ao longo de uma recta vertical 
(caminho II), temos ∆𝑥 = 0 e o valor do limite 
(direcional) é
lim
∆𝑧→0
2∆𝑥 + 3𝑖∆𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑖∆𝑥
𝑖∆𝑥
= 3
A obtenção de dois limites direccionais diferentes 
permite concluir que não existe o limite pretendido
Continuacao
Fig .: ilustração geométrica do exemplo anterior 
Propriedades 
1. Soma e Diferencao 𝑎𝑓 𝑧 ± 𝑏𝑔 𝑧 ′ = 𝑎𝑓′ 𝑧 ± 𝑏𝑔′ 𝑧
2. P𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜: 𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑓 𝑧 𝑔′ 𝑧
3. Q𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑓 𝑧
𝑔 𝑧
′
=
𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
𝑔2(𝑧)
; 𝑐𝑜𝑚 𝑔 𝑧 ≠ 0
4. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑎𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙: 𝑓𝑛(𝑧) ′
= 𝑛𝑓𝑛−1 𝑧 𝑓′ 𝑧 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑛 𝜖 𝐼𝑁
5. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑔𝑜𝑓 ′= 𝑔′(𝑓 𝑧 )𝑓′(𝑧)
Exemplos 
Exemplo 1. 𝑓 𝑧 = 2𝑧4 − 𝑧3 + 10𝑖𝑧
𝑓′ 𝑧 = 2.4𝑧3 − 3. 𝑧2 + 10𝑖 = 8𝑧3 − 3𝑧2 + 10𝑖, ∀𝑧 ∈ ℂ
Exemplo 2. g z = (2𝑧 + 3)4
𝑔′ 𝑧 = 4(2𝑧 + 3)3(2𝑧 + 3)′= 4.2(2𝑧 + 3)3= 8(2𝑧 + 3)3, ∀𝑧 ∈ ℂ
Exemplo 3. ℎ 𝑧 =
1+ 2−𝑖 𝑧
2𝑧+9
ℎ′(𝑧) =
1 + 2𝑧 − 𝑖𝑧 ′ 2𝑧 + 9 − (1 + 2𝑧 − 𝑖𝑧)(2𝑧 + 9)′
(2𝑧 + 9)2
ℎ′ 𝑧 =
2 − 𝑖 2𝑧 + 9 − 2 1 + 2𝑧 − 𝑖𝑧
2𝑧 + 9 2
=
4𝑧 + 18 − 2𝑖𝑧 − 9𝑖 − 2 − 4𝑧 + 2𝑖𝑧
2𝑧 + 9 2
ℎ′ 𝑧 =
16 − 9𝑖
2𝑧 + 9 2
, ∀𝑧 ∈ ℂ
Equações de Cauchy-Riemann
Teorema 1. Cauchy-Riemann Seja 𝑓 ∶ 𝐷 → 𝐶 uma função 
complexa de variável complexa definida por 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦)
+ 𝑣(𝑥, 𝑦)𝑖 num conjunto aberto 𝐷 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 𝑒 ∈ 𝐷. A 
derivada 𝑓′ 𝑧0 existe (ou seja, 𝑓 é diferenciável em 𝑧0) se e 
só se as funções 𝑢 e 𝑣 são contínuas e têm derivadas de 1𝑎
ordem contínuas numa vizinhança de (𝑥0, 𝑦0) e, no ponto 
(𝑥0, 𝑦0) , satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) 𝑒
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)
Exemplo 1. Consideremos a função 𝑓(𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦𝑖. 
Vimos no exemplo anterior, que 𝑓 não é diferenciável em 
nenhum ponto do seu domínio ℂ. De facto, as equações de 
Cauchy-Riemann não são válidas em nenhum ponto (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = 2 e
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = 3, 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑜
𝜕𝑢
𝜕𝑥
≠
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = 0 𝑒
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑜
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 0
Exemplos 
Ex: Consideremos a função 𝑓 𝑧 =
ҧ𝑧
|𝑧|2
definida no 
conjunto aberto 𝐷 = 𝐶 {0}. Temos
𝑓 𝑧 =
𝑥 − 𝑦𝑖
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
−
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) =
𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = −
2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
.
Continuação 
Portanto, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas 
em 𝐶 {0}. Pelo teorema de Cauchy-Riemann,𝑓 é analítica 
em C\ {0}.
Equação de Cauchy-Riemann escrita em coordenadas 
polares 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟 s𝑒n 𝜃
Como tal, num ponto 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑦0𝑖 = 𝑟0 cos 𝜃 + 𝑖𝑟0s𝑒 n 𝜃
= 𝑟0𝑐𝑖𝑠𝜃0, temos: 
Continuacao 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) cos 𝜃0 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) sen 𝜃0
𝜕𝑣
𝜕𝜃
(𝑟0, 𝜃) =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(−𝑟0 s𝑒𝑛 𝜃0) +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)𝑟0 cos 𝜃0
Atendendo às equações de Cauchy-Riemann em 
coordenadas
𝜕𝑢
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) cos 𝜃0 −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) sen 𝜃0
Continuacao 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) =
1
𝑟0
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)𝑟0 cos 𝜃0 −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)𝑟0 sen 𝜃0
𝜕𝑢
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) =
1
𝑟0
𝜕𝑣
𝜕𝜃
(𝑟0, 𝜃0)
De modo análogo, temos:
𝜕𝑢
𝜕𝜃
(𝑟0, 𝜃) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(−𝑟0 s𝑒𝑛 𝜃0) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)𝑟0 cos 𝜃0
𝜕𝑣
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) cos 𝜃0 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) sen 𝜃0
Continuação 
Continuação 
donde, atendendo novamente às equações de Cauchy-
Riemann em coordenadas retangulares,
𝜕𝑣
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) cos 𝜃0 +
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) sen 𝜃0
= −
1
𝑟0
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)(−𝑟0) cos 𝜃0 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(−𝑟0) sen 𝜃0
𝜕𝑣
𝜕𝑟
(𝑟0, 𝜃) = −
1
𝑟0
𝜕𝑢
𝜕𝜃
(𝑟0, 𝜃0).
Funções elementares
A função exponencial
Definição: Para qualquer 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∈ 𝐶, define-se a 
função exponencial de 𝑧 por:
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑒𝑥𝑒𝑦𝑖 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑦 ;
que pode também ser denotada por exp 𝑧. 
Nota: Quando tomamos 𝑧 como número real, 𝑧 = 𝑥
+ 0𝑖, a definição de 𝑒𝑧 coincide com a definição já 
conhecida em ℝ:
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥 +0𝑖 = 𝑒𝑥𝑒0𝑖 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑒𝑛0 = 𝑒𝑥 1 + 0𝑖 = 𝑒𝑥
Deste modo, a função exponencial de variável complexa 
é um prolongamento da função exponencial de variável 
real
Propriedades da exponencial
Sejam 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ. São válidas as seguintes propriedades:
1. 𝑒𝑧+𝑤 = 𝑒𝑧. 𝑒𝑤 ;
2. 𝑒𝑧 nunca se anula;
3. 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥;
4. 𝑒𝑧 é uma função periódica, com período 2𝜋𝑖
5. 𝑒𝑧 = 1 ⇒ 𝑧 = 2𝑛𝜋𝑖, para algum 𝑛 ∈ ℤ;
6. (𝑒𝑧)𝑛 = 𝑒𝑛𝑧 com 𝑛 ∈ ℤ
A função exponencial
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑦 ;
é analítica em ℂ e a sua derivada é
𝑓′ 𝑧 = 𝑒𝑧
(𝑒𝑧)′= 𝑒𝑧
Exemplo: Escreva na forma algébrica os números 
complexos 𝑒3+𝑖 , 𝑒−
𝜋
4
𝑖 , 𝑒2±3𝜋𝑖
Relembramos que: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑟𝑒𝜃𝑖
Onde 𝑟 = 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑒 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
Então temos: 𝑒3+𝑖 = 𝑒3. 𝑒𝑖 = 𝑒3 𝑐𝑜𝑠1 + 𝑖𝑠𝑒𝑛1 ;
Continuação 
Continuacao
𝑒−
𝜋
4𝑖 = 𝑒0 cos −
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛 −
𝜋
4
= −
2
2
−
2
2
𝑖
𝑒2±3𝜋𝑖 = 𝑒2 cos ±3𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ±3𝜋 = 𝑒2 −1 + 0𝑖
= −𝑒2 + 0i = −𝑒2
Integração no plano complexo
O estudo da integração no plano complexo é importante 
por duas razões essenciais. Por um lado, podem ocorrer 
integrais de variável real cujo cálculo não é imediato 
pelos métodos usuais de integração real mas que a 
integração complexa permite resolver facilmenteIntegrais curvilíneos
Os integrais curvilíneos, integrais de uma função 𝑓(𝑧) ao 
longo de uma certa curva no plano complexo, são 
definidos de forma análoga à usada para definir integrais 
curvilíneos no plano bidimensional ℝ2.
Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, com 𝑎 ≤ 𝑏. Uma curva em C é o 
contradomínio de uma função contínua 𝛾 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝐶. A 
função 𝛾 é designada por parametrização da curva (de 
parâmetro real 𝑡) e
𝛾(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
Continuacao
Podemos pensar numa curva como a trajetória de um 
ponto material (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) ∈ 𝐶, em 
cada instante 𝑡, com t a variar num intervalo de tempo 
[a, b].
Dada uma curva parametrizada 𝑝𝑜𝑟 𝛾(𝑡) = 𝑥(𝑡)
+ 𝑦(𝑡)𝑖, 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑒 𝑡0 ∈ [𝑎, 𝑏], o vetor 
𝛾′(𝑡0) = 𝑥
′(𝑡0) = + 𝑖𝑦
′(𝑡0)
designa-se por vector tangente à curva no ponto 𝑡 = 𝑡0
2
. 
Continuação 
Def. 2: Uma curva 𝛾 diz-se suave (ou regular) quando 
as funções 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) têm derivadas contínuas no 
intervalo [a, b] e o vetor 𝛾0 (𝑡) = 𝑥0 (𝑡)𝑥 + 𝑖𝛾0 (𝑡) não se 
anula em [a, b].
Exemplo: A função 𝛾(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) tal que
ቊ
𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑡2
t ∈ ℝ
Continuação 
define a parábola dada, em coordenadas retangulares, 
pela equação 𝑦 = 𝑥2. Consideremos a função 𝛾
∶ [−1, 2] → 𝐶 definida por 𝛾(𝑡) = 𝑡 + 𝑡2 .
Dado que 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) são funções contínuas com 
derivadas contínuas no intervalo [−1, 2],𝛾 é uma curva 
suave que corresponde ao arco da parábola
𝑦 = 𝑥2 compreendido entre os pontos 𝑧1 = 𝛾 −1
= −1 + 𝑖 e 𝑧2 = 𝛾 2 = 2 + 4𝑖 . Note-se que 𝛾
′ 𝑡 = 1
+ 2𝑡𝑖 ≠ 0 para −1 ≤ 𝑡 ≤ 2. Geometricamente,
Continuação 
Definição 2: Seja ℎ ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝐶 uma função complexa 
de variável real definida por ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡), para 
funções 𝑢 e 𝑣 contínuas em [a, b]. Define-se o integral 
curvilíneo da função h no intervalo [a, b] como sendo 
o número complexo
Continuação 
න
𝑎
𝑏
ℎ 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑢 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑖 න
𝑎
𝑏
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
onde os integrais de 𝑢 e 𝑣 são integrais usuais de 
funções reais de uma variável real
Exemplo: Pretendemos determinar o integral curvilíneo 
da função ℎ 𝑡 = 𝑡2 + 1 + 𝑡3𝑖 no intervalo [0, 1]. Dado 
𝑢 𝑡 = 𝑡2 + 1 e 𝑣 = 𝑡3𝑖 são as partes real e imaginária 
de h, respetivamente, temos
Continuação
න
0
1
𝑡2 + 1 + 𝑡3𝑖 𝑑𝑡 = න
0
1
𝑡2 + 1 𝑑𝑡 + 𝑖 න
0
1
𝑡3 𝑑𝑡 =
4
3
+
1
4
𝑖
Definição 15: Sejam f uma função contínua definida num 
aberto 𝐴 ⊆ 𝐶 𝑒 𝛾 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℂ uma curva 
seccionalmente suave tal que 𝛾 ([𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝐴. Define-se o 
integral curvilíneo (ou simplesmente integral) ao longo 
de 𝛾, que se denota por ׬𝛾 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 (ou simplesmente por 
𝛾׬ 𝑓) como sendo o número complexo
Continuação 
න
𝛾
𝑓 𝑧 𝑑𝑧 =෍
𝑗=1
𝑛
න
𝑎𝑗−1
𝑎𝑗
𝑓(𝛾𝑗(𝑦)). 𝛾𝑗
′(𝑡)𝑑𝑡
A função f é designada por função integranda. 
Quando a curva é fechada é usual a notação ׯ𝛾 𝑓.
	Diapositivo 1: ANALISE COMPLEXA (NUMEROS COMPLEXOS)
	Diapositivo 2: Funções complexas de variável complexas(N0COES BASICAS)
	Diapositivo 3: Continuacao
	Diapositivo 4: Continuacao
	Diapositivo 5: Continuação 
	Diapositivo 6: Exemplo: numerador , menos 1 mais 3 i. fim de numerador , sobre denominador , 2 mais 5 i. fim de denominador , é igual a numerador , abre parêntese menos 1 mais 3 i. fecha parêntese abre parêntese 2 menos 5 i. fecha parêntese fim de numerad
	Diapositivo 7: Propriedades dos numeros complexos
	Diapositivo 8: Representacao Geometrica de um numero complexo
	Diapositivo 9: módulo ou valor absoluto 
	Diapositivo 10: Forma polar 
	Diapositivo 11: Continuacao 
	Diapositivo 12
	Diapositivo 13
	Diapositivo 14: Teorema de De Moivre Isso nos diz que para obtermos a n-ésima potência de um número complexo, elevamos à n-ésima potência o módulo e multiplicamos o argumento por n Se e n for um inteiro positivo, então: maiúscula Z elevado a n é igual a
	Diapositivo 15: Continuação 
	Diapositivo 16: Raízes de um Número Complexo
	Diapositivo 17: continuacao
	Diapositivo 18: maiúscula W inferior à linha 0 é igual a 8 elevado a , 1 sexto fim de superior à linha , abre parêntese c o s , pi sobre 6 mais i. s e n , pi sobre 6 , fecha parêntese é igual a raiz quadrada de 2 , abre parêntese raiz quadrada de 3 sobre 
	Diapositivo 19: Continuação 
	Diapositivo 20: Limites e continuidade
	Diapositivo 21: Propriedades operacionais dos limites
	Diapositivo 22: Continuação 
	Diapositivo 23: Continuacao 
	Diapositivo 24: Continuacao 
	Diapositivo 25: Exemplo 2:
	Diapositivo 26: Exemplo 3.
	Diapositivo 27: Derivação e analiticidade
	Diapositivo 28: Exemplos: 
	Diapositivo 29: Continuação limite como incremento z até a 0 de , numerador , 2 incremento x mais 3 i. incremento y fim de numerador , sobre denominador , incremento x mais i. incremento y fim de denominador , , é igual a limite como incremento x até a 0
	Diapositivo 30: Continuacao 
	Diapositivo 31: Propriedades 
	Diapositivo 32: Exemplos 
	Diapositivo 33: Equações de Cauchy-Riemann
	Diapositivo 34: Exemplos 
	Diapositivo 35: Continuação 
	Diapositivo 36: Continuacao 
	Diapositivo 37: Continuacao 
	Diapositivo 38: Continuação 
	Diapositivo 39: Continuação 
	Diapositivo 40: Funções elementares
	Diapositivo 41: Propriedades da exponencial
	Diapositivo 42: Continuação 
	Diapositivo 43: Continuacao 
	Diapositivo 44: Integração no plano complexo
	Diapositivo 45: Integrais curvilíneos
	Diapositivo 46: Continuacao 
	Diapositivo 47: Continuação 
	Diapositivo 48: Continuação 
	Diapositivo 49: Continuação 
	Diapositivo 50: Continuação 
	Diapositivo 51: Continuação 
	Diapositivo 52: Continuação