Tábuas de Mortalidade ou Sobrevivência

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5ºAula
As tábuas de mortalidade ou 
sobrevivência
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender as características básicas das tábuas de mortalidade ou sobrevivência;
• compreender os aspectos da população que são considerados para elaboração das tábuas de mortalidade ou 
sobrevivência;
• conhecer as especificidades da construção das Tábuas de Mortalidade.
Olá, alunos(as)! Continuando nossa disciplina, vamos 
construir conhecimentos sobre Tábuas de Mortalidade ou 
Sobrevivência.
Durante a leitura desta aula é importante que tenham 
sempre à mão um dicionário e/ou materiais de pesquisa para 
eliminação de eventuais dúvidas pontuais sobre o assunto 
discutido.
Boa Aula!!!!
Bons estudos!
Fonte: Reprodução/ internet. Acesso em 02 out. 2019
Contabilidade Atuarial 28
1 - Tábua de mortalidade ou sobrevivência – características 
2 - Aspectos da população
3 - Construção das Tábuas de Mortalidade
1 - Tábua de mortalidade ou 
sobrevivência – características
A tábua de mortalidade para uma dada população é uma 
ferramenta importante não apenas em termos de estudos 
atuariais e demográfi cos em geral, como, também, para 
políticas públicas e fi nanciamento do setor privado para 
certos serviços ofertados no mercado, que cobrem um vasto 
leque de possibilidades.
Seções de estudo
Cordeiro (2017) menciona que a tábua de mortalidade 
constitui a descrição estatística mais completa da mortalidade, 
na qual, dentre suas principais características estão:
• Permitir descrever o comportamento da mortalidade 
por idade; 
• Permitir obter medidas de mortalidade, tais como 
probabilidades de morte ou de sobrevivência;
• Proporcionar uma medida resumo de mortalidade, 
a esperança de vida ao nascer. Este indicador tem 
a vantagem de não sofrer infl uência da estrutura 
etária da população, permitindo a sua utilização em 
comparações populacionais; 
• Pode ser associado a um modelo teórico de 
população, chamado População Estacionária, cuja 
taxa de crescimento natural é igual a zero.
• Pode ser aplicada na análise de diversas características 
socioeconômicas e demográfi cas da população, tais 
como: previdência, estudos sobre fecundidade, 
educação e entre outras. 
Desse modo, podemos afi rmar que uma tábua de mortalidade se baseia em dados de nascimentos e mortes e nas idades ao morrer.
29
Assim, a utilidade desses dados depende de que as 
estatísticas sejam exatas, representativas, comparáveis e 
adequadas.
Em síntese, pode-se dizer que as tábuas de mortalidade 
são:
Instrumentos estatísticos, que medem, para cada idade ou grupo de 
idade, a quantidade de falecimentos, a taxa de mortalidade específi ca, 
a probabilidade de falecimentos, a probabilidade de nascimentos e a 
esperança de vida.
Nesse contexto, faz se necessário estudar alguns aspectos 
da população a ser observada como, por exemplo, a idade 
média de uma população, idade mediana, vida média ou 
esperança de vida ao nascer, vida mediana ou vida provável, 
envelhecimento de uma população, índice de envelhecimento.
2 - Aspectos da população
Segundo Rangel (2007), normalmente as tábuas de 
mortalidade são apresentadas em forma de tabela, na qual se 
registra a cada ano, partindo-se de um grupo inicial de pessoas 
com a mesma idade o número daquelas que vão atingindo as 
diferentes idades, até extinção total do grupo inicial observado.
2.1 Idade média de uma população
A idade média de uma população é a relação da soma 
de todas as idades e o total da população e, não pode ser 
confundida com a vida media de um habitante dessa mesma 
população.
A fórmula para obtenção da idade média é representada 
pela seguinte relação:
Somatório de todas as idades/total da população
2.2 Idade mediana
A idade mediana é a idade que divide o contingente 
populacional total de uma população em duas partes iguais, 
cujos resultados são: 50% da população está acima da idade 
mediana, ou é mais velha, e 50% está abaixo dessa idade ou é 
mais jovem.
50% mais velha 50% mais jovem
2.3 Vida média ou esperança ao 
nascer
Partindo-se da tábua de sobrevivência, se chega à fórmula 
do cálculo da vida média ou esperança de vida ao nascer. O 
cálculo é feito da seguinte forma:
Soma se o número de sobreviventes no primeiro 
ano ao total de sobreviventes do segundo ano, e assim, 
sucessivamente, e divide-se o total obtido pelo total de vivos 
inicial. Por fi m, ao resultado dessa operação, soma se ½.
 E = v1+v2+v3+... + 1 
 Vo 2
Onde:
Vo = Número de vivos inicial;
V1 = Número de sobreviventes de um ano;
V2 = Número de sobreviventes de dois anos, e assim 
sucessivamente. 
2.4 Vida mediana ou vida provável
Refere-se à duração de vida da qual cada indivíduo 
tem uma probabilidade em duas de atingir. Na tábua de 
sobrevivência, a vida mediana corresponde ao ponto em que o 
número de sobreviventes em relação ao número inicial atinge 
50%. Em atuária, simboliza-se como: Vp Vida provável do 
brasileiro é de 65 anos porque nessa idade estão 50% dos 
indivíduos, os quais nasceram há 65 anos.
2.5 Envelhecimento de uma 
população
O índice de envelhecimento de uma população é defi nido 
como a relação entre o número de pessoas com mais de 60 
anos e o de jovens com menos de 20 anos.
Agora que conhecemos os aspectos da população que são 
observados para a construção das tábuas de mortalidade/
sobrevivência, podemos então estudar com maior profundidade a 
construção de uma tábua de mortalidade.
3 - Construção das Tábuas de 
Mortalidade
Quando a informação referente às estatísticas de vida se 
dispõe em forma de tabela, se obtém o que se chama tábua 
de mortalidade. Dela se pode deduzir, por meio da teoria das 
probabilidades, a probabilidade de vida ou morte de uma 
pessoa. 
A compilação de estatísticas e a construção de tábuas 
de mortalidades para uso nos seguros de vida datam da mais 
remota antiguidade.
A tábua de mortalidade mais antiga que se tem 
conhecimento é a compilada por Ulpiano, prefeito pretoriano 
de Roma, do ano 364 a.C. Foi elaborada com o fi m de 
determinar valores adequados de anualidades sobre vidas. 
Nesse contexto, a primeira tábua de mortalidade 
calculada sobre uma base científi ca e matemática foi publicada 
pelo astrônomo Halley em 1693. Hoje a tábua mais usada 
nos Estados Unidos é a “American Experience Table of 
Mortality” (Nota: levar em conta a data de publicação do livro 
Contabilidade Atuarial 30
- 1946), publicada em 1868, por Shepparce Homans, atuário 
na época da Mutual Life Insurance Company, de New York, 
deduzida da experiência da companhia e ajustada consultando 
a “Actuariales Table”, (Tábua de Atuários) inglesa que 
apareceu 25 anos antes.
3.1 - Descrição da “American 
Experience Table”
O que na realidade fazem as tábuas de mortalidade 
baseadas na experiência norte-americana é seguir passo a 
passo as vidas de 100.000 (cem mil) pessoas, desde a idade 
de 10 anos até que ocorra a morte da última delas. Cada ano 
morre certo número dessas 100.000 pessoas, variando o 
número de um ano para outro, e a “matéria-prima” da tábua 
consiste em:
a. o número de pessoas observadas, isto é, 100.000; e
b. o número delas que morre a cada ano até que, 
fi nalmente tenha falecido a última.
Se bem que a tábua não tenha sido construída desta 
maneira, já que não teria sido nem prático e nem conveniente 
seguir as vidas de 100.000 pessoas durante oito ou dez décadas, 
foi construída de maneira que seu efeito fosse o mesmo, isto 
é, estudando durante um ano grupos de pessoas de diversas 
idades e anotando quantas delas, em cada grupo, morrem no 
ano.
Ainda que antiquada e inexata no que se refere à provável 
duração da vida humana hoje em dia, as companhias de 
seguros continuam usando a “American Experience Table”. Isto 
as benefi cia, já que o número de pessoas que morrem hoje nas 
idades mais baixas é menor do que antes. 
3.2 Forma e disposição da Tábua
Os dados publicados por Sheppard Homans estão 
dispostos em colunas, como se pode ver na mostraque 
reproduzimos (nas páginas seguintes aparece a Tábua 
completa).
Explicaremos agora o signifi cado dos símbolos que 
fi guram na parte superior de cada coluna.
Explicação
Na coluna (1) aparecem as idades sucessivas, ano por 
ano, desde os 10 aos 95 anos. Esta é a “coluna de idade” e 
contém a idade das 100.000 pessoas ou seus sobreviventes.
Em termos gerais, é costume referir-se à idade pela letra 
X, isto é, considerando-se como uma idade qualquer; assim, 
quando falarmos de uma pessoa de idade X, queremos dizer 
uma pessoa de qualquer idade compreendida na coluna de 
“idade” da “American Experience Table”. Na sequência, nos 
referimos frequentemente a esta coluna como a “coluna X”.
Na coluna (2) aparece o número de pessoas que vivem 
no começo do ano designado na mesma linha na coluna (1). 
Vemos assim que a tábua começa com 100.000 pessoas vivas 
na idade de 10 anos. Doze meses mais tarde, à idade de onze 
anos, somente terão sobrevivido 99.251 pessoas. Isto quer 
dizer que durante este intervalo morreram 749.
3.3 Disposição da Tábua de 
Mortalidade baseada na experiência 
norte-americana
O Símbolo lx 
Para maior conveniência e brevidade se usou a letra l 
para designar dados na coluna de pessoas “vivas”. Ainda, para 
maior comodidade se juntou à letra l pequenos sub índices 
para designar os dados específi cos nesta coluna. Assim, l 10 
indica o número de pessoas vivas na idade de 10 anos, l 35 
indica o número das que vivem na idade de 35 anos; l 95 o 
número das que vivem aos 95 anos. Posto que x pode aplicar-
se a qualquer idade, lx aplicar-se-á a qualquer dado na coluna 
de pessoas “vivas”; chamaremos, pois, esta coluna de “coluna 
l x”.
Na coluna (3) aparece o número de pessoas que morrem 
num período de doze meses, que começa na idade indicada 
na mesma linha na coluna (1). À frente do 10 da coluna de 
“idade” se encontra, na coluna de “número de pessoas que 
morrem”, o número 749. Isto quer dizer que, das 100.000 
pessoas iniciais houve 749 que morreram entre os 10 e os 11 
anos. Da mesma maneira, à frente do 11 da coluna de “idade” 
aparece na coluna (3) a cifra 746, que é o número de pessoas 
que morreram entre os 11 e 12 anos. Estes dados formam 
todos parte da “matéria-prima” usada e se obterão dos dados 
originais apurados. Para facilitar a memorização dos símbolos 
se designa pela letra d o número de pessoas que morrem num 
dado ano.
O Símbolo dx 
Da mesma maneira que na coluna lx, adicionam-se 
subíndices à d, os quais indicam a idade que representa. 
Assim, d 10 indica o número de pessoas que morrem entre os 
10 e 11 anos. Analogamente, d 35 indica o número de pessoas 
que morrem entre os 35 e 36 anos; e dx o número de pessoas 
que morrem entre as idades de x e x+1. Posto que, x pode 
representar qualquer ano, dx representa um dado qualquer 
na coluna de “número de pessoas que morrem”. Razão pela 
qual é frequente se designar esta coluna como a “coluna dx” e 
quando falamos do número de pessoas que morrem num ano 
qualquer basta o símbolo dx a menos que se indique qual seja 
o ano em questão.
A coluna (4) é a de “probabilidade anual de morrer”. Os 
números desta coluna são, em forma decimal, a probabilidade 
de que uma pessoa de idade determinada morra durante o 
transcurso dos doze meses seguintes.
Agora que reconhecemos as simbologias e notações, 
podemos conhecer a Tábua de Mortalidade Baseada na 
Experiência Norte-Americana “Americam Experience Table.
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Para melhor entendimento da tabela, abaixo, disponho os símbolos utilizados: 
Contabilidade Atuarial 32
Essas probabilidades se derivam do conceito elementar 
da teoria das probabilidades. Nesse contexto, de acordo com a 
tabela, verifi ca-se que, se uma pessoa de 10 anos morrer antes 
de chegar aos 11 seria 0,007490. De uma maneira análoga, à 
frente de 11 encontramos na coluna (4) a cifra 0,007516 e esta 
indica a probabilidade de que uma pessoa de 11 anos morra 
durante o ano seguinte.
Exemplifi cando:
Exemplo número 1
Na coluna (5), os dados indicam na forma decimal a 
probabilidade de que uma pessoa de uma idade determinada 
viva durante o ano que segue imediatamente a essa idade. 
Assim, a probabilidade de que uma pessoa de 10 anos 
sobreviva até chegar aos 11 se encontra, na coluna (5), que 
é 0,992510, à frente de 35, na coluna “x” ou de “idade”. 
Encontramos na coluna (5) a cifra 0,991054, que indica em 
forma decimal a probabilidade de que uma pessoa de 35 anos 
alcance a idade de 36 anos.
Exemplo número 2
3.4 - Refl exão sobre as tábuas
A tábua de mortalidade é uma técnica estatística, que 
possibilita obter informações importantes sobre a mortalidade 
de uma população, permitindo traçar um perfi l dos usuários. 
É usada em situações de previsões e estudos de demanda 
para serviços de saúde, educação e relacionados ao mercado 
de trabalho, para estimativas de custo da seguridade social 
e de prêmios de seguros privados. No Brasil, temos tábuas 
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brasileiras do IBGE. 
Todos os índices e conclusões comentados são 
precedentes ao estudo atuarial das populações que gerou 
as análises com propósito de medir as probabilidades de 
sobrevivência e extinção daquela população, num determinado 
período.
Retomando a aula
Pessoal, acabamos mais uma aula, com muita 
informação. Mas não podia ser diferente em razão 
da complexidade do assunto. Vamos agora fazer uma 
rápida revisão.
1 - Tábua de mortalidade ou sobrevivência – 
Características 
Vimos na seção 1, que a tábua de mortalidade, também 
conhecida como tábua de sobrevivência, se refere a uma 
ferramenta que permite, por meio de estudos estatísticos, 
calcular as probabilidades de vida e morte de uma população.
2 - Aspectos da população
Na seção 2, vimos que as tábuas de mortalidade são 
apresentadas em forma de tabela, na qual se registra a cada 
ano, partindo-se de um grupo inicial de pessoas com a mesma 
idade, o número daquelas que vão atingindo as diferentes 
idades, até a extinção total do grupo inicial observado.
3 - Construção das Tábuas de Mortalidade
Na seção 3 vimos, que a informação referente às 
estatísticas de vida se dispõe em forma de tabela na tábua de 
mortalidade e dela se pode deduzir, por meio da teoria das 
probabilidades, a probabilidade de vida ou morte de uma 
pessoa. A compilação de estatísticas e a construção de tábuas 
de mortalidades para uso nos seguros de vida datam da mais 
remota antiguidade.
ht tps ://www.ed i toraroncara t i . com.br/v2/
phocadownload/artigos_e_estudos/tabuasdemortalidade.
pdf.
RANGEL, Sérgio. Professor da Universidade Federal 
do Rio Grande do Sul. Introdução á Atuária. Publicado em 
AGO/2007.
Vale a pena acessar
Vale a pena
http://lproweb.procempa.com.br/pmpa/prefpoa/
previmpa/usu_doc/artigo-introducao_ciencia_atuarial_
aplicada_ao_rpps.pdf.
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