Questão resolvida - Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através da

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• Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. 
Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram 
inacessíveis através da Geometria Plana Clássica. Segundo isto, se , f x = 2x² + 1( )
determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo , da região x
sob o gráfico de no intervalo .f 0, 1[ ]
 
Resolução:
 
O primeiro passo é encontrar onde a função toca os eixos coordenados ;f x( ) (eixos x e y)
 
Se x = 0 f 0 = 2 0 + 1 = 2 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1 a função toca o eixo y em 1→ ( ) ( )2 →
 
 
Se f x = y = 0 0 = 2x + 1 2x + 1 = 0 2x = - 1 x =( ) → 2 → 2 → 2 → 2
-1
2
x = logo, não existe x pertencente a R e a função não toca o eixo x-
1
2
→
 
Com essas informações, sabendo que o intervalo da área que desejamos girar em torno do eixo x
 e sabendo que é uma parábola com concavidade voltada para cima, podemos traçar o gráfico 0, 1[ ] f
com a região, como visto na sequência;
 
 
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução, método dos discos, girando em 
torno do eixo , é;x
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
Queremos o volume formado pela função e o eixo , o limite de integração vai de a , f x 0 1
com isso, o volume que queremos é dado por; 
 
V = 𝜋 2x² + 1 dx
1
0
∫ [ ]2
Resolvendo;
 
V = 𝜋 2x² + 1 dx = V = 𝜋 2x² + 2 ⋅ 2x² ⋅ 1 + 1 dx
1
0
∫ [ ]2
1
0
∫ ( )2 ( )2
 
V = 𝜋 2 x + 4x + 1 dx = 𝜋 4x + 4x + 1 dx = 𝜋 4 ⋅ + 4 ⋅ + x
1
0
∫ ( )2 2⋅2 2
1
0
∫ 4 2 x
5
5 x
3
3 1
0
 
V = 𝜋 + + 1 = 𝜋 + + 1 = 𝜋
4 ⋅ 1
5
4 ⋅ 1
3
4
5
4
3
12 + 20 + 15
15
 
V = u. v.
47𝜋
15
 
 
V = 𝜋 + + x = 𝜋 + + 1 - + + 1
4x
5
5 4x
3
3 1
0
4 1
5
( )5 4 1
3
( )3 4 0
5
( )5 4 0
3
( )3
0
(Resposta )