3-Dimensionamento de concreto armado ao cisalhamento - Copia (2)

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(ESTRUTURAS DE CONCRETO) 3-Dimensionamento de concreto armado ao cisalhamento
MÓDULO 1 - Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch.
ESTUDO DAS TENSÕES E A TRELIÇA DE MÖRSCH: Para um bom e correto dimensionamento dos elementos estruturais, é necessário que o engenheiro calculista tenha domínio sobre as tensões que atuam nos elementos e a teoria envolvida em seu dimensionamento. Em vigas, as principais tensões atuantes são:
· Normal de flexão (σ)
· Provocada pelo momento fletor (M) 
· Cisalhante (τ) 
· Provocada pelo esforço cortante (V)
A Imagem 1(a) apresenta uma viga biapoiada clássica com carregamento uniformemente distribuído (q) e comprimento (L).
Imagem 1 – (a) Viga biapoiada com carregamento uniforme, seus diagramas de (b) esforço cortante e (c) momento fletor.
Os esforços internos dessa viga são o esforço cortante e o momento fletor, cujos diagramas estão representados nas imagens 1 (b) e (c), respectivamente. Observa-se que o momento fletor é máximo
no meio do vão, onde o cortante é nulo. Isso ocorre porque a função do esforço cortante é a derivada da função do momento fletor. Para a viga em questão, o esforço cortante máximo ocorre em seus apoios, e o valor é
ATENÇÃO: Nos tópicos seguintes, veremos como se relacionam as tensões normais e cisalhantes em uma viga, a fim de obter as tensões principais no elemento. O foco de nosso estudo será o dimensionamento de elementos submetidos ao cisalhamento.
ESTUDOS DAS TENSÕES: No estudo das tensões, vamos desprezar a presença de armadura e considerar o elemento estrutural como um material em concreto, homogêneo, elástico linear e que apresenta a razão da altura pelo comprimento pequena. Desse modo, poderemos utilizar a expressão do cálculo de tensões normais com erros muito pequenos, ou seja, admitindo a hipótese de seções planas que permanecem planas após as deformações.
Utilizaremos os conceitos da resistência dos materiais para o cálculo das tensões e adotaremos as seguintes equações para tensão normal (σ) e tensão cisalhante transversal (τ), respectivamente:
Sendo: 
M o momento fletor atuante na seção.
I o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo do centro de gravidade.
y a distância entre o centro de gravidade da seção transversal e o ponto onde será calculada a tensão.
V o esforço cortante atuante na seção.
Q o momento de primeira ordem (ou momento estático) da área da seção transversal situada acima de onde se deseja calcular a tensão (área A’, representada na Imagem 2).
t a largura da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão de cisalhamento (na Imagem 2, esse ponto pode estar localizado em qualquer posição sobre a linha vermelha).
NA IMAGEM ANTERIOR, NA REPRESENTA O EIXO QUE PASSA PELO CENTRO DE GRAVIDADE DA SEÇÃO TRANSVERSAL, OU SEJA, A LINHA NEUTRA; y’ É A DISTÂNCIA DO PONTO ONDE SE DESEJA CALCULAR A TENSÃO CISALHANTE ATÉ A LINHA NEUTRA; y¯′ É A DISTÂNCIA ENTRE O CENTROIDE DA ÁREA A’ ATÉ A LINHA NEUTRA, E dx É UM COMPRIMENTO INFINITESIMAL DO ELEMENTO ESTUDADO.
Com a finalidade de simplificar o assunto das tensões atuantes em elementos estruturais, iremos restringir nosso estudo das tensões para vigas de seção retangular nos tópicos seguintes.
ESTUDO DAS TENSÕES EM UMA VIGA: No estudo de tensões, vamos considerar uma viga biapoada com seção retangular de altura (h) e base (b), com carregamento distribuído uniformemente. Conforme mostra a Imagem 1, a viga vai estar submetida à ação do momento fletor e do esforço cortante. Consequentemente, teremos tensão normal de flexão (σ) e tensão de cisalhamento transversal (τ).. Nessa situação, para uma seção qualquer da viga, a distribuição de tensões ocorre como ilustra a Imagem 3.
Na imagem anterior, podemos observar que a tensão normal de flexão tem distribuição linear com valor máximo nas extremidades e nulo no eixo que passa pelo centroide (linha neutra). Para um momento positivo, temos tensões de compressão acima da linha neutra e tensões de tração abaixo da linha neutra.
A TENSÃO MÁXIMA DE COMPRESSÃO OCORRE NA FIBRA SUPERIOR COM DISTÂNCIA DO CENTROIDE IGUAL A ymáx,C , ENQUANTO A TENSÃO MÁXIMA DE TRAÇÃO OCORRE NA FIBRA INFERIOR, COM DISTÂNCIA DO CENTROIDE IGUAL A ymáx,T. ESSE CONCEITO IRÁ DETERMINAR A POSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL NO ELEMENTO ESTRUTURAL.
A tensão cisalhante tem o comportamento em formato de parábola. Se o esforço cortante for positivo – o que ocorre até a metade do comprimento da viga, conforme se vê na Imagem 1b –, têm-se apenas tensões cisalhantes positivas.
Ao contrário da tensão normal, a tensão cisalhante apresenta valores nulos nas extremidades e máximo na linha neutra (Imagem 3). Para uma seção com esforço cortante negativo, têm-se apenas tensões cisalhantes negativas.
Para vigas com outras situações de carregamento, podem ocorrer seções com momentos negativos. Nesse caso, acima da linha neutra, teremos tensões normais de flexão de tração e, abaixo da linha neutra, tensões de compressão.
ATENÇÃO: Vale lembrar que as tensões de compressão são consideradas negativas, e as tensões de tração, positivas.
O momento de inércia (I) e o momento estático (Q), para uma viga retangular com área (A) igual a b ⋅ h, são dados, respectivamente, por:
Substituindo os valores na equação de tensão de cisalhamento, teremos, para a tensão cisalhante máxima em uma seção retangular, a expressão dada por:
TENSÕES PRINCIPAIS: Conhecidas as tensões atuantes em um ponto de uma seção, podemos obter o estado de tensões, as tensões e as direções em qualquer plano desse ponto. O estado plano de tensões de determinado ponto do elemento estrutural pode ser representado em uma visão bidimensional, como ilustra a Imagem 4.
A partir da visão bidimensional, podemos fazer um corte no elemento a partir de um ângulo (θ) e, desse modo, determinar as tensões atuantes no plano dado por esse ângulo, por meio do equilíbrio estático, realizando o somatório de forças obtidos pelo esquema obtido na Imagem 5.
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões normais principais – ou seja, seus valores máximo e mínimo – ocorrem quando a tensão cisalhante é nula. Com isso, podemos determinar as tensões principais para o estado plano de tensões (σ1 e σ2) de maneira analítica, utilizando a seguinte equação:
Sendo σ1 a tensão principal maior e σ2 a tensão principal menor. A direção dessas tensões é dada por:
A fim de compreendermos melhor a diferença entre as tensões atuantes em determinado ponto do elemento e as tensões principais desse ponto, vamos observar as Imagens 6 e 7.
Na Imagem 6, temos uma viga engastada com carga pontual aplicada em sua extremidade livre. A Imagem 6 (b) mostra o corte a-a dessa viga, com os pontos de 1 a 5, cujos planos de tensões e as tensões principais de cada ponto são apresentados na Imagem 7. Na Imagem 6 (c), tem-se representado a distribuição de tensões atuantes na seção do corte a-a.
Na Imagem 7, podemos observar que, nos pontos extremos 1 e 5, só atua a tensão normal, sendo, no ponto 1, a tensão normal de tração e, no ponto 5, a tensão normal de compressão. Como a tensão cisalhante não atua nesses pontos, a tensão normal de flexão já é a tensão principal.
Os pontos 2 e 4 são pontos intermediários, sendo o ponto 2 na região de tração e o 4 na região de compressão. Como a tensão cisalhante atua nesses pontos, as tensões principais não atuam nesse plano e precisam ser calculadas.
O ponto 3 da Imagem 6 (b) está posicionado sobre a linha neutra, de modo que, nesse ponto, não atua tensão normal, apenas tensões cisalhantes, como ilustra a Imagem 7. Em situações como a do ponto 3, as tensões principais ocorrem no plano
θ = 45°.
					
Imagem 7 – Componentes de tensão e tensões principais da seção a-a da Imagem 6(a)
A importância de o engenheiro calculista conhecer as tensões principais de um elemento se justifica porque, no concreto, as fissuras são perpendiculares à direção da tensão principal de tração. Desse modo, conhecida a trajetória das tensões principais, é possível determinar as trajetórias das fissuras/trincase, com isso, determinar o posicionamento das armações do elemento estrutural.
A Imagem 8 ilustra a ocorrência de fissuras em um ponto posicionado sobre a linha neutra, onde têm-se apenas tensões cisalhantes atuando.
TRELIÇA DE MÖRSCH: Como vimos, em geral, as vigas são solicitadas ao momento fletor e ao esforço cortante. A armadura longitudinal tem a função de resistir às tensões de flexão, e a armadura transversal, de resistir ao cisalhamento. A ruptura ocorre por formação de fissuras inclinadas causadas pelos efeitos combinados de momento fletor e esforço cortante.
O MODELO DE CÁLCULO DE UM ELEMENTO EM CONCRETO ARMADO RESISTENTE À TENSÃO CISALHANTE É COMPLEXO, UMA VEZ QUE A RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DEPENDE DE DIVERSOS FATORES. ENTRE TAIS FATORES, PODEMOS CITAR: GEOMETRIA DO ELEMENTO, CLASSE DO CONCRETO, ARMADURA LONGITUDINAL DE FLEXÃO, CARREGAMENTO, VÃO, TIPO DE AÇO ETC.
Com a finalidade de simplificar os cálculos, W. Ritter e Mörsch apresentaram uma teoria para o dimensionamento da armadura de cisalhamento que considerava o mecanismo resistente da viga no estado II (fissurada) associado ao de uma treliça, em que as armaduras e o concreto equilibram o esforço cortante de forma conjunta. Ritter e Mörsch propuseram uma analogia entre a viga fissurada e a treliça. Nessa analogia, o banzo superior representa o cordão de concreto comprimido, o banzo inferior representa a armadura longitudinal de flexão (As), as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto entre as fissuras, e as diagonais tracionadas representam a armadura transversal (de cisalhamento (Asw). Essa analogia é ilustrada na Imagem 9.
As hipóteses básicas consideradas para a analogia foram: fissuras (bielas de compressão) com inclinação de 45°, banzos paralelos, treliça isostática (sem engastamento nos nós) e armadura de cisalhamento (estribos) com inclinação entre 45° e 90°.
A tensão principal de tração (σ1) será resistida pela armadura de cisalhamento (Asw) que deverá atravessar as fissuras. Já a tensão principal de compressão (σ2) será resistida pelo concreto comprimido localizado entre as fissuras (bielas de concreto).
SAIBA MAIS: A ABNT NBR 6118:2014 admite dois métodos de cálculo para verificação do cisalhamento:
· Modelo de cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch.
· Modelo de cálculo II: treliça generalizada de Mörsch.
VERIFICANDO O APRENDIZADO.
1. O estudo das tensões em um elemento estrutural é de extrema importância para a determinação do seu dimensionamento. Portanto, o engenheiro estrutural precisa conhecer a trajetória de tensões atuantes nos elementos. Para a seção de uma viga, submetida às tensões normal e cisalhante, pode-se afirmar que:
a) A tensão cisalhante é máxima nas extremidades da seção transversal.
b) A tensão normal tem comportamento em forma de parábola na seção transversal.
c) Na linha neutra da seção transversal, a tensão normal é nula e a tensão cisalhante é máxima.
d) Na linha neutra da seção transversal, a tensão normal é máxima e a tensão cisalhante é nula.
e) Na linha neutra da seção transversal, tanto a tensão normal quanto a tensão cisalhante são nulas.
A alternativa "C" está correta. A tensão cisalhante é máxima na linha neutra; a tensão normal tem comportamento linear e, sobre a linha neutra da seção transversal, a tensão normal é nula, enquanto a tensão cisalhante é máxima.
2. Na analogia da treliça proposta por Ritter e Mösch, a armadura transversal é representada pelo:
a) Banzo superior
b) Banzo inferior
c) Diagonais comprimidas
d) Diagonais tracionadas
e) Bielas
A alternativa "D" está correta. Na analogia da treliça, o banzo superior representa o cordão de concreto comprimido, o banzo inferior representa a armadura longitudinal de flexão, as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto, e as diagonais tracionadas representam a armadura transversal.
MÓDULO 2 - Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo I no Estado Limite Último.
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (NBR6118) – MODELO I: Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch admite bielas com inclinação θ = 45º e esforço cortante resistido por outros mecanismos (Vc) na seção, independentemente do esforço cortante de cálculo. Deve-se fazer as seguintes verificações do dimensionamento no Estado Limite Último à força cortante (ELU-V):
· Compressão da diagonal do concreto (biela) – consiste em verificar a ruptura por compressão das diagonais de concreto.
· Cálculo da armadura transversal – consiste em determinar a bitola do aço e o espaçamento entre ramos.
· Força cortante resistida para determinada quantidade de aço – consiste em verificar se a armadura utilizada será capaz de resistir ao esforço cortante aplicado na seção.
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificadas e atendidas, simultaneamente, as duas condições a seguir:
NÃO ESMAGAMENTO DAS BIELAS DE CONCRETO
VSd ≤ VRd2
Sendo VSd o esforço cortante de cálculo obtido por: VSd = 1, 4 ⋅ (VG + VQ).
Onde VG é o esforço cortante solicitante devido às forças permanentes, VQ é o esforço cortante solicitante devido às forças variáveis e VRd2 é a força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
Sendo VRd3 a força cortante de cálculo máxima resistida pela diagonal tracionada, Vc a força cortante resistida por outros mecanismos e Vsw a força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal.
A seguir, serão apresentadas as formulações para o modelo I e exemplos de aplicação.
FORMULAÇÃO PARA O MODELO I: Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar a Treliça de Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais comprimidas estão em azul; e o banzo inferior e as diagonais tracionadas, em vermelho. As setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b.
Na formulação utilizada em nosso estudo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com ângulo de 90°.
Os estribos verticais apresentam execução mais fácil. São elementos independentes, de modo que podem ser melhor distribuídos e ter um diâmetro menor do que as barras longitudinais, o que favorece a aderência e a fissuração. Além disso, auxiliam na montagem da armadura longitudinal e podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante. Também auxiliam na distribuição de tensões de tração produzidas pela transmissão de esforços entre concreto e aço A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-a. Sendo Fc a força de compressão no concreto, Fs a força de tração da armadura longitudinal e C a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por:
C = b ⋅ (z ⋅ cos θ) ⋅ ν ⋅ fcd
Nesse caso, o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante (ν) é dado por:
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
Para o modelo I, em que θ = 45°, temos que: VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ ν. fcd
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está representado na Imagem 12.
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais. Com isso, temos:
∑Fy ↑+= 0 : VSd − Vsw − Vc = 0 → Vsw = VSd − Vc
Onde Vc, para o modelo I de cálculo, é dado por:
Para elementos tracionados, quando a linha neutra se situa fora da seção: Vc = 0
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção: Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd
Sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a: 
Em que fctk é a resistência característica do concreto à tração e é dada por: fctk = 0, 7 ⋅ fctm
Onde fctm é a resistência média do concreto à compressão e é calculada pela equação: 
Sendo assim, 
Onde fywd é a resistência de cálculo de escoamento do aço da armadura transversal, dada por:
Sendo fywka resistência característica de escoamento do aço da armadura transversal. Para aço CA-50, fywk = 500 Mpa , e para aço CA-60, fywk = 600 Mpa Teremos: 
Como o modelo I considera θ = 45°, a área de aço da armadura transversal será dada por:
Onde s é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter Asw em cm2/m. É importante observar que Asw / s é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga, e Asw é a área de todos os ramos verticais do estribo.
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar ρsw,α, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do estribo, α, e, como estamos adotando o estribo vertical, ou seja, α = 90°, a equação será dada por:
Ao comparar as taxas de aço do estribo com α = 90° e uma barra de aço dobrada com α = 45°, verifica-se que as taxas são iguais, de modo que o custo é o mesmo. No entanto, a barra dobrada apresenta uma série de desvantagens, como:
Execução mais difícil, utilizada junto aos estribos, podendo resistir a, no máximo, 60% do Esforço Cortante. Tem bitola maior do que os estribos, prejudicando o controle de fissuração. Apresenta deficiência na ancoragem das bielas comprimidas junto à região tracionada. Caso só haja barras dobradas, aparece um efeito de fendilhamento junto à ancoragem da biela. Pelos motivos citados, não serão desenvolvidas as formulações que consideram 45° ≤ α < 90°
Com o avanço das pesquisas experimentais utilizando o modelo I, verificou-se que os cálculos realizados com esse modelo conduziam a uma armadura transversal exagerada. Isso significa que a tensão real atuante na armadura é menor do que a obtida nos cálculos. Os pesquisadores atribuíram essa diferença a alguns fatores, como:
· A treliça é hiperestática, e não isostática, como considerada no modelo. Desse modo, os nós não podem ser considerados como articulações perfeitas.
· Nas regiões com maior força cortante, a inclinação das fissuras é menor do que 45°. No modelo I, admite-se que a inclinação das fissuras seja de 45°.
· Uma parte do esforço cortante é absorvido na região do concreto comprimido, por conta dos esforços de flexão.
· Os banzos não são paralelos conforme considerado. O banzo superior, comprimido, é inclinado.
· As bielas de concreto comprimidas estão parcialmente engastadas na ligação com o banzo comprimido, portanto, são submetidas a esforços de flexocompressão, o que alivia
· os montantes ou diagonais tracionadas.
· As bielas são mais rígidas do que os montantes ou diagonais tracionadas, e absorvem uma parcela maior do esforço cortante do que a determinada no modelo I.
· A quantidade de armadura longitudinal influencia o esforço da armadura transversal, o que também não é considerado no modelo I.
O Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch é um modelo mais simplificado, que garante valores mais conservadores para área de armadura transversal (Asw). No próximo módulo, será apresentado o modelo II de cálculo.
TENSÕES NO MODELO I
As tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. A seguir, apresentamos as tensões envolvidas na formulação do ELU-V para o modelo I:
a) Tensão resistida por outros mecanismos (τc) – é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que corresponde ao engrenamento ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto (Vc) . É dada pela equação:
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo (τSd) – é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de cálculo que atua na seção (VSd). É dada pela equação:
c) Tensão combatida pela armadura transversal (τSw) – é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal (VSw). É dada pela equação:
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida (τRd2) – é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto (VRd2). É dada pela equação:
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada pela comparação: τSd ≤ τRd2
E a área da armadura transversal pode ser obtida por meio da relação: τSw ≥ τSd − τc
Aplicação para o modelo I – Exemplo 1
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado na Imagem 13. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta seção transversal com altura h = 50cm e base b = 15cm. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão fck = 30MPa, e o aço será o CA-50.
EXEMPLO A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal a ser utilizada nos vãos 1 e 3. SOLUÇÃO
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Temos:
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos: 
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos: 
Considerando d = 0, 9.h, temos:
EXEMPLO B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço transversal a ser utilizada no vão 2. SOLUÇÃO
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Considerando d = 0, 9.h, temos: 
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos:
APLICAÇÃO PARA O MODELO I – EXEMPLO: O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de visitas sobre a área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro calculista que, de posse do projeto estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga existente:
Altura: h = 50cm
Base: b = 14cm
Concreto: fck = 25MPa
Aço: CA-50
Área de aço da armadura transversal: Asw = 5, 40cm2/m
Com essas informações, vamos determinar o esforço cortante máximo que essa viga suporta, calculado pelo engenheiro.
SOLUÇÃO
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos:
O maior esforço cortante solicitante (Vs) que poderá ser aplicado a essa viga será:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um engenheiro calculista, de posse de um projeto estrutural, precisou verificar se a área de aço da armadura transversal Asw estava correta. Para tanto, refez os cálculos.
Sabendo que o esforço cortante de cálculo máximo do vão é de 160kN, que a viga possui seção transversal com altura h= 55cm e base b= 14cm, que será concretada com concreto de resistência à compressão fck= 25Mpa e o aço utilizado para armação será o CA-50, marque a opção que apresenta a Asw que o engenheiro obteve em seus cálculos.
Utilizar o modelo de cálculo I e considerar: d = 0, 9 ⋅ h
a) 1,84 cm2/m
b) 2,53 cm2/m
c) 3,24 cm2/m
d) 4,96 cm2/m
e) 5,51 cm2/m
2. Um engenheiro estrutural foi solicitado para fazer o cálculo da área de aço da armadura transversal Asw de uma viga a ser construída em uma área de ampliação de uma residência. 
Após realizar os cálculos dos esforços, o engenheiro encontrou uma força cortante solicitante de 120kN para uma viga que terá seção transversal com altura h= 40cm e base b=14cm. A obra será concretada com concreto de resistência à compressão fck= 30Mpa, e o aço utilizado para armação será o CA-50. O engenheiro obteve uma Asw igual a:
Utilizar o modelo de cálculo I e considerar: d = 0, 9 ⋅ h
a) 3,64 cm2/m
b) 4,85 cm2/m
c) 5,76 cm2/m
d) 6,52 cm2/m
e) 8,82 cm2/m
MÓDULO 3 - Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo II no Estado Limite Último.
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (NBR 6118) – MODELO II
Por conta das simplificações da estrutura adotada para a formulação do Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch, foram obtidos valores bem acima do necessário para a área de armadura transversal utilizada para resistir ao cisalhamento. No entanto, é extremamente complexo introduzirtodas as variáveis no cálculo da treliça, visto que levaria a dificuldades matemáticas consideráveis.
A Treliça Generalizada de Mörsch (modelo II) também é um modelo simplificado, mantendo os princípios do modelo da treliça. No entanto, para essa formulação, foram considerados resultados de ensaios.
Além disso, deve-se fazer as seguintes verificações para o dimensionamento no Estado Limite Último à Força Cortante (ELU-V):
· Compressão da diagonal do concreto (biela).
· Cálculo da armadura transversal.
· Força cortante resistida para determinada quantidade de aço.
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificadas e atendidas simultaneamente, pelo ELU-V, as duas condições seguintes:
Não esmagamento das bielas de concreto.
Dimensionamento da armadura transversal.
Formulação para o modelo II: Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar novamente a Treliça de Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais comprimidas estão em azul, e o banzo inferior e as diagonais tracionadas em vermelho.
As setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b. Na formulação utilizada neste conteúdo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com ângulo de 90°.
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-a.
Sendo Fc a força de compressão no concreto, Fs a força de tração da armadura longitudinal e a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por: C
Onde o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante (V)é dado por:
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
No modelo II temos: 30° ≤ θ ≥ 45° Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está representado na Imagem 12.
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
Onde Vc para o modelo II de cálculo é dado por: Para elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção Vc = 0
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo tração com a linha neutra cortando a seção, iremos considerar a seguinte formulação
Sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
Em que, fctk é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
Onde fctm é a resistência média do concreto à compressão, e é calculada por meio da equação:
Sendo assim,
Logo
Onde S é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter Asw em cm2/m. É importante observar que é a armadura 
transversal por unidade de comprimento da viga e Asw é a área de todos os ramos verticais do estribo. No modelo II, temos: 30° ≤ θ ≥ 45° 
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar ρsw,α , que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do estribo, α, e, como aqui estamos adotando o estribo vertical, ou seja, α = 90°, a equação será dada por: 
O modelo II é dito refinado quando utilizamos θ = 30°
TENSÕES NO MODELO II: Já sabemos que as tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. Neste tópico, serão apresentadas as tensões envolvidas na formulação do ELU-V para o Modelo II.
a) Tensão resistida por outros mecanismos (τc) é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que corresponde ao engrenamento ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto (Vc). É dada pela equação:
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo (τSd) é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de cálculo que atua na seção (VSd). É dada pela equação:
c) Tensão combatida pela armadura transversal (τSw) é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal (VSw) . É dada pela equação:
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida (τRd2) é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto (VRd2). É dada pela equação:
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada comparando:
E a área da armadura transversal pode ser obtida pela relação:
APLICAÇÃO PARA O MODELO II – EXEMPLO 1
A fim de realizarmos uma comparação entre os valores de Asw obtidos para o modelo I (θ = 45°) e para o modelo II refinado (θ = 30°), iremos realizar os mesmos exemplos que vimos no módulo 2, mas com θ = 30°, no modelo II.
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado na Imagem 13, que é repetida a seguir. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta seção transversal com altura h = 50cm e base b = 15cm. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão fck = 30Mpa, e o aço será o CA-50.
EXEMPLO A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal a ser utilizada nos vãos 1 e 3. SOLUÇÃO
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto
Temos 
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos: 
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
 
Como VSd > V0, pois 141kN > 58, 64kN, Vc é dado por:
Considerando d = 0, 9 ⋅ h , temos:
No exemplo, Asw do modelo refinado foi de 3, 36cm²/m , enquanto do modelo I foi 4, 68cm²/m. Desse modo, utilizando-se o modelo de cálculo I, obteve-se uma taxa de armadura de cerca de 39% maior do que utilizando-se o modelo de cálculo II com θ = 30°. Além da redução da taxa de armadura, pela formulação do modelo refinado, também se observou uma redução da força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto (VRd2) 
EXEMPLO B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço transversal a ser utilizada no vão 2. 
SOLUÇÃO:
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto.
Temos:
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
Como: VSd > V0, pois: 90 kN > 58, 64kN, Vc é dado por:
Considerando d = 0, 9 ⋅ h , temos:
Como era esperado, Asw e VRd2 no modelo refinado foram menores do que os valores encontrados utilizando o Modelo I de cálculo.
APLICAÇÃO PARA O MODELO II – EXEMPLO 2: O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de visitas sobre a área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro calculista de posso do projeto estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga existente:
Altura: h = 50cm
Base: b = 14cm
Concreto: fck = 25MPa
Aço: CA-50
Área de aço da armadura transversal: Asw = 5, 40cm2/m
Com essas informações, determine o esforço cortante máximo que essa viga suporta.
SOLUÇÃO
Calculando:
Considerando d = 0, 9 ⋅ h, temos:
Vamos considerar: VSd > V0, e calcular Vc como:
O maior esforço cortante solicitante (Vs) que poderá ser aplicado a essa viga será:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um engenheiro projetista, ao analisar um projeto estrutural, verificou ser necessário recalcular área de aço da armadura transversal Asw. Sabendo que o esforço cortante solicitante de cálculo máximo do vão era de 160kN, que a viga possui seção transversal com altura h= 55 cm e base b=14 cm, que será concretada com concreto de resistência à compressão fck= 25Mpa e o aço utilizado para armação será o CA-50, marque a opção que apresenta a Asw que o engenheiro obteve em seus cálculos.
Utilizar o modelo de cálculo II com θ = 30°,
Considere: d= 0,9. h
a) 4,50 cm2/m
b) 4,00 cm2/m
c) 3,50 cm2/m
d) 3,00 cm2/m
e) 2,50 cm2/m2. Um engenheiro foi consultado para fazer o cálculo da área de aço da armadura transversal (Asw) de uma viga a ser construída em uma área de ampliação de uma sobreloja. Após realizar os cálculos dos esforços, o engenheiro encontrou uma força cortante solicitante de cálculo igual 120kN para uma viga que terá seção transversal com altura h= 40bcm e base b= 14 cm. A obra será concretada com concreto de resistência à compressão fck= 30Mpa, e o aço utilizado para armação será o CA-50. O engenheiro obteve uma Asw igual a:
Utilizar o modelo de cálculo II com θ = 30°,
Considere: d= 0,9. h
a) 2,42 cm2/m
b) 2,98 cm2/m
c) 3,34 cm2/m
d) 3,89 cm2/m
e) 4,25 cm2/m
MÓDULO 4 - Calcular o dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto armado.
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