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e-Book 2
Laíssa S. Ribeiro
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Sumário
INTRODUÇÃO ������������������������������������������������� 3
CENTROIDES E MOMENTOS DE INÉRCIA ������ 5
Definição de centroide ���������������������������������������������������������� 5
Centroide de figuras planas compostas ��������������������������� 10
Momento de primeira e segunda ordem ��������������������������� 20
Teorema dos eixos paralelos ��������������������������������������������� 27
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ��������������������������������������������35
INTRODUÇÃO
O estudo sobre os fenômenos físicos que envolvem 
os movimentos são de importância fundamental 
para qualquer estudante ou futuro profissional 
das áreas da engenharia� Isto é justificado pelo 
fato de que o movimento ou a ausência dele, está 
diretamente ligado a diferentes outros fenômenos 
essenciais para a vida�
Há movimento em praticamente tudo, nas estru-
turas de prédios em que moramos, nas pontes 
que atravessamos, nos motores que impulsionam 
uma aeronave, em partículas dos organismos, em 
corpos sólidos, líquidos ou gasosos, e no mundo�
Neste contexto, a unidade inicialmente abordará 
as definições de centro de gravidade, centro de 
massa e centroide� Conceitos essenciais para 
calcular diversas áreas, como um terreno para 
construção, formato e massa de um recipiente ou 
até mesmo para avaliação dos movimentos dos 
planetas no sistema solar�
Assim, será possível compreender a aplicação 
prática do centroide em figuras planas compostas, 
através das fórmulas e expressões matemáticas 
de descrição� 
Em seguida, nesta unidade, vamos aprender as 
condições e características que descrevem sobre 
o movimento nulo dos corpos rígidos, denominado 
como momento de inércia� Para, por fim, diferenciar 
as condições de momento de primeira e segunda 
ordem e interpretar o teorema dos eixos paralelos�
5
CENTROIDES E 
MOMENTOS DE INÉRCIA
Você já sabe que o estudo da mecânica analisa as 
forças de movimento que afetam os corpos� E a 
Mecânica dos Sólidos, nosso foco nesta disciplina, 
estuda o equilíbrio e a dinâmica de corpos rígidos�
Por este motivo, apesar de a mecânica ser o estudo 
da física sobre os movimentos e seus causadores, 
o momento de inércia, ou seja, o repouso dos cor-
pos rígidos sólidos, líquidos ou gasosos também 
é estudado, pois se refere a um movimento nulo�
Em diferentes áreas da engenharia e suas aplica-
bilidades, devemos reconhecer as diversas forças 
capazes de proporcionar o equilíbrio ou, ao menos, 
compensá-lo, gerando um movimento de inércia�
Assim, analise os conceitos de centroide e a sua 
descrição física aplicados a figuras planas compos-
tas� Para em seguida, compreender os momentos 
de inércia, as condições associadas ao momento 
de primeira e segunda ordem e a interpretação do 
teorema dos eixos paralelos�
DEFINIÇÃO DE CENTROIDE
Ao estudarmos os conceitos referentes ao cen-
troide, devemos levar em consideração as teorias 
que envolvem os centros de gravidade e de massa, 
6
pois os conceitos e fórmulas que dão origem a 
estes centros serão fundamentais nos estudos 
que abordam os centroides�
Portanto, o centro de gravidade é um ponto em que 
se resulta o peso de todo um sistema de pontos 
materiais� Ou seja, é o ponto de aplicação da força 
gravitacional que tem a capacidade de manter todas 
as forças de atração em equilíbrio� Por outro lado, 
consideramos o centro de massa como o ponto 
que pode pesar toda massa que está concentrada 
em um corpo (ASSIS, 2015)�
O centroide é definido como o centro geométrico 
de um objeto� Se a forma geométrica do material 
analisado for uniforme ou homogênea, o centroide 
e o centro de massa serão iguais� Por outro lado, se 
o centroide possuir forma uniforme ou homogênea 
e estiver submetido em um campo gravitacional, 
este será igual ao centro de gravidade (HIBBELER, 
2019)�
As fórmulas usadas para determinar tanto o centroi-
de como o centro de gravidade representam uma 
equivalência na soma dos momentos de todas as 
partes que compõem um sistema e o momento 
da resultante� 
Existem casos que o centroide se localizará em um 
ponto externo ao objeto, como ocorre em um anel, 
7
onde este se encontrará no centro e em algum eixo 
de simetria do corpo (HIBBELER, 2019)�
Caso a forma de uma área for arbitrária, as coor-
denadas x e y são usadas para definir o local do 
centroide C e determinadas através das fórmulas: 
(1)
De acordo com Hibbeler (2019), os numeradores 
encontrados nestas equações representam o ele-
mento da dA (momento de área) em volta dos eixos 
y e x, como disposto na Figura 1� Sendo assim, os 
denominadores simbolizam a área total A�
Figura 1: Definição de centroide�
y
ȳ
x
x
A
dAC
y
ȳ
x
x
Fonte: Adaptado de Hibbeler� (2019, p� 679)
Caso a área seja simétrica e em torno de um eixo, 
a localização do centroide pode ser parcial ou 
completamente especificada� Como é mostrado 
8
na figura 1, o centroide desta área se encontra em 
um eixo�
Pois bem, como analisado anteriormente, o cen-
troide possuirá igualdade ao centro de gravidade 
(W) quando tiver forma homogênea e estiver em 
um campo gravitacional� Consideramos que uma 
placa possui forma homogênea e espessura uni-
forme, a intensidade ∆W (força que a terra exerce 
sobre um corpo) do peso sobre o elemento desta 
placa será expressa pela forma:
∆W = γt ∆A
onde: γ = peso específico do material por unidade 
de volume
t = espessura da placa homogênea 
∆A = área do elemento
Similarmente, consideramos a intensidade W do 
peso total de uma placa de acordo com a expressão, 
em que A simboliza a área total da placa� 
W = γtA
Caso o sistema de unidades for baseado nas 
unidades utilizadas nos EUA, o peso específico γ 
será medido em lb/ft3, a espessura t em ft (pés) e 
9
as áreas ∆A e A em ft2� Já o ∆W e o W são mensu-
rados em pounds� Mas caso use as unidades de 
medidas do sistema internacional (SI), as unidades 
são diferentes, como o γ em N/m3, o t em metros 
e as áreas ∆A e A em m2� Sendo assim, os valores 
dos pesos ∆W e o W serão em Newtons�
Para que se use o SI de unidades, nota-se que na 
maior parte das vezes um material é caracteriza-
do através de sua massa específica ρ (massa por 
unidade de volume) ao invés de peso específico γ� 
Sendo assim, o peso específico do material pode 
ser obtido pela relação γ = ρg, onde g = 9,81 m/
s2� Se o ρ for expresso em kg/m3, notamos que o 
γ será medido em (kg/m3)(m/s2), ou seja, N/m3�
Portanto, ao abordarmos as equações de momen-
tos, iremos substituir o ∆W e o W e dividimos os 
termos por γt, obtendo assim:
∑My:  x̄A = x1∆A1 + x2∆A2 + ... + xn∆An
∑Mx:  ȳA = x1∆A1 + x2∆A2 + ... + yn∆An
Se optarmos por aumentar o número de elementos 
o qual divide a superfície da área A e ao mesmo 
tempo, reduzir o tamanho de cada um deles, tere-
mos então, no limite: 
x̄A = ∫xdA  ȳA = ∫xdA (2)
10
Segundo Beer et al� (2013), essas duas equações 
irão definir as coordenadas de x̄ e ȳ do centro de 
gravidade de uma placa homogênea� O ponto en-
contrado entre as coordenadas x̄ e ȳ é o centroide 
C da superfície A da placa� Caso a placa não seja 
homogênea, as equações serão usadas apenas 
para determinar o centroide da superfície, não 
determinando o centro de gravidade�
CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS 
COMPOSTAS
Uma figura plana é caracterizada pela ausência de 
massa, que relaciona o momento do peso com o 
momento estático de área� Logo, em suas equações 
troca-se a força aplicada pela área�
No caso de a figura plana ser composta por dife-
rentes figuras básicas, a resultante dos momentos 
estáticos será a soma algébrica dos momentos 
das figuras componentes, assim como a área total 
da figura composta será a soma das áreas das 
figuras componentes�
Uma figura plana é aquela que possui comprimento e 
largura, portanto constitui o grupo das figuras bidimen-
sionais� Como exemplo, temos as figuras geométricas 
SAIBA MAIS
11
de triângulos, retângulos, quadrados, círculos,trapézio 
e losango�
E uma figura composta é a combinação de várias formas, 
de modo que cada uma possui a sua própria localização 
do centroide� 
Contudo, você precisa entender que existem diver-
sas formas de dividir uma placa plana, como por 
exemplo em retângulos e triângulos� Sendo assim, 
a abscissa do centro de gravidade G de uma placa 
pode ser determinada a partir das abscissas x̄1, x̄2,���, 
x̄n dos centros de gravidades das outras partes� 
(BEER et al�, 2013)
Também devemos considerar que o momento do 
peso de toda a placa em relação ao eixo y será 
igual à soma do momento de todos os pesos que 
estiverem espalhados pela placa em relação ao 
próprio eixo y (Figura 2)�
A ordenada Ȳ do centro de gravidade será encon-
trada de modo semelhante, em que igualam os 
momentos relacionados ao eixo x. Sendo assim, 
temos:
∑My:  X̄(W1 + W2 +...+ Wn) = x̄1W1 + x̄2W2 +...+ x̄nWn
∑My:  Ȳ(W1 + W2 +...+ Wn) = y1W1 + y2W2 +...+ ynWn
12
Figura 2: Centro de gravidade de uma placa plana�
ΣW W1
W2
W3
y y
z
X G G1
G2
G3
x
O
z
x
OY
Fonte: Adaptado de Beer et al� (2013, p� 228)
As equações a seguir podem ser compactadas 
para resolver as coordenadas X̄ e Ȳ do centro de 
gravidade:
X̄∑W = ∑x̄W
Ȳ∑W = ∑ȳW
A Figura 3 a seguir mostra o centroide de uma 
área composta�
Figura 3: Centroide em área composta�
x
O y
x
O y
X C
C1 C2
C3
A2
A3
A1
ΣA
Y
Fonte: Adaptado de Beer et al� (2013, p� 229)
13
Como analisado anteriormente, em uma placa 
homogênea o centro de gravidade coincide com o 
centroide C da superfície� Portanto, para determinar 
a abscissa do eixo X̄ b do centroide precisamos 
analisar que o momento de primeira ordem Qy 
da superfície composta relacionada com o eixo 
y pode ser dado tanto como o produto de X̄ pela 
área total e também pela soma dos momentos de 
primeira ordem das demais áreas relacionadas ao 
eixo y (Figura 3)�
A ordenada de Ȳ do centroide será determinada 
da mesma forma, a qual se considera o momento 
de primeira ordem Qx da área composta� Sendo 
assim, possuímos:
Qy = X̄(A1 + A2 +...+ An) = x̄1A1 + x̄2A2 +...+ x̄nAn
Qx = Ȳ(A1 + A2 +...+ An) = ȳ1A1 + ȳ2A2 +...+ ȳnAn
ou, em resumo:
Qy = X̄∑A = ∑x̄A  Qx = Ȳ∑A = ∑ȳA (3)
momentos de primeira ordem de uma superfície 
composta ou podem ser utilizadas na obtenção 
das coordenadas X̄ e Ȳ do centroide�
Portanto, de acordo com Hibbeler (2019), con-
siderando uma forma composta, se a área e a 
localização do centroide de cada uma das formas 
compostas forem conhecidas, pode-se eliminar a 
14
necessidade de integração para obter o centroide 
da área completa� 
Desta forma, usaremos as equações análogas às 
anteriores, mas trocando as integrais por sinais 
de somatório finito, ou seja:
(4)
Nas expressões acima, X̄ e ȳ simbolizam as distân-
cias algébricas ou coordenadas x, y do centroide 
de cada parte da forma composta, enquanto ∑A 
simboliza a área total (soma das áreas das partes 
compostas)� Caso uma parte composta possua 
uma região vazia em seu interior, esta é vista como 
uma parte composta adicional com área negativa�
Analise a seguir a aplicação da equação na prática, 
através da resolução das problemáticas expostas 
nos exemplos 1 e 2�
EXEMPLO 1
Conforme a Figura 4, localize o centroide C da área 
da seção transversal da viga T�
15
Figura 4: Centroide em viga�
(a)
C
25 mm
57,5 mm
10 mm 10 mm
32,5 mm
25 mm
50 mm
65 mm
15 mm15 mm
50 mm
15 mm
40 mm
40 mm
y
x
ȳ
ȳ
x
x
(b)
C
–40 mm
50 mm
15 mm
40 mm –7,5 mm
y
ȳ
(c)
C
y
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2019, p� 680)
Na solução 1 da Figura 4(a) notamos que o eixo y 
se localiza ao longo do eixo de simetria, de forma 
que x̄ = 0� Para obter ȳ, o eixo x, em que é eixo de 
referência, será definido passando pela base da 
área, que é segmentada por dois retângulos, então, 
a localização ȳ do centroide é informada para cada 
um� Com o uso da Equação 4, obteremos:
16
Na solução 2, com base nos mesmos dois segmen-
tos, poderemos localizar o eixo x na parte superior 
da área, conforme Figura 4(b)� Portanto:
Como C está abaixo do eixo x, o sinal ficará negati-
vo� Sendo assim, podemos notar que a soma dos 
dois valores encontrados, 42,75 mm + 22,25 mm = 
65 mm, simboliza também a profundidade da viga�
Já a solução 3 da Figura 4(c) será considerada a 
área da seção transversal, o qual é um único re-
tângulo grande menos dois retângulos pequenos� 
Sendo assim, obtemos:
EXEMPLO 2
17
A Figura 5 a seguir mostra uma área plana, a partir 
dela, encontre (a) os momentos de primeira ordem 
com relação aos eixos x e y, (b) a localização do 
centroide�
Figura 5: Área plana�
y
x
60 mm
30 mm
20 mm
40 mm
30 mm
Fonte: Adaptado de Beer et al� (2013, p� 230)
Para iniciarmos a solução do problema, devemos 
verificar os componentes da área, formada por 
um retângulo, um triângulo e um semicírculo e 
também pela subtração de um círculo das demais 
áreas, portanto a área deste círculo será dada 
como negativa�
A área e as coordenadas do centroide de cada 
componente serão definidas e dispostas na tabela 1 
a seguir, com base nos eixos de coordenadas mos-
18
trados� Sendo assim, notamos que a coordenada 
do centroide do triângulo é negativa em relação aos 
eixos� E por fim, os momentos de primeira ordem 
das áreas também estão dispostos na tabela 1�
Figura 6: Componentes da área�
y y
x
60 mm
r1 = 30 mm
r1 = 30 mm = 12,73 mm
4r1
3π
r2 = 20 mm
30 mm
30 mm
40 mm 52,73 mm
r2 = 20 mm
20 mm
40 mm
30 mm
y
x
x
= +
–
y
20 mm
–10 mm
x
+
30 mm
40 mm
y
x
Fonte: Adaptado de Beer et al� (2013, p� 230)
Tabela 1: Cálculo dos componentes�
Compo-
nente A, mm
2 x̄, mm ȳ, mm x̄A, mm3 ȳA, mm3
Retângulo (60)(40) = 2,4 x 103 30 20 +72 × 10
3 +48 × 103
Triângulo 1/2 (60)(30) = 0,9 x 103 20 –10 +18 × 10
3 –9 × 103
Semicírculo 1/2π (30)
2 = 1,414 
x 103 30 52,73 +42,5 × 10
3 +74,6 × 
103
Círculo –π (20)
2 = -1,257 
x 10³ 30 40 –37,8 × 10
3 –50,3 × 
103
19
Compo-
nente A, mm
2 x̄, mm ȳ, mm x̄A, mm3 ȳA, mm3
∑A = 3,457 x 103 ∑x̄A = +94,7 × 103
∑ȳA = 
+63,3 × 
103
Fonte: Elaboração própria�
a) Os momentos de primeira ordem da área serão 
baseados nas Equações (3), portanto, teremos:
Qx = ∑ȳA = +63,3 × 103 ×  Qx = 63 × 103 mm3
Qy = ∑x̄A = +94,7 × 103 mm3  Qy = 95 × 103 mm3
b) A localização do centroide será feita utilizando 
as equações utilizadas para definir o centroide em 
área composta e substituindo os valores da tabela 
1� Sendo assim, temos:
X̄∑A = ∑x̄A  X̄(3,457 × 10³ mm²) = 94,7 x 10³ 
mm³  X̄ = 27,4 mm
Ȳ∑A = ∑ȳA  Ȳ(3,457 × 10³ mm²) = 63,3 x 10³ 
mm³  Ȳ = 18,3 mm
Observe o resultado final do centroide através da 
Figura 7 abaixo:
20
Figura 7: Centroide da área plana�
y
x
Y = 18,3 mm
C
X = 27,4 mm
Fonte: Adaptado de Beer et al� (2013, p� 230)
MOMENTO DE PRIMEIRA E 
SEGUNDA ORDEM
A integral ∫xdA das equações (2) citadas anterior-
mente é denominada de momento de primeira 
ordem da área A quando relacionada ao eixo y, 
o qual é informada por Qy. Semelhantemente, a 
integral ∫ydA irá definir o momento de primeira 
ordem da área A em relação ao eixo x, em que é 
caracterizada por Qx� Desta forma, obtemos:
Qy = ∫ydA Qx = ∫ydA (5)
21
Se observarmos e compararmos as equações (2) 
e (5), verificamos que os momentos de primeira 
ordem da área A podem ser representados como 
produtos da área coordenadas do centroide:
Qy = x̄A Qx = ȳA (5)
Por meio do resultado obtido nas equações (6), as 
coordenadas do centroide de uma determinada 
área podem ser determinadas através da divisão 
dos momentos de primeira ordem pelo próprio 
valor da área� 
Os momentos de primeira ordem da área são 
muito utilizados na mecânica dos sólidos para a 
obtenção de tensões de cisalhamento em vigas 
por meio de ação de carregamentos transversais�
Através das equações (6), notamos que, caso o 
centroide de uma área se encontre localizado sobre 
um eixo de coordenadas, o momento de primeira 
ordem da área em relação a esse eixo será nulo�
Ao contrário, se o momento de primeira ordem de 
uma determinadaárea for nulo, quando relacionado 
a um eixo de coordenadas, consequentemente o 
centroide da área se localizará sobre esse eixo 
(BEER et al�, 2013)�
22
A Figura (8) abaixo mostra a área A simétrica em 
relação ao eixo y, sendo assim, podemos notar que 
para cada elemento de superfície dA de abscissa x 
encontra-se um elemento dA de igual área e com 
abscissa –x�
Consequentemente, a integral na primeira das 
equações (5) é zero e, então, Qy = 0� O resultado 
de x̄ = 0, portanto, se uma área A tiver um eixo de 
simetria, o centroide C se localizará sobre esse eixo� 
Figura 8: Centroide no eixo�
dA’ dA
C
A
y
O
–x x
x
Fonte: Adaptado de BEER et al� (2013, p� 226)
Observamos que, se a área possuir dois eixos si-
métricos, o centroide C deverá estar localizado na 
interseção dos dois eixos (Figura 9)� Essa função 
possibilita determinar o centroide de áreas tais 
23
como elipses, círculos, quadrados, triângulos e 
demais figuras simétricas�
Figura 9: Centroide em figuras simétricas�
B’ B’
B B
D’
D’
D
D
(a) (b)
C
Fonte: Adaptado de BEER et al� (2013, p� 226)
Na figura 10 podemos verificar uma área simé-
trica em relação a um centro O quando em cada 
elemento de superfície da dA de coordenadas x 
e y houver um elemento dA’ de área semelhante 
com coordenadas –x e –y. Sendo assim, temos as 
integrais nulas nas equações (5) e o Qx = Qy = 0�
E nas equações (2), também temos x̄ = ȳ = 0, por-
tanto, o centroide da superfície coincide com o 
centro de simetria O�
24
Figura 10: Centroide no centro de simetria�
–y
y
y
x
–x
dA
dA’
A
O
Fonte: Adaptado de BEER et al� (2013, p� 226)
Nota-se na Figura (10) que uma figura que apresentar 
um centro simétrico não detém necessariamente 
um eixo de simetria, da mesma proporção que uma 
figura que apresenta dois eixos simétricos não 
possui necessariamente um centro de simetria� 
Mas em uma figura com dois eixos de simetria 
que formam um ângulo reto entre si, o ponto de 
25
interseção destes eixos é considerado um centro 
de simetria�
Deste modo, notamos que para calcular o centroide 
de uma área, foi considerado o momento de pri-
meira ordem de área em volta de um determinado 
eixo� Então, para realizar o cálculo foi necessário 
calcular a integral na forma ∫xdA�
Por outro lado, em algumas partes da resistência 
dos materiais, é preciso executar o cálculo de 
uma integral do momento de segunda ordem de 
uma determinada área� Esta integral também é 
conhecida como momento de inércia e é descrita 
como ∫x2dA�
Quando estudamos sobre o momento de inércia 
de uma área, devemos considerar o segundo mo-
mento de área em relação a um eixo de referência, 
utilizando equações que envolvem força e estabi-
lidade dos componentes estruturais ou elementos 
mecânicos� (HIBBELER, 2011)
E quando a área é irregular, a sua descrição mate-
mática deve considerar um componente diferen-
cial e a integração da área total para encontrar o 
momento de inércia� 
Utilizaremos a Figura 11 abaixo para definir for-
malmente o momento de inércia, considerando a 
área A que está em relação ao plano x – y.
26
Figura 11: Momento de inércia�
y
O
x
dA
yr
r
Fonte: Hibbeler (2010, p� 570)
Conforme definido por Hibbeler (2010), os momen-
tos de inércia de um elemento diferencial dA em 
volta dos eixos x e y são dIx = y2dA e dIy = x2dA� Se 
formos considerar uma área inteira, o momento de 
inércia será estabelecido por integração, ou seja, 
Ix = ∫Ay2dA Iy = ∫Ax2dA (7)
Também somos capazes de demonstrar o momen-
to de segunda ordem de um elemento diferencial 
27
que está em volta do polo O ou eixo z (Figura 11), 
o qual é chamado de momento polar de inércia, 
representado por dJO = r2dA� Nesta expressão, r é 
uma distância perpendicular entre o polo (eixo z) e 
o elemento dA� Para a área completa, o momento 
polar de inércia é expresso como:
Jo = ∫Ar2dA = Ix + Iy (8)
A relação que há entre JO será possível desde que 
r2 = x2 + y2 (Figura 11)�
Com base no que foi mostrado anteriormente, 
notamos que Ix, Iy e JO serão sempre positivos, já 
que compreendem o produto entre o quadrado de 
uma distância e uma área� E, as unidades para o 
momento de inércia compreendem o comprimento 
elevado à quarta potência, como m4, mm4 ou pé4, 
pol4� (HIBBELER, 2010)
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Ao abordarmos o teorema dos eixos paralelos, de 
acordo com Beer et al� (2013) devemos conside-
rar o momento de inércia I de uma determinada 
superfície A em relação a um eixo AA’ (Figura 12)� 
A distância entre um elemento de superfície de área 
dA e AA’ será simbolizado por y. Portanto, teremos:
28
Logo, um eixo BB’ será traçado em paralelo a AA’ 
e passará pelo centroide C; esse eixo é definido 
como eixo centroidal�
Figura 12: Eixo centroidal�
dA
C
B’
A’
B
y
y’
d
A
Fonte: Adaptado de Beer et. al. (2013, p� 485)
Como mostrado anteriormente, a distância entre o 
elemento dA e BB’ é representado por y’, portanto 
y = y’ + d, em que d é caracterizado pela distância 
entre os eixos AA’ e BB’� Sendo assim, substituímos 
y pela integral apresentada anteriormente, teremos:
I = ∫y2dA = ∫(y’ + d)2 dA = ∫y’2dA + 2d ∫y’dA + d2∫dA
Na primeira integral temos o momento de inércia 
I da superfície relacionado ao eixo centroidal BB’� 
29
Já a segunda integral demonstra o momento de 
primeira ordem da superfície relacionado com a BB’�
Como podemos observar, o centroide C desta 
superfície está no eixo BB’, portanto, a segunda 
integral nesse caso será nula� Por fim, notamos 
que a última integral é equivalente a área total A 
da superfície� Então, teremos:
I = Ī + Ad2 (9)
A Equação (9) anterior é caracterizada pelo momento 
de inércia I de uma determinada superfície com 
relação a um eixo AA’ que é igual ao momento de 
inércia da superfície quando relacionado ao eixo 
centroidal BB’ que está paralelo ao eixo AA’, mais 
o produto da área A e do quadrado da distância d 
entre os eixos (BEER et al� 2013)�
Toda a descrição mencionada anteriormente de-
fine o teorema dos eixos paralelos� Sendo assim, 
se substituirmos I por k2A e Ī por k̄2A, portanto, 
demonstramos o teorema dos eixos paralelos de 
outra forma, como:
k2 = k̄2 + d2 (10)
Outro teorema que se assemelha é utilizado para 
relacionar o momento de inércia polar JO de uma 
30
superfície que está em relação ao ponto O ao mo-
mento de inércia polar J̄ em relação ao centroide C 
da superfície� A distância entre O e C será informada 
por d, deste modo temos
Jo = J̄c +Ad2 ou k20 = k̄2c + d2 (11)
Com base nesses conceitos, de acordo com Hi-
bbeler (2019), se conhecermos o momento de 
inercia presente em torno de um eixo do centroide, 
é possível definir o momento de inércia de uma 
determinada área em torno de um eixo paralelo 
através do teorema dos eixos paralelos�
A figura 13 a seguir mostra outra forma de apli-
cação do teorema em que devemos considerar o 
momento de inércia do elemento diferencial dA 
determinado e que se localiza em uma distância 
arbitrária y’ = dy, partindo do eixo x. Ou seja, dIx = (y’ 
+ dy)2 dA� Desta forma, para toda a área, possuímos:
Ix = ∫A (y' + dy)2 dA = ∫Ay'2 dA + 2dy ∫A y' dA + dy ² ∫AdA
31
Figura 13: Teorema dos eixos paralelos�
d
O
y y’
y’
x
x’
x’
dx
dy
C
dA
Fonte: Hibbeler (2019, p� 682)
A análise inicial será do primeiro termo que fica 
do lado direito, este demonstra o momento de 
inércia da área em volta do eixo x’, � Enquanto o 
segundo termo é igual a zero, pois o eixo x’ passa 
pelo centroide C, ou seja, , onde � Com isso, temos:
Ix = Īx' + Ady2 (12)
De modo semelhante usaremos a equação para 
Iy, em que:
Iy = Īy' + Ady2 (13)
32
Desta forma, podemos observar que as Figuras 12 
e 13 resultam em equações que se assemelham e 
que são fundamentais para a resoluções de exercí-
cios que abrangem o teorema dos eixos paralelos�
E em casos em que a área é constituída por outra 
forma simples, ou seja, é uma área composta, o 
momento de inércia será igual a soma algébrica 
dos momentos de inércia de cada uma das partes 
que a compõe,como mostra a figura 14�
Figura 14: Teorema dos eixos paralelos em área 
composta�
x x
Fonte: Adaptado de Autora (2021)�
Por fim, o teorema dos eixos paralelos permite de-
terminar o momento de inércia em relação ao eixo 
paralelo quando o momento de inércia da área já 
é conhecido em relação ao eixo central da figura�
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o objetivo de proporcionar soluções práticas 
no âmbito das engenharias, esta unidade realizou 
um estudo da mecânica dos sólidos em relação 
ao equilíbrio de corpos rígidos�
Dentre suas aplicabilidades, devemos reconhecer 
as diferentes forças que são capazes de propor-
cionar o equilíbrio ou compensá-lo, suscitando um 
momento de inércia�
Neste contexto, delineamos as definições de centro 
de gravidade que representa um ponto onde o peso 
do corpo está concentrado; de centro de massa 
que coincide com o centro de gravidade quando 
a aceleração da gravidade é constante; e de cen-
troide como a localização do centro geométrico 
de uma figura� 
Conceitos essenciais para calcular diversas áreas 
e auxiliar na aplicação prática do centroide em 
figuras planas bidimensionais e figuras planas 
compostas, através das fórmulas e expressões 
matemáticas� 
Em seguida, estudamos as condições e caracterís-
ticas que descrevem o movimento nulo dos corpos 
rígidos em relação aos eixos x e y, conhecido como 
momento de inércia�
34
E, finalizamos com as análises das condições de 
momento de primeira e segunda ordem e com 
a interpretação do teorema dos eixos paralelos, 
quando conhecemos o momento de inércia para 
uma determinada área em relação ao seu eixo 
centroidal�
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
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SHAMES, Irving Heman� Mecânica para 
engenharia: estática� 4� ed� São Paulo: Pearson 
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	Introdução
	Centroides e Momentos de Inércia
	Definição de centroide
	Centroide de figuras planas compostas
	Momento de primeira e segunda ordem
	Teorema dos eixos paralelos
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas