MAPA - MAT - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2020D

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MAPA - MAT - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2020D 
O cálculo diferencial e integral tem papel importante em várias áreas, tais 
como biologia, economia, engenharia entre outras. O estudo de cálculo de funções 
de uma variável, de forma geral, é iniciado com funções e tem prosseguimento em 
limites, derivadas e integrais. Dentre esses assuntos podemos citar a derivada. Uma 
interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado 
desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto". Isso permite 
que possamos analisar e maximizar/minimizar problemas. Para o nosso MAPA 
propomos a seguinte situação: 
 Marter é um morador de uma região do Brasil. Em sua propriedade a casa 
onde mora fica as margens de um rio. Por questão de logística, dentro da 
propriedade pretende construir um celeiro retangular com 80 metros de perímetro. 
Este celeiro deverá ficar na margem oposta, a 2000 metros rio abaixo (Considere 
linha reta). 
a) Determine as dimensões do celeiro para que sua área seja máxima. 
Sabendo-se que: 
 
Pode-se concluir que: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2(𝑥 + 𝑦) 
80 = 2(𝑥 + 𝑦) 
𝑥 + 𝑦 = 40 
𝑦 = 40 − 𝑥 
 
E sabendo-se que a área é a multiplicação dos lados: 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥. 𝑦 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥. (40 − 𝑥) 
Á𝑟𝑒𝑎 = 40𝑥 − 𝑥2 = −𝑥2 + 40𝑥 
 
 
Acadêmico: R.A. 
Curso: Licenciatura em matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
 
 
Sendo assim, como o coeficiente “a” é negativo, pode-se inferir que a parábola 
possui um ponto máximo. 
 
 
 
 Para determinar o ponto máximo da função do 2º grau, basta calcular o vértice da 
parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: 
 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 𝑒 𝑌𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
Dessa forma, obtém-se assim o seguinte resultado: 
 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
40
2. (−1)
= 20 𝑚 
𝑌𝑣 = 40 − 𝑋𝑣 = 40 − 20 = 20 𝑚 
 
Conclui-se, portanto, que as medidas do celeiro retangular para que a área seja 
máxima (400 m²) são x = 20 m e y = 20 m. 
 
b) Marter têm todos os materiais para a construção de celeiro com área máxima, 
exceto os tijolos de 6 furos, que pretende utilizar. Em média, para cada metro 
quadrado de parede fechada, usa-se 35 unidades do tijolo. Determine a quantidade 
de tijolos, aproximadamente, que ele irá usar para fechar as paredes do celeiro. Uma 
informação importante é que as paredes terão 4 metros de altura, o celeiro terá uma 
janela retangular de dimensões 2m por 1,5m e ainda uma porta, também retangular 
de 4m por 2,5m. (Desconsidere as colunas e toda a parte de concreto usada) 
Com base nos dados encontrados no item anterior, sabe-se que a base do celeiro é 
um quadrado de lado 20 m. Sendo assim, se as paredes possuem 4m de altura, sua área 
será dada pelo produto da base b pela altura h pelo número 4 (referente à quantidade de 
paredes). Dessa forma, obtém-se o resultado abaixo: 
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 = 4𝑏ℎ = 4 ∗ 20 ∗ 4 = 320𝑚² 
Contudo, deve-se retirar os valores de área da janela e da porta: 
𝐴𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 = 𝑏ℎ = 4 ∗ 2,5 = 10𝑚² 
 
 
𝐴𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎 = 𝑏ℎ = 2 ∗ 1,5 = 3𝑚² 
Extraindo-se os valores encontrados da área total das paredes: 
𝐴𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 = 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 − 𝐴𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 − 𝐴𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎 = 320 − 10 − 3 = 307𝑚² 
Dessa maneira, pode-se calcular a quantidade de tijolos necessários: 
𝑇 = 35 ∗ 𝐴𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 = 35 ∗ 307 = 10745 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Conclui-se, portanto, que serão necessários 10745 tijolos para fechar as paredes 
do celeiro. 
c) Faça um orçamento para saber o valor que o Marter irá gastar com esses tijolos 
(pode ser pela internet ou loja física, mas o orçamento deve estar em anexo ao 
template do MAPA). É recomendável comprar 10% a mais de material devido as 
percas. 
 Sabendo-se que se deve comprar 10% a mais de material, tem-se que a quantidade 
de tijolos necessárias é igual a: 
𝑇 = 1,1 ∗ 10745 = 11819,5 ≅ 11820 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 Dessa maneira, realizou-se um orçamento na loja Leroy Merlin para 11820 
unidades do produto “Bloco Cerâmico Vedação 6 Furos 11,5x19x29cm” da marca Jad, 
cujo preço unitário é equivalente a R$ 1,61. O preço total obtido foi de: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 𝑇 ∗ 1,61 = 11820 ∗ 1,61 = 𝑹$𝟏𝟗𝟎𝟑𝟎, 𝟐𝟎 
FONTE: https://www.leroymerlin.com.br/bloco-ceramico-vedacao-6-furos-
11,5x19x29cm-jad_85394435 
d) Silver, o único pedreiro da região onde Marter mora, cobra R$ 150,00 o metro 
quadrado de mão de obra para a construção do celeiro. Como ele irá construir o 
celeiro de área máxima, qual será o valor da mão de obra se for contratar Silver? 
 Como apresentado no item a), as dimensões para a área máxima são iguais a 20m, 
que totalizam uma área de 400m². Sendo assim, o valor da mão de obra será equivalente 
a: 
𝑀𝑂 = 𝐴 ∗ 150 = 400 ∗ 150 = 𝑹$𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
e) Marter irá levar energia elétrica ao celeiro. Ele pretende estender um cabo de 
força da casa ao celeiro, à margem do rio, que tem 40 metros de largura. O cabo, em 
algum momento deverá atravessar o rio, suspenso por postes de madeira, que ele 
tem de forma abundante na propriedade. O eletricista cobra 10% a mais na mão de 
obra para “passar” o cabo por cima do rio, considerando o preço que ele cobra em 
terra. Se o eletricista cobra, de mão de obra, R$ 10,00 o metro instalado em terra, 
determine o custo mínimo que Master pode ter para levar a energia da sua casa ao 
celeiro. Para isso, fazer um orçamento no modelo do item (c). Ele irá usar fiação de 
 
 
10mm flexível*. Desconsiderar as percas nesse caso. (*Em termos de energia esse 
cabo não é recomendado para esse serviço, mas como é fácil de encontrar, usarmos 
ele para o MAPA.) 
O problema descrito no enunciado pode ser representado pela seguinte figura: 
 
 Conforme ilustrado pela a imagem, y representa o comprimento do cabo que 
atravessa o rio e (2000 – x), o cabo que passa por terra. Sabendo que as duas variáveis e 
a largura do rio formam um triangulo retângulo, pode-se utilizar o Teorema de Pitágoras: 
𝑦2 = 𝑥2 + 402 
𝑦 = √𝑥2 + 1600 
 Como o eletricista cobra R$ 10,00 para passar o cabo por terra e 10% a mais desse 
valor para passar pelo rio (R$ 11,00), pode-se definir o custo como uma expressão em 
função de x: 
𝐶(𝑥) = 11 ∗ √𝑥2 + 1600 + 10 ∗ (2000 − 𝑥) 
𝐶(𝑥) = 11 ∗ √𝑥2 + 1600 + 20000 − 10𝑥 
Com o intuito de encontrar o custo mínimo, aplica-se a derivada da função custo 
em relação a x: 
𝐶(𝑥) = 11 ∗ √𝑥2 + 1600 + 20000 − 10𝑥 
𝐶′(𝑥) =
1
2
∗ 11 ∗ (𝑥2 + 1600)−
1
2 ∗ 2𝑥 + 0 − 10 =
11𝑥
√𝑥2 + 1600
− 10 
Depois, acham-se os valores de x onde a derivada é igual a 0 ou inexistente: 
0 =
11𝑥
√𝑥2 + 1600
− 10 
11𝑥
√𝑥2 + 1600
= 10 
 
 
121𝑥²
𝑥2 + 1600
= 100 
121𝑥2 = 100𝑥2 + 160000 
21𝑥2 = 160000 
𝑥 = ±√
160000
21
= ±
400√21
21
 
 Substituindo o valor de x encontrado na função do custo: 
𝐶(𝑥) = 11 ∗ √𝑥2 + 1600 + 20000 − 10𝑥 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
400√21
21
2
+ 1600 + 20000 − 10 ∗ (
400√21
21
) 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
160000 ∗ 21
441
 
+ 1600 + 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
21 ∗ (1600 ∗ 21 + 160000)
441
 
+ 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
(1600 ∗ 21 + 160000)
21
 
+ 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
1600 ∗ (21 + 100)
21
 
+ 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗ √
1600 ∗ 121
21
 
+ 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) = 11 ∗
40 ∗ 11
√21
+ 20000 −
4000√21
21
 
𝐶 (
400√21
21
) =
4840√21
21
−
4000√21
21
+ 20000 
𝐶 (
400√21
21
) =
840√21
21
+ 20000 
𝐶 (
400√21
21
) = 40√21 + 20000 ≅ 𝑅$ 20183,30 
 
 
Sendo assim, o custo mínimo para instalação dos cabos é de aproximadamente R$ 
20183,30. 
Em seguida, deve-se calcular quantos metros de cabo serão comprados. Primeiro 
encontra-se o comprimento do cabo que passa pelo rio: 
𝑦 = √𝑥2 + 1600 = √
400√21
21
2
+ 1600 =
40 ∗ 11
√21
=
440√21
21
≅ 96,02𝑚 
Já com relação ao cabo que passa por terra: 
2000 − 𝑥 = 2000 −
400√21
21
≅ 1912,71𝑚 
Somando ambas as quantidades encontradas:𝐶𝑎𝑏𝑜 = 96,02 + 1912,71 = 2008,73𝑚 
 Conclui-se, portanto, que serão necessários 2008,73m de cabo. 
Dessa maneira, realizou-se um orçamento na loja Leroy Merlin para 2009m do 
produto “Cabo Flexível 10mm Azul 750V” da marca SIL Fios, cujo preço unitário é 
equivalente a R$ 8,69. O preço total obtido foi de: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 𝐶𝑎𝑏𝑜 ∗ 8,69 = 2009 ∗ 8,69 = 𝑹$𝟏𝟕𝟑𝟗𝟕, 𝟗𝟒 
FONTE: https://www.leroymerlin.com.br/cabo-flexivel--10mm-100metros-azul-750v-
sil-fios_86839802 
 Por último, soma-se os valores do material e da instalação: 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎çã𝑜 + 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 = 20183,30 + 17397,94 = 𝑹$𝟑𝟕𝟓𝟖𝟏, 𝟐𝟒 
 Logo, o custo total é equivalente a R$37581,24.