Aula04_Analise Sinais_UNISUAM_BS_Estudo Dirigido 01_Roteiro_rev0

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2019/1 – ANÁLISE DE SINAIS E SIST. – ROTEIRO P/ ESTUDO DIRIGIDO #1 – UNISUAM Página 1 de 8 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA – UNISUAM 
SEMESTRE LETIVO: 2019/1 DISCIPLINA: ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS 
TURMA: ELT0701N Prof. Vinicius Coutinho 
Grupo nº: ____________________ Data: _______/________/________ 
Componentes do grupo: 
1 - ____________________________________________________________________________________________________ 
2 - ____________________________________________________________________________________________________ 
3 - ____________________________________________________________________________________________________ 
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***** ROTEIRO PARA ESTUDO DIRIGIDO #1 (Aula #04) ***** 
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1. Orientações Gerais 
 Fazer a leitura deste material. 
 Resolver, em grupo (até 03 alunos), os exercícios que constam neste material, 
dentro do tempo estipulado (indicado no quadro). 
 Alguns exercícios têm suas respostas indicadas ao final deste material. 
 Ao final, cada grupo será sorteado para ir ao quadro explicar uma questão para a 
turma. 
2. (Parte 1) Valor médio de uma forma de onda 
Já discutimos em sala de aula que o valor médio (valor DC) de um sinal periódico pode ser 
determinado através do cálculo da área da função que representa este sinal no intervalo 
de tempo de um período. Em outras palavras, o valor médio de um sinal periódico pode 
ser obtido numericamente através da integral da função que representa este sinal. Assim, 
o valor médio, VDC, de um sinal de tensão v(t) cujo período seja T é formalmente definido 
como: 
𝑉𝐷𝐶 =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡)
𝑇
0
𝑑𝑡 Eq.1 
Aliás, em qualquer intervalo fechado diferente de T, a forma de cálculo é similar. Para um 
intervalo entre a e b, temos que: 
𝑉𝐷𝐶 =
1
𝑏−𝑎
∫ 𝑣(𝑡)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 Eq.2 
Um sinal alternado, por definição, possui valor médio igual à zero. Por exemplo, seja uma 
senoide perfeita com amplitude (valor de pico) igual à Vm. Substituindo-se, na Eq.1, T pelo 
intervalo de um ciclo completo da senoide, que é 2, temos que: 




2
0
)(
2
1
dsenVV mDC  



2
0
)(
2
dsen
V
V mDC   
πm
DC θ
π
V
V
2
0cos
2
  
 )0cos(2cos
2
 
π
V
V mDC   )0cos2cos
2
 
π
V
V mDC   11
2

π
V
V mDC 
VDC = 0. 
 Exercício (1): 
Sejam as formas de onda das Figuras 1(a)(e). Calcule o valor médio das mesmas. 
 
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(a) (b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(e) 
Figura 1: formas de onda do exercício 1 
 
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 Exercício (2): 
Sejam os sinais de tensão gerados por duas fontes chaveadas mostrados nas Figuras 
2(a) e 2(b). Determine os valores DC e as frequências destes sinais. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2: sinais de tensão do exercício 2 
3. (Parte 2) Séries de Fourier 
3.1. Introdução 
Ao estudarmos sinais compostos, vimos que ondas não senoidais podem ser obtidas pela 
combinação de ondas senoidais especificamente relacionadas. 
Seja uma onda senoidal de frequência f1, f1 = (1/T). Chama-se f1 de frequência fundamental. 
Já uma senoide de frequência fn = (n × f1) é denominada n-ésima harmônica (ou harmônica 
de n-ésima ordem) da fundamental, onde n é um número inteiro positivo. 
Toda função periódica pode ser decomposta numa soma de senoides (ou de cossenoides) 
com frequências, fases e amplitudes adequadas. Esta soma de senoides é conhecida como 
série de Fourier do sinal. Na Aula 03 examinamos a decomposição de um sinal periódico 
quadrado em sua senoide de frequência fundamental somada a seus harmônicos ímpares 
(revise os slides desta aula, caso necessário). Outro exemplo, ilustrado na Figura 3, é a 
decomposição de um sinal periódico dente de serra (sawtooth waveform) até a harmônica 
 
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de 4ª ordem. Se a série não fosse truncada (isto é, se houvesse infinitos termos senoidais 
ou cossenoidais), obter-se-ia uma forma de onda dente de serra perfeita. 
 
Figura 3: decomposição da onda dente de serra em quatro termos senoidais 
Genericamente, a série de Fourier de um sinal v(t) é descrita na forma trigonométrica 
conforme a Eq.3: 
𝑣(𝑡) = 𝐶0 + 𝐶1cos⁡(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 𝐶2cos⁡(2𝜔1𝑡 + 𝜙2) + ⋯ Eq.3 
onde C0 representa o nível DC (constante) do sinal; 1 é a frequência angular fundamental; 
Cn são os coeficientes (amplitudes) dos n termos cossenoidais, e; n são os ângulos de fase 
respectivos a cada termo cossenoidal. 
Podemos, também, reescrever a Eq.3 na forma compacta, tal qual na Eq.4: 
𝑣(𝑡) = 𝐶0 +∑ 𝐶𝑛cos⁡(𝑛𝜔1𝑡 + 𝜙𝑛)
∞
𝑛=1 Eq.4 
3.2. Domínio da frequência 
Na Aula 03, verificamos que se cada amplitude (coeficiente) Cn da série de Fourier for 
plotada sobre um eixo de frequências, obtém-se um espectro discreto de amplitudes; ou 
seja, do ponto de vista do domínio da frequência, os termos da série de Fourier não se 
misturam. 
Representar sinais no domínio da frequência é conveniente em várias situações. Por 
exemplo, em algumas medições, como ruídos ou distorção harmônica, é difícil quantificar 
apenas inspecionando a forma de onda do tempo. Quando o mesmo sinal é mostrado no 
domínio da frequência, torna-se fácil medir as frequências harmônicas e as amplitudes. 
A Figura 4 ilustra como se dá a transformação de um sinal representado no domínio do 
tempo para o domínio da frequência. Na Figura 4(a), observa-se o sinal no domínio do 
 
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tempo, tal como na tela de um osciloscópio, e na Figura 4(b) o que seria sua decomposição 
em n senoides (a fundamental, cuja frequência é 1, e as harmônicas, cujas frequências são 
2, 3 ... n). As n componentes senoidais plotadas tridimensionalmente sobre os eixos de 
tempo e frequência são mostradas na Figura 4(c). Tomando-se as amplitudes (Cn) de cada 
componente e as plotando no plano frequência  amplitude, produz-se o gráfico da Figura 
4(d) (“espectro discreto de amplitudes”). 
 
(a) (b) 
 
(c) (d) 
Figura 4: transformação do sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência 
 Exercício (3): 
Esboce a representação no domínio da frequência dos sinais apresentados nas Figuras 
5(a)(c). 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 5: sinais do exercício 3 
 
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 Exercício (4): 
Esboce a representação no domínio da frequência do sinal dente de serra da Figura 3. 
 Exercício (5): 
Descreva a série de Fourier do sinal da Figura 5(c): (a) na forma trigonométrica 
genérica; (b) na forma trigonométrica compacta (isto é, usando o operador ). 
3.3. Cálculo dos coeficientes de Fourier 
A forma trigonométrica compacta da série de Fourier, mostrada na Eq.4, pode ser reescrita 
de modo ligeiramente diferente – vide Eq.5: 
𝑣(𝑡) = 𝐶0 +∑ (𝐴𝑛 cos 𝑛𝜔1𝑡 − 𝐵𝑛sen⁡𝑛𝜔1𝑡⁡)
∞
𝑛=1 Eq.5 
Na Eq.5, em lugar de se descrever a amplitude Cn e a fase n de cada componente, 
descrevem-se as amplitudes reais An (respectivas aos termos cossenoidais) e imaginárias 
Bn (respectivas aos termos senoidais). A Figura 6 relembra a relação trigonométrica básica 
entre o ângulo de um vetor e a projeção do mesmo sobre os eixos real e imaginário no 
ciclo trigonométrico. Na prática, é mais fácil se determinar An e Bn do que Cn e n. 
 
Figura 6: relação entre o coeficiente de Fourier (Cn) e as componentes real (An) e 
imaginária (Bn) 
Para se calcular o coeficiente C0 na Eq.5, adapta-se a Eq.1: 
𝐶0 =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡)
𝑡+𝑇
𝑡
𝑑𝑡 Eq.6 
Os coeficientes An e Bn são determinados conforme as equações Eq.7e Eq.8: 
𝐴𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑣(𝑡)cos⁡(2𝜋 × 𝑛 × 𝑓1)
𝑡+𝑇
𝑡
𝑑𝑡 Eq.7* 
 
𝐵𝑛 = −
2
𝑇
∫ 𝑣(𝑡)sen⁡(2𝜋 × 𝑛 × 𝑓1)
𝑡+𝑇
𝑡
𝑑𝑡 Eq.8* 
(*explicação detalhada em GLOVER, 2000) 
Caso necessário, é possível obter Cn e n a partir do cálculo de An e Bn: 
𝐶𝑛 = √𝐴𝑛
2 + 𝐵𝑛
2 Eq.9 
 
𝜙𝑛 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
𝐵𝑛
𝐴𝑛
) Eq.10 
 Exercício (6): 
Seja o sinal da Figura 7 (trem de pulsos retangular). Determine o valor médio (C0) do 
mesmo. 
 
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Figura 7: trem de pulsos retangular 
No sinal da Figura 7, para cálculo do coeficiente A1 aplica-se a Eq.7, conforme segue: 
𝐴1 =
2
0,01
∫ 3cos⁡(2𝜋 ×
1
0,01
𝑡)
0,002
0
𝑑𝑡 = 600 [
𝑠𝑒𝑛(2𝜋100𝑡)
2𝜋100
]
0
0,002
 = 0,9082 V. 
 Exercício (7): 
Seja o sinal da Figura 7. Calcule o coeficiente A2 do mesmo. 
Para se calcular os coeficientes B1 e B2, aplica-se a Eq.8. A resolução é similar à acima 
exemplificada, mas cabe lembrar que a integral de uma função sen(x)dx é [cos(x)]. 
 Exercício (8): 
Seja o sinal da Figura 7. Calcule os coeficientes B1 e B2 do mesmo. 
 Exercício (9): 
A partir dos valores de A1, A2, B1 e B2 acima determinados, calcule os coeficientes de 
amplitude C1 e C2 (empregando a Eq.9) e plote-os sobre o eixo de frequências 
(juntamente com C0, calculado no exercício 6). 
 Exercício (10): 
A partir dos valores de A1, A2, B1 e B2 acima determinados, calcule os coeficientes de 
fase 1 e 2 (empregando a Eq.10). 
4. Comentários finais 
 
Figura 8: o professor agradece. 
 
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5. Respostas selecionadas  
o Exercício (1): (a) VDC = 0; (b) VDC = (A/2); (c) VDC = 23 V; (d) VDC = 10 V; (e) VDC = 
5 V. 
o Exercício (5): (a) v(t) = 15 + 10 sen 16t + 5 sen 32t [volts]. 
o Exercício (6): C0 = 0,6 V. 
o Exercício (7): A2 = 0,2806 V. 
o Exercício (8): B1 = 0,6599 V; B2 = 0,8637 V. 
o Exercício (9): C1 = 1,1226 V; C2 = 0,9081 V. 
o Exercício (10): 1 = 0,6284 rad; 2 = 72°. 
6. Referências Bibliográficas 
 DE OLIVEIRA, V. C. Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas (slides da aula 02). Rio de 
Janeiro: UNISUAM, 2018. Disponível no ambiente do aluno. 
 __________. Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas (slides da aula 03). Rio de Janeiro: 
UNISUAM, 2018. Disponível no ambiente do aluno. 
 GLOVER, I., GRANT, P. Digital Communications. Inglaterra: Ed. Prentice Hall, 2000. 
Disponível no ambiente do aluno, na pasta “\MATERIAL DE APOIO”. 
 NATIONAL INSTRUMENTS. Ensinando conceitos difíceis: domínio da frequência em 
medições. National Instruments Corporation, 2016. Disponível em 
https://www.ni.com/white-paper/13419/pt/#toc1.