Optica Geometria Reflexão Refração

Prévia do material em texto

ÓPTICA GEOMÉTRICA 
 
1. REFLEXÃO E REFRAÇÃO 
 
 
LEI DA REFLEXÃO 
 
ri θθ ′= 
 
LEI DA REFRAÇÃO 
 
Rsennisenn θθ 21 = 
 
DISPERSÃO CROMÁTICA 
 
 
 
REFLEXÃO INTERNA TOTAL 
 
 
 
 
1
21
n
n
senC
−
=θ 
 
Demonstração Das Leis Da Reflexão E Refração Usando Os Princípios De Huygens (Físico Holandês – 
1629-1695) e Fermat (Matemático Francês – 1601-1665). 
� A figura acima mostra a frente de uma onda plana AA´ incidindo em um espelho no ponto A no 
instante t = 0. Como podemos ver, o ângulo φ entre a frente de onda e o espelho é igual ao ângulo de 
incidência �� ��� é o ângulo entre a normal ao espelho e a normal à frente de onda. 
� Pelo princípio de Huygens, cada ponto da frente de onda pode ser considerando um fonte de ondas 
secundárias. 
� A posição da frente de onda no instante t é determinada construindo-se ondas esféricas de raio ct cujos 
centros estão na frente de onda AA´. 
A B C
A´
B´
C´
θ = φ
φ
C´´
B´´
� As ondas que não incidem no espelho contribuem para a formação da frente de onda BB´ 
� As ondas que incidem no espelho são refletidas e contribuem para a formação da frente de onda 
BB´´. 
� Do mesmo modo, a posição da frente de onda no instante 2t é determinada construindo-se ondas 
esféricas de raio ct cujos centros estão na frentes de onda BB´ e BB´´. 
� De modo semelhante, a frente de onda C´´C é obtida das ondas que se originam da frente de onda 
B´´B. 
 
REFLEXÃO 
� A figura à esquerda mostra 
uma ampliação da figura 
anterior onde o segmento 
AP, que é parte da frente de 
onda original. 
� No instante t, a onda 
secundária com centro no 
ponto P incide no espelho 
no ponto B e no mesmo 
instante, a onda secundária 
com centro no ponto A 
chega ao ponto B´´. 
� A onda refletida BB´´ faz 
com o espelho um ângulo 
′
1φ que é igual ao ângulo 
de reflexão ′1θ entre o raio 
refletido e a normal ao 
espelho. 
� Os triângulos ABP e BAB´´ são retângulos com um lado comum, AB, e lados iguais AB´´ = BP = ct. 
� Portanto, os dois triângulos são congruentes e os ângulos 1φ e ′1φ são iguais o que significa que o 
ângulo de reflexão �1´ é igual ao ângulo de incidência �1. 
 
 
REFRAÇÃO 
� A figura acima mostra uma onda incidindo sobre a superfície de separação de dois meios, como por 
exemplo, ar-vidro. O segmento AP representa parte da frente de onda incide no ponto A sobre a 
superfície do vidro no instante t = 0. 
A B
A´
B"
P
θ1
θ´1
φ1 φ´1
ct
ct
θ1
θ2
φ1
φ2
A
B
P
B´
v2t
v1t
� No intervalo de tempo t, a onda secundária com centro no ponto P, percorre uma distância v1t e chega 
ao ponto B da interface, enquanto a onda secundária com centro no ponto A percorre uma distância 
menor, v2t, no vidro. 
� A nova frente de onda BB´ não é paralela à frente de onda original AP porque as velocidades são 
diferentes, ou seja, 21 vv ≠ 
� O triângulo APB é retângulo e, conseqüentemente, 
 
AB
tv1sin =φ 
ou 
1sin
1
1sin
1
θφ
tvtv
AB == 
 
já que o ângulo φ1 é igual ao ângulo de incidência �1. Da mesma forma, como AB´B é um triângulo 
retângulo, temos: 
 
AB
tv2sin =φ 
ou 
2sin
2
2sin
2
θφ
tvtv
AB == 
���� �2 = φ2 é o ângulo de refração. Igualando os dois valores de AB, temos: 
2
2sin
1
1sin
vv
θθ
= 
2sin21sin1
2
2 e 
1
1 θθ nnn
c
v
n
c
v =⇒== 
 
PRINCÍPIO DE FERMAT – A trajetória da luz ao viajar de um ponto para outro é tal que o tempo de 
percurso é mínimo. 
 
REFLEXÃO 
A
A´
Espelho
B
P1 Pmin
� A figura mostra duas trajetórias nas quais a luz parte do ponto A, incide sobre uma superfície plana, 
como a de um espelho e chega ao ponto B. 
� A questão que deveremos responder, baseada no princípio de Fermat é a seguinte: “Em que ponto 
sobre a superfície do espelho deve a luz atingir a fim de o tempo para ir do ponto A ao ponto B seja o 
menor possível? 
� A resposta esta no fato de que estando a luz estando viajando no mesmo meio, o tempo será mínimo 
quando a distância for mínima. 
� Como podemos ver da figura acima, PBAAPB ′= onde A´ é a imagem da fonte A. 
� O ponto A´ é a projeção de A em relação à superfície do espelho. Isto significa dizer que a distância 
de A ao espelho é a mesma distância de A´ ao espelho. 
� Fazendo variar a posição do ponto P, vemos que a distância A´PB e portanto APB, é mínima quando 
os pontos A´, P e B estiverem alinhados o que implica que o ângulo de reflexão será igual ao ângulo 
de incidência. 
 
REFRAÇÃO 
� Baseado no princípio de Fermat, deveremos responder a mesma questão para o caso da refração. 
Obviamente este problema será mais difícil uma vez que a luz ao passa de um meio para outro tem sua 
velocidade alterada. 
� A figura mostra a construção geométrica usada para determinar a trajetória correspondente ao menor 
tempo de percurso. Se L1 é a distância percorrida no 1, cujo índice de refração é n1, e L2 é a distância 
percorrida no meio 2, cujo índice de refração é n2, o tempo que a luz leva para percorrer a distância 
total AB é dado por: 
 
c
Ln
c
Ln
n
c
L
n
c
L
v
L
v
L
t 2211
2
2
1
1
2
2
1
1 +=+=+= (1) 
 
� Para determinarmos a posição do ponto Pmin para o qual o tempo será mínimo, vamos expressar o 
tempo em função do parâmetro x que depende da posição do ponto Pmin. 
 
( )2222L e 2221 xdbxaL −+=+= (2) 
 
� O tempo será mínimo quando: 
0=
dx
dt
 (3) 
 
x
d - x
L1
L2
A
B
θ1
θ2
b
a
P
min
d
Portanto: 
022
1
1
1
=



+=
dx
dL
n
dx
dL
n
cdx
dt
 (4) 
 
Por outro lado: 
 
1
12112 L
x
x
d
dL
x
x
d
dL
L =∴= (5) 
 
mas da figura vemos que 
 
1sin
1
1sin
1
θθ =⇒=
x
d
dL
L
x
 (6) 
 
da mesma forma 
 
( )( ) 2sin
2
212222 θ−=
−
−=∴−−=
L
xd
x
d
dL
xd
x
d
dL
L (7) 
 
substituindo (6) e (7) em (4) obtemos que: 
 
( )
2sin21sin1
02sin21sin10
2
2
1
1
θθ
θθ
nn
nn
dx
dL
n
dx
dL
n
=
∴=−+⇒=+
 
 
ESPELHOS 
 
Espelhos Planos 
� A figura mostra a imagem de um sistema de coordenadas retangulares em um espelho plano. A seta 
que aponta na direção do eixo z aparece invertida na imagem. A imagem do sistema de coordenadas 
original que dextrogiro, pois kji
�
��
=× , é um sistema levogiro, para o qual kji
�
��
−=× . 
 
 
 
i
j
k
i
j
k
x
y
z
x´
y´
z´
espelho
� A figura mostra o diagrama de raios para determinar a posição da imagem de uma seta produzida por 
um espelho plano. 
� Da análise da figura, concluímos que os dois triângulos são congruentes e, conseqüentemente temos 
que: 
´ss −= 
 A distância da imagem ao espelho é igual à distância do objeto ao espelho. 
 
� Da figura, também podemos concluir que ´yy = 
 
� A primeira equação nos diz que a imagem formada pelo espelho plano é virtual, ou seja, formada pelo 
prolongamento dos raios refletidos. Também vemos que o tamanho da imagem é exatamente igual ao 
tamanho do objeto. 
� Alguns autores chamam a distância do objeto ao espelho de p, enquanto a distância da imagem ao 
espelho é denominada de i. Assim, podemos escrever a primeira equação como: 
pi −= 
 
� Do mesmo modo, a altura do objeto é denominada pela letraO, enquanto a altura da imagem pela 
letra I. Assim, OI = para um espelho plano. 
 
Espelhos Esféricos 
� a figura nos mostra um espelho côncavo no qual o seu centro de curvatura C, está à esquerda do 
vértice do espelho. 
� No espelho côncavo a imagem é 
maior que o objeto. 
� O raios que incidem sobre um 
espelho paralelamente ao eixo 
central, eles são refletido para um 
ponto situado à meia distância entre 
o centro e o vértice do espelho, 
denominado de foco e a distância do 
foco ao vértice é denominada de 
distância focal, f. 
 
2
rf = 
� O foco de um espelho côncavo é 
real e está situado no lado R do 
espelho. 
θ
θ
y
P
y´
P´
s s´
espelho
C
O
I
p i
r
eixo central
� A figura nos mostra um espelho 
convexo. 
� Ao contrário do espelho côncavo, 
o centro de curvatura do espelho 
convexo encontra-se à direita da 
superfície refletora do espelho e 
portanto, este lado é denominado 
de lado V, ou seja, lado virtual. 
� Como o foco de um espelho 
convexo encontra-se no lado V, ele 
é denominado de foco virtual. 
� Os espelho convexos sempre 
formam imagens virtuais, com a 
mesma orientação do objeto, 
porém de tamanho menor que o 
objeto. 
� Os espelhos côncavos podem 
formar imagens reais ou virtuais 
dependendo de onde o objeto se 
encontra em relação ao vértice do mesmo. 
� Do mesmo modo, a imagem poderá ser direita ou invertida, maior ou menor que o objeto. 
 
Equações para os Espelhos Esféricos 
 
2
rf = (espelho esférico) 
 
fip
111
=+
 (espelho esférico) 
 
rip
211
=+
 (espelho esférico) 
 
h
h
m
´
= (ampliação lateral) 
p
i
m −= 
 
Regras de Sinal para os Espelhos Esféricos 
 
p + se o objeto está na frente do espelho (objeto real) 
p - se o objeto está atrás do espelho (objeto virtual) 
i + se a imagem está na frente do espelho (imagem real) 
i - se a imagem está na atrás do espelho (imagem virtual) 
r, f + se o centro de curvatura está na frente do espelho (espelho côncavo). 
r, f - se o centro de curvatura está na atrás do espelho (espelho convexo) 
 
C
O
I
p i
r
eixo central