Questão resolvida - A massa da placa de densidade , dada por (x,y)3_8 kg_m, limitada pelas parábolas y16-x e yx-16 é_ - Cálculo II - Universidade Norte do Paraná (UNOPAR)

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• A massa da placa de densidade , dada por , limitada pelas 𝛿 𝛿 x, y = kg / m( )
3
8
2
parábolas e é?.y = 16 - x2 y = x - 162
 
Alternativas: 
 
 a. ⬛ 64 kg
 b. □ 74 kg
 c. □ 84 kg
 d. □ 94 kg
 e. □ 104 kg
 
 
Resolução:
 
A massa de uma placa limitada por 2 curvas é dada por;
 
m = 𝛿 x, y dA∫
R
∫ ( )
 
Assim, primeiro vamos descobrir a região que desejamos calcular a densidade, essa R
região, como dito no enunciado é delimitada pelas parábolas e , y = 16 - x2 y = x - 162
igualando essas curvas, obetemos os pontos de intercessão, como feito na sequência;
 
16 - x = x - 16 x - 16 = 16 - x x + x = 16 + 16 2x = 32 x =2 2 → 2 2 → 2 2 → 2 → 2
32
2
 
x = 16 x = ± x = ±42 → 16 →
 
 
Com isso, temos que as curvas se interceptam nos pontos de coordenada , x = 4 e x = -4
as coordenadas são;y
 
x = 2 y = 16 - 4 y = 16 - 16 y = 0 Ponto = 4, 0→ ( )2 → → → ( )
 
x = -2 y = 16 - -4 y = 16 - 16 y = 0 Ponto = -4, 0→ ( )2 → → → ( )
 
Perceba que esses pontos são onde as curvas tocam o eixo x.
 
Em relação ao eixo , quando , encontramos onde as curvas tocam em ;y x = 0 y
 
x = 0 y = 16 - 0 y = 16→ ( )2 →
 
x = 0 y = 0 - 16 y = -16→ ( )2 →
 
 
A primeira curva tem concavidade voltada para baixo, toca o eixo em e o eixo em . x ±4 y 16
Já a segunda curva, tem concavidade voltada para cima, toca o eixo também em e o x ±4
eixo em . Com essas informações, podemos traçar o gráfico da região sobre a qual y -16 R
devemos fazer integração dupla para descobrir o volume;
 
 
Perceba, pela figura, que a região de intergração vai no eixo de a , já no eixo , vai da x -4 4 y
curva de baixo ( ) até a curva de cima ( ). Considerando , y = 16 - x2 x - 162 dA = dydx
temos que a integral que fornece a massa chapa é;
 
m = dydx
4
∫
-4
∫16-x
2
x -162
3
8
Perceba pela figura que a região é simétrica entre e , em relação ao eixo , então;4 -4 x
 
m = dydx = 2 dydx
4
∫
-4
∫16-x
2
x -162
3
8
4
0
∫ ∫16-x
2
x -162
3
8
 
 
4, 0( )-4, 0( )
0, -16( )
0, 16( )
"Puxando" a contante para fora da integral e simplicando;
 
Resolvendo;
 
m = 1dydx = y dx = 16 - x - x - 16 dx
3
4
4
0
∫ ∫16-x
2
x -162
3
4
4
0
∫
16-x
x -16
2
2
3
4
4
0
∫ 2 2
 
m = 16 - x - x + 16 dx = 32 - 2x dx = 32x -
3
4
4
0
∫ 2 2 3
4
4
0
∫ 2 3
4
2x
3
3 4
0
 
m = 64 kg
 
 
m = 2 ⋅ 1dydx = 1dydx
3
8
4
0
∫ ∫16-x
2
x -162
3
4
4
0
∫ ∫16-x
2
x -162
4
 m = 32 ⋅ 4 - - 32 ⋅ 0 -
3
4
2 ⋅ 4
3
( )3 3
4
2 ⋅ 0
3
( )3
 
 m = ⋅ 32 ⋅ 4 - ⋅ = 3 ⋅ 32 - 2 ⋅ 4 = 96 - 2 ⋅ 16 = 96 - 32
3
4
3
4
2 ⋅ 4
3
( )3
2
0
2
(Resposta)