Questão resolvida - A Hessiana da função f, dada por f(x,y)3xy - Cálculo II - Universidade Norte do Paraná (UNOPAR)

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• A Hessiana da função , dada por .f f x, y = 3x y( ) 2 2
 
Alternativas: 
 
 a. □ H xy = - 108x y( ) 2 2
 b. □ H xy = 36x y( ) 2 2
 c. ⬛ H xy = 108x y( ) 2 2
 d. □ H xy = 144x y( ) 2 2
 e. □ H xy = - 144x y( ) 2 2
 
 
Resolução:
 
A matriz Hessina de uma função é dada por;
 
H =f
𝜕 f
𝜕x
2
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕y
2
2
 
Assim, primeiro, é preciso obter todas as derivadas de segunda ordem de , como feito na f
sequência;
 
Antes, fazemos a derivada de 1° ordem, começando, aqui, com x = 3 ⋅ 2xy = 6xy→
𝜕f
𝜕x
2 2
 
2° derivada = 12xy = 6y→
𝜕f
𝜕x
2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
𝜕 f
𝜕x
2
2
2
 
2° derivada = 6xy = 2 ⋅ 6xy = 12xy→
𝜕f
𝜕x
2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
com a primeira derivada(
em relação a x)
𝜕f
𝜕x𝜕y
 
 
2° derivada
2° derivada
 
Agora, fazemos a derivada de 1° ordem em relação a y = 3 ⋅ 2x y = 6x y→
𝜕f
𝜕y
2 2
 
2° derivada = 6x y = 6x→
𝜕f
𝜕y
2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
𝜕 f
𝜕y
2
2
2
 
2° derivada = 2x y = 2 ⋅ 6xy = 12xy→
𝜕f
𝜕y
2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
com a primeira derivada(
em relação a y)
𝜕f
𝜕y𝜕x
 
Com isso, a matriz Hessina de é:f x, y( )
 
H =f
6y2 12xy
12xy 6x2
 
Conhecida a matriz Hessina, é possível chegar na função Hessiana com o seu determinante;
 
 O determinante de é;Hf
 
 
Dessa forma, a função hessiana de é:f x, y( )
 
H x, y = - 108x y( ) 2 2
 
 
2° derivada
2° derivada
6y2 12xy
12xy 6x2
H x, y = - 12xy ⋅ 12xy + 6y ⋅ 6x = - 144x y + 36x y = - 108x( ) 2 2 2 2 2 2
(Resposta)