Questão resolvida - Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com dois fios Com 1000 m de fio à disposição, dete

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• Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de 
três fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com dois fios. Com 1000 m de fio 
à disposição, determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e 
calcule o valor dessa área.
 
Resolução:
 
Um esboço dessa cerca, com representando a altura e o comprimento da área y x
retângular é visto na sequência;
 
A área dessa região é dada por;
 
A = x ⋅ y
 
Já que em um dos lados teremos 3 fios e nos outros restantes 2 fios, a resentação disso 
pode ser vista a seguir;
 
 
y y
x
x
3y 2y
2x
2x
(1)
Contabilizando a quantidade de fios em cada lado, o perímetro deve ter comprimento P:
 
P = 3y + 2x + 2x + 2y P = 5y + 4x→
 
Esse perímetro deve ter comprimento de 1000 metros, dessa forma temos a relação;
 
1000 = 5y + 4x 5y + 4x = 1000→
 
Isolando x na equação acima, temos;
 
5y + 4x = 1000 4x = 1000 - 5y x = x = -→ →
1000 - 5y
4
→
1000
4
5y
4
→
 
x = 250 - 
5y
4
 
Substituindo a relação encontrada para x na equação 1, temos;
 
A = 250 - ⋅ y
5y
4
Desenvolvendo o termo, temos;
 
A = 250 - ⋅ y A = 250y -
5y
4
→
5y
4
2
Perceba que se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo ( ), assim, a < 0
derivando A e igualando a zero, chegamos à coordenada x do ponto de máximo de A, como 
feito na sequência;
 
A = 250y - A' = 250 - 2 ⋅ A' = 250 -
5y
4
2
→
5y
4
→
5y
2
 
igualando a zero e resolvendo;
 
250 - = 0 - = - 250 × -1 = 250 5y = 250 ⋅ 2 5y = 500
5y
2
→
5y
2
( ) →
5y
2
→ →
 
 
 
(2)
y = y = 100 m
500
5
→
Assim, a altura para que a área seja máxima deve ser de 100 metros, substiutindo o valor da 
altura na equação 2, encontramos o valor do comprimento da área;x
x = 250 - x = 250 - 5 ⋅ 25 x = 250 - 125
5 ⋅ 100
4
→ →
 
x = 125 m
 
Com os valores da altura ( ) e comprimento ( ) que fornecem a área máxima, podemos y x
substituir na equação 1 e encontrar essa área;
 
A = 125 ⋅ 100Máx
 
 
A = 12500 mMáx
2
 
 
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)
(Resposta - 3)