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Profa. Ana Carolina Bueno
UNIDADE I
Análise Matemática
Nesta unidade veremos:
 Lógica;
 Princípios de indução matemática;
 Teoria dos conjuntos;
 Conjuntos finitos e infinitos, enumeráveis 
e não enumeráveis.
Introdução
 Um teorema é um resultado matemático de grande importância e é um resultado 
que pode ser provado.
 Um lema pode ser encarado como um pré-teorema.
 Um corolário é uma consequência de um teorema ou de uma definição.
Conceitos
 Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa, 
geralmente, é facilmente provada.
Exemplos
 6 ≥ 2 (seis é maior ou igual a dois) – é uma proposição verdadeira;
 5 < 3 (cinco é menor que três) – é uma proposição falsa;
 -3 ∈ Z? – não é uma proposição;
 2x + 6 = 12 – proposição aberta quantificadora.
Conceitos
 Por meio de proposições abertas, podemos fazer afirmações sobre todos os 
elementos de um conjunto usando o quantificador universal ∀, que é lido como 
“para todo” ou ”qualquer que seja”. 
 Também é possível fazer afirmações sobre a existência de um elemento de um 
conjunto usando o quantificador existencial ∃, que é lido como “existe”. Uma 
proposição será universal se fizer referência a todos os objetos de um conjunto. 
Caso contrário, é dita particular.
Conceitos
Exemplos considerando o conjunto dos números naturais (N):
 “Todos os números naturais são pares.” Essa é uma proposição universal.
 “O número 5 é ímpar.” Trata-se de uma proposição particular.
 “n < n + 1” ∀n ∈ N é uma proposição universal.
 “∃n ∈ N; n2 = n” é uma proposição particular.
Exemplos
 A partir de uma proposição p, construir sua negação ~p. 
Exemplos:
 sentença: “p: 5 > 2”; negação: “~p: 5 ≤ 3”;
 sentença: “p: 11 é divisível por 2”;
 negação: temos “~p: 11 não é divisível por 2”.
Proposição de valor oposto a p
Se p e q são proposições, então são válidas as seguintes regras de negação:
 ~(p∧q) = ~p∨~q, isto é, a negação da proposição (p e q) é a proposição (~p ou ~q);
 ~(p∨q) = ~p∧~q, isto é, a negação da proposição ~(p ou q) é a proposição (~p e ~q).
Exemplos:
 a negação da proposição “x é divisível por 2 e por 5” é “x não é divisível por 2 ou x 
não é divisível por 5”;
 a negação da proposição “x é divisível por 2 ou por 5” é “x 
não é divisível por 2 e x não é divisível por 5”. Nesse caso, 
x não pode ser divisível por 10.
Proposições usando os conectivos  (conjunção) e  (disjunção)
 Símbolo condicional.
Exemplos:
 Atenção: o condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; 
caso contrário, p → q é verdadeiro.
Proposições usando os conectivos → (se... então...) 
 Também é um símbolo condicional.
Exemplos:
 Atenção: o condicional p ↔ q é verdadeiro somente quando p e q são ambas 
verdadeiras ou ambas falsas; caso contrário, p ↔ q é falso.
Proposições usando os conectivos ↔ (...se e somente se...)
 1º Note que p implica q quando o condicional p → q é verdadeiro.
 2º Todo teorema é uma implicação da forma: hipótese ⇒ tese.
 Deste modo, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre o caso da 
hipótese ser verdadeira e a tese ser falsa.
Exemplo:
 2|6 ⇒ 2|6*3 significa dizer que “se 2 é divisor de 6, então, 2 é divisor de 
6*3” é verdadeiro.
Implicação: ⇒ (p implica q)
 1º Note que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro.
 2º Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência da 
forma: hipótese ⇔ tese.
Exemplo:
 2|6 ⇔ mdc (2, 6) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bicondicional “2 é divisor 6, 
se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 6 é 2”.
Equivalência: ⇔ (p equivale a q)
Leia as afirmações abaixo:
I. O número 17 é primo: é uma proposição verdadeira.
II. O Sol é um planeta?: é uma proposição aberta quantificadora.
III. 3 + 5 = 35: é uma proposição verdadeira. 
IV. 5x² – 7 = 2: não é uma proposição.
V. 4 + 4 = 9: é uma proposição falsa.
Interatividade
As afirmações incorretas são:
a) I, III e V.
b) I, II, III e V.
c) II, III e IV.
d) II, IV e V.
e) I, II, III, IV e V.
Interatividade
 Alternativa C: As afirmações incorretas são II, III e IV
Leia as afirmações abaixo:
I. O número 17 é primo: é uma proposição verdadeira.
II. O Sol é um planeta?: é uma proposição aberta quantificadora.
III. 3 + 5 = 35: é uma proposição verdadeira. 
IV. 5x² – 7 = 2: não é uma proposição.
V. 4 + 4 = 9: é uma proposição falsa.
Resposta
 Um axioma é uma proposição ou sentença que é tida como verdade e não pode 
ser demonstrada.
 Podemos provar teoremas por diversas técnicas diferentes: demonstração direta, 
demonstração por redução ao absurdo e demonstração por indução.
Conceituando expressões
 Vamos mostrar que o quadrado de um número par também é par.
 Hipótese: n é par (com n ∈ Z).
 Tese: n² também é par.
 Seja K um número inteiro, logo, 2k é par.
 Tomemos n = 2k, vamos elevar ambos os lados ao quadrado.
 Temos:
 2k² ∈ Z O dobro de um número inteiro (2*2k²) também é 
um número par.
 Conforme queríamos demonstrar! (C.Q.D.)
Técnica da demonstração direta
 Indução vulgar.
 Ocorre quando faz a generalização de propriedades após a verificação de que a 
propriedade é válida em alguns casos particulares.
 “∀n ∈ N . (2n + 1)² é ímpar.” Temos duas verificações:
 Para n = 2, temos (2n + 1)² = (2*2 + 1)² = 5² = 25 é verdadeira.
 Para n = 3, temos (2n + 1)² = (2*3 + 1)² = 7² = 49 é verdadeira.
 Será que realmente podemos afirmar que essa proposição é verdadeira para 
qualquer valor de n? Se você concluiu que sim apenas com 
as duas verificações, você realizou indução vulgar!
Princípios de indução matemática
 Considere a relação 
 Fermat acreditou que a expressão sempre resultaria em números primos – fez 
uma indução vulgar.
 Mas Euler mostrou que, para n = 5, a expressão resulta em 4294967297 = 641× 6 
700 417, que NÃO É um número primo (divisível por 641).
Indução vulgar – exemplo 
Fonte: livro-texto (adaptado)
n P(n) = 22
n 
+ 1 Resultado Observação
0 P(0) = 2
20 + 1 = 20 + 1 = 2 y = 2 É um número primo!
1 P(1) = 2
21 + 1 = 22 + 1 = 5 y = 5 É um número primo!
2 P(2) = 2
22 + 1 = 24 + 1 = 17 y = 17 É um número primo!
3 P(3) = 2
23 + 1 = 28 + 1 = 257 y = 17 É um número primo!
4 P(4) = 2
24 + 1 = 216 + 1 = 68.357 y = 65.357 É um número primo!
 É uma ferramenta poderosa para estabelecer a validade de alguma afirmação 
relacionada e associada aos números naturais.
 Definição: seja P(n) uma proposição aberta no universo dos números naturais.
Condições:
 C1: P(n0) é verdadeira (ou seja, vale a propriedade para n0). 
 C2: é verdadeira a implicação P(n) → P(n + 1) 
para todo n ≥ n0. 
 Então, podemos afirmar que a propriedade P(n) é 
verdadeira para todo n ≥ n0.
O princípio de indução finita (PIF) ou indução matemática (PIM) 
 Vamos verificar se o quadrado de um número ímpar também é um número ímpar; 
isto é, que ∀n ∈ N, (2n + 1)² é ímpar.
Condição C1
 Vamos ver se P(0) é verdadeira. Fazendo n0 = 0, temos: 
 (2n + 1)² = (2 * 0 + 1)2 = 12 = 1. 
 É ímpar? (V)
 Como o resultado é um número primo, a proposição (i) mostrou-se verdadeira 
para algum n0.
Exemplo
Condição C2
 Vamos supor que P(k) é verdadeira, isto é, que o resultado de P(k) = (2K + 1)² é 
um número primo.
 Supomos que P(k) = (2k +1)² = (2k)² + 2 * 2k +1 = 4k² + 4k +1 é um número ímpar.
Continuando o exemplo
 Verificando P(k + 1)
 P(k + 1) = (2(k + 1) + 1)² = (2k + 2 + 1)² = (2k + 3)² = 4k² + 12k + 9
 P(k + 1) = 4k² + 12k + 9 = 4k² + 4k + 8k + 8 +1
 P(k + 1) = (4k² + 4k + 1) + (8k + 8)
 P(k + 1) = P(k) + (8k + 8)
Ainda continuando com o exemplo
 Sabemos que o dobro de um número natural é um número par e que oito também 
é um número par, logo, 8k + 8 é um número par.
 Por hipótese (4k² + 4k + 1) é ímpar. 
 Sabemos que o resultado da soma de um número natural par com um número 
natural ímpar resulta em um número ímpar, isto é:
 P(k + 1) = P(k) + 8k + 8 é ímpar! (V)
Concluindo: (i) verdadeiro.
 (ii) verdadeiro.
 São simultaneamente verdadeiros (i) e (ii)!
 Logo, a proposição (2n + 1)² é ímpar.
Conclusão do exemplo
Então:
1. Base de indução: verificar se a propriedade é válida para P(1).
2. Hipótese de indução: supor que a propriedade é válida para P(k).
3. Passo de indução: provar que a propriedade é válida para P(k + 1).
 Exemplo: provar que as proposições dadas são verdadeiras para todo inteiro 
positivo n.
Indução matemática
São dadas as afirmações abaixo:
I. O Método de Indução Matemática é um método de demonstração, 
frequentemente utilizado para provar que certas propriedades são verdadeiras 
para todos os números naturais.
II. Usa-se a indução vulgar para verificar a propriedade que qualquer número 
natural par maior do que 2 pode ser escrito como soma de dois números primos. 
III. Usa-se o princípio da indução finita para verificar a 
propriedade que n² > n+ 1 para n  2.
Interatividade
Assinale a alternativa com a(s) afirmação(ões) correta(s).
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
Interatividade
 Alternativa correta: D) I e III.
São dadas as afirmações abaixo:
I. O Método de Indução Matemática é um método de demonstração, 
frequentemente utilizado para provar que certas propriedades são verdadeiras 
para todos os números naturais.
II. Usa-se a indução vulgar para verificar a propriedade que qualquer número 
natural par maior do que 2 pode ser escrito como soma de dois números primos. 
III. Usa-se o princípio da indução finita para verificar a 
propriedade que n² > n+ 1 para n  2.
Resposta
 Use a indução matemática para provar que a proposição 2 + 6 + 10 + ... + 
(4n – 2) = 2n2 é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
1. Base de indução: n = 1
 P(1) = 4.1 – 2 = 2.12
 2 = 2
2. Passo de indução
 P (k) = 2 + 6 + 10 +... + (4k – 2) = 2k2
Outro exemplo de indução matemática
3. Passo de indução
P (k + 1) = 2 + 6 + 10 +... + (4(k + 1) – 2) = 2(k + 1)2
 Reescrevendo usando o termo P(k)
 P (k + 1) = 2 + 6 + 10 +... + (4k – 2) + (4(k + 1) – 2) = 2(k + 1)2
Continuação do exemplo 
 Então, a proposição é verdadeira.
Continuação do exemplo
Conjuntos: compreendemos como conjunto qualquer coleção de objetos concretos 
ou abstratos, sem repetição. Dado um conjunto, cada objeto pertencente a um 
conjunto será chamado de elemento. Exemplos:
 3 ∈ Z (três pertence ao conjunto dos números inteiros).
 ½ ∉ Z (meio não pertence ao conjunto dos números inteiros).
Obs.: nos nossos estudos utilizaremos os conjuntos numéricos.
Teoria dos conjuntos
Por enumeração:
— B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Por um predicado:
— {n  N: 2n + 1 >10}
 Conjuntos finitos e com “poucos” elementos podem ser representados por 
meio de diagramas.
Representações de conjunto
 Seja A um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado de 
conjunto potência de A ou conjunto das partes de A (P(A)).
Exemplo:
Sejam A = {a, b} e B = {1, 2, 3}, então:
 P(A) = {Ø, {a},{b},{a, b}}
 P(B)= {Ø, {1},{2},{3},{1, 2},{2, 3},{1, 3},{1, 2, 3}}
Conjunto potência
Conjuntos numéricos
Fonte: http://www.centralexatas.com.br/matematica/conjuntos-numericos/formulas
-1
4i
2-3i
Irracionais
-2
-3
1
0
2
-3 + 5i
 P = {3x | x ∈ Z}, onde se lê: P é o conjunto dos elementos 3x, tal que x pertence 
a Z.
 A = {x ∈R| x > 6}, onde se lê: A é o conjunto dos elementos x pertencentes aos 
números reais, tal que x é maior que 6.
Representação de conjuntos por uma característica comum
 Igualdade entre dois conjuntos A e B ocorre quando todo elemento de A pertence 
a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A.
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
 Um conjunto A é um subconjunto de B (está contido em) se, e somente se, todo 
elemento x pertencente a A também pertence a B. Simbolicamente, temos:
 A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
 A notação A⊂B significa “A está contido em B” ou “A é um subconjunto de B”. A 
leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”.
 Se o conjunto A não está contido em B, usaremos 
a notação A⊄B.
Mais representações
Exemplos:
Se P = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....}, isto é, P é o conjunto dos números ímpares. 
Sejam:
 Q = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 21,...}, então, Q ⊂ P.
 R = {7, 9, 11, 12, 15, 17, 21}, então, R ⊄ P.
 S = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 21}, então, S ⊂ P.
Exemplos
Conjunto formado por elementos que pertencem simultaneamente a um conjunto A e 
a um conjunto B:
 A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de interseção de A e B.
Conjunto formado por elementos que pertencem a um conjunto 
A ou a um conjunto B:
 A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de união de A e B.
Intersecção e união
 Considere o conjunto A = {-1, 1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
 A ∩ B = {1, 2, 3, 4}. Observe que esse conjunto é formado pelos elementos 
comuns aos dois conjuntos.
 A ∪ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Observe que esse conjunto é formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Exemplo
É o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Simbolicamente, podemos 
representar a diferença de A por B da seguinte forma:
 A – B ={x∈U | x∈A e x∉B}
Diferença entre A e B
A B
A - B A ∩ B
Fonte: autoria própria
 Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se 
complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
Observe o exemplo a seguir:
Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2}. Temos o complementar:
Complementar de B em A
Temos os seguintes conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Assinale a afirmação incorreta.
a) 3  A.
b) 7  C.
c) A  B.
d) B  C.
e) A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Interatividade
Temos os seguintes conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Assinale a afirmação incorreta.
a) 3  A.
b) 7  C.
c) A  B.
d) B  C.
e) A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A  C = {1, 2, 3}
Resposta
1
2
3
4
5
6
A C
 Considere A e B dois conjuntos.
 Uma função é uma regra que associa a cada elemento x∈A um elemento f(x)∈B.
 O conjunto A é denominado domínio da função f e simbolizaremos por D(f).
 O conjunto B é denominado contradomínio da função f.
 Representação simbólica de uma função de A em B, sendo x∈A.
 f: A → B
 x → f(x)
Função
 Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a; b) é definido quando 
determinamos que a é o primeiro elemento e b, o segundo elemento. Ex.: (5; 2).
 Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano dos conjuntos A e B será o 
conjunto A x B.
Exemplos:
Consideremos os conjuntos: 
A = {x∈R/1 ≤ x ≤ 5} e B = {x∈R/ 2 ≤ x ≤ 4} 
Então, AxB está representada graficamente 
a seguir:
Função
4
2
1 5
AxB
Fonte: autoria própria
Função injetora:
Domínio: D(f) = {0, 1, 2}
Contradomínio: CD(f) = {1, 2, 3, 5}
Conjunto imagem: Im(f) = {1, 3, 5}
Definimos essa função por:
Função injetora:
Domínio: D(f) = {-2, -1, 1, 3}
Contradomínio: CD(f) = {12, 3, 27}
Conjunto imagem: Im(f) = {12, 3, 27}
Essa função é definida por:
Funções injetora, sobrejetora e bijetora
A B
0
1
1
2
2
3
5
-2
-1
1
3
12
3
27
A B
Fonte: autoria própria
Função bijetora:
Domínio: D(f) = {-1, 0, 1, 2}
Contradomínio: CD(f) = {4, 0, -4, -8}
Conjunto imagem: Im(f) = {4, 0, -4, -8}
Essa função é definida por:
Funções injetora, sobrejetora e bijetora
A B
0
-1
2
1
4
0
-4
-8
Fonte: autoria própria
Aplicando primeiro a função f a um determinado valor de seu domínio e depois outra 
função g à imagem assim obtida, definimos uma nova função 𝑔°𝑓, chamada 
composta de g com f, que se define como:
 𝑔°𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥
 Exemplo: se f(x) = x2 e g(x) = 2x +1
 gof(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2x2 +1
 que é a expressão analítica da função gof, composta 
de g com f, nesse caso.
Composição de funções
 Para Cantor, dois conjuntos são equivalentes quando é possível estabelecer uma 
correspondênciaque leva os elementos distintos de um conjunto em elementos 
distintos do outro.
 Objetivo: no que se refere ao número de elementos de um conjunto, distinguir 
quatro tipos de conjuntos: os finitos, os enumeráveis (contável), os infinitos e os 
não enumeráveis.
Tipos de conjuntos
 A noção de conjunto enumerável está diretamente ligada ao conjunto dos números 
naturais. É o conjunto dos números naturais que usamos na comparação e na 
contagem dos conjuntos finitos.
 Um conjunto X é finito se é vazio ou se existe uma bijeção entre X e os números 
naturais (N), ou seja, entre X e {1, 2, · · · ,n} para algum n∈N.
 Caso X não seja finito, dizemos infinito.
 Se X é finito ou se existe uma bijeção entre X e N, 
dizemos que X é enumerável.
Conjuntos finito e infinito, enumerável e não enumerável
 Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é finito e, portanto, enumerável. O número de elementos de Y, 
n(Y) = 6.
 B = { } é finito e, portanto, enumerável. O número de elementos de B, n(B) = 0.
 X = {2, 4, 6, 8, ... } é enumerável, pois f: N → X definido por f(n) = 2n é uma bijeção 
entre X e N. Ou seja, o conjunto dos números naturais pares é uma bijeção. Logo 
é enumerável.
 O conjunto Y = {1, 3, 5, 7} é enumerável, pois se f: N → 
Y, com f(n) = 2n + 1 é uma bijeção entre Y e N. Ou seja, 
o conjunto dos números naturais ímpares é uma bijeção. 
Logo é enumerável.
Exemplos
 Todo subconjunto de N é contável. Consequentemente, todo subconjunto de um 
conjunto enumerável é contável.
 Seja f: X → Y em que X e Y são conjuntos infinitos.
Se Y é enumerável e f injetiva, então, X é enumerável.
Se X é enumerável e f sobrejetiva, então, Y é enumerável.
 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é também enumerável.
 Nem todo conjunto infinito é enumerável.
Mais exemplos
 O estudo da teoria dos números reais é o de completar o conjunto dos números 
racionais criando um sistema contínuo de números.
 A construção do conjunto dos números reais pode ser feita utilizando-se diversos 
métodos. Vamos fazer a construção utilizando a noção de corte no conjunto dos 
números racionais. A noção de corte foi introduzida por Dedekind.
Número reais
Definição: um corte de Dedekind, no corpo Q, é um par (A; B) de classes de 
racionais satisfazendo às seguintes condições:
 A e B contêm todos os racionais Q, de modo que cada número racional ou 
pertence a A ou a B.
 Cada racional de A é menor que cada racional de B.
Cortes de Dedekind
Analisando um corte, deduz-se que cada uma das alternativas a seguir 
pode acontecer:
(i) a classe A possui máximo (B não possui mínimo);
(ii) a classe B possui mínimo (A não possui máximo);
(iii) A não possui máximo nem B possui mínimo.
 Nos casos (i) e (ii), o par (A; B) define um número racional r, que é o máximo de A 
ou o mínimo de B.
Cortes de Dedekind
 Suponha A o conjunto dos racionais x  2/3 e B dos racionais x > 2/3. Logo (A; B), 
como acabamos de descrever, é um corte em Q definindo o racional 2/3.
Exemplo
Dada a função f(x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, 
assinale a alternativa correta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem.
a) O domínio dessa função possui todos os números inteiros.
b) Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio não 
está bem definido.
c) A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos.
d) O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais.
e) A imagem dessa função é igual ao seu domínio.
Interatividade
Dada a função f(x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, 
assinale a alternativa correta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem.
a) O domínio dessa função possui todos os números inteiros.
b) Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio não 
está bem definido.
c) A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos.
d) O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais.
e) A imagem dessa função é igual ao seu domínio.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!