Considere a função f(x,y) = 3xy2 + x3 - 3x, e determine os pontos críticos e a classificação que eles recebem. Na sequência, trace a representação ...

Para encontrar os pontos críticos da função f(x,y) = 3xy² + x³ - 3x, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero: fx = 3y² + 3x² - 3 = 0 fy = 6xy = 0 A partir da segunda equação, temos duas possibilidades: xy = 0 ou y = 0. Se xy = 0, então x = 0 ou y = 0. Substituindo y = 0 na primeira equação, temos x = ±1. Substituindo x = 0 na primeira equação, temos y = ±√1/3. Se y = 0, então x² - 1 = 0, o que nos dá x = ±1. Substituindo x = 1 na primeira equação, temos y = 0 ou y = ±√1/3. Substituindo x = -1 na primeira equação, temos y = 0 ou y = √1/3. Portanto, os pontos críticos são: (1,0), (-1,0), (0,0), (0,√1/3) e (0,-√1/3). Para classificar esses pontos, precisamos calcular a matriz Hessiana: H = [6x 6y; 6y 6x] Substituindo os pontos críticos na matriz Hessiana, temos: H(1,0) = [6 0; 0 6] (mínimo local) H(-1,0) = [-6 0; 0 -6] (máximo local) H(0,0) = [0 0; 0 0] (ponto de sela) H(0,√1/3) = [0 2; 2 0] (ponto de sela) H(0,-√1/3) = [0 -2; -2 0] (ponto de sela) Para traçar a representação gráfica da função no GeoGebra, podemos seguir os seguintes passos: 1. Abra o GeoGebra e selecione a opção "3D Graphics" na barra de ferramentas. 2. Digite a função f(x,y) = 3xy² + x³ - 3x na caixa de entrada. 3. Clique no botão "Enter" para plotar a função. 4. Use o mouse para girar a visualização e encontrar os pontos extremos. 5. Para visualizar melhor os pontos extremos, você pode usar a ferramenta "Point" para criar pontos nos pontos críticos encontrados anteriormente. 6. Para criar uma superfície que represente a função, você pode usar a ferramenta "Surface" e selecionar a função f(x,y) na caixa de diálogo. 7. Para colorir a superfície de acordo com os valores da função, você pode clicar com o botão direito do mouse na superfície e selecionar a opção "Properties". Na guia "Style", selecione a opção "Color by Value". 8. Para adicionar os pontos críticos à visualização, você pode clicar com o botão direito do mouse em cada ponto e selecionar a opção "Properties". Na guia "Style", selecione a opção "Point Size" e aumente o tamanho do ponto para torná-lo mais visível. Com esses passos, você deve ser capaz de traçar a representação gráfica da função f(x,y) no GeoGebra e visualizar onde estão localizados os pontos extremos.