Atividade A5- Cálculo Aplicado Várias variáveis

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Atividade A5 (N2)
01- A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função  no ponto P(-1,1).
R: 
02- Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
Assinale a alternativa correta.
R: I, III e IV, apenas.
03- A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
I. A função  é solução da equação diferencial .
II. A função  é solução da equação diferencial .
III. A função  é solução da equação diferencial .
IV. A função  é solução da equação diferencial .
É correto o que se afirma em:
R: II e IV, apenas.
04- Leia o excerto a seguir:
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .
R: 
05- Às vezes, calcular uma integral dupla , onde  é uma região em formato circular, usando coordenadas retangulares pode ser algo trabalhoso a se fazer. Porém, a descrição de  pode se tornar mais simples fazendo o uso de coordenadas polares, isto é,  em que . Use coordenadas polares para calcular a integral  onde . Assinale a alternativa correta. (Dica: lembre que ).
R: 
06- Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a variável  funções de , isto é, . Já regiões do tipo II fornecem como parâmetros para a variável  funções de , isto é, . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral , onde  é a região limitada pelas curvas  e :
R: 36
07- Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função  precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
R: O domínio da função  é o conjunto 
08- De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
R:  na direção de .
09- Analise a figura a seguir:
 
Figura: Região plana  sobre a qual o sólido se encontra
Fonte: Elaborada pela autora. 
Um tetraedro é uma figura geométrica formada por quatro faces triangulares. Ao localizarmos essa figura em um sistema de coordenadas tridimensionais, temos que cada face pode ser descrita por um plano diferente. Com isso, podemos usar o estudo de integrais duplas para determinar seu volume. Considere um tetraedro limitado pelos planos ,  e pelos planos coordenados  e . Assinale a alternativa que corresponde ao seu volume:
R: 
10- Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular em sua propriedade próxima a um rio. Para cercar o lado  paralelo ao rio, será usado um material que custa R$ 10,00 por metro linear e, para cercar as laterais, lado , será usado um material que custa R$ 5,00 por metro linear. Nesse sentido, sabendo que o fazendeiro possui apenas R$ 2.500,00 para fazer esse cercado, assinale a alternativa que apresenta o campo de maior área possível que possa ser cercado (determine as dimensões  do campo).
R: 62.5 m x 125 m.