4-Lajes maciças em concreto armado

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Dimensionamento de lajes maciças em concreto armado, com definição das cargas e esforços, verificação de flechas e desenvolvimento do equilíbrio de esforços, além de
detalhamento e apresentação da armadura e espessura de concreto no projeto da laje.
PROPÓSITO
Elaborar o modelo de pré-dimensionamento, definindo as cargas e os esforços atuantes no elemento estrutural, bem como verificar as flechas e realizar o dimensionamento das lajes
maciças em concreto armado, é fundamental para o correto detalhamento do projeto da laje que será enviado para posterior execução.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, certifique-se de que tem acesso a uma calculadora científica e a papel e caneta para resolver os exercícios. Além disso, baixe a tabela
adimensional para o dimensionamento de armadura longitudinal para aço CA 50 e concreto até C50, pois ela será necessária para acompanhar os cálculos apresentados no módulo
4.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir o pré-dimensionamento e o conceito de cargas e esforços em lajes isoladas
MÓDULO 2
Aplicar os cálculos para verificação de flechas
MÓDULO 3
Formular o equilíbrio de esforços e o dimensionamento
MÓDULO 4
Definir o detalhamento e a apresentação de projeto
LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO

AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO: ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA.
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos
números e das unidades.
MÓDULO 1
 Definir o pré-dimensionamento e o conceito de cargas e esforços em lajes isoladas
javascript:void(0)
COMO REALIZAR O PRÉ-DIMENSIONAMENTO EM LAJES MACIÇAS ISOLADAS
PRÉ-DIMENSIONAMENTO, CARGAS E ESFORÇOS EM LAJES ISOLADAS
O primeiro passo para obter um projeto executivo de lajes maciças em concreto armado consiste em determinar as dimensões no pré-dimensionamento e as cargas e os esforços que
atuarão na laje durante o processo construtivo e, depois, ao longo de sua vida útil. Antes disso, porém, é preciso realizar algumas determinações e definições para a laje maciça. É o
que você verá a seguir.
DEFINIÇÕES PRELIMINARES DO PROJETO EM CONCRETO ARMADO
Antes de iniciar o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado, o engenheiro precisa buscar informações sobre o local onde a edificação estará inserida a fim de
determinar a classe de agressividade ambiental (CAA) do meio e consequentemente obter a classe do concreto a ser utilizada no projeto e o cobrimento nominal das armaduras.
ESSAS INFORMAÇÕES PODEM SER RETIRADAS DE TABELAS FORNECIDAS PELA ABNT NBR 6118:2014.
A tabela 1 relaciona o meio onde a edificação estará inserida e sua CAA.
Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submersa
II Moderada Urbana Pequeno
III Forte
Marinha
Grande
Industrial
IV Muito forte
Industrial
Elevado
Respingos de maré
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1. CAA.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 17.
Clique na aba a seguir e saiba mais:
ABNT NBR 6118:2014:
Para as classificações gerais urbana, marinha e industrial (a última, com agressividade forte ou muito forte), pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade
mais branda (uma classe acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais
ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).
Para as classificações gerais urbana e industrial com agressividade forte, pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões de
clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde
raramente chove.
A classificação geral industrial muito forte se refere a ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel,
armazéns de fertilizantes e indústrias químicas.
Definida a CAA da edificação, seguimos para a etapa de determinação da classe do concreto (C), que pode ser obtida na tabela 2. A relação água-cimento será de grande importância
para o engenheiro responsável pela dosagem do concreto. Já o engenheiro estrutural deverá estar atento à C que precisa ser adotada no projeto estrutural.
A tabela 2 apresenta valores para concreto armado (CA) e concreto protendido (CP) apenas para efeito de comparação, já que estudaremos apenas o CA.
Concreto Tipo
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Relação água/cimento em massa
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45
CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45
Classe de concreto (ABNT NBR 8953)
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40
CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 2. Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 18.
Segundo a ABNT NBR 6118:2014:
O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655.
O tipo CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado; o CP, a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
 ATENÇÃO
Outra informação de grande importância para o engenheiro estrutural é o cobrimento nominal que será adotado no projeto. Esse cobrimento garante a proteção da armadura pelo
concreto. Ele aparece na tabela 3, apenas para concreto armado, com uma variação
de 10mm.
Tipo de estrutura Componente ou elemento
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Cobrimento nominal (mm)
Concreto armado
Laje 20 25 35 45
Viga/pilar 25 30 40 50
Elementos estruturais em contato com o solo 30 30 40 50
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 3. Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para ∆c = 10mm para concreto armado.
Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 20.
Os cobrimentos nominais (
) e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa; em geral, à face externa do estribo (armadura referente às tensões de cisalhamento).
DE ACORDO COM A ABNT NBR 6118:2014:
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos tipo carpete e madeira ou argamassa de revestimento e
acabamento, como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências da tabela 3 podem ser substituídas por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o
referente ao diâmetro da armadura longitudinal e respeitado um cobrimento nominal maior ou igual a 15mm.
Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em
ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV.
No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura precisa ter cobrimento nominal maior ou igual a 45mm.
CONCEITOS PARA O PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS
NESTA SEÇÃO, APRESENTAREMOS ALGUNS CONCEITOS QUE PRECISAM SER ENTENDIDOS ANTES DA
REALIZAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE MACIÇA EM CONCRETO ARMADO.
Primeiramente, é preciso montar o projeto de formas do pavimento, ou seja, definir o posicionamento dos pilares e das vigas da estrutura, para então determinar as lajes.A imagem
adiante apresenta uma planta de formas do primeiro pavimento de uma residência unifamiliar (casa). Vale lembrar que, como visto anteriormente, os elementos estruturais devem ser
posicionados considerando o projeto arquitetônico e os demais projetos complementares.
É a partir do projeto de forma que determinaremos os vãos das lajes. Os vãos teórico e de cálculo são medidos pelas distâncias entre os centros dos apoios. Nas lajes em balanço, o
comprimento teórico é o comprimento da extremidade livre até o centro do apoio (a laje L1 da imagem a seguir apresenta um lado em balanço, isto é, sem apoio de vigas).
Entretanto, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, não é necessário adotar valores maiores que:
Em lajes isoladas – o vão livre acrescido de 60% da espessura da laje;
Em lajes contínuas – o vão livre acrescido de 60% da espessura da laje no painel considerado.
EM GERAL, PARA FACILITAR O CÁLCULO, É USUAL CONSIDERAR OS VÃOS TEÓRICOS ATÉ OS EIXOS
DOS APOIOS.
Quando os apoios das lajes puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (
) a ser utilizado para as lajes pode ser calculado, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos;
é o menor valor entre
e
Δc
Cnon
cnon  ≥ ∅barra 
∅barra 
lef
lef = l0 + a1 + a2
l0
a1
t1/2
0, 3 ⋅ h
; e
é o menor valor entre
e
.
 Vão efetivo em lajes.
 Planta de formas de uma edificação unifamiliar do primeiro pavimento (com medidas em centímetros).
As lajes maciças são definidas como a região entre quatro ou três vigas. A borda da laje sem viga será considerada uma borda livre, conceito que será visto mais à frente. A imagem
(a) adiante ilustra uma laje entre três vigas, e a imagem (b), uma laje entre quatro vigas, ambas retiradas da planta de formas da imagem anterior. Ainda pode haver aquelas com duas
e até três bordas livres – é o caso da laje em balanço.
 (a) Laje entre três vigas e (b) laje entre quatro vigas.
Na classificação quanto à armação, a laje pode ser armada em duas direções (em cruz) ou em uma direção. Para classificar a laje, é preciso comparar a razão entre o menor (
) e o maior vão (
). Se
, a laje será armada em duas direções; caso contrário, em uma direção.
A imagem a seguir ilustra a diferença entre lajes armadas em uma e em duas direções. Naquelas armadas em duas direções, as duas áreas de armaduras (
e
) são calculadas para resistir aos momentos fletores nessas direções.
 Laje armada (a) em duas direções e (b) em uma direção.
Já as lajes armadas em uma direção, na realidade, também têm armaduras nas duas direções, sendo a armadura principal (
), na direção do menor vão, calculada para resistir ao momento fletor nessa direção, que é obtido desprezando a existência da outra direção.
PORTANTO, A LAJE É CALCULADA COMO SE FOSSE UM CONJUNTO DE VIGAS-FAIXA NA DIREÇÃO DO
MENOR VÃO. NA DIREÇÃO DO MAIOR VÃO, COLOCA-SE ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO (
), CONSIDERANDO A ÁREA MÍNIMA DADA PELA ABNT NBR 6118:2014.
Outro conceito importante é a determinação dos bordos da laje, que podem ser livres, simplesmente apoiados ou engastados. A representação dessas vinculações pode ser vista a
seguir.
 Representação das vinculações das lajes.
 SAIBA MAIS
A borda livre é caracterizada pela ausência de apoio e por apresentar deslocamentos verticais e rotação. Nas bordas engastadas, tanto os deslocamentos quanto as rotações são
impedidas. Nas bordas simplesmente apoiadas, são impedidos apenas os deslocamentos verticais. Lajes que apresentam continuidade são engastadas, sendo o engastamento
a2
t2/2
0, 3 ⋅ h
lx
ly
ly/lx ≤ 2
Asx
Asy
Asx
Asy
promovido pela laje adjacente.
A borda da laje será considerada engastada caso a laje vizinha tenha rigidez suficiente para impedir a rotação da borda comum às duas lajes. Caso isso não ocorra ou se ela não tiver
ligação com outra laje, a borda será considerada simplesmente apoiada. Para lajes em balanço com três bordas livres, a quarta borda deverá ser obrigatoriamente engastada, como
mostra a imagem adiante:
 Representação de laje em balanço com três bordas livres e uma engastada.
Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-se
simplesmente apoiada a laje com maior espessura.
Uma borda da laje pode ficar com uma parte engastada e a outra apoiada, como demonstra a imagem a seguir. Um critério aproximado, possível para esse caso, é dado por:
– considera-se a borda totalmente apoiada;
– calculam-se os esforços para as duas situações (borda totalmente apoiada e borda totalmente engastada) e adotam-se os maiores valores no dimensionamento;
– considera-se a borda totalmente engastada.
 Exemplo de viga com borda parcialmente engastada e parcialmente apoiada.
 RESUMINDO
Em resumo, as lajes sem continuidade, diretamente apoiadas sobre as vigas ou alvenaria, são supostas simplesmente apoiadas sobre os apoios. As lajes rebaixadas devem ser
consideradas simplesmente apoiadas nos quatro lados. Balanços são supostos obrigatoriamente engastados. Quando há continuidade de uma laje sobre um apoio, a menor laje é
sempre considerada engastada. Uma laje pode estar engastada em outra, mesmo não havendo continuidade em toda a extensão do apoio comum, desde que, pelo menos em
do apoio, haja continuidade.
Nas situações em que não é claro o modo como o bordo de uma laje se vincula na vizinha, recomenda-se verificar as duas possibilidades (engastada e simplesmente apoiada) e
dimensioná-la com os maiores esforços obtidos em cada situação (momentos negativos para borda engastada e positivos para bordas simplesmente apoiadas).
NÃO SE DEVE ENGASTAR UMA LAJE DE MAIOR ALTURA EM UMA DE MENOR ALTURA. ENTRE LAJES
CONTÍNUAS, POR SUA VEZ, O COMPRIMENTO DO VÃO DA LAJE QUE RECEBERÁ O ENGASTAMENTO
NÃO PODE SER INFERIOR A 80% DO VÃO DAQUELA QUE SERÁ ENGASTADA.
A partir desses conceitos, daremos sequência ao pré-dimensionamento e ao cálculo dos esforços em lajes maciças em concreto armado.
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS
O pré-dimensionamento da laje consiste na determinação de sua espessura (altura). A ABNT NBR 6118:2014 não informa a altura inicial a ser adotada, porém estipula os valores
mínimos que podem ser empregados:
7cm para lajes de cobertura não em balanço;
 
8cm para lajes de piso não em balanço;
 
10cm para lajes em balanço;
 
10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN;
 
12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30kN;
 
16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
A altura das lajes (
) pode ser obtida pela expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo d a altura útil da laje e
ly1 ≤ ly/3
ly/3 ≤ ly1 ≤ 2 ⋅ ly/3
ly1 > 2 ⋅ ly/3
2/3
h
h = d + + cnon
∅
2
∅
, o diâmetro da barra.
 Altura da viga.
Conforme dito anteriormente, como na ABNT NBR 6118:2014 não há recomendação sobre a altura inicial a ser adotada, será utilizada como base a recomendação da ABNT NBR
6118:1980, na qual as condições de deformações limites para vigas em “T” estariam atendidas quando o valor da altura útil obedecer à condição:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
e
são coeficientes que dependem da vinculação e do tipo de aço, respectivamente. Os casos de vinculação para as lajes isoladas serão apresentados na imagem a seguir:
 Imagem A: Situações de vinculação das lajes isoladas.
A imagem adiante expõe situações de vinculação de lajes isoladas: (a) com uma borda livre e (b) com duas bordas livres, sendo
o vão perpendicular ao vão livre e
, o lado com o vão livre.
 Imagem B: Situações de vinculação de lajes isoladas: (a) com uma borda livre e (b) com duasbordas livres.
Os valores para
, para os casos de vinculação da imagem A, estão apresentados na tabela 4; já os valores para
, para os casos de vinculação de B, aparecem na tabela 5. Vale ressaltar que os valores de
das tabelas são para lajes armadas em cruz, ou seja, armadas em duas direções. Esses valores variam em função da vinculação e do
, que é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nos casos de vinculação das lajes com uma borda livre,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20
1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18
1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15
d ≥
lx
Ψ2 ⋅ Ψ3
Ψ2
Ψ3
la
lb
Ψ2
Ψ2
Ψ2
λ
λ =
ly
lx
λ
λ =
la
lb
λ
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13
1,20 1,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94 2,10
1,25 1,40 1,55 1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93 2,08
1,30 1,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84 1,82 1,91 2,05
1,35 1,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,90 2,03
1,40 1,34 1,46 1,58 1,64 1,62 1,82 1,76 1,88 2,00
1,45 1,32 1,4 1,57 1,62 1,59 1,81 1,73 1,87 1,98
1,50 1,30 1,40 1,55 1,60 1,55 1,80 1,70 1,85 1,95
1,55 1,28 1,37 1,54 1,58 1,52 1,79 1,67 1,84 1,93
1,60 1,26 1,34 1,52 1,56 1,48 1,78 1,64 1,82 1,90
1,65 1,24 1,31 1,51 1,54 1,45 1,77 1,61 1,81 1,88
1,70 1,22 1,28 1,49 1,52 1,41 1,76 1,58 1,79 1,85
1,75 1,20 1,25 1,48 1,50 1,38 1,75 1,55 1,78 1,83
1,80 1,18 1,22 1,46 1,48 1,34 1,74 1,52 1,76 1,80
1,85 1,16 1,19 1,45 1,46 1,31 1,73 1,49 1,75 1,78
1,90 1,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72 1,46 1,73 1,75
1,95 1,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,72 1,73
2,00 1,10 1,10 1,40 1,40 1,20 1,70 1,40 170& 1,70
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 4. Valores de
utilizados no pré-dimensionamento da altura das lajes armadas em cruz.
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 339.
Casos
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
< 0,50 - - 0,50 0,50 - 0,50 - - - -
0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 - - - -
0,55 0,59 0,72 0,61 0,72 0,65 0,66 - - - -
0,60 0,67 0,90 0,70 0,90 0,77 0,80 - - - -
0,65 0,73 1,05 0,78 1,05 0,87 0,92 - - - -
0,70 0,79 1,19 0,84 1,19 0,96 1,01 - - - -
0,75 0,83 1,30 0,90 1,30 1,03 1,10 - - - -
0,80 0,87 1,40 0,95 1,40 1,10 1,17 - - - -
0,85 0,91 1,49 0,99 1,49 1,16 1,24 - - - -
0,90 0,94 1,57 1,03 1,57 1,21 1,30 - - - -
0,95 0,97 1,64 1,07 1,64 1,26 1,35 - - - -
1,00 1,00 1,70 1,10 1,70 1,30 1,40 0,50 0,60 0,60 0,70
1,10 1,00 1,70 1,09 1,70 1,30 1,39 0,48 0,59 0,59 0,68
1,20 1,00 1,70 1,08 1,70 1,30 1,38 0,46 0,58 0,58 0,66
1,30 1,00 1,70 1,07 1,70 1,30 1,37 0,44 0,57 0,57 0,64
1,40 1,00 1,70 1,06 1,70 1,30 1,36 0,42 0,56 0,56 0,62
1,50 1,00 1,70 1,05 1,70 1,30 1,35 0,40 0,55 0,55 0,60
1,60 1,00 1,70 1,04 1,70 1,30 1,34 0,38 0,54 0,54 0,58
1,70 1,00 1,70 1,03 1,70 1,30 1,33 0,6& 0,53 0,53 0,56
1,80 1,00 1,70 1,02 1,70 1,30 1,32 0,34 0,52 0,52 0,54
1,90 1,00 1,70 1,01 1,70 1,30 1,31 0,32 0,51 0,51 0,52
2,00 1,00 1,70 1,00 1,70 1,30 1,30 0,30 0,50 0,50 0,50
λ
Ψ2
λ
Casos
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
> 2,00 1,00 1,70 1,00 1,70 1,30 1,20 - 0,50 - 0,50
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 5. Valores de
utilizados no pré-dimensionamento da altura das lajes armadas em cruz.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:1980, p. 23.
A tabela 6, por sua vez, apresenta os valores de
para lajes armadas em uma direção.
Situação da laje
Simplesmente apoiada 1,0
Contínua 1,2
Duplamente engastada 1,7
Em balanço 0,5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 6. Valores de Ψ2 utilizados no pré-dimensionamento da altura das lajes armadas em uma direção.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:1980, p. 23.
Os valores de
, coeficiente que varia com o tipo de aço utilizado para armação das lajes maciças, são dados na tabela 7.
Tipo de Aço
CA25 35
CA32 33
CA40 30
CA50 25
CA60 20
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 7. Valores de
utilizados no pré-dimensionamento da altura das lajes.
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 340.
 VOCÊ SABIA
Com a identificação do tipo do aço e da classe de agressividade do concreto, conseguimos determinar o cobrimento nominal da laje, a vinculação desse cobrimento com ela e a
geometria da laje. Com essas informações, é possível realizar o seu pré-dimensionamento calculando a altura da laje.
DETERMINAÇÃO DAS CARGAS E DOS ESFORÇOS EM LAJES ISOLADAS
As cargas que são aplicadas na laje, em sua grande maioria, são ações normais ao seu plano. Separamos essas cargas em: ações provenientes do peso da própria laje e do seu
revestimento e ações acidentais de utilização da laje.
A carga devida ao peso próprio da laje (
) é obtida utilizando a seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é o peso específico do concreto armado (geralmente, é adotado o valor de 25kN/m³).
O peso próprio dos revestimentos é calculado de forma análoga ao peso próprio da laje. Lembre-se de que devem ser considerados os seguintes aspectos: os revestimentos com
argamassa sobre e sob (se for o caso) da laje; o revestimento do piso; e se vai ser colocado algum forro preso na parte de baixo da laje.
OS VALORES DO PESO ESPECÍFICO DOS REVESTIMENTOS PODEM SER ENCONTRADOS NA ABNT NBR
6120:2019.
λ
Ψ2
Ψ2
Ψ2
Ψ3
Ψ3
Ψ3
Ppr
Ppr = γc ⋅ h
γc
Em seguida, deve-se considerar a utilização de cada pavimento e de cada laje da edificação para, assim, determinar a carga acidental que atuará na estrutura por meio das
informações fornecidas pela ABNT NBR 6120:2019.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO PRÁTICA
Um engenheiro estrutural, levando em consideração o projeto arquitetônico e os demais projetos complementares do pavimento térreo de uma edificação, obteve o projeto de formas
ilustrado a seguir em que também está indicada a utilização de cada laje. No projeto estrutural, será adotado o aço CA50 previamente com 10mm de diâmetro para as armações das
lajes. Além disso, a carga de alvenaria deverá ser considerada em todas as lajes, exceto na L1.
A casa será construída na região litorânea do Rio de Janeiro. No projeto arquitetônico, consta que será utilizado piso do tipo granito em todos os cômodos e que todas as paredes e
as estruturas serão revestidas com argamassa e pintura.
Observe o esquema de revestimentos que será adotado nas lajes para o cálculo do peso próprio: espessura da argamassa de contrapiso (
) igual 3,0cm; espessura do reboco a seguir da laje (
) igual a 2,5cm; e altura das placas de granito (
) igual a 2,0cm. A alvenaria de vedação será realizada com blocos cerâmicos vazados com 11,5cm de espessura e um revestimento de 2cm por face.
Com base nessas informações, determine:
A classe do concreto e o cobrimento nominal que serão utilizados no projeto;
A vinculação de cada laje isolada;
O pré-dimensionamento da altura das lajes;
As ações atuantes em cada laje isolada.
Apoio em
e
 Planta de forma do exemplo de aplicação prática (dimensões em centímetros).
 Esquema considerado pelo engenheiro para o cálculo do peso próprio dos revestimentos nas lajes.
Confira a solução abaixo:
I. Para determinar a classe do concreto e o cobrimento nominal, primeiramente é necessário determinar a classe de agressividade à qual a edificação está submetida (tabela 1
reproduzida a seguir). Como a edificação ficará em região litorânea, ela é classificada como CAA III – Marinha, com grande risco de deterioração da estrutura. Contudo, como são
ambientes internos e a estrutura será revestida com argamassa e pintada, a ABNT NBR 6118:2014 permite utilizar a classe de agressividade um grau acima, ou seja, para a situação
do exemploserá adotada a CAA II – Moderada, com risco pequeno de deterioração da estrutura.
Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submersa
II Moderada Urbana Pequeno
III Forte
Marinha
Grande
Industrial
IV Muito forte
Industrial
Elevado
Respingos de maré
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Quadro: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 17.
Estabelecida a CAA da edificação, definiremos a classe do concreto e o cobrimento nominal utilizando as tabelas 2 e 3 (também reproduzidas a seguir).
Concreto Tipo
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Relação água/cimento em massa
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45
CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45
hcp
htl
hpg
→
V1
V2
Concreto Tipo
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Classe de concreto (ABNT NBR 8953)
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40
CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 18.
Tipo de estrutura Componente ou elemento
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Cobrimento nominal (mm)
Concreto armado
Laje 20 25 35 45
Viga/pilar 25 30 40 50
Elementos estruturais em contato com o solo 30 30 40 50
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 20.
Desse modo, no projeto, será considerado concreto com resistência à compressão de 25MPa e cobrimento nominal da laje de 2,5cm.
II. Antes da determinação da vinculação, calcularemos o comprimento dos vãos de cada uma das lajes, considerando até o eixo dos apoios. Sendo assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A laje L1 apresenta borda livre na extremidade frontal, bordas simplesmente apoiadas na lateral e engastadas nas lajes L2, L3 e L4. Ou seja, a L1 será do caso 12, com
igual a 10,30m e
igual a 2,07m. Confira a seguir a imagem detalhada:
A laje L2 será simplesmente apoiada nas vigas de extremidade nas lajes 1 e 3. A L2 não será engastada na L1 devido à diferença de rigidez entre as lajes, pois o comprimento da L2
na direção do engastamento na L1 é muito superior:
.
Já a diferença entre os vãos da L2 e da L3 é de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a L2 será do caso 1.
A L3 será engastada em sua continuidade com as lajes L2 e L4 por ter o vão nessa direção menor que o das outras lajes e será simplesmente apoiada na viga externa e na
continuidade com a L1, pois:
lb
la
6, 34m ≫ 2, 07m
= 72% < 80%
3, 34
4, 64
= 32, 6%
2, 07
6, 34
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a L3 será do caso 6.
A L4 será apoiada em todos os seus apoios de vigas externas e em suas continuidades com outras lajes. A diferença entre o comprimento dos vãos da L3 e da L4 é menor que 70%;
por isso, L4 não será engastada nessa laje. O cálculo está demonstrado a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a L4 será do caso 1.
III. Para realizar o pré-dimensionamento da altura das lajes, serão utilizadas as seguintes equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o aço utilizado será o CA50 em todas as lajes, pela tabela 7 (reproduzida a seguir) temos que
será igual a 25.
Tipo de aço
CA25 35
CA32 33
CA40 30
CA50 25
CA60 20
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 340.
O
será obtido pelas tabelas 4 e 5 (reproduzidas a seguir). Para tanto, será necessário calcular o
de cada laje. Em seguida, a altura das lajes será pré-dimensionada.
L1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a laje é armada em uma direção com balanço:
= 56, 2%
3, 34
5, 94
d ≥
lx
Ψ2. Ψ3
h = d + + cnon
∅
2
Ψ3
Ψ3
Ψ2
λ
λ = = ∼ 5
ly
lx
10, 30
2, 07
Ψ2 = 0, 50
d ≥ = 16, 56cm
207
0, 5.25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20
1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18
1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15
1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13
1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20
1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18
1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15
1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13
1,20 1,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94 2,10
1,25 1,40 1,55 1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93 2,08
1,30 1,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84 1,82 1,91 2,05
1,35 1,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,90 2,03
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 339.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,85 1,16 1,19 1,45 1,46 1,31 1,73 1,49 1,75 1,78
1,90 1,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72 1,46 1,73 1,75
1,95 1,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,72 1,73
2,00 1,10 1,10 1,40 1,40 1,20 1,70 1,40 1,70 1,70
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 339.
h1 = 16, 56 + + 2, 5 = 19, 56cm
1
2
λ = = ∼ 1, 35 → Ψ2 = 1, 60
ly
lx
6, 34
4, 64
λ
d ≥ = 13, 65cm
464
1, 36.25
h2 = 13, 65 + + 2, 5 = 16, 65cm
1
2
λ = = ∼ 1, 90 → Ψ2 = 1, 72
ly
lx
6, 34
3, 34
λ
d ≥ = 7, 77cm
334
1, 72.25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20
1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18
1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15
1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 339.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A altura a ser adotada para todas as lajes será esta:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como L1 é engastada nas demais lajes, L2, L3 e L4 não podem ter altura menor do que ela. Caso o engenheiro calculista queira diminuir a espessura das lajes, ele deverá diminuir os
vãos, inserindo uma quantidade maior de vigas no projeto de formas.
IV. Para o cálculo das ações atuantes em cada laje isolada, serão utilizados os seguintes pesos específicos:
Peso específico do concreto armado:
(ABNT NBR 6118:2014, p. 9).
Peso específico do granito:
(ABNT NBR 6120:2019, p. 8).
Peso específico da argamassa:
(ABNT NBR 6120:2019, p. 9).
Eis a ação permanente devido ao peso próprio da laje:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ação permanente devido ao peso próprio dos revestimentos da laje:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a ação permanente devido ao peso próprio da alvenaria (valor obtido diretamente da ABNT NBR 6120:2019, p. 11) é a seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
h3 = 7, 77 + + 2, 5 = 10, 77cm
1
2
λ = = ∼ 1, 07 → Ψ2 = 1,47
ly
lx
6, 34
5, 94
λ
d ≥ = 16, 16cm
594
1, 47.25
h4 = 16, 16 + + 2, 5 = 19, 16cm
1
2
h = h1 = 19, 56cm = 20cm
γc = 25, 0kN/m
3
γgra  = 28, 5kN/m
3
γarg = 19, 0kN/m
3
gPpl = γc ⋅ hlaje
gPpl = 25 ⋅ 0, 2kN/m
2
gPpl = 5, 0kN/m
2
gPpr = γarg ⋅ hcp + γgra  ⋅ hpg + γarg ⋅ htl
gPpr = 19 ⋅ 0, 03 + 28, 5 ⋅ 0, 02 + 19 ⋅ 0, 025
gPpr = 1, 62kN/m
2
galv = 1, 7kN/m
2
Logo, a ação permanente da laje (
) a ser considerada no projeto estrutural será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A ação variável devido à utilização da laje, obtida na ABNT NBR 6118:2019 (p. 20 e p. 17, respectivamente), é dada por:
Dormitórios, sala, copa cozinha e sanitários (L2, L3 e L4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Varanda (L1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As cargas determinadas acima são cargas características; para serem utilizadas no dimensionamento da laje, elas precisam ser multiplicadas pelo fator de majoração.
VEM QUE EU TE EXPLICO
O detalhamento das lajes maciças
Definição do apoio das bordas das lajes
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar os cálculos para verificação de flechas
CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS
VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS
Flecha (
) é a deformação transversal de uma barra reta ou placa quando submetida a carregamentos perpendiculares ao seu eixo. Veja a seguir:
glaje 
glaje  = gppl + gppr + galv
glaje = 5, 0 + 1, 62 + 1, 7
glaje = 8, 32kN/m
2
qlaje2,3,4 = 1, 5kN/m
2
qlaje1 = 2, 5kN/m
2
f
 Representação em viga de carregamento da laje; (b) Estrutura deformada.
A VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS OCORRE NO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA (ELS-DEF).
A flecha total
do elemento estrutural é dada pela soma da flecha imediata
, que é a parcela da flecha que ocorre quando a estrutura está em carga. Essa flecha pode ser calculada pela equação da flecha elástica
– com a flecha diferida
– que ocorre devido ao efeito de fluência do concreto. Ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A flecha limite (
) é determinada pela ABNT NBR 6118:2014 e limita a flecha máxima para evitar o efeito visual desagradável de deformação da estrutura. Sendo assim, a norma exige que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nos itens a seguir, apresentaremos o roteiro de cálculo para a verificação da flecha e um exemplo de aplicação.
ROTEIRO PARA VERIFICAÇÃO DE FLECHAS EM LAJES MACIÇAS
O primeiro cálculo a ser realizado para a verificação de flechas em lajes maciças refere-se à determinação do carregamento atuante no ELS-Def, que considera a combinação de
carga quase permanente (
) para a realização das verificações. Essa combinação é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
o valor de cálculo das ações para combinações de serviço,
a soma das cargas permanentes características,
a soma das cargas acidentais características e
o fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite de serviço.
Após determinar o valor do carregamento quase permanente pela equação acima, calcula-se o valor da flecha elástica. Nesse cálculo, o efeito da fissuração do concreto não é
considerado. Utiliza-se a seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
o módulo de deformabilidade do concreto e
o coeficiente que depende de
e do caso da situação de vinculação. Os valores de
para as situações de vinculação da imagem anterior serão apresentados na tabela 8.
O módulo de elasticidade utilizado nas verificações dos estados limites de serviço, situação das verificações das flechas, é o módulo de elasticidade secante (
(ftotal ,∞)
(fimediata )
(felástica )
(fdiferida )
ftotal ,∞ = fimediata  + fdiferida 
flimite 
ftotal ,∞ ≤ flimite 
pqp
pqp = Fd,ser = ∑Fgi,k +∑ψ2j ⋅ Fqj,k
Fd,ser
Fgi,k
Fqj,k
ψ2
felástica  = ⋅
pqp ⋅ l
4
x
E ⋅ h3
α
100
E
α
λ
α
Ecs
), que, para agregados de granito, é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74
1,15 6,09 4,47 3,92 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10
1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20
1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30
1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37
1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45
1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51
1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57
1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63
1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68
1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72
1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76
1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80
1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83
1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85
1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88
2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91
15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 8. Coeficientes α para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares submetidas a carregamento uniformemente distribuído.
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 332.
A flecha imediata é calculada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é o momento de inércia da seção bruta e
, o momento de inércia efetivo da seção.
 VOCÊ SABIA
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, os efeitos de fissuração e deformação lenta devem ser obrigatoriamente considerados no cálculo da flecha. A deformação lenta é obtida por meio
da flecha diferida que leva em conta os efeitos da fluência.
Essa flecha é calculada como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
Ecs = 0, 85 ⋅ Eci = 0, 85.5600√fck = 4760√fck
λ
∞
fimediata  = felástica  ⋅
Ic
Ie
Ic
Ie
fdiferida  = αf ⋅ fimediata 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é a idade do concreto ao entrar em carga (meses), momento em que se retira o escoramento do elemento concretado – geralmente aos 28 dias, ou seja, um mês. Já
é o tempo (em meses) para calcular a flecha. Estudos mostram que, a partir de 70 meses, não há mais variação significativa da fluência. Por sua vez,
é a taxa de armadura comprimida.
A tabela 9 mostra valores para
:
Meses 1 3 6 12 ≥70
0,68 0,95 1,18 1,44 2,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 9. Valores de
.
Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Após o cálculo da flecha total pela soma entre a flecha imediata e a diferida, compara-se esse valor com a flecha limite estabelecida pela ABNT NBR 6118:2014. A flecha limite é
calculada pela equação:
para lajes apoiadas ou engastadas, sendo lx, o menor vão da laje;
para lajes em balanço, sendo
o comprimento teórico do vão.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO PRÁTICA
A partir do projeto arquitetônico e dos demais projetos complementares do pavimento térreo de uma edificação, um engenheiro estrutural obteve o projeto de formas em que também
está indicada a utilização de cada laje. No projeto estrutural, será adotado o aço CA50 previamente com 10mm de diâmetro para as armações das lajes. Deverá ser considerada
carga de alvenaria em todas as lajes, exceto na L1. A casa será construída na região litorânea do Rio de Janeiro. No projeto arquitetônico, consta que será utilizado piso do tipo
granito em todos os cômodose que todas as paredes e as estruturas serão revestidas com argamassa e pintura.
A imagem adiante apresenta o esquema de revestimentos que será adotado nas lajes para o cálculo do peso próprio: espessura da argamassa de contrapiso (
) igual 3,0cm, espessura do reboco a seguir da laje (
) igual a 2,5cm e altura das placas de granito (
) igual a 2,0cm. A alvenaria de vedação será realizada com blocos cerâmicos vazados com 11,5cm de espessura e revestimento de 2cm por face.
Com base nessas informações e no resumo dos cálculos já realizados, verifique as lajes da edificação quanto às flechas.
 Planta de forma do exemplo de aplicação prática (dimensões em centímetros).
αf =
ξ(t) − ξ (t0)
1 + 50. ρ′
ξ(t) = 0, 68 ⋅ (0, 996t) ⋅ t0,32
t0
t
ρ′
ξ(t)
ξ(t)
ξ(t)
flimite  =
lx
250
flimite  =
l
125
l
hcp
htl
hpg
 Esquema considerado pelo engenheiro para o cálculo do peso próprio dos revestimentos nas lajes.
Resumo das determinações e dos cálculos já realizados
Serão considerados no projeto concreto com resistência à compressão de 25MPa e cobrimento nominal da laje de 2,5cm.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Valores de
:
Valores de
L1 L2 L3 L4
Laje armada em uma direção 1,35 1,90 1,07
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Casos das lajes
L1 L2 L3 L4
Laje armada em uma direção Caso 1 Caso 6 Caso 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
A altura a ser adotada para todas as lajes será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cargas atuantes
Ação permanente da laje (
) a ser considerada no projeto estrutural para as lajes 2,3 e 4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ação permanente da laje (
) a ser considerada no projeto estrutural para a laje 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ação variável devido à utilização da laje (
) a ser considerada no projeto estrutural:
Dormitórios, sala, copa cozinha, sanitários (L2, L3 e L4)
λ
λ
h = h1 = 19, 56cm = 20cm
glaje
glaje  = gPpl + gPpr + galv
glaje = 5, 0 + 1, 62 + 1, 7
glaje = 8, 32kN/m
2
glaje 
glaje  = gPpl + gPpr
glaje = 5, 0 + 1, 62
glaje = 6, 62kN/m
2
qlaje 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Varanda (L1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Confira abaixo a solução:
Cálculo do carregamento da combinação quase permanente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L2, L3 E L4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo do módulo de elasticidade:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo da flecha elástica para a combinação quase permanente:
L1
Para a laje 1, calcula-se a flecha apenas na direção do balanço. O elemento é considerado como uma viga engastada com extremidade livre:
A equação para o cálculo da flecha (dada pela hiperestática e pela resistência dos materiais) é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L2, L3 E L4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora que calculamos os valores
, temos de identificar os valores
. Para isso, vamos usar a tabela a seguir:
qlaje2,3,4 = 1, 5kN/m
2
qlaje1 = 2, 5kN/m
2
Fd,ser = ∑Fgi,k +∑ψ2j ⋅ Fqj,k
pqp2,3,4 = 8, 32 + 0, 3.1, 5 = 8, 77kN/m
2
pqp1 = 6, 62 + 0, 3.2, 5 = 7, 37kN/m
2
Ecs = 0, 85.Eci = 0, 85.5600√fck = 4760√fck
Ecs = 4760√25 = 23800MPa = 23800000kN. m
2
felastica 1 = = = 0, 011m = 1, 1cm
pqp ⋅ ly ⋅ l4x
8 ⋅ E ⋅ I
7, 37 ⋅ 10, 3 ⋅ (2, 07)4
8 ⋅ 23800000 ⋅ ( )1.0,20
2
12
felástica  = ⋅
α2 = 7, 76;α3 = 2, 90;α4 = 5, 36
pqp ⋅ l
4
x
E ⋅ h3
α
100
α
λ
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74
1,15 6,09 4,47 3,92 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10
1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20
1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30
1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37
1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45
1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51
1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57
1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63
1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68
1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72
1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76
1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80
1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83
1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85
1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88
2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91
15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 332.
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Levaremos em conta que a seção não se encontra fissurada. E, com isso:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No cálculo da flecha diferida, consideramos que a retirada do escoramento da laje ocorrerá com 28 dias.
Meses 1 3 6 12 ≥70
0,68 0,95 1,18 1,44 2,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim:
λ
∞
felástica 2 = ⋅ = 0, 0017m = 0, 17cm
felástica 3 = ⋅ = 0, 00017m = 0, 02cm
felástica 4 = ⋅ = 0, 0031m = 0, 31cm
8, 77 ⋅ (4, 64)4
23800000 ⋅ 0, 23
7, 76
100
8, 77 ⋅ (3, 34)4
23800000 ⋅ 0, 23
2, 90
100
8, 77 ⋅ (5, 94)4
23800000 ⋅ 0, 23
5, 36
100
fimediata  = felástica 
ξ(t)
αf = = 1, 32
2, 00 − 0, 68
1
fdiferida  = αf ⋅ fimediata 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da flecha total é obtido pela seguinte soma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, assim, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo da flecha limite:
L1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L2, L3 E L4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A verificação da flecha é realizada pela seguinte análise:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
fdiferida 1 = 1, 32.1, 1 = 1, 45cm
fdiferida 2 = 1, 32.0, 17 = 0, 224cm
fdiferida 3 = 1, 32.0, 02 = 0, 0264cm
fdiferida 4 = 1, 32.0, 31 = 0, 41cm
ftotal ,∞ = fimediata  + fdiferida 
ftotal ,∞1 = 1, 1 + 1, 45 = 2, 55cm
ftotal ,∞2 = 0, 17 + 0, 224 = 0, 394cm
ftotal ,∞3 = 0, 02 + 0, 0264 = 0, 0464cm
ftotal ,∞4 = 0, 31 + 0, 41 = 0, 72cm
flimite 1 = = 1, 66cm
207
125
flimite 2 = = 1, 86cm
464
250
flimite 3 = = 1, 34cm
334
250
flimite 4 = = 2, 38cm
594
250
ftotal ,∞ ≤ flimite 
LAJE 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a flecha total foi maior que a flecha limite admitida, a laje 1 sofrerá deformação maior que a limitada pela norma. Várias soluções podem ser apresentadas, desde processos
construtivos até alterações no projeto.
No último caso, umas das soluções possíveis é alterar o projeto de formas, estendendo a V4 ou a V5 até a extremidade livre. Essa solução dividirá a L1 em duas, diminuindo o maiorvão da laje e consequentemente o carregamento. Com essas alterações, teremos uma redução da flecha para as duas novas lajes.
LAJE 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LAJE 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LAJE 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nas lajes L2, L3 e L4, observa-se que as flechas foram bem menores que as limites, sendo possível, dessa maneira, diminuir a altura delas. Vale lembrar que, para executar
diminuição de altura, é necessário que a L1 também se comporte de forma desejável com a mesma espessura das demais lajes. Partiremos do princípio de que a L1 foi dividida em
duas lajes e que essas novas lajes estarão de acordo com a nova espessura que será calculada.
Vamos igualar a maior das flechas das lajes (flecha da laje L4) com a flecha limite correspondente (em metros) e, com isso, teremos uma nova altura. Como a flecha é imediata, deve
ser multiplicada por 1,32 devido ao efeito da fluência. Assim, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Adotaremos
e, com isso:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEM QUE EU TE EXPLICO
Cálculo das flechas
Verificação das flechas em lajes
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Formular o equilíbrio de esforços e o dimensionamento
2, 55 ≤ 1, 66 →  Não OK! 
0, 4 ≤ 1, 86 → OK!
0, 05 ≤ 1, 34 → OK!
0, 7 ≤ 2, 38 → OK!
felastica 4 = ⋅ ⋅ 1, 32 = 0, 0238
8, 77 ⋅ (5, 94)4
23800000 ⋅ h3
5, 36
100
h3 = → h = 11, 1cm
77247, 33
56644000
h = 12cm
d = 12 − 0, 5.1 − 2, 5 = 9cm
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES DA LAJE
EQUILÍBRIO DE ESFORÇOS E DIMENSIONAMENTO
AS LAJES SÃO SOLICITADAS ESSENCIALMENTE POR MOMENTOS FLETORES E FORÇAS CORTANTES.
BASICAMENTE, SEUS CÁLCULOS PODEM SER FEITOS POR DOIS MÉTODOS: O ELÁSTICO E O
PLÁSTICO (OU DE RUPTURA).
O cálculo elástico considera a análise do comportamento dos elementos sob cargas de serviço e concreto íntegro (não fissurado). Já o método plástico se baseia em mecanismos de
ruptura das lajes.
Apesar das diferenças nas considerações, são utilizados nos dois métodos conceitos de ruptura da seção transversal no cálculo e detalhamento da armadura, além dos conceitos de
método elástico na verificação do comportamento da estrutura em serviço.
ESTUDAREMOS O MÉTODO ELÁSTICO, QUE SE BASEIA NAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM
ELEMENTO INFINITESIMAL DE LAJE E NAS RELAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DAS DEFORMAÇÕES
DESSE ELEMENTO. O CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES PODE SER FEITO PELA TEORIA
CLÁSSICA DE PLACAS DELGADAS (TEORIA DE KIRCHHOFF), SUPONDO MATERIAL HOMOGÊNEO,
ISÓTROPO, ELÁSTICO E LINEAR.
A equação diferencial fundamental de placas delgadas (lajes) submetidas a uma carga atuante em um ponto genérico da placa
é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
o deslocamento vertical e
, a rigidez à flexão da placa, dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é o coeficiente de Poisson.
 SAIBA MAIS
Devido à complexidade presente nos cálculos, adotaremos aqui, entre as diversas formas possíveis para determinar os esforços e os deslocamentos (diferenças finitas, elementos
finitos, grelha equivalente ou utilização de séries), a metodologia de séries por meio da utilização de tabelas. Tais tabelas permitem que os deslocamentos máximos (flechas) e os
momentos fletores máximos sejam calculados de forma mais fácil.
Nas próximas seções, você verá como são determinados os momentos fletores máximos das lajes e como é realizada a compatibilização dos momentos e o dimensionamento das
lajes.
DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS MÁXIMOS NAS DIREÇÕES
p(x, y)
+ 2 ⋅ + = −
∂4w
∂x4
∂4w
∂x2∂y2
∂4w
∂y4
p
D
w
D
D =
E ⋅ h3
12 ⋅ (1 − v2)
v
x
E
Os momentos fletores positivos serão representados pela letra
; e os momentos fletores negativos, por
. O menor vão da laje será considerado como
. Serão adotados ainda os coeficientes
e
para o cálculo dos momentos positivos por unidade de comprimento nas direções
e
(
e
, respectivamente) e os coeficientes
e
para o cálculo dos momentos negativos por unidade de comprimento nas direções
e
(
e
, respectivamente).
As equações para os cálculos dos momentos são as seguintes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Da isostática e da hiperestática, o momento positivo ocorre no vão da viga em questão. Já o negativo se dá no engaste. Nos apoios simplesmente apoiados, o momento é zero.
Para melhor visualização da consideração realizada em cada caso de vinculação de lajes, a figura a seguir ilustra a condição de vinculação considerada em cada direção para o
cálculo dos momentos por unidade de área.
Os valores dos coeficientes
,
,
e
serão apresentados nas tabelas 10 (casos 1, 2 e 3), 11 (casos 4, 5 e 6) e 12 (casos 7, 8 e 9).
y
m
m′
lx
μx
μy
x
y
mx
my
μ′x
μ′y
x
y
m′x
m′y
mx = μx ⋅
p ⋅ l2x
100
my = μy ⋅
p ⋅ l2x
100
m′x = μ′x ⋅
p ⋅ l2x
100
m′y = μ′y ⋅
p. l2x
100
μx
μy
μ′x
μ′y
 Situações de vinculação das lajes isoladas com a representação com apoios em forma de vigas.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 4,41 4,41 3,07 3,94 8,52 3,94 8,52 3,07
1,05 4,80 4,45 3,42 3,78 8,79 4,19 8,91 2,84
1,10 5,18 4,49 3,77 3,90 9,18 4,43 9,30 2,76
1,15 5,56 4,49 4,14 3,97 9,53 4,64 9,63 2,68
1,20 5,90 4,48 4,51 4,05 9,88 4,85 9,95 2,59
1,25 6,27 4,45 4,88 4,10 10,16 5,03 10,22 2,51
1,30 6,60 4,42 5,25 4,15 10,41 5,20 10,48 2,42
1,35 6,93 4,37 5,60 4,18 10,64 5,36 10,71 2,34
1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,25
1,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19
1,50 7,86 4,25 6,60 4,18 11,23 5,77 11,27 2,12
1,55 8,12 4,20 6,90 4,17 11,39 5,87 11,42 2,04
1,60 8,34 3,14 7,21 4,14 11,55 5,98 11,55 1,95
1,65 8,62 4,07 7,42 4,12 11,67 6,07 11,67 1,87
1,70 8,86 4,00 7,62 4,09 11,79 6,16 11,80 1,79
1,75 9,06 3,96 7,66 4,05 11,88 6,24 11,92 1,74
1,80 9,27 3,91 7,69 3,99 11,96 6,31 12,04 1,68
1,85 9,45 3,83 8,22 3,97 12,03 6,38 12,14 1,64
1,90 9,63 3,75 8,74 3,94 12,14 6,43 12,24 1,59
1,95 9,77 3,71 8,97 3,88 12,17 6,47 12,29 1,54
2,00 10,00 3,64 9,18 3,80 12,20 6,51 12,34 1,48
12,57 3,77 9,18 3,80 12,20 7,61 12,76 1,48
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 10. Coeficientes
,
,
e
para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3).
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 333.
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,00 2,81 6,99 2,81 6,99 2,15 3,17 6,99 3,17 6,99 2,15
1,05 3,05 7,43 2,81 7,18 2,47 3,32 7,43 3,29 7,20 2,07
1,10 3,30 7,87 2,81 7,36 2,78 3,47 7,87 3,42 7,41 1,99
1,15 3,53 8,28 2,80 7,50 3,08 3,58 8,26 3,52 7,56 1,89
1,20 3,76 8,69 2,79 7,63 3,38 3,70 8,65 3,63 7,70 1,80
1,25 3,96 9,03 2,74 7,72 3,79 3,80 9,03 3,71 7,82 1,74
1,30 4,16 9,37 2,69 7,81 4,15 3,90 9,33 3,79 7,93 1,67
λ
μx μy μx μy μ′y μx μ′x μy
∞
μx
μy
μ′x
μ′y
λ
μx μ′x μy μ
′
y μx μy μ
′
y μx μ
′
x
μy
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,35 4,33 9,65 2,65 7,88 4,50 3,96 9,69 3,84 8,02 1,59
1,40 4,51 9,93 2,60 7,94 4,85 4,03 10,00 3,90 8,11 1,52
1,45 4,66 10,41 2,54 8,00 5,19 4,09 10,25 3,94 8,13 1,45
1,50 4,81 10,62 2,47 8,06 5,53 4,14 10,49 3,99 8,15 1,38
1,55 4,93 10,82 2,39 8,09 5,86 4,16 10,70 4,03 8,20 1,34
1,60 5,06 10,99 2,31 8,12 6,18 4,17 10,91 4,06 8,25 1,28
1,65 5,16 11,16 2,24 8,14 6,48 4,14 11,08 4,09 8,28 1,23
1,70 5,27 11,30 2,16 8,15 6,81 4,12 11,24 4,12 8,30 1,18
1,75 5,36 11,43 2,11 8,16 7,11 4,12 11,39 4,14 8,31 1,15
1,80 5,45 11,55 2,04 8,17 7,41 4,10 11,43 4,15 8,32 1,11
1,85 5,53 11,57 1,99 8,17 7,68 4,08 11,65 4,16 8,33 1,08
1,90 5,60 11,67 1,93 8,18 7,95 4,04 11,77 4,17 8,33 1,04
1,95 5,67 11,78 1,91 8,19 8,21 3,99 11,83 4,17 8,33 1,01
2,00 5,74 11,89 1,88 8,20 8,47 3,92 11,88 4,18 8,33 0,97
7,06 12,50 1,95 8,20 12,58 4,13 11,88 4,18 8,33 0,97
 Atenção!Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 11. Coeficientes
,
,
e
para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6).
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 334.
Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 2,13 5,46 2,60 6,17 2,60 6,17 2,13 5,46 2,11 5,15 2,11 5,15
1,05 2,38 5,98 2,66 6,46 2,78 6,47 2,09 5,56 2,31 5,50 2,10 5,29
1,10 2,63 6,50 2,71 6,75 2,95 6,76 2,04 5,65 2,50 5,85 2,09 5,43
1,15 2,87 7,11 2,75 6,97 3,09 6,99 1,98 5,70 2,73 6,14 2,06 5,51
1,20 3,11 7,72 2,78 7,19 3,23 7,22 1,92 5,75 2,94 6,43 2,02 5,59
1,25 3,43 8,81 2,79 7,36 3,34 7,40 1,85 5,75 3,04 6,67 1,97 5,64
1,30 3,56 8,59 2,77 7,51 3,46 7,57 1,78 5,76 3,13 6,90 1,91 5,68
1,35 3,76 8,74 2,74 7,63 3,55 7,70 1,72 5,75 3,25 7,09 1,86 5,69
1,40 3,96 8,88 2,71 7,74 3,64 7,82 1,64 5,74 3,38 7,28 1,81 5,70
1,45 4,15 9,16 2,67 7,83 3,71 7,91 1,59 5,73 3,48 7,43 1,73 5,71
1,50 4,32 9,44 2,63 7,91 3,78 8,00 1,53 5,72 3,58 7,57 1,66 5,72
1,55 4,48 9,68 2,60 7,98 3,84 8,07 1,47 5,69 3,66 7,68 1,60 5,72
1,60 4,63 9,91 2,55 8,02 3,89 8,14 1,42 5,66 3,73 7,79 1,54 5,72
1,65 4,78 10,13 2,50 8,03 3,94 8,20 1,37 5,62 3,80 7,88 1,47 5,72
1,70 4,92 10,34 2,45 8,10 3,98 8,25 1,32 5,58 3,86 7,97 1,40 5,72
1,75 5,04 10,53 2,39 8,13 4,01 8,30 1,27 5,56 3,91 8,05 1,36 5,72
1,80 5,17 10,71 2,32 8,17 4,04 8,34 1,20 5,54 3,95 8,12 1,32 5,72
1,85 5,26 10,88 2,27 8,16 4,07 8,38 1,17 5,55 3,98 8,18 1,26 5,72
1,90 5,36 11,04 2,22 8,14 4,10 8,42 1,14 5,56 4,01 8,24 1,21 5,72
1,95 5,45 11,20 2,14 8,13 4,11 8,45 1,11 5,60 4,04 8,29 1,19 5,72
λ
μx μ′x μy μ
′
y μx μy μ
′
y μx μ′x μy
∞
μx
μy
μ′x
μ′y
λ
μx μ′x μy μ
′
y μx μ′x μy μ
′
y μx μ′x μy μ
′
y
Caso 7 Caso 8 Caso 9
2,00 5,55 11,35 2,07 8,12 4,13 8,47 1,08 5,64 4,07 8,33 1,16 5,72
7,07 12,50 2,05 8,12 4,18 8,33 1,09 5,64 4,19 8,33 1,17 5,72
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 12. Coeficientes
,
,
e
para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9).
Tabela: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 335.
COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES
No conjunto de lajes de um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, como vimos anteriormente. Isso
resulta em valores distintos de momento no apoio comum; por isso, há a necessidade de promover a compatibilização dos momentos.
Para exemplificar a diferença nos momentos calculados, vamos voltar ao exemplo utilizado nos módulos anteriores e considerar o corte e a estrutura apresentados na imagem a
seguir.
 Representação em viga do corte realizado na planta de formas da laje.
Nos módulos anteriores, chegamos aos seguintes resultados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Valores de
:
L2 L3 L4
1,35 1,90 1,07
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Casos das lajes:
L2 L3 L4
Caso 1 Caso 6 Caso 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Cargas atuantes com
λ
μx μ′x μy μ
′
y μx μ′x μy μ
′
y μx μ′x μy μ
′
y
∞
μx
μy
μ′x
μ′y
λ
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Confira a solução abaixo:
O valor do carregamento uniformemente distribuído (
) considerado no cálculo dos momentos será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores de
,
,
e
serão retirados das tabelas 10 e 11.
Para as lajes 2 e 4, será utilizada a tabela 10, que tem um trecho reproduzido a seguir:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 4,41 4,41 3,07 3,94 8,52 3,94 8,52 3,07
1,05 4,80 4,45 3,42 3,78 8,79 4,19 8,91 2,84
1,10 5,18 4,49 3,77 3,90 9,18 4,43 9,30 2,76
1,15 5,56 4,49 4,14 3,97 9,53 4,64 9,63 2,68
1,20 5,90 4,48 4,51 4,05 9,88 4,85 9,95 2,59
1,25 6,27 4,45 4,88 4,10 10,16 5,03 10,22 2,51
1,30 6,60 4,42 5,25 4,15 10,41 5,20 10,48 2,42
1,35 6,93 4,37 5,60 4,18 10,64 5,36 10,71 2,34
1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,25
1,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 333.
Logo:
Para a L2:
h = 12cm
gPpl = γc ⋅ hlaje
gPpl = γc ⋅ hlaje
gPpl = 3, 0kN/m
2
glaje  = 6, 32kN/m
2
qlaje = 1, 5kN/m
2
p
p = glaje  + qlaje  = 6, 32 + 1, 5 = 7, 82kN/m
2
μx
μy
μ′x
μ′y
λ
μx μy μx μy μ′y μx μ
′
x
μy
μx = 6, 93
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a L4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a laje 3, será utilizada a tabela 11, que tem um trecho reproduzido adiante:
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,80 5,45 11,55 2,04 8,17 7,41 4,10 11,43 4,15 8,32 1,11
1,85 5,53 11,57 1,99 8,17 7,68 4,08 11,65 4,16 8,33 1,08
1,90 5,60 11,67 1,93 8,18 7,95 4,04 11,77 4,17 8,33 1,04
1,95 5,67 11,78 1,91 8,19 8,21 3,99 11,83 4,17 8,33 1,01
2,00 5,74 11,89 1,88 8,20 8,47 3,92 11,88 4,18 8,33 0,97
5,74 11,89 1,88 8,20 8,47 3,92 11,88 4,18 8,33 0,97
7,06 12,50 1,95 8,20 12,58 4,13 11,88 4,18 8,33 0,97
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 334.
Para a L3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma esquemática, o diagrama de momentos fletores para os valores calculados acima está ilustrado a seguir.
 Diagrama de momento fletor [kN.m/m].
Devido à divergência de valores dos momentos no apoio das vigas V4 e V5, será necessária a realização da compatibilização dos momentos. Na compatibilização dos momentos
negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois
momentos são da mesma ordem de grandeza.
Compatibilização do momento negativo na V4
Média dos momentos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
80% do maior momento:
mx = μx ⋅ = 6, 93 ⋅ = 11, 67kN ⋅ m/m
p ⋅ l2x
100
7, 82 ⋅ 4, 642
100
μx = 4, 95
mx = μx ⋅ = 4, 95 ⋅ = 13, 66kN ⋅ m/m
p ⋅ l2x
100
7, 82 ⋅ 5, 942
100
λ
μx μ′x μy μ
′
y μx μy μ
′
y μx μ′x μy
∞
∞
μx = 4, 17
mx = μx ⋅ = 4, 17 ⋅ = 3, 64kN ⋅ m/m
p ⋅ l2x
100
7, 82 ⋅ 3, 342
100
μ′x = 8, 33
m′x = μ
′
x ⋅ = 8, 33. = 7, 27kN ⋅ m/m
p. l2x
100
7, 82 ⋅ 3, 342
100
= 3, 64kN ⋅ m/m
0 + 7, 27
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, será adotado sobre a V4 o momento negativo de 5,82kN.m/m.
Compatibilização do momento negativo na V5
Média dos momentos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
80% do maior momento:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, será adotado sobre a V4 o momento negativo de 5,82kN.m/m. Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma direção
devem ser analisados.
SE ESSA CORREÇÃO TENDE A DIMINUIR O VALOR DO MOMENTO POSITIVO, COMO OCORRE NAS
LAJES L2 E L4, IGNORA-SE A REDUÇÃO (A FAVOR DA SEGURANÇA).
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção deverá ser feita somando-se ao valor desse momento fletor a média das variações ocorridas nos
momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios, como no caso da laje L3.
COMPATIBILIZAÇÃO DO MOMENTO POSITIVO NA L3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a compatibilização dos momentos, o diagrama ficará conforme ilustra a imagem adiante. É com esses valores de momento que será realizado o dimensionamentona próxima
seção.
 Diagrama de momento fletor após a compatibilização dos momentos [kN.m/m].
DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO
O cálculo da armadura longitudinal das lajes nas direções x e y é feito como nas vigas. Em lajes, deve-se lembrar que a largura da seção é tomada como uma faixa unitária
(usualmente equivalente a um metro); por isso, a armadura encontrada deve ser distribuída ao longo da largura.
Já no dimensionamento quanto à armadura de cisalhamento, o comportamento das lajes em relação ao esforço cortante difere substancialmente do apresentado pelas vigas. As lajes
costumam apresentar resistência a esse esforço, fazendo com que apenas o concreto seja capaz de resistir a ele.
SENDO ASSIM, ARMADURAS TRANSVERSAIS SÓ SÃO NECESSÁRIAS EM SITUAÇÕES ESPECIAIS.
 VOCÊ SABIA
A ABNT NBR 6118:2014 faz algumas recomendações quanto à não utilização da armadura transversal para resistir aos esforços de tração devido à força cortante. Para prescindir
dessa armadura, é necessário que os requisitos de ancoragem sejam satisfeitos e que a força solicitante de cálculo (Vsd) seja menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento
(VRd1).
Desse modo, como condição de projeto, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
0, 80.7, 27 = 5, 82kN ⋅ m/m
= 3, 64kN ⋅ m/m
0 + 7, 27
2
0, 80.7, 27 = 5, 82kN ⋅ m/m
3, 64 + = 4, 37kN ⋅ m/m
7, 27 − 5, 82
2
VSd ≤ VRd1 = [τRd ⋅ κ ⋅ (1, 2 + 40 ⋅ ρ1)] ⋅ b ⋅ d
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para elementos em que 50% da armadura inferior não chegam ao apoio;
com
em metros para os demais casos.
E:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a área de armadura de tração que se estende no mínimo até
além da seção considerada, sendo
o comprimento de ancoragem necessário.
A verificação da compressão diagonal do concreto (bielas comprimidas) em elementos sem armadura cisalhante é feita comparando-se a força cortante solicitante de cálculo (
) com a resistência de cálculo (
), dada por esta equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEM QUE EU TE EXPLICO
Como obter os valores dos coeficientes nas tabelas
Cálculo dos momentos
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Definir o detalhamento e a apresentação de projeto
ARMADURAS LONGITUDINAIS E DETALHAMENTO DE LAJES
DETALHAMENTO E APRESENTAÇÃO DE PROJETO
τRd = 0, 25 ⋅ fctd = 0, 25 ⋅ = 0, 25 ⋅ 0, 7 ⋅ = 0, 175 ⋅
fctk
γc
fctm
γc
fctm
γc
κ = 1
κ = (1, 6 − d) ≥ 1
d
ρ1 = ≤ 0, 02
As1
b. d
As1
d − lb,nec
lb,nec
Vsd
VRd2
VRd2 = 0, 5 ⋅ αv1 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 9 ⋅ d
αv1 = (0, 7 − fck/200) ≤ 0, 5; fck em MPa 
APRESENTAREMOS NESTE MÓDULO AS RECOMENDAÇÕES DA ABNT NBR 6118:2014 PARA O
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS POSITIVAS E NEGATIVAS PARA LAJES MACIÇAS
EM CONCRETO ARMADO.
Veremos como são definidos os espaçamentos das barras, as armaduras longitudinais máximas e mínimas, as armaduras principal e secundária de flexão, o espaçamento e o
diâmetro máximo das armaduras, as quantidades e os comprimentos mínimos de armaduras em bordas livres e aberturas, a armadura de tração sobre apoios e a armadura nos
cantos de lajes retangulares, oferecendo ainda um exemplo de cálculo e apresentação em projeto.
ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS
Para determinada área de aço necessária por unidade de largura da laje
, determina-se o espaçamento (
) entre as barras para uma barra escolhida de área
. Logo, a quantidade (
) de barras por metro de laje será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já o espaçamento será a largura unitária de um metro dividida pelo número de barras:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS
A DETERMINAÇÃO DA QUANTIDADE MÍNIMA E MÁXIMA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS É REALIZADA
COM BASE NAS EQUAÇÕES APRESENTADAS PARA OS ELEMENTOS LINEARES.
Como as lajes apresentam armadura nas duas direções (
e
), elas têm outros mecanismos resistentes; por isso, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos elementos lineares (como as vigas).
ARMADURAS MÍNIMAS
Elas têm por finalidade melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão e à punção, além de controlar a fissuração. Devem ser constituídas por barras com alta aderência
ou por telas soldadas.
Os valores mínimos de armadura passiva aderente devem atender a:
para armaduras negativas;
para armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções;
para armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção.
Em que
é a porcentagem mínima de armadura passiva aderente dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
for por metro de laje, a largura
será igual a um metro. Por ora, utilizaremos a tabela da norma referente à taxa de armadura em função da classe do concreto para seções retangulares (adaptada na tabela 13). Para
utilizar os valores dessa tabela, é necessário que tenham sido adotados no dimensionamento aço CA50,
e
As [cm2/m]
s
Asϕ (cm2)
n
n =
As
Asϕ
s = = 1 ⋅ [em m]
1
n
Asϕ
As
x
y
(ηb ≥ 1, 5)
ρs ≥ ρmin
ρs ≥ 0, 67 ⋅ ρmin
ρs ≥ ρmin
ρs
ρs =
As
b ⋅ h
As
b
γc = 1, 4
.
Forma da seção
Valores de
[%]
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 13. Taxas mínimas de armaduras de flexão em vigas em função da classe do concreto.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: ABNT NBR 6118:2014, p. 130.
ARMADURAS MÁXIMAS
A soma das armaduras de tração e compressão (
e
) não deve ser superior a 4% da área de concreto da seção. Ela precisa ser calculada fora da região de emendas.
ARMADURA SECUNDÁRIA (DE DISTRIBUIÇÃO) DE FLEXÃO
Em lajes armadas em uma direção, de acordo com a figura a seguir, a armadura de distribuição (
) deve ser o menor valor entre:
;
;
 Laje armada em uma direção.
e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESPAÇAMENTO E DIÂMETRO MÁXIMO
O espaçamento máximo (
) entre barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores tem de respeitar simultaneamente os dois limites:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Espaçamento máximo entre barras.
O diâmetro máximo de qualquer barra da armadura de flexão (
) deve ser:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QUANTIDADE E COMPRIMENTOS MÍNIMOS DE ARMADURAS EM BORDAS LIVRES E ABERTURAS
Em bordas livres e junto às aberturas das lajes, as armaduras interrompidas devem respeitar a quantidade, os comprimentos mínimos e o detalhamento estabelecidos pela norma,
como ilustra a imagem a seguir.
γs = 1, 15
ρmim
As
A′s
Asy
20% ⋅ Asx
0, 9cm2/m
ρs ≥ 0, 5 ⋅ ρs,min
smax
smax ≤ {
20cm
2 ⋅ h
∅max
∅max ≤
h
8
 Armaduras em bordas livres e aberturas.
ARMADURA DE TRAÇÃO SOBRE APOIOS
Em relação à armadura sobre os apoios, a recomendação da norma não foi mantida nas versões da NBR 6118 após 2003, porém, julgou-se adequado manter o que prescrevia a NBR
6118:1980, na qual, quando não se determinar o diagrama exato dos momentos negativos em lajes retangulares de edifícios com carga distribuída e
, as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se conforme o diagrama de momentos fletores (já compatibilizado) de base igual ao valor indicado:
LAJES ATUANDO EM DUAS DIREÇÕES ORTOGONAIS
Em uma borda engastada: 0,25 do menor vão, sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiada ou engastada;
Nos dois lados de um apoio de laje contínua: 0,25 do maior dos vãos menores das lajes contínuas.
LAJES ATUANDO EM UMA DIREÇÃO
Em uma borda engastada: 0,25 do vão.ARMADURA NOS CANTOS DE LAJES RETANGULARES E OUTRAS RECOMENDAÇÕES
A ABNT NBR 6118:2014 determina que, nas lajes maciças em que seja dispensada a armadura transversal, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras
decorrentes da presença de momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deverá ser levada até os paios, não sendo permitido o escalonamento dessa armadura. Ela deve
ser prolongada, no mínimo, 4cm além do eixo teórico do apoio.
ISSO SIGNIFICA QUE AS ARMADURAS DE LAJES PRECISAM SER CONTINUAS EM SUA DIREÇÃO E QUE
NAS BARRAS DA ARMADURA LONGITUDINAL POSITIVA DAS LAJES NÃO DEVEM SER UTILIZADOS
GANCHOS. NAS REGIÕES DE APOIO DAS LAJES, DEVE-SE GARANTIR BOAS CONDIÇÕES DE
DUCTILIDADE.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO PRÁTICA
Para mostrar um exemplo de aplicação do detalhamento das armações das lajes, vamos considerar a planta da forma ilustrada adiante com as lajes 1, 2 e 3. A altura de todas elas é
de 12cm, enquanto a vinculação adotada e os vãos teóricos estão representados na imagem.
Os momentos calculados para cada laje estão apresentados na tabela a seguir. A carga (
) solicitante em todas as lajes é de 5,56kN.m/m. Nesse projeto, será utilizado o concreto da classe C20 e o aço CA50, com cobrimento nominal de 2,5cm. As vigas apresentam largura
igual a 12cm.
 Planta de forma do exemplo de detalhamento.
Laje
L1 5,62 5,62 14,00 14,00
L2 4,28 2,20 9,45 7,17
L3 9,05 2,06 17,15 -
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela. Momentos nas lajes do exemplo de detalhamento.
Tabela: Larissa Camporez Araújo. Adaptada de: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014, p. 362.
Confira a solução abaixo:
Determinação da altura útil mínima
Armadura positiva
O maior momento positivo ocorre para L3, com
. A altura útil mínima (
) será:
q ≤ g
p
mx my m′x m
′
y
mx = 9, 05kN ⋅ m/m
dmin
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale lembrar que a base da laje é considerada igual a 1m; por isso, os cálculos são realizados por metro de laje. Eis a altura útil adotada para a armadura positiva:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Armadura negativa
O maior momento positivo ocorre para L3, com
. A altura útil mínima (
) será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Altura útil adotada para a armadura negativa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Cálculo das armaduras longitudinais
Para o cálculo das armaduras positivas de lajes, existem duas alturas úteis, uma para cada direção. Recomenda-se que seja utilizada a menor altura útil, ou seja, da borda
comprimida até o centro das barras da camada superior, conforme ilustra a imagem adiante. Assim, no cálculo de todas as armaduras, será empregada altura útil igual a 8cm; no caso
das armaduras negativas, adotando um valor menor, estamos a favor da segurança.
 Altura útil adotada para o dimensionamento.
Em lajes, consideramos a largura da base igual a 1,0m. Como a altura útil é maior que a útil mínima, o aço trabalhará com sua capacidade total, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, com isso, a resistência do aço será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os cálculos para o dimensionamento da laje têm por base as tabelas descritas na Introdução, no item “preparação”.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere
o valor do momento fletor de cálculo independentemente da direção e do sinal. Substituindo os valores, chegamos aos resultados apresentados na tabela a seguir:
Laje L1 L2 L3
Mom.
kN.m/m 5,62 5,62 14,0 14,0 4,28 2,20 9,45 7,17 9,05 2,06 17,15
KMD 0,086 0,086 0,214 0,214 0,065 0,034 0,145 0,110 0,137 0,032 0,263
dmin = 2, 0 ⋅ √ = 2, 0 ⋅ √ = 0, 060m = 6cm
Md
b ⋅ fcd
1, 4 ⋅ 9, 05
1, 0 ⋅ (20000/1, 4)
d = h − 1, 5 ⋅ ϕ − cnon  = 12 − 1, 5 ⋅ 1 − 2, 5 = 8cm
dmin < d,OK!
m′x = 17, 15kN ⋅ m/m
dmin
dmin = 2, 0 ⋅ √ = 2, 0 ⋅ √ = 0, 082m = 8, 2cm
Md
b ⋅ fcd
1, 4 ⋅ 17, 15
1, 0 ⋅ (20000/1, 4)
d = h − 0, 5 ⋅ ϕ − cnon = 12 − 0, 5 ⋅ 1 − 2, 5 = 9cm
dmin < d,OK!
εs > εyd = 0, 207%
fyk = 500MPa = 50kN/cm
2
KMD = = = 0, 0153 ⋅ m
Md
b ⋅ d2 ⋅ fcd
1, 4 ⋅ m
1 ⋅ 0, 082 ⋅ 20000/1, 4
As = = = 0, 4025 ⋅
Md
KZ ⋅ d ⋅ fyk
1, 4 ⋅ m
KZ ⋅ 0, 08 ⋅ 50/1, 15
m
KZ
m
mx my m′x m
′
y mx my m′x m
′
y mx my m′x
Laje L1 L2 L3
Mom.
KZ 0,9472 0,9472 0,852 0,852 0,960 0,976 0,906 0,931 0,909 0,976 0,807
m/KZ 5,933 5,933 16,43 16,43 4,457 2,254 10,44 7,706 9,853 2,111 21,269
2,388 2,388 6,613 6,613 1,794 0,907 4,204 3,102 3,966 0,85 8,561
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Detalhamento da armadura
Diâmetro máximo das barras:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diâmetros utilizados:
Serão utilizadas barras de
e
.
Armadura mínima para a seção retangular:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento para a armadura mínima:
Considerando barras de
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando barras de
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento máximo adotado
Para as armaduras positivas e negativas, serão adotados, de acordo com a norma, um espaçamento de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento das barras
A tabela a seguir apresenta as barras adotadas para cada situação, os espaçamentos calculados e os espaçamentos finais adotados.
Laje L1 L2 L3
Mom.
kN.m/m 5,62 5,62 14,0 14,0 4,28 2,20 9,45 7,17 9,05 2,06 17,15
2,388 2,388 6,613 6,613 1,794 0,907 4,204 3,102 3,966 0,85 8,561
6,3 6,3 10 10 6,3 6,3 10 10 10 6,3 10
0,32 0,32 0,80 0,80 0,32 0,32 0,80 0,80 0,80 0,32 0,80
0,134 0,134 0,121 0,121 0,178 0,335 0,19 0,258 0,202 0,376 0,093
mx my m′x m
′
y mx my m′x m
′
y mx my m′x
As
∅máx  = = = 1, 5cm = 15, 0mm
h
8
12
8
∅ = 6, 3mm
∅ = 10mm
As,min = ⋅ b ⋅ h = ⋅ 100 ⋅ 12 = 1, 8cm
2/m
0, 15
100
0, 15
100
∅ = 6, 3mm
s = = = 0, 18m = 18cm
As∅
As
0, 32
1, 8
∅ = 10, 0mm
s = = = 0, 44m = 44cm
As∅
As
0, 8
1, 8
s ≤ 20cm
mx my m′x m
′
y mx my m′x m
′
y mx my m′x
As
∅(mm)
As,1∅
s(m)
Laje L1 L2 L3
Mom.
12,5 12,5 12,5 12,5 17,5 17,5 20 20 20 17,5 10
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Larissa Camporez Araújo.
Comprimento e espaçamento das barras
A letra N e o número identificam as barras nas plantas do projeto.
Armadura positiva
Serão colocadas barras em todos os vãos das lajes (armadura corrida).
As barras deverão penetrar por 7cm nos apoios (vigas).
Largura das vigas = 12cm.
As dimensões das lajes, em planta, estão relacionadas aos eixos das vigas.
Para o comprimento das barras, será utilizada a equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprimentos para a laje L1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprimentos para a laje L2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprimentos para a laje L3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Armadura positiva
Todas as barras da armadura negativa têm diâmetro
.
Nas lajes adjacentes, será considerada a armadura referente ao maior momento.
Todas as lajes serão consideradas isoladas. Já a armadura, para todas as situações de vinculação, se estenderá no interior da laje a uma distância de
.
Ao comprimento deverá ser acrescentado o comprimento de ancoragem reto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
de lajes, usa-se a tabela a seguir:
mx my m′x m
′
y