Apostila-de-Matematica-Resolvida

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Índice 
 
01- Frações.............................................................................................. 01 
02- Critérios de divisibilidade.................................................................. 06 
03- MMC e MDC..................................................................................... 07 
04- Potenciação....................................................................................... 08 
05- Radiciação......................................................................................... 09 
06- Problemas MMC e MDC.................................................................... 10 
07- Equações primeiro ........................................................................... 12 
08- Problemas de equação de 1º grau................................................... 13 
09- Problemas com frações.................................................................... 14 
10- Sistemas de Medidas ....................................................................... . 22 
11- Problemas com torneiras................................................................... 40 
12- Porcentagem...................................................................................... 44 
13- Problemas com porcentagem .......................................................... 44 
14- Regra de Três................................................................................... 56 
15- Problemas com regra de três............................................................ 57 
16- Razão e Proporção............................................................................ 63 
17- Problemas com razão e proporção................................................... 66 
18-Juros simples...................................................................................... 70 
19-.Raciocínio lógico ....................................................................... 76 
20-.Teorema de Pitágoras..................................................................... 78 
21- Diagramas lógicos........................................................................... 83 
22-.Análise combinatória........................................................................ 87 
23- Sistemas de 1º grau.......................................................................... 95 
24- Média Aritmética................................................................................ 105 
25- Outros Exercícios.............................................................................. 100 
26- Probabilidade.................................................................................... 110 
 
“Atenção todos os exercícios foram retirados de provas anteriores” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
FRAÇÕES 
Questões resolvidas pelo professor 
O que é uma fração? 
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi 
dividida uma unidade ou um inteiro. 
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro 
partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza. 
 
Uma pizza inteira Quatro pedaços de pizza 
1 4 x 1/4 
Qual o significado de uma fração? 
Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim: 
indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o 
numerador e b, o denominador. 
Leitura de frações: 
 
Metade 
 
Um terço 
 
Dois quartos 
 
Três quintos 
 
Um sexto 
 
Quatro sétimos 
 
 
 
 3 
Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um 
todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes. 
 
 
Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o 
numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem 
comparando com os quadradinhos acima. 
a) 
b) 
Outros exemplos: 
a) 
b) Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível. 
Tipos de fração: 
- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador. 
Ex: ( 7<9 ) 
- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao 
denominador. 
Exs: , 
Numa fração imprópria temos o seguinte: 
 
 Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 
inteiro, e sobram 5 sétimos. 
 Vejam que 7x1+5=12 
Outros exemplos: 
 4 
a) 
b) 
M.M.C (Mínimo múltiplo comum) 
Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que 
é o mínimo múltiplo comum. Mas o que isso significa? Vejamos: 
Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e 
6 simultaneamente? 
 
Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar? 
 m.m.c 
3 e 4 12 
5 e 30 30 
12 e 15 60 
8 e 6 24 
Adição e subtração de frações: 
1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou 
subtrair o numerador. Vejam os exemplos: 
a) 
b) 
c) 
2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e 
transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as 
operações. 
a) 
 
O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos numa fração equivalente de 
denominador 6. 
 
 5 
Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após 
a soma, se possível, simplifiquem. 
 
 
b) 
O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar e em frações equivalentes 
de mesmo denominador 12. 
 
 
Assim: 
Multiplicação de frações: 
Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se 
necessário, simplifique o produto. 
a) 
b) 
c) 
Divisão de frações: 
Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda. Se necessário, simplifique. 
a) 
b) 
c) 
 6 
d) 
e) 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
DIVISIBILIDADE POR 2-Um número é divisível por 2 quando é par.Números 
pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8 
.Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570 
DIVISIBILIDADE POR 3-Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 3.Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) 
 DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os dois últimos 
algarismos formam um número divisível por 4. Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 
8.357.916 - 752 - 200 
DIVISIBILIDADE POR 5 -Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 
5 . Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 – 65 
Olha a dica, pessoal. 
Quer dividir por 5? É fácil. 
Ex. 23 : 5 = dobre o nº 23 = 46 e ande uma casa para a esquerda = 4,6 
EX2 . 120 : 5 = ( dobre 120 = 240 andar uma casa para esquerda ) = 12,0 ou 
12 
Detalhe, isso é válido para o nº 5. 
 DIVISIBILIDADE POR 6- Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 
e3 ao mesmo tempo.Ex : 36 - 24 - 126 - 1476 
 DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos 
algarismos formam um número divisível por 8. Ex : 876.400 - 152 - 
245.328.168 
 DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 9. Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047 
DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 
0.Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630 
 DIVISIBILIDADE POR 11 Quando a diferença entre as somas dos algarismos 
de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de 11. Ex : 
 7 
7.973.207 S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23 S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 
diferença = 11 
 
 
 
Como Calcular MMC e MDC 
 
O cálculo do mmc e mdc são conteúdos que aprendemos no 6º ano do ensino 
fundamental, mas que muitos alunos chegam às séries mais avançadas sem 
saber como fazer tais cálculos. 
 
Para o cálculo tanto do mmc e do mdc é necessário ter o conhecimento do que 
é os múltiplos e divisores de um número natural. 
 
Múltiplos 
 
45 é múltiplo de 5, pois existe um número natural que multiplicado por 5 resulta 
em 45 (5 x 9 = 45). 
 
Exemplo: 
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,... 
M(10) = 0, 10, 20,30, 40, 50, 60,... 
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,... 
 
Divisores 
 
Para que um número natural seja divisível de outro é preciso, ao dividirmos os 
dois números, que o resto seja igual a zero. Não é necessário que efetuemos a 
divisão em alguns casos para que saibamos se é divisível ou não, podemos 
utilizar do critério de divisibilidade. 
 
Exemplo: 
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10,20 
D(25) = 1, 5,25 
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 
 
Mínimo múltiplo comum (mmc) 
 
O próprio nome já diz, é o cálculo do menor múltiplo comum entre dois ou mais 
números naturais. 
 
Por exemplo: Se quisermos calcular o mínimo múltiplo comum de 40 e 30, 
devemos encontrar os seus respectivos múltiplos. 
 
M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240,... 
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150,... 
 
Observando os múltiplos encontrados, o menor múltiplo comum (não contamos 
com o zero) é o 120, portanto o mmc (40,30) = 120. 
http://www.brasilescola.com/matematica/criterios-divisibilidade.htm
 8 
 
Existe outra forma de calcular o mmc, é um processo que fazemos uso da 
decomposição em fatores primos dos números e depois multiplicamos os 
valores primos encontrados na fatoração, veja: 
 
 
 
Máximo divisor comum (mdc) 
 
O cálculo do mdc também pode ser realizado com a fatoração em fatores 
primos. 
 
60, 36| 2 
30, 18| 2 
15, 9 | 3 
5 , 3 | 2x2x3 = 12 MDC 
Obs: os nºs só podem ser divididos pelo mesmo nº primo. Quando não for 
mais possível tal divisão pelo mesmo nº, está terminado o processo. 
 
Potenciação 
 Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: 
Definição: 
 
 
 N fatores 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Exemplos: 
1) 2³=2.2.2=8 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
 
Radiciação 
A radiciação é uma operação unária oposta à potenciação (ou exponenciação). 
Para um número real a, a expressão representa o único número real x que 
verifica xn = a e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, 
significa que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A x chama-
se a raiz, a n índice, a a radicando e a radical. 
Exemplos 
 
 
Propriedades 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_un%C3%A1ria
http://pt.wikipedia.org/wiki/Potencia%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada
 10 
Para a e b positivos tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Racionalização 
Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual 
se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se 
racionalização da fração. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Linguagem dos problemas de MMC 
- ocorre de 4 em 4h; 
- a cada 2h; 
- em intervalos de 2h; 
- passarão juntos; 
- horário do encontro; 
 
Linguagem dos problemas de MDC 
 
- dividir, cortar , espalhar; 
- em partes iguais; 
- o menor possível; 
- o maior possível; 
- sem sobrar espaços; 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o
 11 
 
Problemas de MMC e MDC 
 
1-Saem do porto de santos, navios argentinos de 6 em 6 horas e do 
Uruguai de 4 em 4 h. Se num certo dia saíram juntos às 5h da manhã, em 
que horário voltarão a sair juntos novamente? 
Calcular o MMC de 4 e 3 = 12 horas 
Saíram ás 5h + 12 h = 17 h próximo encontro. 
 
2-Três locomotivas apitam em intervalos de 45,50 e 60 minutos 
respectivamente, Se coincidirem das três apitarem juntas uma vez, 
quantas horas levará para que isto ocorra novamente? 
MMC de 45, 50 e 60 = 900 min : 60 = 15h 
Daqui 15 horas isto ocorrerá novamente. 
 
3-Numa República o presidente teve que permanecer no cargo por 4 
anos; os senadores por 6 anos e os deputados por 3 anos. Nessa 
república houve eleição para os três cargos em 1989. 
A próxima eleição simultânea para esses três cargos quando ocorrerá? 
MMC de 6, 4, 3 = 12 anos 
1989 + 12 anos = 2001 
A próxima eleição ocorrerá para os três cargos juntos, daqui a 12 anos; em 
2001. 
 
4-Três peças de tecido iguais possuem respectivamente 48m, 60m e 72m. 
Precisam ser cortadas em pedaços iguais e do maior tamanho possível. 
O tamanho de cada pedaço, e o número de pedaços é respectivamente 
igual a quanto? 
48,60,72 | 2 
24, 30,36| 2 
12, 15,18| 3 
 4 , 5, 6 | 12 metros cada pedaço 
 
 Obs: 48 : 12 = 4 pedaços 
 60 : 12 = 5 pedaços 
 72 : 12 = 6 pedaços 
 
São 15 pedaços no total. 
 
6-(TACRIM) Um funcionário arquivou um lote com 320 processos e outro 
com 360 processos da seguinte maneira:- os do primeiro lote na estante A 
e os do segundo lote na estante B; 
- usou o menor número de prateleiras possível; 
- colocou o mesmo número de processos em cada prateleira; 
Logo, qual o total de prateleiras usadas? 
 
MDC 320, 360 | 2 
 160, 180| 2 
 80 , 90| 2 
 40, 45 | 5 
 12 
 8 , 9 | 40 processos por prateleira 
 Total 8 + 9 = 17 prateleiras 
 
7-Duas pessoas fazendo exercícios diários. Partem de um ponto e 
contornam uma pista oval. Uma das pessoas da uma volta em 12 min., e a 
outra dá uma volta em 20 min. Depois de quanto tempo essas pessoas 
voltarão a se encontrar no ponto de partida e quantas voltas terão dado 
cada uma? 
 
MMc 12 e 20 = 60 min após 60 min vão se encontrar. 
 
 1º carro 1 volta = 12 min 
 X 60min 
 X= 5 voltas 
 
 
2º carro 1 volta= 20min 
 X = 60min 
 X= 3 voltas 
 
8-Preciso colocar árvores num terreno retangular de 104m de comprimento e 56 
de largura, sendo que colocarei uma árvore em cada canto, plantando o máximo 
de árvores possível e com a maior distância possível entre elas. Quantas 
árvores poderei plantar? 
MDC 104, 56 | 2 
 52, 28 | 2 
 26, 14| 2 
 13, 7 | 8 m entre as arvores 
 
Total de 13 + 13 + 7 + 7 = 40 árvores( trata-se de um retângulo) 
 
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
A equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que 
contém incógnitas, ou seja, letras que representam valores desconhecidos. 
Resolver uma equação é determinar os valores das incógnitas (também 
chamadas de variáveis ) que tornam a igualdade verdadeira. Chamamos 
primeiro membro da equação tudo o que está à esquerda do sinal de igualdade 
e segundo membro da equação tudo o que está à direita do sinal de igualdade. 
Na equação 3x + 4 = 19, por exemplo, o primeiro membro é 3x + 4 e o 
segundo, 19. Nessa equação, temos apenas uma incógnita, que é a letra x. 
Essa incógnita está elevada à primeira potência, ou seja, 
possui expoente igual a 1 ( lembre-se que x = x1). É por isso que a equação 
que contém é chamada de equação do primeiro grau. Contivesse x2 , seria 
equação do segundo grau; x3 , equação de terceiro grau, etc. 
Resolver a equação 3x + 4 = 19 significa determinar o valor variável de x que 
faz com que tal sentença fique verdadeira. Podemos adiantar que esse valor é 
5, isto é, x = 5. 
De fato, se substituirmos a letra x pelo valor 5 na equação acima, 
encontraremos que: 
 13 
3 • 5 + 4 = 19 , que é uma sentença matemática verdadeira, pois 3 vezes 5 dá 
15, que somado com 4 dá 19. Na equação dada, 3x + 4 = 19, a incógnita x 
estava acompanhada pelos números 3 e 4 no membro esquerdo da igualdade. 
Já na resposta final x = 5, a letra x está sozinha no membro esquerdo. 
 
Isso nos mostra o caminho que devermos seguir para resolver uma equação de 
primeiro grau: toda vez que formos resolver uma equação de primeiro grau, 
teremos de deixar a incógnita x sozinha em um dos membros da equação; em 
outras palavras, devemos isolar a variável x. A equação é uma igualdade e as 
igualdades podem ser verdadeiras ou falsas. A igualdade 5 = 5, por exemplo, é 
verdadeira. 
Mas, se subtrairmos o número 2 do primeiro membro, obteremos 5 - 2 = 5, que 
é uma igualdade falsa. Podemos, todavia, torna-la verdadeira subtraindo o 
número 2 também do segundo membro, isto é, fazendo 5 - 2 = 5 - 2 . 
Concluímos,então que, se efetuarmos uma mesma operação nos dois lados 
de uma igualdade verdadeira (desde que não seja uma divisão por zero), essa 
igualdade continua verdadeira. Podemos utilizar a conclusão acima para 
resolver nossa equação. Voltemos a ela: 
3x + 4 = 19 
Vamos subtrair 4 em cada membro da equação: 
3x + 4 - 4 = 19 - 4 
3x = 15 
 x = 5 
 
Podemos dispensar o uso dessa forma de resolução de uma equação de 
primeiro grau, substituindo-a por regrinhas práticas. 
Já que o nosso objetivo é isolar a incógnita, podemos fazê-la passando para o 
segundo membro da igualdade os valores conhecidos, de tal forma que, se o 
valor estiver multiplicando, passa pra o outro lado da igualdade dividindo e 
vice-versa e, se estiver somando, passa para o outro lado da igualdade 
subtraindo e vice-versa. 
Considere, como exemplo, a equação dada anteriormente: 
3x + 4 = 19 
Vamos passar o +4, que está no primeiro membro, para o segundo membro 
como -4. Obteremos: 
3x = 19 - 4 
que é equivalente a: 3x = 15 Vamos, agora, passar o "3" do primeiro membro 
para o segundo; como ele está multiplicando a incógnita no primeiro membro, 
vai passar 
dividindo: x = 15/3 
 
4(x+1) + 6(3x-1) = 3(2x+1)-36 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicativa em relação à adição nos 
parênteses, temos: 
4x + 4 + 18x . 6 = 6x + 3 - 36 
Colocando todos os termos com incógnitas no primeiro membro e os sem 
incógnita no segundo membro, obtemos: 
4x + 18x - 6x = + 3 - 36 - 4 + 6 
Somando os termos semelhantes, fica: 
16x = -31 X = -31/16 
 14 
 
Situações Problemas 
1- Minha geladeira custou o quádruplo do preço de meu rádio. A geladeira 
custou R$ 150,00 mais que o rádio. Quanto custou, em R$, o rádio? 
Gel= X + 150 
Radio = X 
Geladeira = 4 x Radio 
Logo: 
X + 150 = 4 X então 4X-X=150 …….3X=150….. 
X = 150/3 
X = 50 radio 
Gel = 50 + 150 = 200 
 
7. Quando eu nasci meu pai tinha 30 anos. Quantos anos tenho hoje, se 
minha idade é a terça parte de meu pai? 
 
Pai= X+30 
Eu=X 
 
Hoje : 
Eu = pai/3 
X = X + 30 
 3 
3x = X + 30 ...........3X-X = 30 ........2X=30 
X = 30/2 
X = 15 anos filho 
Pai = 15 + 30 = 45 
 
Problemas com frações 
 
1- Gastei 720,00 e fiquei com 2/5 de meu ordenado. Qual o meu ordenado? 
Gastei = 720 
Fiquei = 2/5 X 
Total = X 720 + 2/5X = X 
 3600 + 2X = 5X 
 5 
 X= 1200 reais 
 
2- Gasto 2/5 do meu ordenado com aluguel de casa e 1/2 dele em outras 
despesas. Fico ainda com $ 200,00. Qual é meu ordenado? 
 
Gasto aluguel = 2X/5 
Outras despesas = X/2 
Fico = 200 
Total = X 
 2/5x + X/2 + 200 = x 
 
4x + 5x + 2000 = 10x então 9X – 10X = -2000 
 10 
 
 15 
X= 2000 
 
 
3-Pedro gastou 1/3 da quantia que possuía e, depois 2/9 dessa quantia. 
Ficou ainda com $ 40,00. Quanto Pedro possuía? 
Gastou = x/3 
Gastou 2 = 2X/9 
Sobrou= 40 
Total = x 
X/3 + 2x/9 + 40 = x 
 
3x + 2x + 360 = 9x 
 9 
5x – 9x = - 360 
X= 90 
 
 
4.Num time de futebol metade são cariocas, 1/3 de outros Estados e os 4 
restantes são estrangeiros. Quantos jogadores contratados tem o clube? 
Cariocas = X/2 
Outros estados = X/3 
Estrangeiros = 4 
Total = X 
X/2 + X/3 + 4 = X 
 
3x + 2x + 24 = 6x 
 6 
X= 24 
 
 
5-Uma empresa construtora pode fazer uma obra em 40meses e outra em 
60 meses. Em quanto tempo as duas juntas podem fazer essa obra? 
 
Em relação a um mês de trabalho, esta empresa 1 faz em 40 meses = 1/40 
Em relação ao mês de trabalho, a empresa 2 faz em 60 meses = 1/60 
As duas juntas = 1/40 + 1/60 = 3 + 2 = 5 = 1 
 120 120 24meses resp 
 
6-Que horas são se o que ainda resta para terminar o dia é 2/3 do que já 
passou? 
Resta= X 
Passou= 24- X 
Dia = 24 horas 
 
Logo, X = 2/3( 24 – X) 
 X = 48 – 2X 
 3 
Multiplique em cruz 3x = 48 – 2x 
 5x = 48 
 X= 48/5horas 
 16 
 X= 9h 36 min 
 
7-Paulo gastou 3/4 do eu possuía, a seguir, a metade do resto. Ficou 
ainda com 7,00. Quanto Paulo possuía? 
Gastou = 3X/4 
Gastou = 1/2 do resto = 1/2 x X/4= X/8 
Sobrou = 7 reais 
 
3X/4+ X/8 + 7 = X 
6X + X = 56 = 8X 
 8 
X = 56 
 
 
8-Dei 3/5 do meu dinheiro a meu irmão e metade do resto a minha irmã. 
Fiquei ainda com $8,00. Quanto eu possuía? 
Irmão = 3X/5 
Irmã = ½ do resto = ½ x 2X/5 = X/5 
Sobrou = 8 
3X/5 + X/5 + 8 = X 
 
3X + X + 40 = 5X 
 5 
 
X= 40 reais 
 
9-O lucro de uma sociedade foi igual a $ 1.400.000. Esse lucro foi dividido 
entre os três sócios de modo que o primeiro recebeu 2/3 da parte do 
segundo e este 4/5 da parte do terceiro. Qual a parte do primeiro? 
Observar de quem ele não fala no problema. Pois este será o X. 
1º = 2/3 x 4X/5 = 8X/15 
2º = 4X/5 
3º = X não falou dele 
 
8X/15 + 4X/5 + X = 1.400.000 
 
8X + 12X + 15X = 21000000 
 15 
35X = 21000000 
X = 600.000 
 
1º sócio = 8 x 600.000 = 320.000 
 15 
 
10-Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: ½ correspondem aos 
lápis vermelhos, 1/5 é azul e 1/4 são pretos. Que fração corresponde ao 
total de lápis da caixa? 
Vermelho= ½ 
Azul = 1/5 
Pretos = ¼ 
 17 
Total – ½ + 1/5 + ¼ = 19/20 
 
12-Gustavo construiu sua casa em 3/7 de seu terreno. Dias depois plantou 
frutas em 1/3 do restante. Determine que fração do terreno foi usada para 
plantação de frutas? 
Casa = 3/7 
Frutas = 1/3 do resto = 1/3 x 4/7 = 4/21 
 
13-Em um país, a cada 5 crianças que nascem. 3 têm olhos azuis e as 
outras 2 têm olhos castanhos. Se em um ano nasceram 1500 crianças de 
olhos azuis, isso significa que as crianças de olhos castanhos naquele 
ano foram de quantas? 
 
Azuis = 3X/5 
Castanhos = 2/5 
Nascem azuis = 1500 = 3X/5 logo X = 2500 total de crianças 
Sendo 1500 azuis temos: ( 2500 – 1500 = 1000 olhos castanhos) 
 
14-Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 
contêm tomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 
contêm tomates secos no recheio. Como todas as bolinhas são de 
mesmo tamanho, não é possível identificar antes de abri-las. Se a pessoa 
retirar ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, a probabilidade de retirar 
bolinhas com tomates secos é de quanto? 
Carne = 9 
Carne e tomate = 3 
Queijo = 7 
Queijo com tomate = 4 
Total de bolinhas = 9 + 7 = 16 
Total com tomate = 3 + 4 = 7 
Probabilidade de retirar bolinhas com tomate seco = 7/16 
 
15-Uma lanchonete oferece aos seus clientes opções para montar um 
sanduíche: 2 tipos de patês. 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos 
de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um 
ingrediente de cada tipo Qual o nº de maneiras diferentes que ela poderá 
montá-lo ? 
Arranjo simples 
2 x 3 x 4 x 3 = 72 sanduíches diferentes 
 
16-De um cesto cheio de laranjas Paulo tirou 2/5 das laranjas e mais 4 
laranjas; Carlos tirou 1/3 da quantia original e mais 5 laranjas; José ficou 
com 7 laranjas restantes. Quantas laranjas havia no cesto, originalmente? 
Paulo = 2X/5 + 4 
Carlos = X/3 + 5 
José = 7 
 Total: X 
 
2X/5 + 4 + X/3 + 5 + 7 = X 
Mmc 5 , 3 = 15 
 18 
 
6X + 60 + 5X + 75+ 105 = 15X 
 15 
4X = 240 
X= 240/4 
X= 60 laranjas 
 
17-(Vunesp2007) Num concurso público foi desenvolvido em três etapas 
sucessivas e eliminatórias. Do total de candidatos que participaram da 1ª. 
Etapa 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram da 2ª. 
Etapa, 2/5 foram eliminados. Dos que participaram da 3ª, Etapa, 2/3 foram 
eliminados, e os 30 candidatos restantes foram aprovados. Sabe-se que 
todos os aprovados numa etapa passaram para etapa seguinte. Qual o nº 
total de candidatos que participou do curso? 
 
 Aprovados Reprovados 
1ª etapa = X/4 1/4 3/42ª etapa = X/4 x 3/5= 3X/20 3/5 2/5 
 
3ª etapa = 3X/20 x 1/3 = X/20 1/3 2/3 
 
Logo X/20 foi aprovado = 30 pessoas 
 X/20=30 
 X= 600 candidatos 
 
 
18-(Vunesp/2006) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da 
idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que ele teve há 5 
anos. Quantos anos tem Carlos? 
X = x+ 20 - X- 5 
 2 3 
Mmc = 6 
 
6x = 3x + 60 – 2x + 10 
5x = 70 
X= 14 anos 
 
19- Do total de empregados de uma empresa, 3/5 têm mais de 30 anos de 
idade. Sabe-se que 2/3 dos empregados restantes têm idade entre 25 e 30 
anos. Se o número de empregados com menos de 25 é 40., podemos 
afirmar que o total de empregados dessa empresa é de quanto? 
Mais de 30 anos = 3X/5 
Entre 25 e 30 anos = 2/3 do restante = 2X/3 x 2X/5 = 4X/15 
Menos de 25 anos = 40 pessoas 
Total da empresa = X 
 
3/5x + 4/15x + 40 = x 
Mmc = 15 
 
 19 
9x + 4x + 600 = 15x 
 15 
2x = 600 
X= 300 
 
20- Uma piscina tem capacidade de 315.000 litros. No entanto ela tem 
água até 4/5 dessa capacidade. Para limpar a água dessa piscina, um 
produto químico em pó deve ser lançado à razão de um pacote para 2400 
litros de água. Quantos pacotes devem ser usados? 
Possui = 4/5 de 315mil = 4/5 x 315000= 252.000 litros 
Para limpeza 
1 pacote = 2400 litros 
 X = 252.000litros 
X= 105 pacotes 
 
21- Uma parede com 18m2 de área está pintada com 2 cores: a de cor 
amarela corresponde a 3/5 da área total e de cor azul corresponde a 2/3 da 
área amarela. Então, a área pintada de azul é de quanto? 
Total = 18 m2 
Amarela = 3/5 x 18 = 54/5 
Azul = 2/3 x 54/5 = 7,2 m2 
 
22- um sítio tem 1,6 km2 de área e seu proprietário quer vender ¾ dele. Se 
o preço do m2 é R$0,45, o valor dessa venda é de quanto? 
1,6 km2 = 1600000m2 
Vender = ¾ x 1600000= 1200000 
 
Preço: 
$ 0,45 - 1 m2 
 X - 1200000 
X= 540.00 reais 
 
23-Em uma loja o metro da corda é R$ 3,00. O rolo de 60m sai por 150,00. 
Três amigos compraram juntos o rolo, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, 
o segundo com 1/12 do rolo e o terceiro com o restante. 
Se a divisão dos gastos foi proporcional a quantidade de rolo que cada 
um comprou, o que pegou mais economizou quanto em relação ao valor 
da corda por metro? 
1 m de corda = $ 3,00 
60m de corda = 150 reais 
Logo o metro de corda no rolo = 150 : 60 = 2,5 reais 
1º = ¼ x 60 = 15m 
2º = 1/12 x 60 = 5m 
3º = resto = 40m 
40m x3,00 = 120 reais 
40m x 2,5 = 100 reais 
Economiza = 20 reais. 
 
 
 20 
24- Numa fábrica ¼ das pessoas que trabalham são mulheres. Há 48 
homens a mais do que mulheres. Quantas pessoas trabalham na fábrica? 
Mulher = X/4 
Homens = mulher + 48 logo = X/4 + 48 
 
Homens + mulheres = total 
X/4 + 48 + X/4 = X 
2X + 192 = 4X 
 4 
X= 96 
 
25- Em certa comunidade, de jovens com idade de 14 a 17 anos, 1/3 tem 
menos de 16 anos. Dos restantes 2/5 têm 16 anos e 360 jovens têm 17 
anos. O número de jovens dessa comunidade com idade inferior a 16 
anos é de quanto? 
 
Menos de 16 anos = X/3 ( 3/3 – 1/3 – 2/3 resto) 
Tem 16 anos = 2/5 do resto ( 2/3) logo – 2/5 x 2/3X = 4/15X 
17 anos = 360 jovens 
Total = X 
 
x/3 + 4/15x + 360 = x 
 
5x + 4x + 5400 = 15x 
 15 
15x – 9x = 5400 
X= 900 total 
 
Jovens com menos de 16 anos = x/3 = 900/3 = 300 jovens 
 
26- Um reservatório contém álcool até 2/5 de sua capacidade e necessita 
de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual a capacidade total em litros 
desse reservatório? 
Contém 2/5 X 
 
2/5X + 15 = 7/10X 
 
4X + 150 = 7X 
X = 150/3 
X = 50 litros 
 
27- Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 
dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo? 
 
Gastou = 4/7X 
Ficou = X/3 + 164 
Total = X 
4/7X + X/3 + 164 = X 
 
12X + 7X + 3444= 21X 
 21 
 21 
19X – 21X = - 3444 
2X = 3444 
X= 3444/2 = 1722 
 
28 Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da 
segunda e esta 4/5 da terceira. Qual o valor da primeira parte? 
1ª parte = 3/4 x 4/5X= 3X/5 
2ª parte = 4/5X 
3ª parte = X ( de quem ele não falou; sempre será o X; começamos por ele) 
Total - 1590 
 
3X/5 + 4X/5 + X = 1590 
 
 
3X + 4X + 5X = 7950 
 5 
12X = 7950 
 
X= 662,50 3ª parte 
 
1ª parte = 3X/5 = 3. 662,50 = 397,50 
 5 
 
29- Se tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00 teria R$ 58,00. 
Quanto tenho ? 
 x/5 + 25 = 58 
X + 125 = 290 
X= 290 – 125 
X= 165 
 
30 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. 
Quanto possuo ? 
x/9 + 17 = 32,50 
X + 153 = 292,5 
 9 
X = 292,50-153 
X= 139,50 
 
31- Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a 
metade mais R$ 4,30. Quanto possuía? 
Gastou = 3/8X 
Ficou = X/2 + 4,30 
Total = X 
 
3/8X + X/2 + 4,30 = x 
3X + 4X + 34,4 = 8X 
 8 
 
X= 34,4 
 22 
 
32- Repartir 153 cartões em três montes de forma que o primeiro 
contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro. Quanto conterá 
cada monte? 
1º = 2/3 x 3/4X = X/2 
2º = 3/4X 
3º = não falei = X 
Total= 153 
 
X/2 + 3/4X + X = 153 
2X + 3X + 4X = 612 
 4 
9x= 612 
 
logo X= 68 3º monte 
2º monte = 3/4 x 68 = 51 
1º monte = 68 /2 = 34 
 
33- Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro 
tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro. Encontre cada um deles. 
1º = 3/4 x 5/6X = 15X/24 
2º = 5/6X 
3º = X 
Total = 3.717 
 
15X/24 + 5X/6 + X = 3717 
 
30X + 40X + 48X = 178.416 
 48 
118X = 178.416 
 
X= 1513( 3ª) 
 
2ª = 5/6X = 5x 1513 /6 = 1260,83 
1ª = 15X/24 = 15 x 1513 / 24 = 945,62 
 
34– O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em 
três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 
da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em 
cada turma? 
1ª =1/3 x 105 = 35 alunos 
2ª = 6/5 da 1ª menos 8 = 6/5 x 35 = 42- 8 = 34 alunos 
3ª = 18/17 da 2ª = 18/17 x 34 = 36 alunos 
 
35- Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 
3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a 
terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ? 
 
1ª = 3/5X - 100 
2ª = 1/4X + 30 
http://www.coladaweb.com/matematica/fracoes.htm
 23 
3ª = 160 
Total= X 
 
3/5X - 100 + X/4 + 30 + 160 = X 
12X - 2000 + 5X + 600 + 3200 = 20X 
 20 
3x = 1800 
X= 600 
 
36– Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos 
com 4/9 do mesmo. Que número é esse? 
2/3X – 1036 = 4/9X 
6X – 9324 = 4X 
 9 
X= 4662 
 
 
37- Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e 
ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas? 
Retirou = 4/9X 
Retirou = 3/5 do resto = 3/5 x 5/9X = X/3 
Sobraram = 24 
Total= X 
 
4/9X + X/3 + 24 = X 
 
4X + 3X + 216 = 9X 
 9 
2X = 216 
 
X= 216/2 
X= 108 laranjas 
 
 
Sistema de Medidas: 
Unidades de medidas (massa, volume, área e comprimento) 
Tabelas para transformações: 
 
COMPRIMENTO Km Hm Dam M Dm Cm Mm 
VOLUME Km3 Hm3 Dam3 M3 Dm3 Cm3 Mm3 
VOLUME Kl Hl Dl L Dl Cl Ml 
ÁREA Km2 Hm2 Dam2 M2 Dm2 Cm2 Mm2 
MASSA Kg Hg Dag G Dg Cg Mg 
 
GRAVAR: 
 
1 dm3 = 1 Litro = 1Kg 1 M3 = 1.000L 
are = 100 m2 1 Tonelada = 1000 Kg 
 1 hectare = 100 ares =10.000 m2 1 arroba = 15 Kg 
 1centiare = 0,01 are = 1m2 1Kg = 1000g 
 24 
 
 
1-(BB) Se uma vela de 36cm de altura diminui 1,8mm por minuto, quanto 
tempo levará para se consumir? 
36cm = 360mm 
 
360mm -- X 
1,8mm -- 1 min. 
1,8x = 360 
X= 360/1,8 
X= 200 min = 3h 20min 
 
2- Um campo de forma retangular tem por dimensões 3dam e 1/4 hm. 
Sabendo-se que 2/3 de sua área estão cultivados, a área da parte não 
cultivada, em m2, é: 
A = base x altura 
 
3 dam= 30 m 
 
1/4 = 0,25 hm = 25m 
 
A= 30 x 25 = 750m2 
2/3 de 750 = 2/3 x 750 = 250 m2 não cultivada 
 
3- Um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo de 24, 5m de 
comprimento, 1,6 dam de largura e 0,45 hm de profundidade contém certaquantidade de leite. Sabendo-se que este leite ocupa 3/5 da sua 
capacidade e que um litro dele pesa 1020 gramas, o peso em toneladas é 
de: 
 
Volume do paralelepípedo= C x Larg. X Altura 
V= 24,5 x 16 x 45 = 17 640 m3 
3/5 de 17.640 = 3/5 x 17640 = 10.584 m3 
= 10.584.000 dm3 ou litros 
 
1 litro = 1020g 
10584000litros = X g 
 
X= 1.079.568.000 g = 1079568 toneladas ( : 1000) 
 
4-Um reservatório tem forma de um prisma reto retangular e mede 0,50m 
de largura, 1,20 de comprimento e 0,70 de altura. Estando o reservatório 
com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele uma pedra com 
forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, 
que o nível da água sobe 1cm. Isto significa que o volume da pedra mede, 
em cm cúbicos: 
Ao colocar a pedra o nível de água sobe 1cm. 
V= cm3 corresponde ao volume do reservatório. 
Esse acréscimo é o volume do prisma reto retangular com 0,50m de largura, 
1,20m comprimento e 1cm de altura. 
 25 
V= 50cm x 120 cm x 1 cm = 6000cm3 
 
5-O estacionamento de certa agência bancária de formato retangular, tem 
25m de comprimento. Para cimentá-lo foram gastos $675.000 reais à razão 
de $1500reais o metro quadrado. A largura desse estacionamento, em 
metros é de: 
 
$ 675.000 : 1500 o metro = 450 m2 de estacionamento 
A= base x altura 
450 = 25 . X 
X= 450/25 
X= 18 m de largura 
 
6- Uma caixa de água é abastecida à razão constante de 15 l/min, e, 
simultaneamente, seu conteúdo escoa, por uma torneira, à razão 
constante de 7 l/min. Se, em certo instante, o volume de água nessa caixa 
é de 800 l, então, a caixa estará com 2.000 l em : 
 
Entrada 15 l/min ..........................saída 7 L/min 
Volume inicial = 800 litros ........................Volume final = 2000litros 
A cada min. restam 15 - 7 = 8 litros no reservatório 
Faltam = 2000 – 800 = 1200 litros 
Seja T o número de min. para completar os 1200 litros. 
8 litros..................1 min 
1200litros........... T min 
 
8T = 1200 l 
T= 150 min ou 2h 30min 
 
7- O volume do tanque de combustível de um ônibus é de 64.000 cm3. 
Sendo o consumo desse ônibus de 1 litro a cada 12 km, determinar a 
distância máxima que esse veículo pode percorrer, até esgotar todo o 
combustível. 
 
1 litros ..... 12 km 
64 litros ......X 
 
X= 64 x 12 = 768 km 
 
8- O volume de uma caixa de água é de 2,760m3. Se a água nela contida 
está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos dal de água devem ser 
colocados nessa caixa para enchê-la? 
 
2,760m3 = 2760dm3 = litros 
3/5 do volume = 2760litros 
 Sendo Volume= V 
 
3/5V = 2760 
3V= 2760 x 5 
V = 13800/3 
 26 
V= 4600 litros 
Faltam = 4600 – 2760 = 1840 litros ou 184 dal 
 
9- Uma parede de 5m por 2,40 m tem uma porta de 2 m por 70cm e deve 
ser azulejada com peças quadradas de 10cm de lado. O mínimo de azulejo 
necessário para não haver sobra é de quanto? 
Área da parede = 5 x 2,4 = 12m2 
Área da porta = 2m x 0,70m =1,4m2 
Parede – Porta = 12 – 1,4 = 10,6 m2 
Área do azulejo = lado x lado = 0,10 x 0,10 = 0,01 m2 
Nº de azulejos = área da parede : área do azulejo = 10,6/ 0,01 = 1060 azulejos 
 
10- Quantas garrafas de 750ml , são necessários para encher 3/5 de um 
barril de 50 litros? 
 
3/5 do barril = 3/5 x 50 = 30 litros 
750 : 30 = 25 garrafas. 
 
11- Um indivíduo pretende colocar uma cerca em torno de seu terreno, 
que possui área total de 364m2. O terreno tem o formato de um retângulo, 
sendo que um dos lados mede 13 metros. Qual o comprimento total da 
cerca que ele deverá comprar para cercar o terreno? 
 13 
 
X 
 
 
A= base x altura 
364 = 13.X 
X= 364/13 
X= 28 m 
 
Para cercar um terreno devemos calcular o perímetro da figura, ou seja, a 
soma dos lados. 
Logo: 13 + 13+ 28 + 28 = 82 metros de cerca. 
 
12- Uma caixa de injeções contém 4 ampolas de 12 ml cada uma de um 
produto revigorante. Um laboratório que tem 6m3 desse produto para 
embalar nesse modelo poderá produzir, desse revigorante. Quantas 
caixas? 
Ampolas 4 x 12 = 48 ml do produto 
Produto = 6 m3 = 6.000 l = 6.000.000 ml 
Produto : pela ampola = 6.000.000 / 48 =125.000 caixas 
 
13-Para revestir um piso de 80m2 foram necessárias 500 cerâmicas 
quadradas. O lado de cada cerâmica mede quanto? 
 
Nº de cerâmicas = área do piso/ área da cerâmica 
Sendo X , a área do piso temos : 
500 = 80 : X 
 27 
X= 500/80 
X= 6,25 área da cerâmica 
Área da cerâmica = lado x lado pois se trata de um quadrado 
Logo: 
A= lado x lado 
6,25 = x2 então x= √6,25 = 2,5 lado 
 
14-Num tanque temos 2000 litros de água e 400 litros de óleo. Cada litro 
de água pesa 1kg, enquanto um litro de óleo pesa 0,8kg. Assim , o peso 
total dos 2400 litros do tanque, em toneladas é de quanto? 
2000 litros x 1 kg = 2000 kg de água 
400 litros x 0,8 kg = 320kg 
Peso total = 2000 + 320 = 2320 kg 
2320 kg = 2,320 toneladas ( : por 1000) 
 
15- Ás 12h 25min de certo dia, um auxiliar judiciário terminou a 
organização de todo material existente em um armário. Se ele trabalhou 
ininterruptamente por 13680 segundos na execução dessa tarefa, então 
que horas a tarefa foi iniciada? 
13.680 s = 13. 680 : 60 = 228 min : 60 = 3h 48min 
 
12h 25min - 3h 48 min = 8h 37 min inicio da tarefa 
 
16- Se triplicarmos a medida dos lados de um quadrado, sua área ficará; 
 
A= lado x lado 
 
 
 L 
 
se triplicarmos ficará = 3x lado 
 2 
A= (3L ) x ( 3 L) = 9L 
 
17- Hoje Celeste percebeu que seu relógio digital , que no momento 
marcava 10h 25min, estava atrasando 12s a cada 3 dias. Se ela não 
acertá-lo e ele não for consertado, então, decorridos exatamente 8 dias do 
instante em que celeste percebeu o defeito, tal relógio estará marcando 
que horário? 
Atrasa 12s em 3 dias 
Logo em 1dia atrasa 4 s ( 12 : 3) 
Em 8 dias atrasa = 8 x 4 = 32s 
Então 10h 25min – 32s = 10h 24min 28 s 
 
 
18- Quanto tempo levará um trem de 1km de comprimento para atravessar 
um túnel de 1km de extensão, se viaja a uma velocidade de 500m/min? 
Lembre que: 1km = 1000 metros 
Distancia percorrida pelo trem = seu comprimento + extensão do túnel 
Ou seja, 1000 + 1000 = 2000 m 
 28 
V = distância considere X= tempo 
 Tempo 
500 = 2000 
 X 
500X = 2000 
X= 4 min. 
 
19-Uma peça de tecido tem 36,6 metros e precisa ser cortada em 30 
retalhos de tamanhos iguais. Qual o tamanho de cada retalho em 
centímetros? 
 
36,6 m = 3660cm 
3660 cm : 30 = 122cm 
 
20- Deseja-se colocar ardósia num terreno retangular de 2,8m de comprimento e 
2,5m de largura, sendo que neste terreno num determinado canto há um 
armário fixo de 0,5m de comprimento e 1,2 de largura. Quantos metros 
quadrados será gasto em ardósia? 
 
Área do terreno = 2,8 x 2,5 = 7 m2 
Área do armário = 1,2 x 0,5 = 0,6m2 
Área para colocar piso = 7 – 0,6 = 6,4m2 
 
21- O piso de uma cozinha quadrada, cuja medida do lado é igual a 3,6m 
será revestido com lajotas quadradas, com 40 cm de lado, que são 
vendidas somente em caixas fechadas contendo um total de 0,96 m 2 de 
lajotas em cada uma. Dessa forma, para executar totalmente o serviço , 
terão de comprar no mínimo quantas lajotas? 
Área sala quadrada = lado x lado 
A = 3,6 x 3,6 = 12,96 m2 
Piso quadrado de 40cm de lado = 0,4m 
Área do piso = 0,4 x 0,4 = 0,16m2 
 
1 caixa de piso contém = 0,96m2 
Logo : 12,96 : 0,96 = 13,5 caixas de piso ( observe que a loja não vende meia 
caixa , portanto, devemos pegar 14 caixas) 
0,96 : 0,16 = 6 pisos por caixa 
Então a quantidade de pisos será = 6 x 14 = 84 
 
22- Num quadro, a tela é quadrada, com 200cm de perímetro, e a moldura 
tem X cm de largura, como mostra a figura. 
 
Se o quadro tem uma área total de 4900 cm 2 então a medida X da moldura é 
de quanto? 
 
 29 
Perímetro = soma dos lados da tela quadrada. Logo, 200 : 4 = 50 cada lado da 
tela. 
A área do quadro é de 4.900cm2 
Como a tela é um quadrado sua área = lado x lado 
Lado = √area 
Lado = √4900 = 70 
Portanto olhandopara a figura observamos que a largura da moldura X será: 
X + 50 + X = 70 
2X = 70-50 
X = 20/2 
X=10 
 
23- ( VUNESP)O pátio de uma escola mede 60 x 45m . Para pavimentá-lo a 
diretoria adquiriu lajotas retangulares, sendo que cada lajota mede 250cm 
de largura, por 50 cm de comprimento, por 1,5cm de espessura. Quantas 
lajotas serão necessárias para pavimentar todo o pátio? 
Pátio área= b x h 
Pátio = 60 x 45 = 2700 m2 
Lajota área= 2,5m x 0,50m = 1,25 m2 
N de lajotas = área patio 
 Área lajota 
Nº= 2700/1,25 = 2160 lajotas 
 
24- Um reservatório estava cheio de água. Esvaziou-se esse reservatório de 1/3 
da sua capacidade e retirou-se depois 4 hl d’água. Qual a capacidade total e 
quantos litros ficaram se o volume restante corresponde a 3/5 de sua 
capacidade total? 
Perdeu 1/3 , logo ficou com 2/3 da capacidade que é X 
2/3X – 400 litros = 3/5X 
Mmc( 3 e 5) = 15 
 
10X – 6000 = 9X 
 15 
X = 6000litros capacidade total do tanque 
 
Restaram no tanque 3/5 da capacidade, ou seja, 3/5 x 6000 = 3600 litros 
 
 
25-Uma sala de 0,007km de comprimento, 80dm de largura e 400cm de 
altura, tem uma porta de 2,4 metros quadrados de área e uma janela de 2 
metros quadrados. Quantos litros de tinta serão precisos para pintar a 
sala toda, com o teto, sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 
dam quadrados? 
 Porta = 2,4 m2 + janela 2 m2 = 4,4 m2 
Comprimento = 0,007 Km = 7m 
Largura= 80dm = 8m 
Altura = 400cm = 4m 
 30 
 
Área parede( frente e fundos) = b x h = 7 x 4 = 28 x 2 paredes = 56 m2 
Área parede lado (duas paredes) = b x h= 8 x 4= 32 x 2 paredes = 64 m2 
Área teto = 7 x 8 = 56 m2 
Área total a pintar = (56 + 64 + 56) – 4,4 = 171,60 m2 
 
1 litro = 0,04 dam2 ou 4m2 
Logo: 
1 litro = 4m2 
X = 171,6m2 
X= 171,6/4 
X= 42,9 litros 
 
26-Um terreno de 27 ares de área, tem 3.000cm de largura. Esse terreno 
deve ser cercado com um muro de dois metros de altura. Sabendo-se que 
cada metro quadrado de muro construído consome 300 dm cúbicos de 
concreto serão consumidos no muro todo? 
Obs: 1 are = 100M2 então 27 x 100 = 2700m2 
 
Largura = 3000cm = 30m 
Área = 2700 m2 
A= b x h 
2700 = base x 30 
Base = 2700/30 
Base = 90 m 
Muro de 2 metros logo, 
Parede ( frente e fundo) = 90 x 2 = 180 x 2 muros = 360m2 
Parede lado = 30 x 2m = 60 x 2 muros = 120m2 
Total de muro = 480 m2 
 
Concreto: 
1m2 = 300 dm3 de concreto 
480m2 = X 
X= 480 x 300 = 144.000 dm3 ou 144 m3 
 
 
27-( Of Prom. 2006)A capacidade total de um reservatório é de 3000litros, 
sendo que ele possui duas válvulas de entrada de água, A e B.Estando o 
reservatório completamente vazio, abriu-se a válvula A, com vazão 
constante de 15l de água por minuto. Quando a água despejada atingiu 
2/5 da capacidade total do reservatório, imediatamente abriu-se a válvula 
B, com vazão de 25 litros por minuto, sendo que as duas válvulas 
permaneceram abertas até o reservatório estivesse totalmente cheio.Qual 
 31 
o tempo gasto para encher totalmente o reservatório se não houve 
nenhuma saída de água? 
A- enche até 2/5 da capacidade do tanque = 3000 x 2/5 = 1200 litros 
A – levou quanto tempo? 
15 litros = 1 min. 
1200litros = X 
X = 1200/15 
X= 80 min. 
 
A e B trabalhando juntas 
15l + 25l= 40litros por min. 
 
A+ B 
40 litros = 1 min 
1800litros = X 
X = 1800/40 
X= 45 min. 
Tempo total = 80 + 45 = 125min. 
 
28-Vunesp 
 
A/B=1,6 
A = 1,6 B 
 
B= 5x 15 = 75 m2 
A= 1,6 B 
10. X = 1,6 x 75 
X= 12 
Soma dos perímetros 
Perímetro A = 2x12 + 2x10 = 44m 
Perímetro B = 2x5 + 2x15 = 40 
Perímetro total = 84m 
 
29- Na figura , a composição dos retângulos, com medidas em metros, 
mostra a divisão que Cacá planejou para o terreno que possui. A casa 
deverá ser construída nas áreas I e II, sendo a área II reservada para 
jardim e lazer. Sabendo-se que a medida a é igual ao dobro da medida X, 
e que a área total do terreno é 512 m 2, pode-se afirmar que as áreas I e III 
possuem, juntas: 
 32 
 
 
 
A= 2x 
 2 
A1= bxh = 2.2x.x = 4x 
 2 
A2= bxh = 2x . x = 2x 
 2 
A3 = bxh = 2x . x = 2x 
A1 + A2+ A3 = 512 
 2 2 2 
4x + 2x + 2x = 512 
X= √64 = 8 
 
Logo: 
A1= 4x 8 x 8 = 256m2 
A3 = 2x 8 x 8 = 128m2 
A1 + A3 = 256 + 128 = 384 m2 
 
30-(vunesp/2008) Em uma sala, 75% da área total está livre, isto é, sem 
móveis ou objetos, e nesse espaço será colocado um tapete de 2,4 m por 
2,0 m, que ocupará 40% desse espaço livre. A área total de sala 
corresponde a quanto? 
Área livre = 0,75 X 
Tapete = 2,4 x 2 = 4,8 m2 
Tapete = 40% da área livre ou seja, 
4,8 = 0,40x 0,75X 
X= 16m2 área da sala 
 
31-Para enfeitar toalhas retangulares de 2,0 m de comprimento por 1,60 m 
de largura, uma costureira colocará fita colorida ao redor de toda a borda 
de cada uma delas. Assim, com 30 m de fita, o número de toalhas que 
poderão ser enfeitadas é de quanto? 
 
Compr= 1,6m Perímetro = 2x 2 + 2x 1,6 = 7,2 m 
Largura=2m 30m de fita será dividido ao redor da toalha 
 30 : 7,2 = 4,166.. aproximadamente 4 toalhas. 
 
32-Um frasco contém 60 comprimidos que ocupam apenas 3/5 de sua 
capacidade total e que pesam juntos 42 g. Se esse frasco estivesse cheio, 
o peso total de todos os comprimidos que esse frasco comporta seria 
quanto? 
3/5 do frasco são 60 comprimidos 
3/5X = 60 
X = 100 comprimidos 
 33 
 
60 compr = 42g 
100compr. = X 
X= 70g 
 
33-( vunesp/ 2007)Um painel decorativo de madeira foi pintado conforme 
indica as partes Hachuradas abaixo medidas em cm: 
 
 
A razão entre as áreas pintadas e as não pintadas será de quanto? 
Área pintada está dividida em 3 triângulos: 2 grandes do mesmo tamanho e um 
pequeno. 
 
A triangulo = base x altura 
 2 
Área triangulo grande = 120 x 70 / 2 = 4200 x 2 triângulos = 8400m2 
Área triangulo pequeno = 40 x 20 /2 = 400 
Área pintada total = 8400 + 400 = 8800m2 
 
Área do retângulo = base x altura = 180 x 120 =21.600 m2 
Área livre = retângulo – triângulos = 21.600 – 8800 = 12.800m2 
 
Quer saber : Área pintada = 8800 = 11 
 Área não pintada 12.800 16 
 
 
34-( vunesp/ 2008)O gráfico mostra o vazamento em ml numa garrafa 
plasti8ca com água, ao longo de um determinado período de tempo. 
 
 34 
 
Se a perda de água se mantiver constante, essa garrafa estará vazia após 
quanto tempo? 
Perde 100ml a cada 40 min conforme gráfico. 
100ml = 40 min. 
1500ml = X 
 X= 600 min = 10horas 
 
35-Um centímetro cúbico (1 cm3) é o volume ocupado por um cubo 
(dadinho de jogo) de 1 cm de aresta. Um tanque, em forma de 
paralelepípedo retângulo reto, tem as seguintes dimensões: 1,0 m de 
comprimento, 0,80 m de largura e 0,60 m de profundidade (altura). O 
número de dadinhos de 1 cm3 que cabem justa e totalmente no tanque é 
de quanto? 
Volume do tanque = comprimento x largura x altura 
V = 0,8 x 0,6 x 1 = 0,48 m3 ou 480.000 cm3 
Volume do dado = 1 cm3 
Numero de dados = 480.000/1 = 480 mil dados 
 
36-Um avião decolou da pista do aeroporto de Congonhas, em São Paulo, 
às 10 h 20 min 30 s de certo dia, e pousou na pista do aeroporto Salgado 
Filho, em Porto Alegre, às 11 h 26 min 50 s, do mesmo dia. Quanto tempo 
durou este vôo? 
 
11h26min 50seg – 10h 20min 30s = 1h 6 min 20 seg 
 
 
37-No estacionamento de um aeroporto, a primeira hora de uso custa R$ 
9,00, a segunda hora custa R$ 5,00 e as demais, até o limite de 10 horas, 
custam R$ 2,00 cada. Se um usuário desembolsou R$ 20,00 ao pagar pelo 
uso de estacionamento, quanto tempo ficou parado? 
 
1ª hora = 9 reais 
2ª hora = 5 reais 
3ª hora = 2reais 
4ª hora = 2 reais 
5ª hora = 2 reais 
Total 20 reais 
 
 35 
38-Três viaturas partem às 6 horas da manhã para distribuir vigilantes a 
seus postos. A 1.ª retorna à base a cada 30 minutos, a 2.ª, a cada 40 
minutos e a 3.ª, a cada 1 hora. As três viaturas voltarão a se encontrar 
pela 1.ª vez, na base a que horário? 
Problema de MMC 
MMc de 30, 40 e 60 = 120 min = 2h 
Como saíram às 6h + 2 h = 8h voltarão a seencontrar. 
 
39- Oito quadrados iguais são colocados lado a lado, formando um 
retângulo cujo perímetro é 540 cm. Qual a área de cada quadrado que 
forma o retângulo?: 
8 quadrados lado a lado resulta 18 lados 
540 : 18 lados = 30 cada lado 
Área = lado x lado 
A= 30 x 30 = 900 cm2 
 
40-Se 2/5 do que falta do dia é igual a 2/3 do tempo já decorrido, que horas 
são? 
Passo = X 
Falta passar = 24 – X 
Dia = 24 horas 
 
Logo, 
2/5 ( 24- X) = 2/3X 
48 -2x = 2x 
 5 3 
 
X= 9 horas 
 
 
41-Na maquete de uma praça pública construída na escala 1:75, o edifício 
da prefeitura, de 13,5 m de altura, está representado com que altura? 
Escala = desenho 
 real 
real = 13,5 m = 13.500cm 
 
1 = X 
75 13.500 
 
X = 180 cm ou 1,8m 
 
42-Uma parede que tem 7,2 m2 de área foi revestida com azulejos 
quadrados, medindo cada um 40 cm de lado. Qual o número mínimo 
desses azulejos para revestir toda a parede? 
Parede = 7,2m2 
Área do Azulejo = lado x lado 
A= 0,4x 0,4 = 0,16 m2 
Nº de azulejos = área parede = 7,2 = 45 azulejos 
 Área azulejo 0,16 
 
 36 
 
43-A mãe de Lorena fez 2,5 L de suco de limão para ser servido em copos 
de 250 mL. Para servir 18 copos de 250 mL, qual a porcentagem do 
aumento da quantidade de suco de limão que deve ser preparado? 
Fez = 2,5 litros = 2500ml de suco 
Para servir 18 x 250 = 4500ml 
% aumento = o novo valor em relação ao anterior 
% = 4500/2500 = 1,8 ( 1 = representa o que já tinha antes, ou seja, 2500 . O 
0,8 é o que foi feito a mais, ou seja, 80%) 
 
44- Pretendo comprar 20 peças quadradas de mármore, sendo 10 peças 
de cada tipo de revestimento. Essas peças medem, respectivamente, 30 
cm e 40 cm de lado. Qual a soma total das áreas das peças de mármore 
que quero adquirir? 
 Peça com 30cm de lado – Área = 0,30 x 0,30 = 0,09 m2 x 10 = 0,9m2 
 Peça com 40 cm de lado –Área = 0,4 x 0,4 = 0,16 m2 x 10 = 1,6m2 
Total = 0,9 + 1,6 = 2,5m2 
 
 
45-( vunsp/2009)As medidas da carroceria de um certo caminhão são de 
1m de altura, 6 metros de comprimento e 3 metros de largura. Esse 
caminhão transportará tijolos cujas medidas são mostradas abaixo: 
 
O número total de tijolos que esse caminhão suporta carregar é de quanto? 
Volume da carroceria = 1 x 3 x 6 = 18 m3 
Volume do tijolo = 0,2 x 0,1 x 0,1 = 0,002m3 
Nº de tijolos = 18/0,002 = 9000 tijolos 
 
46-( vunesp/2008)O recipiente em forma de paralelepípedo retângulo reto, 
com as dimensões comprimento 10cm, altura 30 cm e largura X .Contém 
900 ml de água, sendo que o nível de água nele contida atinge 1/5 de sua 
altura total. Para que o nível da água atinja exatamente a metade da altura 
do recipiente, será necessário colocar nele mais uma quantidade de água. 
Qual é essa quantidade? 
 
 
 
 
Contém 900ml = 0,9L = X/5 
 37 
 X=4,5 litros cabem na caixa 
Volume da figura = compr. x largura x altura 
V= 1dm x 3dm x Xdm 
4,5 = 1 x 3x X 
X= 1,5 dm largura 
 
Para que água alcance ½ da altura , quanto falta colocar de água? 
Altura 1 = 3dm - ½ de 3dm = 1,5dm altura 2 
 
V2 = C. L. H 
V2 = 1x 1,5x1,5 
V = 2,25litros ou dm3 ou seja, quando alcançar metade da altura inicial, haverá 
2,25 L de água dentro da caixa. Agora temos 0,9 litros. Então faltam: 
2,25 – 0,9 = 1,35 litros 
 
 
47-São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 2/3 de uma estrada; 
para se asfaltar 3/5 da mesma estrada gastaremos quanto? 
25 dias = 2/3 estrada 
X dias = 3/5 estrada 
X= 45/2 dias = 22 dias e 12 horas 
 
48-Uma piscina com dimensões 10m comprimento, 4m largura e 1,5m altura. 
Após sua limpeza perde 600l de água durante a aspiração. O nível de água 
após a limpeza estará mais baixo em quanto? 
V1 = 100dm x 40 dm x 15dm = 60.000 dm3 ou litros 
Após limpeza = 60.000 – 600 = 59.400 litros 
 
V2 após limpeza = 59.400 
Logo: 
V= cxLxh 
59400 = 100x 40 x h 
H= 59400/4000 
H= 14,85 dm 
 
 Antes 15 dm altura e agora 14,85dm ; 
 logo baixou :15 – 14,85 = 0,15 dm ou 1,5cm 
 
 (A) 82 lajotas. (B) 84 lajotas. (C) 86 lajotas. (D) 92 lajotas. (E) 94 lajotas. 
 
49- Toda água de uma caixa, que estava completamente cheia, foi 
distribuída em 4 recipientes, colocando-se 25dm3 em cada um. Essa caixa 
é um paralelepípedo retângulo conforme mostra a figura. Nessas 
condições, pode-se afirmar que a largura da figura, em metros, mede 
quanto? 
 38 
 
Caixa cheia = 4 x 25 ml = 100 ml 
V= 100 ml 
V= Cx Lx H 
100 = X . X/2 . 2 
 2 
X = 100 
X= 10 
 
Portanto largura = x/2 = 10/2 = 5 dm ou 0,5 m 
 
50- ( vunesp/2007) Cada uma das faces do cubo representado na figura 1 
área de 36cm2. Os pequenos cubos que formam essa figura são todos 
congruentes.Retirando-se um dos cubos da figura 1 obtêm-se a figura 2, 
cujo volume , em cm3 será de : 
 
 
Área da face = 36m2 
Face é um quadrado e a área do quadrado = lado x lado 
Então lado = √36 = 6m 
Se o lado da face é 6m , a aresta do cubo também o é. 
Volume do cubo = aresta x aresta x aresta 
 3 
V = 6 
V= 216m3 
 
Observe que se a aresta do cubo grande é 6 então cada aresta do cubo 
pequeno vale 2 m ( 6 : 3 = 2) 
Logo: Volume do cubo pequeno = 2x2x2= 8m3 
 
Cubo grande – 1 cubo pequeno = 216 – 8 = 208 m3 
 
 
51-( vunesp/2009)No piso de um salão retangular, com área de 72m2, 
foram colocados dois tapetes iguais também retangulares que juntos, 
ocupam 25% da área total do piso, conforme mostra a figura, cujas 
 39 
dimensões estão em metros. Pode-se afirmar que a medida do lado maior 
de cada tapete é de quanto? 
 
 
O tapete ocupa 25% da área total da figura: 
Tapete = 0,25 x 72m2 = 18 m2 : 2 tapetes = 9m2 para cada tapete 
 
Área do retângulo= base x altura 
72 = 2X x X 
X=√72/2 
X=6 
 
Então a largura do tapete = x/3 = 6/3=2m 
 
Área do tapete = b x h 
9 = X x 2 
X= 9/2 
X= 4,5 m comprimento do tapete 
 
52-( vunesp/ 2009)Um a penitenciária tem dois pátios para banhos de sol. 
O pátio A é triangular e pátio B é retangular, como mostram as figuras 
abaixo. Sabendo-se que os perímetros dos pátios A e B somam 68m, e 
que Q = 1,5 P, pode-se afirmar que a área do pátio B é igual a quanto? 
 
Se Q= 1,5 P 
Achamos o perímetro da figura A 
PA = 1,5P + P + P = 3,5P 
 
Perímetro da figura B = 1,5P + 1,5P + P + P = 5 P 
 
Perímetro total =- 68 
5P + 3,5P = 68 
P = 68/ 8,5 
P = 8 
 
Após descobrirmos o valor de P = 8 , na figura 2 temos a base do retângulo= 
1,5 x 8 = 12 e sua altura = 8 
 40 
Assim sua área = 12 x 8 = 96m2 
 
53-( vunesp/ 2009) Na figura o perímetro do quadrado CEDO é 48cm, e a 
área do retângulo ABCD é 432cm2.Conclui-se então, que base do 
retângulo mede quanto? 
 
 
Como o perímetro do quadrado é 48 temos que seu lado será 48/4 = 12 
 
O lado do retângulo corresponde a diagonal do quadrado. 
Diagonal = lado√2 
D= 12√2 
 
Área do retângulo = 432cm2 
Largura do retângulo = 12√2cm 
Comprimento = X 
A= b xh 
432 = b x 12√2 
B = 18√2 cm base do retângulo 
 
 
 
 
 
Problemas das Torneiras 
 
1-Uma caixa de 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e 
outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo 
tempo a caixa encher-se-á em quanto tempo? 
1ª torneira enche em 9 horas – então- 1/9 
2ª torneira esvazia em 18 horas- então – 1/18 
1ª e 2ª juntas = 1/9 – 1/18 = 2 – 1 = 1 
 18 18 resp. 
 
2-Um caixa d’água com capacidade de 900 litros, tem uma tubulação que 
a enche em 7 horas e um ladrão que a esvazia em 12horas. Com os dois 
funcionando juntos em quanto tempo a caixa ficará cheia? 
 
1ª torn. = 1/7 
2ª torn. = 1/12 
Juntas = 1/7 – 1/12= 12- 7 = 5 
 41 
 84 84 
 
Isso significa que em 1 h de trabalho , juntas ,as torneiras enchem 5/84 do 
tanque, ou seja, em relação a uma 1h fizeram 5/84( inverte = 84/5 h ) 
84:5 = 16h 48min para encher todo o tanque 
 
3-Uma torneira é capaz de encher um tanque por completo em 2h. A 
válvula deste tanque é capaz de esvaziá-lo por completo em 5 horas. 
Estando o tanque vazio, ambas foram abertas simultaneamente. Depois 
de 3 horas de funcionamento a válvula entupiu por completo.Após o 
entupimento em quanto tempo o tanque transbordará? 
 
1/2 – 1/5 = 5- 2 = 3 em 1h fizeram 3 /10 do trabalho 
 10 10 
Se trabalharem por três horas teremos : 
3 x 3/10 = 9/10 ( ou seja nove partes de dez. Portanto falta 1/10 para encher o 
tanque) 
 
Encherá 1/10 = X horas 
 1/2 = 1hora 
X/2=1/10 em cruz 
10X=2 
X=2/10 
X= 0,2 h = 0,2 x 60min = 12 min para encher completamente o tanque e 
transbordar 
 
4- Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra 
torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto 
tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque ? 
Torneira 1 = 1/20 
Torneira 2 = 1/5 
 
 
Juntas= 1/20 + 1/5 = 1 + 4 = 5 = 1 
 20 20 4 
Resp 4 min 
 
Conclusão : Nesse tipo de problemas sempre aparecerá uma fração para 
somar( as duas torneiras enchem) , ou subtrairmos( uma enche e a outra 
esvazia). 
O numerador da fração a ser somada, por exemplo, sempre será 1, pois 
sempre estaremos observando o trabalho em relação a 1 hora. 
No final dos exercícios, a fração resultante após a soma ou subtração, 
poderá ter ou não o numerador igual a 1(um). 
Se for 1 ( um), o resultado está no denominador. 
Se não for um, a fração deverá ser invertida efetuando-se a divisão que 
fornecerá o resultado em horas, por exemplo.( como o caso do exercício 
2, acima descrito) 
 
Outros problemas na mesma linha de raciocínio 
 42 
 
5- Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, a sua esposa pode fazê-la 
em 6 dias; trabalhando juntos, em quantos dias farão a roupa? 
Alfaiate = 1/3 dias 
Esposa = 1/6 dias 
Juntos = 1/3 + 1/6 = 2 + 1 = 3 = 1 
 6 6 2(resp 2 dias) 
 
6- A pode fazer uma obra em 20 dias; B pode fazê-lo em 15 dias e C pode 
fazê-la em 12 dias. Trabalhando juntos, em quantos dias farão a obra? 
A= 1/20 dias 
B = 1/15 dias 
C= 1/12 dias 
Juntas = 1/20 + 1/15+ 1/12 =3 + 4 + 5 = 12 = 1 
 60 60 5resp. 
 
7-A e B podem fazem uma casa em 4 dias.; B pode forrá-la sozinho em 12 
dias. Quantos dias A demorará para forrá-la sozinho? 
 
A + B= 1/4 dias 
B= 1/12 dias 
A= ? 
 
1/A + 1/B = 1/A+B 
1/X + 1/12 = 1/ 4 
12 + X = 3X 
 12Xmmc 
 
X-3X = - 12 
-2X= -12 
X= 12/2 
X = 6 dias (A demora 6 dias) 
 
8- Um tanque enche-se com 3 torneiras e se esvazia por uma torneira. 
Aberta sozinha a torneira 1 enche em 4h; a torneira 2 em 5h; a torneira 3 
em 8h. A quarta torneira o esvazia em 6 h. Estando todas abertas, em 
quanto tempo, aproximadamente, o tanque estará cheio? 
 
Três torneiras juntas: 
1/4 + 1/5 + 1/8 – 1/6 = 30 + 24 + 15 -20 = 49 inverte fração 
 120 120 
 
120 : 49 = 2h 26min 56 segundos aproximadamente 
 
9- Dois operários levam 12 h para fazer um trabalho; o primeiro só levaria 
20h. Que tempo levará o segundo trabalhando só? 
 
OperA + Oper. B = 12h 
Oper. A = 20 h 
Oper. B = ? 
 43 
 
1/20 + 1/X = 1/12 
 
3X + 60 = 5X 
 60 
 
3X-5X= - 60 
-2X = - 60 
 
X= 60/2 
 
X= 30 horas 
Operário B leva 30 horas 
 
 
10- Uma máquina faz X cópias em 6 horas, enquanto uma outra faz o 
mesmo serviço em 4horas. Se essas máquinas permanecerem 
trabalhando juntas por 2horas, que fração das X cópias teriam feito? 
 
1/6 + 1/4 = 
2 + 3 = 5 
12 12 
 
5/12 fração em 1 h de trabalho 
Em duas horas = 5/12 x 2 = 5/6 
 
11-(Vunesp 2007)Três torneiras com vazões iguais e constantes, enchem 
totalmente uma caixa d’água em 45 minutos. Para acelerar esse processo, 
duas novas torneiras, iguais às primeiras, foram instaladas. Assim, o 
tempo gasto para encher essa caixa d’água foi reduzido em quanto 
tempo? 
 
1/x + 1/x + 1/x = 1/45 
 
3/x = 1/45 
X = 45 x 3 
X = 135 min cada uma 
 
Se acrescentarmos mais duas torneiras teremos 
5x 1/135 = 1/27 
O trabalho das 5 torneiras juntas será feito em 27 minutos 
Anteriormente era feito em 45 minutos. Logo 45 – 27 = economia de 18 min. 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porcentagem(%) 
 
 
Porcentagem transformada em fração e numero decimal: 
5% = 5/100 = 0,05 ( o nº 100 tem dois zeros, logo devemos andar 2 casas para 
a esquerda do nº 5) 
10% = 10/100 = 0,10 
123% = 123/100 = 1,23 
2,5% = 2,5/100 = 0,025 
 
Numero decimal tem valor percentual? 
0,04 = 0,04 x 100( andar 2 casas para direita) = 4% 
0,045= 0,045 x 100 = 4,5% 
0,45 = 0,45 x 100 = 45% 
1,245 = 1,245 x 100 = 124,5% 
 
Como calcular o valor percentual de uma fração? 
a) 3/4 = 3 : 4 = 0,75 x100 = 75% 
b) 7/5 = 7 : 5 = 1,4 x 100 = 140% 
c) 2 3 = 2x2 + 3 = 7 = 7 : 2 = 3,5 x100 = 350% 
 2 2 
 
Como calcular: 
a) 5% de 2300? 
 
5% = 0,05 logo: 
2300 x 0,05 = 115 
 
 45 
b) 12,3% de 140 = 
0,123 x 140 = 17,22 
 
C) 12% de 15% de 3% 
0,12 x 0,15 x 0,03 = 0,00054 = 0,054% 
 
Como Calcular aumentos e descontos 
1- Aumentos 
Considere que o valor que você já possui significa 100% 
= 100/100 = 1 inteiro 
 
Ex. tive um aumento de 23% sobre o meu salário de 1500 reais. Qual meu 
novo salário? 
Aumento = 1 ( já tem ) + 0,23 (aum.) = 1,23 – índice do aumento 
Novo salário = 1500 x 1,23 = 1845 reais 
 
Ex.2 tinha 2000 sapatos produzidos mês passado, mas tivemos um aumento 
na produção de 15%. Qual a nova quantia de sapatos produzida agora? 
 
Aumento = 1 + 0,15 = 1,15 x 2000 = 2300 sapatos 
 
2-Descontos 
Ex. a TV custa 900 tive desconto de 16%. Qual o novo valor da TV? 
Desc .= 1( tem) – 0,16 = 0,84 índice que representa o valor a ser pago. 
Ou seja, só pagarei 84% do preço real. 
Logo : 
0,84 x 900 = 756 novo valor da TV. 
 
Viu só, não precisa achar o desconto e depois tirar do valor total. 
Assim é mais rápido e fácil, além de chegarmos direto ao resultado. 
Tanto para aumentos como para descontos. 
 
A regra é: 
Desconto – ( 1 - % desc.) 
Aumento – ( 1 + % aumento) 
 
Aumentos Sucessivos: 
(Aum 1) x( aum2) x ( aum.3 )......e assim sucessivamente 
 
Ex. um produto teve três aumentos sucessivos: 3%, 4% e 5%. Qual o aumento 
real? 
1º aum = 1 + 0,03 = 1,03 
2º aum = 1 + 0,04 = 1,04 
3º aum = 1 + 0,05 = 1,05 
 
Calculo dos aumentos : 1,03 x 1,04 x 1,05 = 1,12476 
 
Observe : 1,12476 – O nº 1 representa o valor que você já tinha ( 100%). Logo 
o aumento é exatamente o restante – 0,12476 x 100 = 12,476% 
 
 46 
Descontos Sucessivos: 
(Desc1) x (desc2) x (desc 3) ........ 
 
Ex. temos 3 descontos de 4%, 2% e 7%. Qual o desconto real? 
 
Desc1 = 1 – 0,04 = 096 
Desc2 = 1- 0,02 = 0,98 
Desc3 = 1- 0,07 = 0,93 
 
Cálculos dos descontos: 0,96 x 0,98 x 0,93 = 0,8749 
Observe que 0,8749 é o valor que você tem a pagar após os descontos, ou 
seja, 87,49% em relação ao preço real. 
Se o preço real é representado por 1 inteiro = eu tenho ( 1 – 0,8749 ( vou 
pagar) = 0,12151 desconto real ( 0,1251 x 100) = 12,51% 
 
 
 
Outros Exemplos de cálculos percentuais: 
 
Ex. recebi 150 reais de desconto numa compra de 730 reais. Qual o percentual 
do desconto? 
 
Quero saber o percentual do desconto = 150 reais . Ou seja quero saber 
quanto vale o 150 na forma percentual. 
 
Use esta técnica: 
 
% = quero saber = 150 = 0,2054 x 100 = 20,54% 
 Total geral 730 
 
Não use, a famigerada, regra de três, que muitas vezes torna-se 
um vício, que na maioria dos problemas bem formulados, é inútil. 
Pense Fácil!! 
 
Vamos aprender: 
Quando precisamos do valor percentual de algo em relação a um valor anterior, 
usamos uma fração, onde o numerador é o que quero saber, e o denominador 
é o valor que eu já tinha ou total geral. Fazemos a divisão de um pelo outro e 
VUPT!.. o resultado aparece! 
 
 
Para saber preço anterior a um aumento ou a um 
desconto: 
 
Ex. preço de $ 4250 já com desc. de 15% 
Qual o preço antes do desc? 
 
 47 
Desc= 1-0,15 = 0,85 
4250 : 0,85 = 5000resp 
 
 
Ex.2 Preço de 1800 já com aumento de 20%.Qual o preço 
antes do aumento? 
Aum= 1 + 0,20 = 1,20 
1800 : 1,20 = 1500respVamos aos problemas 
 
1- Um objeto custa $ 2.500 e foi adquirido com 155 de desconto. Calcule o 
percentual do desconto. 
 
 % =Quero saber/ total geral 
% = 155/2500 = 0,062 x100 = 6,2% 
 
 
2- Um carro que custa $25.700 foi adquirido com desconto de 11,3%. Qual 
o valor do desconto? 
Achar somente quanto é 11,3% de 25700 
Logo = 0,113 x 25.700 = 2904,10 reais 
 
3- Comprei um aparelho por $12.000 e vendi com lucro de 12,7%. Qual o 
valor do meu lucro? 
Só quero sabre o valor do lucro que está representado por 12,7%. Ou seja, 
0,127 x 12.000 = 1.524 reais 
 
4- Um objeto custa $3.400 e sofreu um ágio de 23,5%. Qual o novo valor 
do objeto? 
 
Ágio = aumento 
Vamos calcular o aumento 
Aumento = 1+ 0,235 = 1,235 
Novo valor = 1,235 x 3.400 = 4.199 reais 
 
 48 
5- Um objeto de 7500 foi vendido com desconto de 2,56%. Qual o preço de 
venda? 
Custo = 7500 
Desconto = 2,56% = 0,0256 ( 1- 0,0256 = 0,9744 valor a ser pago) 
Venda = 7.500 x 0,9744 = 7.308 reais 
 
6- Um rádio custa $ 2.900. Uma pessoa que o comprou com ágio de 
13,2%. Qual o preço dessa compra? 
Custo = 2.900 
Ágio = aumento = 13,2% = 0,132 ( 1 + 0,132 = 1,132) 
Compra = 1,132 x 2900 = 3.282,80 reais 
 
 
7- Um objeto que custa $6.780 sofreu dois descontos sucessivos de 2% e 
4,5%. Qual o novo preço após descontos? Qual o percentual de desconto 
total? Descontos sucessivos: 
Desc1 = 1- 0,02 = 0,98 
Desc 2 = 1 – 0,045 = 0,955 
 
Desc. Sucessivos = 0,98 x 0,955 = 0,9359 = 93,59 representa o valor que 
efetivamente foi pago pelo produto, em relação ao custo inicial. 
 
Logo: 1 ( tinha ) - 0,9359 (vou pagar) = 0,0641 x 100 = 6,41% desc. real 
 
8- Comprei um carro por $ 145.000 e vendi com prejuízo sobre a compra 
de 24%. Qual valor da venda? 
Compra = 145.000 
Prejuízo = 24% sobre compra = 0,24 x 145.000 = 34.800 
 
Logo: 
 
Venda = Compra – Prejuízo ( grave esta fórmula) 
Venda = 145.000 – 34.800 
Venda = 110.200 
 
 
9- Um objeto custa $ 6.300 e foi comprado por $ 7.245. Qual o percentual 
de lucro? 
Lucro = venda – custo 
Lucro = 7245 – 6300 = 945 reais 
% do lucro? Quero saber/ primeiro total = 945 / 6300 = 0,15 x 100 = 15% 
 
 
10-Um objeto custa $4.500 e foi vendido por $3.450. Qual o percentual de 
prejuízo? 
Custo = 4500 
Venda = 3450 
Prejuízo = Compra – venda 
Prejuízo = 4500 – 3450 = 1050 
% do prejuízo = 1050/4500= 0,2333 x 100 = 23,33% 
 49 
 
 
11- Um objeto que custa $ 13. 500 foi adquirido por 12.700. Qual o 
percentual de desconto obtido? 
Desconto = 13.500 – 12.700 = 800 
% desconto = 800/ 13.500 = 0,5925 x 100 = 5,925% 
 
12- Um fatura obteve um desconto de 7,5% para que fosse antecipado o 
seu pagamento. Tendo sido quitada pela quantia de $ 3.520. Qual o valor 
inicial da fatura? 
Desconto = 1 – 0,075 = 0,925 índice a ser pago sobre a fatura (X) 
Temos : 
 ( ou seja desconto sobre a fatura = novo valor a ser pago) 
3520/0,925 
= 3.805,40 reais 
 
13- Em 160g de sulfato de ferro ( FeSO4), há 44.8g de ferro, 38,4 g de 
enxofre e 76,8g de oxigênio. Calcular as percentagens , em massa de 
cada um deles.Resp. 28%, 24% e 48% 
Total em gramas = 160 g 
Ferro = 44,8 g 
% do ferro = 44,8/160 = 0,28 x 100 = 28% 
 
Enxofre = 38,4g 
% de enxofre = 38,4 / 160 = 0,24 x100 = 24% 
 
Oxigênio = 76,8 g 
% de oxigênio = 76,8/160 = 0,48 x 100 = 48% 
 
 
14-(VUNESP) Dos 750 esportistas de uma academia, 60% fazem 
musculação, e destes 80% fazem natação. Portanto, do total de 
esportistas que fazem musculação, quantos não praticam natação? 
 
Fazem musculação = 60% de 750 = 0,60 x 750 = 450 
Fazem musculação e natação = 80% dos que fazem musculação = 0,80x450 = 
360 
Entre os que fazem musculação , quem não faz natação = 450 – 360 = 90 
pessoas 
 
15-Se uma pessoa já liquidou os 7/16 de uma dívida, qual a porcentagem 
dessa dívida que falta ser liquidada? 
Já pagou = 7/16 
Ou seja, 7 pedaços do inteiro que é 16. Logo faltam 9 pedaços de 16. 
Faltam, quitar 9/16 = 9 : 16 = 0,5625 x 100 = 56,25% 
 
 
16- Em certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por 
um imposto único, que seria, no caso de salários, de 20% sobre os 
mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, o mesmo 
 50 
salário que receberia antes, quanto deverá ter de aumento sobre o 
mesmo? 
 
Observe que o problema não deu valores. Nesse caso, use uma valor fictício 
de 100 reais. 
 
Salário = 100 
Desc. 20% = 1 – 0,20 = 0,80 x 100 = 80 reais salário após desconto. 
Para retornar a condição anterior, ou seja, 100 reais temos: 
% quero saber como voltar a ser 100. Então 100/80 = 1,25 
1,25 ( 1 representa os 100 reais que eu tinha e o que preciso acrescentar são 
os 0,25 = 25%) 
 
17- Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança conjunta. Do 
total do saldo, 70% é de Ana e 30% é de Lúcia. Tendo recebido um 
dinheiro extra do pai, as meninas resolvem fazer um depósito exatamente 
igual ao saldo da caderneta. Por questão de justiça, o pai lhes disse que o 
deposito deveria ser dividido igualmente entre elas. Sendo assim, a 
participação de Ana no novo saldo será de quanto? 
1º valor depositado = 100 reais( fictício) da seguinte forma: 
Ana = 70% = 0,70 x 100 = 70 reais 
Lucia = 30% = 0,30 x 100 = 30 reais 
 
2º deposito no mesmo valor: 100 
Ana = 50% = 0,50 x 100 = 50 
Lúcia = 50% = o,50 x 100 = 50 
 
Quer saber a participação de Ana em relação ao novo saldo 
Ana = 70 + 50 = 120 
Novo saldo = 100 + 100 = 200 na poupança 
 
Ana em relação novo saldo = Ana /novo saldo = 120/200 = 0,6 x 100 = 60% 
 
18-( Carlos Chagas)- Numa escola há 600 alunos dos quais 40% são 
meninas e os demais são meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos 
meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem 
ler. 
Total = 600 
Meninas = 40% = 0,40 x 600 = 240 
Meninos = restante = 360 
 
Meninos não sabem ler = 10% de 360 = 0,10 x 360 = 36 
Logo, meninos que sabem ler = 360 -36 = 324 meninos sabem ler 
 
19-(TRT) O custo de produção de uma peça é composta por : 30% para 
mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia elétrica . 
Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra , 35% no 
preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de 
produção sofrerá um reajuste de quanto? 
Mão de obra = 30% = 0,30 x 100 (fictício) = 30 reais 
 51 
Aumento na mão de obra= 20% - ( 1 + 1,20 = 1,20) = 30 x 1,20 = 36 reais 
 
Matéria prima = 50% = 0,50 x 100 = 50 
Aum. Na matéria prima = 35% ( 1 + 0,35 = 1,35 ) = 50 x 1,35 = 67.5 
 
Energia elétrica = 20% = 0,20 x 100 = 20 
Aum. na energia = 5% ( 1 + 0,05 = 1,05) = 20 x 1,05 = 21 
 
Aumento total = 67,5 + 21 + 36 = 124,5 
Antes tínhamos 100 reais agora temos 124,5 , então aumento 24,5% 
 
20-Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma 
de mercadorias num determinado "sacolão" sofreu um aumento de 275% . 
Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o 
preço em 10 de fevereiro ? 
 
Aumento sofrido = 1 + 2,75 = 3,75 ( indice aum) 
 
X= preço anterior ao aumento 
Logo: 
 
3,75 sobre preço anterior é igual novo preço 
3,75 x X = 67,50 
X= 67,50/3,75 
X= 18 reais ( preço antes do aumento de 275%) 
 
 
21-(FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os 
salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é: 
Antonio = 0,90 x Pedro 
Pedro – Antonio = 500 reais 
 
A= Antonio 
P = Pedro 
 
Substitua o valor do Antonio na equação: 
P – A = 500 para A = 0,90P 
P - 0,90P = 500 
0,10P = 500 
P = 500/0,10 
P = 5000 
 
Portanto A = 0,90 x 5000 = 4500 
 
 
 
22-(vunesp) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% 
dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas . Qual a 
porcentagem de homens na população ? 
 
 52 
30% = 0.3 e 10% = 0,1 e 18% = 0,18 100% = 1 
H + M = 100% 
30H + 10M = 18% população gorda 
Logo: 
 
H + M = 1 
0,3H + 0,1M = 0,18 
 
Isole o H da primeira equação : 
H = 1- M 
E substitua na 2ª equação 
0,3H + 0,1M =0, 18 
0,3 ( 1-M) + 0,1 M = 0,18 
0,3 – 0,3M + 0,1M = 0,18 
 
0,2M = 0,12 
M = 0,12/0,2 
M= 0,6 x100 = 60% 
H = 40% 
 
23-(FGV) Se umamercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e 
depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial: 
 a) aumentou de 22% b) decresceu de 21,97% c) aumentou de 21,97% d) 
decresceu de 23% e) decresceu de 24% 
desconto = 1- 0,15 = 0,85 
aumento = 1 + 0,08 = 1,08 
sucessivos = 0,85 x 0,85 (são dois de 15%) x 1,08 = 0,7803 
Observe que o valor final está abaixo do 1 inteiro ( tinha). Logo o preço caiu em 
relação ao inicial. 
1- 0,7803 = 0,2197 x 100 = 21,97 % a menos 
 
24-Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o 
par , vendendo por R$ 25,00 o par . Com este preço, tem havido uma 
demanda de 2000 pares mensais. O fabricante pensa em elevar o preço 
em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares. Com 
esse aumento no preço de venda seu lucro mensal: a) cairá em 10% b) 
aum. em 20% c) aum. em 17% d) cairá em 20% e) cairá em 17% 
Custo de produção = 18 reais 
Venda = 25 reais 
Aumento sobre venda ( 25 + 2,10 = 27,10 reais para venda) 
Quando fabricava 2000 pares : 
Custo = 18 x 2000 = 36.000 reais 
Venda = 25 x 2000= 50.000 reais 
Lucro = 14000 reais 
 
Quando passou a fabricar 1800 pares 
Custo = 18 x 1800 = 32400 reais 
Venda = 1800 x 27,10 = 48.780 reais 
Lucro = 16.380 
 
 53 
% de lucro em relação ao inicial = 16380/14000 = 1,17 ( 1 representa o valor já 
existente e o 0,17 é o aumento = 17%) 
 
25- (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso 
. Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 
15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original ? 
 
Após engordar = 38% = 1 + 0,38 = 1,38 x Peso 
Se engordasse 15% = 1 + 0,15 = 1,15 do peso teria 18,4 kg a menos que se 
tivesse engodado 38% 
Logo temos: 
1,15 P = 1,38P – 18,4 
P = 18,4 / 0,23 
P = 80 Kg peso inicial 
 
27-(F. Chagas) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo 
masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo 
plano econômico do governo . Apurados os resultados , verificou-se que 
40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao 
plano . A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale: 
Total= 1000 
Masculino = 65% = 0,65 x 1000 = 650 
Mulheres = resto = 350 
Masculino a favor = 650 x 0,40 = 260 
Mulheres a favor = 350 x 0,50 = 175 
Favoráveis = 175 + 260 = 435 
 
% dos favoráveis em relação ao total = 435/1000 = 0,435 = 43,5% 
 
28-(Vunesp) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 
3.300,00 . Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário 
que possui , qual será o novo salário médio ? 
Total de salários = 3300 
Funcis = 354 
 
Aumento no salários = 20% = 1 + 0,20 = 1,20 x 3300 = 3920 
 
 
29-( Vunesp AG. Fisc)Uma análise recente mostrou que um determinado 
tipo de café, ao contrário do que muitos acreditavam, é dotado de uma 
quantidade razoável de fibra: 0,75 g a cada 100 mL. Portanto, se uma 
mulher ingerir 5 xícaras, contendo 60 mL de café em cada uma, ela terá 
ingerido, da quantidade diária ideal de fibras para mulheres, que é 25 g, o 
valor de quantos porcento?: 
 
Tomou 5 x 60ml = 300 ml 
 
0,75 g = 100ml regra de tres 
 
X = 300ml 
 54 
 
X= 2,25g ingeriu 
 
O ideal seria 25g 
 
O ingerido em relação ao ideal é de quanto? 
% = 2,25/25 = 0,09 x 100 = 9% 
 
 
29-(Vunesp) Paula reservou 14% do seu salário líquido mensal durante 4 
meses, e utilizou o total da quantia reservada para dar como entrada na 
compra de um computador. Sabendo-se que ela financiou os restantes R$ 
1.260,00, correspondentes a 60% do preço total do computador, pode-se 
afirmar que o salário líquido mensal de Paula, que permaneceu constante, 
é igual a quanto? 
Guarda para entrada 0,14 x 4 = 0,56 do salário = 0,56 x S 
Financiou = 1260 = 0,60 x computador 
 Comp = 1260/0,60 
 Comp = 2.100 reais é o valor do computador 
 
2100 – 1260 = 840 = entrada 
A entrada é 0,56 x S 
Logo 0,56x S = 840 
S = 840/0,56 
Salário = 1500 reais 
 
 
31- Em uma viagem, um caminhoneiro percorreu um total de 3 600 
quilômetros. Nos quatro primeiros dias, ele percorreu 360 quilômetros por 
dia. Depois, até o final da viagem,ele precisou reduzir em 25% a distância 
diária percorrida inicialmente, em função das condições da estrada. A 
média aritmética do número de quilômetros percorridos por dia, nessa 
viagem, foi de quanto? 
Total da viagem = 3600 km 
Andava= 360 por dia x 4 dias = 1440 km já percorridos 
Faltam 3600 – 1440 = 2160 
 
Diminui seu percurso diário = 25% menor ( 1-0,25 = 0,75) = 360 x 0,75 = 
270Km/dia 
 
2160 ( falta) : 270 km/dia = 8 dias de viagem a mais 
 
Media = total da viagem/ dias gastos ( 8 + 4 = 12 dias) 
Media = 3600/12 
Media = 300 km/dia 
 
32- Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é 
o número de ratos brancos desta população? 
Ratos brancos = 0,16 x 250 = 40 
 
 55 
 
33- Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são 
moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu 
bolso? 
Um real = 20 x 0,15 = 3 moedas 
 
34- Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs 
eu possuo? 
8 x 0,125 = 1 
 
 
35) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este 
desconto equivale a quantos por cento do meu salário? 
 
% desconto = 240/ 1200 = 0,2 x 100 = 20% 
 
36- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por 
cento da minha? 
Ele em relação a mim = 12/20= 0,6 x 100 = 60% 
 
 
37-Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de 
meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é 
quantos por cento da velocidade máxima do meu carro? 
 
% do meu pai em relação a mim = 200/ 160 = 1,25 ( meu pai tem a minha 
velocidade que é representada pelo nº 1 e mais 0,25 = 25%) 
Logo ele tem 25% a mais que eu. Representando 125% 
 
38-Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha 
em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? 
% da Perda em relação ao que tinha = 360/1200 = 0,3 x 100 = 30% 
 
39- Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. 
Quantos por cento das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com 
quantos por cento eu fiquei? 
Dei 25 de 40 = 25/40 = 0,625 = 62,5% 
Fiquei com 100% - 62,5% = 37,5% 
 
40-Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto 
de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto 
obtido? 
Desconto = 1- 0,12 = 0,88 
Novo valor = 0,88 x 1500 = 1320 
 
 
 
 
 
 
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 REGRA DE TRÊS 
 
Podemos definir REGRA DE TRÊS ao cálculo ou processo matemático 
utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas 
diretas ou grandezas inversamente proporcionais. 
 
O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais 
comumente chamado de regra de três simples. 
 
Importante: 
Antes de Qualquer coisa, não esqueçam que a 
conversa é feita com o que está escrito sem levar 
em consideração os valores!!! 
 
 
Exemplos de fixação da definição: 
 
1) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será ? 
 
Grandeza 1: Número do bilhete 
Grandeza 2: Preço do bilhete 
 
Cálculos: 
01 bilhete = R$ 15,00 
06 bilhetes = X 
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X= 15 x 6 = 90 
 + bilhete + custo 
 
2) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos kms 
ele percorrerá em 06 horas? 
 
Grandeza 1: Distância percorrida 
Grandeza 2: Tempo necessário 
 
Distancia tempo 
480 2 
X 6 + dist + tempo 
 
 
 Variantes da regra de três 
 
Direta ou Inversa - È definido na regra de três os termos de “direta ou inversa”, 
dependendo do tipo de relação que existem entre as duas grandezas 
envolvidas no processo do problema. 
 
Exemplos de fixação da definição: 
 
a) Regra de três simples direta 
 
Nesta modalidade de regra de três é