Teoria das Filas e da Simulação - Darci Prado 5ed

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Ficha	Catalográfica
P896t
Prado,	Darci	Santos	do.
					Teoria	das	filas	e	da	simulação	/	Darci	Santos	do	Prado.	–	5.	ed.	–	Nova	Lima:	Editora	FALCONI,
2014.	–	(Série	Pesquisa	Operacional,	vol.	2).
	
					ISBN:	978-85-98254-66-1
	
					1.	Modelagem	de	sistemas	–	Teoria	das	filas.	2.	Métodos	de	simulação	–	Computadores.	I.	Título
	
	
Capa:	África	São	Paulo	Publicidade	Ltda.
Editoração	eletrônica:	Editora	FALCONI
Revisão	do	texto:	Dila	Bragança	de	Mendonça
Produção	do	e-book:	Schäffer	Editorial
	
	
Copyright	©	2014	by	DARCI	SANTOS	DO	PRADO
Direitos	comerciais	desta	edição:	Editora	FALCONI
http://www.studioschaffer.com
Para	Dona	Orphila
Sumário
Apresentação
Prefácio
PARTE	A	–	INTRODUÇÃO
1	Modelagem	de	sistemas
1.2	Procurando	o	melhor	dimensionamento
1.3	Teoria	das	filas	e	simulação
1.4	Aspectos	históricos
1.5	Aplicações	de	modelagem	de	sistemas
PARTE	B	–	TEORIA	DAS	FILAS
2	Filas:	conceitos	básicos	(I)
2.1	Elementos	de	uma	fila
2.2	Características	de	uma	fila
2.2.1	Clientes	e	tamanho	da	população
2.2.2	Processo	de	chegada
2.2.3	Processo	de	atendimento
2.2.4	Número	de	servidores
2.2.5	Disciplina	da	fila
2.2.6	Tamanho	médio	da	fila
2.2.7	Tamanho	máximo	da	fila
2.2.8	Tempo	médio	de	espera	na	fila
2.3	Variáveis	randômicas
2.4	Observando	a	dinâmica	de	uma	fila:	um	exemplo
2.5	Sistemas	estáveis
2.6	Dimensionando	filas
2.7	Exercícios
3	Filas:	conceitos	básicos	(II)
3.1	Variáveis	randômicas	fundamentais
3.1.1	Relações	básicas
3.1.2	Taxa	de	utilização	dos	atendentes
3.1.3	Intensidade	de	tráfego	ou	número	mínimo	de	atendentes
3.1.4	Fórmulas	de	Little
3.1.5	Resumo	das	fórmulas
3.2	Exemplos
3.2.1	Resumo	das	fórmulas:	continuação
3.3	Postulados	básicos
3.4	Exercícios
4	Os	processos	de	chegada	e	de	atendimento
4.1	O	processo	de	chegada
4.1.1	A	distribuição	de	Poisson
4.1.2	A	distribuição	exponencial	negativa
4.2	O	processo	de	atendimento
4.3	Chegada	e	atendimento:	conclusões
4.4	Exercícios
5	Modelos	de	filas
5.1	Teoria	das	filas:	a	notação	Kendall
6	O	modelo	M/M/1
6.1	População	infinita
6.1.1	A	taxa	de	utilização
6.1.2	Exemplos
6.2	População	finita:	o	modelo	M/M/1/K
6.3	Exercícios
7	O	modelo	M/M/c
7.1	População	infinita:	fórmulas	versus	gráficos
7.1.1	Exemplos
7.2	População	finita:	o	modelo	M/M/c/K
7.3	Conclusões
7.4	Exercícios
8	O	modelo	Erlang
8.1	O	modelo	M/Em/1
8.1.1	Gráficos	do	modelo	Erlang	M/Em/1
8.1.2	Exemplos
8.2	O	modelo	M/Em/c
8.2.1	Exemplos
8.3	Exercícios
PARTE	C	–	TEORIA	DA	SIMULAÇÃO
9	O	que	é	simulação?
9.1	Sistemas
9.2	Modelos
9.3	Uso	do	computador	digital
9.4	Justificativas	para	o	uso	da	simulação
9.5	Metodologia	para	a	simulação	de	sistemas
9.6	O	método	de	Monte	Carlo
10	O	método	de	Monte	Carlo
10.1	Números	aleatórios
10.2	Frequência	relativa	e	frequência	cumulativa
10.3	Função	densidade	e	função	cumulativa
10.4	O	método	de	Monte	Carlo
10.5	Exemplos
10.6	Comparação	dos	resultados:	modelo	teórico	e	modelo	real
10.7	Exercícios
APÊNDICES
Apêndice	A	A	distribuição	de	Poisson
Apêndice	B	A	distribuição	exponencial	negativa
Apêndice	C	A	distribuição	exponencial	negativa	acumulada
Apêndice	D	Solução	dos	exercícios
Apresentação
As	 decisões	 tomadas	 no	 gerenciamento	 de	 processos	 produtivos	 devem	 ser
baseadas	 em	 dados	 e	 informações	 confiáveis.	 Entretanto,	 a	 inerente
complexidade	das	operações	envolvidas	torna	muitas	vezes	a	simples	análise	dos
dados	 insuficiente	para	conduzir	a	decisão	de	 forma	adequada.	Nesse	caso	a
simulação	se	apresenta	como	uma	poderosa	 ferramenta	 já	que	permite	 imitar	o
comportamento	do	 sistema	 real.	Assim,	diversas	alterações	podem	ser	 testadas
no	mundo	virtual	sem	o	risco	e	o	custo	de	interferir	no	mundo	real.
O	 livro	Teoria	das	 filas	e	da	simulação	do	Prof.	Darci	Prado,	é	uma	 importante
contribuição	a	todos	que	desejam	ter	um	primeiro	contato	com	esses	poderosos
instrumentos	capazes	de	propiciar	maior	 segurança	no	processo	de	 tomada	de
decisão.	O	autor	apresenta	de	forma	clara	e	didática,	com	exemplos	práticos,	os
fundamentos	 dos	 principais	 aspectos	 da	 Teoria	 das	 filas	 e	 da	 simulação,
permitindo	ao	leitor	uma	visão	global.	O	objetivo	é	formar	uma	base	que	propicie
abordar	problemas	reais	em	sua	vida	profissional.
O	Prof.	Darci	Prado	demostra	neste	 livro	 toda	a	sua	experiência	obtida	com	o
contado	direto	com	a	realidade	industrial,	além	de	anos	dedicados	ao	ensino	de
pesquisa	operacional	na	Universidade	Federal	de	Minas	Gerais.
Tenho	certeza	de	que	será	muito	útil	e	fascinante	conhecer	o	mundo	da	teoria	das
filas	e	da	simulação.
Belo	Horizonte,	28	de	novembro	de	2013
Dr.	Luiz	Claudio	Monteiro	Montenegro
Professor	da	Universidade	Federal	de	Minas	Gerais
Prefácio
A	 teoria	 das	 filas	 e	 a	 teoria	 da	 simulação	 são	 técnicas	 de	 planejamento	 que
surgiram	 no	 início	 do	 século	 XX	 e	 atualmente,	 constituem	 a	 base	 teórica	 de
programas	de	computador	relacionados	com	simulação.
A	abordagem	deste	livro	contempla	preferencialmente	os	aspectos	de	modelagem
ou	 aplicações	 práticas	 das	 teorias.	 Assim,	 fugimos	 das	 pesadas	 deduções	 de
fórmulas	baseadas	em	estatística	e	probabilidades,	prática	comum	em	livros	que
tratam	desses	temas.	Isso	nos	pareceu	apropriado	tendo	em	vista	o	público-alvo
deste	 livro:	 estudantes	 de	 graduação	 e	 profissionais	 da	 indústria.	 Portanto,
esperamos	 que,	 com	 a	 ajuda	 deste	 livro,	 o	 leitor	 possa	 compreender	 essas
teorias,	 analisar	 e	 resolver	 alguns	 problemas	 de	 filas	 e	 de	 simulação	 de
complexidade	simples	e/ou	média.	Principalmente,	esperamos	que	adquira	uma
base	mais	 sólida	 para	melhor	 explorar	 os	 recursos	 dos	 softwares	 de	 simulação
disponíveis	no	mercado.
Aos	professores	que	desejarem	adotar	este	livro	em	seus	cursos,	acrescentamos
que	 existem	 as	 seguintes	 opções	 de	 abordagem:	 (a)	 em	 sua	 totalidade;	 (b)
Capítulos	1,	2,	3,	5,	6,	7	e	9;	(c)	Capítulos	1,	2	e	3.
Este	livro	é	o	resultado	de	uma	longa	vivência	com	o	assunto	(desde	1972)	como
professor	 na	 Escola	 de	 Engenharia	 da	UFMG	e	 como	 consultor	 ou	 analista	 de
sistemas	na	IBM,	DPI,	FCO,	FDG,	INDG	e	FALCONI.
Agradecemos	a	preciosa	ajuda	de	Alceu	Lotta	Júnior	pela	revisão	de	conteúdo	e
ao	Jeferson	Teixeira	Soares	pelos	trabalhos	de	editoração	e	revisão.
Darci	Prado
Belo	Horizonte	(MG)
1ª	edição	–	Maio	1999
5ª	edição	–	Maio	2014
Capítulo	1
Modelagem	de	sistemas
1	Modelagem	de	sistemas
Ao	efetuar	certos	 tipos	de	estudos	de	planejamento,	é	comum	depararmos	com
problemas	de	dimensionamento	ou	fluxo	cuja	solução	é	aparentemente	complexa.
O	 cenário	 pode	 ser	 a	 linha	 de	 produção	 de	 uma	 fábrica,	 o	 trânsito	 de	 uma
cidade,	 o	 fluxo	 de	 documentos	 em	 um	 escritório,	 o	 movimento	 de	 navios	 e
cargas	em	um	porto,	o	movimento	de	veículos,	equipamentos	e	minério	em	uma
mineração,	etc.	Esses	estudos	podem	ser	efetuados	para	obter	modificações	de
layout,	 ampliações	 de	 fábricas,	 troca	 de	 equipamentos,	 reengenharia,
automatização,	dimensionamento	de	uma	nova	fábrica,	etc.	Geralmente	estamos
interessados	em	dimensionar:
A	 quantidade	 correta	 de	 equipamentos	 (máquinas,	 veículos,	 etc.)	 e	 de
pessoas;
O	 melhor	 layout	 e	 o	 melhor	 fluxo	 dentro	 do	 sistema	 que	 está	 sendo
analisado.
Assim,	dado	um	objetivo	de	produção	ou	de	qualidade	de	atendimento,	o	estudo
vai	 procurar	 definir	 a	 quantidade	 adequada	 de	 atendentes	 (equipamentos,
veículos,	pessoas,	etc.)	que	devem	ser	colocados	em	cada	estação	de	trabalho,
assim	como	o	melhor	layout	e	o	melhor	fluxo.	Ou	seja,	desejamos	que	o	sistema
tenha	 um	 funcionamento	 eficiente.	 Algumas	 vezes	 procuramos	 uma	 solução
otimizada;	 outras	 vezes	 apenas	 a	 mais	 adequada.	 Assim,	 um	 estudo	 pode
procurar	 a	melhor	 qualidade	 do	 serviço	 prestado	 a	 qualquer	 custo	 ou	 o	menor
custo	dentro	de	uma	faixa	aceitável	de	qualidade	para	o	serviço	prestado.
O	 ponto	 de	 partida	 de	 qualquer	 estudo	 geralmente	 é	 a	 correta	 escolha	 da
qualidade	 esperada	 do	 atendimento.	 Outros	 variáveis	 importantes	 são	 os
recursos	 disponíveis	 e	 as	 limitações	 de	 funcionamento.Qualquer	 que	 seja	 o
objetivo	 do	 nosso	 trabalho,	 a	 modelagem	 é	 feita	 de	 modo	 que	 não	 exista
nenhum	gargalo,	ou	seja,	um	ponto	de	estrangulamento	no	fluxo	que	implica	uma
perda	inaceitável	para	o	sistema	como	um	todo.
Dizemos	que	um	sistema	ou	processo	adequadamente	dimensionado
(sem	nenhum	gargalo)	está	balanceado.
É	 importante	 destacar	 que	 um	 sistema	 balanceado	 (balanced	 system)	 não	 é
obrigatoriamente	um	sistema	otimizado:	garante-se	apenas	a	prestação	de	uma
certa	qualidade	de	atendimento,	mas	não	o	atendimento	ótimo.	Eventualmente	um
sistema	 balanceado	 pode	 estar	 também	 otimizado	 relativamente	 a	 custo,
benefícios	ou	qualidade	do	serviço	prestado.
Chamamos	tais	estudos	de	modelagem	de	sistemas.	Conforme
veremos	nos	capítulos	subsequentes,	o	objetivo	da	modelagem	de
sistemas	é,	conhecendo	o	cenário,	as	características	e	as	necessidades
de	todos	os	envolvidos,	obter	o	melhor	dimensionamento.
Um	 importante	 componente	 dos	 sistemas	 são	 as	 filas.	 Quando	 alguma	 delas
assume	valores	além	dos	adequados,	passam	a	constituir	gargalos.
1.1	O	que	são	filas?
Qualquer	 pessoa	 sabe	 exatamente	 o	 que	 são	 filas,	 em	 decorrência	 das
experiências	 que	 o	 dia	 a	 dia	 nos	 coloca.	 Nós	 entramos	 em	 uma	 fila	 para
descontar	 um	 cheque	 em	 um	 banco,	 para	 pagar	 as	 compras	 em	 um
supermercado,	para	comprar	ingresso	em	um	cinema,	para	pagar	o	pedágio	em
uma	 estrada	 e	 tantas	 outras	 situações.	 Filas	 existem	 também	 em	 ambientes	 de
produção,	 tais	 como	 de	 lingotes	 aquecidos	 em	 uma	 aciaria,	 esperando	 pelo
serviço	 de	 lingotamento	 ou	 caminhões	 em	 uma	mineração,	 esperando,	 junto	 a
uma	carregadeira,	a	vez	de	serem	carregados	com	minério.
Algumas	 vezes	 as	 filas	 são	 algo	 abstrato,	 tais	 como	 uma	 lista	 no	 computador
referentes	a	pedidos	de	manufatura	em	uma	fábrica	de	geladeiras	ou	uma	pilha	de
papéis	 referentes	 a	 solicitações	 de	 reparos	 de	máquinas	 estragadas	 dentro	 de
uma	fábrica,	que	devem	aguardar	a	disponibilidade	do	reparador.	Outras	vezes	a
fila	 não	 é	 vista	 "enfileirada",	 mas	 sim	 dispersa,	 por	 exemplo,	 pessoas	 em	 uma
barbearia,	 esperando	 pela	 vez	 de	 cortar	 o	 cabelo,	 aviões	 sobrevoando	 um
aeroporto,	esperando	para	aterrissar	ou	navios	parados	no	mar,	esperando	a	vez
de	atracar	no	porto	para	descarregar.
Uma	 área	 de	 muita	 importância	 surgiu	 nas	 últimas	 décadas:	 filas	 em
computadores.	Aqui	temos	filas	de	programas	esperando	por	espaço	na	memória,
ou	para	serem	atendidos	pela	UCP	(unidade	central	de	processamento)	ou	para
buscar	um	registro	de	dados	em	um	disco	magnético,	ou	para	terem	acesso	a	um
servidor	por	meio	da	rede.
Filas	não	são	simpáticas
Certamente	não	é	agradável	entrar	em	uma	fila	e	esperar	pelo	serviço	(o	ideal	é
chegar	ao	local	de	serviço	e	ser	imediatamente	atendido).	E	quando	a	espera	é
longa,	 ficamos	aborrecidos	 (algumas	pessoas	 ficam	profundamente	 irritadas).	Se
estamos	em	uma	fila,	passamos	a	comparar	o	desempenho	da	nossa	fila	com	o
das	outras	e	geralmente	somos	levados	a	pensar	como	uma	das	leis	de	Murphy:
Lei	de	Murphy:
"a	fila	que	anda	é	a	outra,	mas	não	adianta	trocar	de	fila	pois	a	fila	que
anda	é	a	outra".
Como	consequência	de	nossas	amargas	experiências,	tomamos	algumas	atitudes,
tais	como	não	mais	comprar	em	um	supermercado,	mudar	a	conta	bancária	para
outra	agência	 (ou	banco),	etc.	Vistas	pelo	ângulo	das	empresas,	essas	atitudes
significam	perda	de	negócio.
Filas	são	dispendiosas
Além	de	não	serem	simpáticas,	as	filas	têm	ainda	o	lado	desfavorável	do	custo.
Isso	é	válido	em	qualquer	ambiente:	de	fábricas	a	supermercados.	Por	exemplo,
nas	fábricas	a	existência	de	fila	em	um	equipamento	pode	ocasionar	aumento	nos
tempos	do	ciclo	de	produção.	As	consequências	disso	podem	ser	aumento	nos
custos	e	atrasos	no	atendimento	aos	pedidos	dos	clientes.
1.2	Procurando	o	melhor	dimensionamento
Do	 ponto	 de	 vista	 do	 cliente,	 o	 ideal,	 conforme	 dissemos,	 seria	 dimensionar
sistemas	 para	 a	 não	 existência	 de	 filas,	 e	 se	 isso	 realmente	 fosse	 possível,
certamente	não	teríamos	clientes	aborrecidos.
O	salão	de	cabeleireiro
Imagine	um	salão	de	cabeleireiro	com	três	barbeiros,	onde	constatamos	fila	nas
diversas	vezes	que	o	frequentamos.	Se	fizermos	essa	afirmação	ao	proprietário,
sugerindo	 um	 aumento	 na	 quantidade	 de	 barbeiros,	 ele	 possivelmente	 nos
contestará	dizendo	que,	para	não	haver	 filas,	seriam	necessários	cinco	ou	mais
barbeiros	e	que,	então,	muitos	deles	ficariam	ociosos	grande	parte	do	tempo	e,
portanto,	 não	 ganhariam	 dinheiro	 suficiente	 para	 sobreviver.	 Talvez	 até	 o
proprietário	 diga	 que	 a	 situação	 atual	 está	 sob	 controle	 e	 que	 os	 atuais	 três
barbeiros	representam	o	melhor	dimensionamento	com	o	qual	os	clientes	esperam
um	tempo	considerado	tolerável.	Ele	poderá	ainda	dizer	ter	observado	que	alguns
dias	aparecem	muitos	clientes,	o	que	faz	com	que	alguns	deles	desistam	de	cortar
o	 cabelo,	 mas	 que	 acabam	 voltando	 outro	 dia.	 Se	 esse	 fato	 começar	 a	 ficar
frequente,	 ele	 pretende	 contratar	 mais	 um	 ou	 dois	 barbeiros,	 e	 tudo	 voltará	 a
funcionar	de	uma	forma	aceitável.
Nesse	exemplo,	o	dimensionamento	(intuitivo)	foi	feito	com	base:
Na	demanda	histórica	média;
Na	 expectativa	 de	 qualidade	 de	 atendimento	 por	 parte	 dos
clientes;
Na	necessidade	de	oferecer	uma	certa	renda	aos	funcionários;
Na	percepção,	pelo	proprietário,	da	fidelidade	dos	clientes;
Na	percepção,	pelo	proprietário,	de	que	não	existe	nenhuma
ameaça	de	surgimento	de	um	novo	concorrente	na	vizinhança.
A	situação	acima	se	espelha	em	muitas	outras	na	vida	real:	apesar	de	não	serem
simpáticas	e	de	causarem	prejuízos,	 temos	que	conviver	com	 filas	na	vida	 real,
visto	 ser	 antieconômico	 superdimensionar	 um	 sistema	 para	 que	 nunca	 existam
filas.	 O	 que	 se	 tenta	 obter	 é	 um	 balanceamento	 adequado	 que	 permita	 um
atendimento	aceitável	pelo	melhor	custo	e	melhor	benefício.
O	computador	central
Certamente	 existem	 situações	 em	 que	 o	 dimensionamento	 deve	 ser	 feito	 pelo
pico	da	demanda.	É	o	caso	de	computadores	centrais	(main-frames)	com	milhares
de	 terminais	 que	 são	 acessados	 por	 diversos	 usuários	 simultaneamente.
Considere,	 por	 exemplo,	 os	 computadores	 centrais	 das	 empresas	 de	 aviação,
com	milhares	de	terminais	em	aeroportos	e	postos	de	vendas	de	passagens.	Se	o
atendimento	não	for	imediato	para	todos	os	clientes	em	todos	os	dias,	a	imagem
da	 empresa	 poderá	 ficar	 seriamente	 abalada.	 Aqui	 o	 dimensionamento	 é	 feito
pelo	pico	da	demanda.
1.3	Teoria	das	filas	e	simulação
A	 modelagem	 de	 sistemas	 pode	 ser	 feita	 por	 duas	 abordagens	 inteiramente
diferentes	entre	si:	teoria	das	filas	e	simulação,	esta	última	a	mais	utilizada.
A	 teoria	 das	 filas	 é	 um	método	 analítico	 que	 aborda	 o	 assunto	 por	 meio	 de
fórmulas	matemáticas.	 Já	a	simulação	é	uma	 técnica	que,	usando	o	computador
digital,	procura	montar	um	modelo	que	melhor	represente	o	sistema	em	estudo.
Simulação,	 como	 o	 próprio	 nome	 indica,	 é	 uma	 técnica	 que	 permite	 imitar	 o
funcionamento	 de	 um	 sistema	 real.	 Os	 modernos	 programas	 de	 computador
permitem	construir	modelos	nos	quais	é	possível	visualizar	na	tela	o	funcionamento
do	sistema	em	estudo	tal	como	em	um	filme.	Podemos	visualizar	o	funcionamento
de	um	banco,	uma	fábrica,	um	pedágio,	um	porto,	um	escritório,	etc.,	tal	como	se
estivéssemos	em	uma	posição	privilegiada	em	cada	um	desses	cenários.	Antes
de	 efetuar	 alterações	 em	 uma	 fábrica	 real,	 podemos	 interagir	 com	 uma	 fábrica
virtual.	A	junção	da	tradicional	teoria	da	simulação	com	as	técnicas	modernas	de
computação	e	jogos	(tais	como	video	games)	tem	possibilitado	esses	avanços.
1.4	Aspectos	históricos
Teoria	das	filas
A	abordagem	matemática	de	filas	se	iniciou	no	princípio	do	século	XX	(1908)	em
Copenhague,	 Dinamarca,	 com	 A.	 K.	 Erlang,	 considerado	 o	 pai	 da	 teoria	 das
filas,	quando	trabalhava	em	uma	companhia	telefônica	estudando	o	problemade
redimensionamento	 de	 centrais	 telefônicas.	 Foi	 somente	 a	 partir	 da	 Segunda
Guerra	Mundial	que	a	teoria	foi	aplicada	a	outros	problemas	de	filas.	Apesar	do
enorme	 progresso	 alcançado	 pela	 teoria,	 inúmeros	 problemas	 não	 são
adequadamente	resolvidos	por	causa	de	complexidades	matemáticas.
Simulação
Com	o	 surgimento	do	computador	na	década	de	1950,	a	modelagem	de	 filas
pode	ser	analisada	pelo	ângulo	da	simulação,	em	que	não	mais	se	usam	fórmulas
matemáticas,	 mas	 apenas	 se	 tenta	 imitar	 o	 funcionamento	 do	 sistema	 real.	 As
linguagens	 de	 simulação	 apareceram	 na	 década	 de	 1960	 e	 hoje,	 graças	 aos
microcomputadores,	 podem	 ser	 facilmente	 usadas.	 A	 técnica	 de	 simulação
visual,	 cujo	 uso	 se	deu	a	partir	 da	década	de	1980,	por	 causa	de	 sua	maior
capacidade	 de	 comunicação,	 teve	 uma	 aceitação	 surpreendente.	 Além	 disso,
por	apresentar	um	menor	nível	de	complexidade,	seu	uso	cresceu	enormemente.
O	ensino	dessa	 técnica	ainda	 se	 concentra	em	escolas	de	graduação,	mas	 já
tem	havido	iniciativas	em	cursos	técnicos.
Algumas	linguagens	são	mundialmente	conhecidas	como	Arena,
ProModel,	Automod,	Taylor,	Gpss,	Gasp,	Simscript,	Siman,	etc.
1.5	Aplicações	de	modelagem	de	sistemas
A	modelagem	de	 sistemas	 tem	 inúmeras	 aplicações	 no	mundo	atual,	 nas	 áreas
mais	 diversas,	 que	 vão	 desde	 o	 setor	 de	 produção	 em	 uma	manufatura	 até	 o
movimento	de	papéis	em	um	escritório.	Costuma-se	dizer	que	“tudo	que	pode	ser
descrito	pode	ser	simulado”.
Linhas	de	produção
Essa	 é	 a	 área	 que	 tem	 apresentado	 a	 maior	 quantidade	 de	 aplicações	 de
modelagem.	 Inúmeros	 cenários	 se	 encaixam	 nesse	 item,	 desde	 empresas
manufatureiras	até	minerações.	Os	seguintes	casos	podem	ser	analisados:
a.	 Modificações	 em	 sistemas	 existentes,	 tais	 como	 as	 produzidas	 pela
expansão	 da	 atual	 produção,	 pela	 troca	 de	 equipamentos	 ou	 pela
adição	de	novos	produtos,	que	vão	afetar	a	dinâmica	do	atual	processo.
Pode-se	 antecipar	 onde	 serão	 formados	 os	 gargalos	 oriundos	 de
modificações	 no	 sistema	 existente.	 Pela	 introdução	 de	 modificações
apropriadas	 (tais	 como	 modificações	 no	 fluxo,	 alterações	 na
programação	das	atividades	ou	pela	adição	de	novas	facilidades),	após
algumas	 tentativas,	pode-se	chegar	ao	melhor	modelo	que	 incorpore	as
modificações	requeridas.
b.	 Um	setor	de	produção	totalmente	novo	pode	ser	planejado,	obtendo	se
o	melhor	fluxo	dentro	dele.
c.	 A	melhor	política	de	estoques	pode	ser	obtida	por	meio	de	simulação.	O
modelo	 deve	 incluir	 a	 função	 "solicitação	 de	 material"	 e	 a	 função
"atendimento	pelos	fornecedores".	Como	resultado	se	obtém	o	"ponto	de
pedido"	e	a	"quantidade	do	pedido".
Transportes
A	 modelagem	 de	 filas	 tem	 sido	 usada	 nos	 transportes	 ferroviário,	 rodoviário,
marítimo	e	no	transporte	por	elevadores.
No	transporte	ferroviário,	o	pátio	de	consertos	e	serviços	apresenta	problemas
interessantes,	que	incluem	o	número	e	a	localização	dos	desvios	e	alocação	de
máquinas	 de	 serviço	 (com	 base	 em	 uma	 tabela	 de	 trens	 e	 carros	 a	 serem
removidos	 ou	 adicionados),	 além	 da	 tabela	 de	 horários	 de	 trens	 diretos	 que
passam	pelo	local.	Por	outro	lado,	o	sistema	ferroviário	pode	ser	analisado	como
um	todo,	com	o	objetivo	de	minimizar	o	movimento	de	carros	vazios.
No	transporte	marítimo	e	aéreo	as	aplicações	se	referem	à	confecção	da	tabela
de	horários	e	ao	dimensionamento	de	portos	e	aeroportos.
No	modelo	 rodoviário	 é	 possível	 dimensionar	 um	 pedágio	 ou	 estabelecer	 o
melhor	esquema	do	fluxo	de	veículos	pelas	ruas	de	uma	cidade,	com	as	durações
dos	 semáforos,	 de	 modo	 a	 melhorar	 o	 serviço,	 agilizando	 o	 sistema	 e,
consequentemente,	diminuindo	os	gastos	com	combustível.
No	modelo	de	elevadores	é	possível	minimizar	o	tempo	de	espera	e	o	custo	de
movimentação	dos	elevadores,	pois	quanto	mais	paradas	ocorrem	entre	andares,
maior	 o	 custo.	 A	 partir	 da	 distribuição	 de	 chegada	 de	 pessoas	 aos	 vários
andares,	 juntamente	 com	 seus	 destinos,	 é	 possível	 utilizar	 um	 modelo	 para
determinar	o	número	de	elevadores	em	 funcionamento	para	atender	a	um	dado
padrão	de	serviço.
Comunicações
Uma	ampla	 variedade	 de	 problemas	 de	 comunicação	 pode	 ser	 analisada	 pela
modelagem	de	filas.	A	configuração	ótima	de	uma	rede	de	comunicações	pode
ser	 modelada.	 Informações	 sobre	 o	 tempo	 de	 resposta	 e	 sobre	 chamadas
perdidas	podem	ser	obtidas.	Regras	para	análise	de	rotas	alternadas	podem	ser
comparadas,	 e	 um	estudo	econômico	pode	avaliar	o	 valor	de	concentradores,
canalizadores	de	linha,	etc.	Empresas	de	telefonia	podem	fazer	proveitosos	usos
dessa	técnica	no	estudo	de	seus	complexos	de	comunicações.
Bancos,	supermercados,	escritórios,	etc.
Pela	simulação	pode-se	dimensionar	o	número	de	caixas	de	modo	que	as	filas	se
mantenham	abaixo	de	um	valor	especificado.	Pode-se	 também	avaliar	o	uso	de
caixas	 especiais,	 tais	 como	 "caixas	 rápidos"	 dos	 supermercados.	No	 caso	 de
bancos	 o	 uso	 de	 "fila	 única"	 pode	 trazer	 um	 melhor	 atendimento	 aos	 clientes,
apesar	de	poder	assustar	pelo	tamanho	que	geralmente	costuma	ter.
Confiabilidade
A	 confiabilidade	 (ou	 disponibilidade)	 de	 um	 sistema	 complexo	 frequentemente
deve	 satisfazer	 rigorosas	 necessidades.	 Isso	 é	 bastante	 válido	 para	 sistemas
militares	 ou	 de	 computadores	 on	 line.	 A	 simulação	 é	 uma	 excelente	 ferramenta
para	 se	 obter	 uma	 medição	 quantitativa	 da	 confiabilidade	 do	 sistema	 se	 as
características	dos	componentes	 individuais	 são	conhecidas.	Especificamente	o
tempo	médio	de	falha	e	o	tempo	médio	de	reparo	de	cada	componente	devem
ser	 conhecidos,	 em	 adição	 ao	 tempo	 necessário	 para	 substituir	 cada
componente.	 Um	 planejamento	 de	 manutenção	 preventiva	 pode	 também	 ser
construído	por	meio	da	simulação.	Por	meio	de	diversas	tentativas	no	modelo,	os
componentes	vitais	de	estoque	podem	ser	determinados.	Isso	pode	ser	feito	para
diferentes	requisitos	de	disponibilidade	do	sistema	e,	então,	obtém-se	a	relação
entre	 disponibilidade	 e	 custo	 total.	 A	 validade	 da	 duplicação	 de	 certos
componentes	do	sistema	também	pode	ser	testada.	Modelos	dessa	natureza	têm
sido	 usados	 para	 testes	 dos	 mais	 diversos	 sistemas,	 desde	 sistemas	 de
processamento	de	dados	até	esquadrões	aéreos.
Processamento	de	dados
A	 modelagem	 de	 filas	 tem	 sido	 amplamente	 usada	 pelas	 empresas	 que
desenvolvem	 computadores	 e	 pelas	 universidades	 de	 modo	 a	 medir	 a
produtividade	 ou	 o	 tempo	 de	 resposta	 de	 certo	 sistema	 de	 computadores	 e
terminais.	A	área	de	teleprocessamento	tem	inúmeras	opções	de	uso.	Outra	área
que	 está	 se	 tornando	 popular	 na	 comunidade	 de	 informática	 é	 o	 estudo	 de
performance	e	de	capacidade,	pois	por	meio	dele	é	possível	identificar	gargalos
e	indicar	opções	de	crescimento.
Capítulo	2
Filas:	conceitos	básicos	(I)
2	Filas:	conceitos	básicos	(I)
2.1	Elementos	de	uma	fila
Na	FIG.	2.1	vemos	os	elementos	que	compõem	uma	 fila.	Nela	 temos	que,	de
uma	 certa	 população,	 surgem	 clientes	 que	 formam	 uma	 fila	 e	 aguardam	 por
algum	 tipo	 de	 serviço.	 O	 termo	 cliente	 é	 usado	 de	 forma	 genérica	 e	 pode
designar	 tanto	uma	pessoa,	um	navio	ou	um	 lingote.	Como	sinônimo	de	cliente
usa-se	também	o	termo	"transação"	ou	“entidade”.	O	atendimento	é	constituído
de	um	ou	mais	servidores	 (que	podem	ser	chamados	de	atendentes	ou	canais
de	serviço)	 e	 tanto	pode	designar	 um	barbeiro,	 um	cais	de	atracação	ou	 uma
máquina	de	lingotamento.
FIGURA	2.1	–	Elementos	de	uma	fila
2.2	Características	de	uma	fila
Antes	 de	 observar	 uma	 fila	 em	 funcionamento,	 vamos	 conceituar	 melhor	 alguns
termos	da	teoria	das	filas.
2.2.1	Clientes	e	tamanho	da	população
Um	 cliente	 é	 proveniente	 de	 uma	 população.	 Quando	 a	 população	 é	 muito
grande	(dizemos	infinita	para	efeitos	práticos),	a	chegada	de	um	novo	cliente	a
uma	 fila	 não	 afeta	 a	 taxa	 de	 chegada	 de	 clientes	 subsequentes,	 e	 concluímosdizendo	 que	 as	 chegadas	 são	 independentes.	 Como	 exemplo,	 citamos	 o
funcionamento	de	um	metrô.	Quando	a	população	é	pequena,	o	efeito	existe	e
pode	ser	considerável.	Como	exemplo	extremo,	podemos	citar	uma	mineração,
na	qual	uma	carregadeira	carrega	minério	em	caminhões	que	chegam.	Se	existem
3	caminhões	e,	se	ocorrer	que	todos	eles	estejam	na	fila	da	carregadeira,	então
não	chegará	mais	nenhum	outro	caminhão	à	carregadeira.
2.2.2	Processo	de	chegada
Consideremos	como	exemplo	um	posto	de	pedágio	com	5	atendentes.	Podemos
constatar,	por	exemplo,	que	o	processo	de	chegada	entre	7	e	8	horas	da	manhã
pode	 ser	 definido	 por	 20	 automóveis	 por	 minuto	 ou	 1	 automóvel	 a	 cada	 3
segundos.	Trata-se	de	um	valor	médio,	pois	não	significa	que	em	todo	intervalo
de	1	minuto	chegarão	20	automóveis.	Em	alguns	intervalos	de	1	minuto	pode-se
constatar	a	chegada	de	10,	15,	25	ou	até	mesmo	30	automóveis.	Igualmente,	o
intervalo	 de	 3	 segundos	 entre	 chegadas	 não	 é	 rígido,	 e	 podemos	 constatar
valores,	por	exemplo,	desde	zero	segundo	(2	veículos	chegando	juntos)	até	20
segundos.	O	número	fornecido,	3	segundos,	representa,	assim,	o	intervalo	médio
entre	chegadas	no	período	de	7	as	8	horas	da	manhã.
Resumindo	 as	 afirmações	 acima,	 podemos	 quantificar	 o	 processo	 de	 chegada
dizendo	que	a	 taxa	média	de	chegada	é	de	20	veículos	por	minuto	ou	que	o
intervalo	médio	entre	chegadas	é	de	3	segundos.
Poderíamos	 encontrar	 outro	 sistema	de	 filas	 que	possui	 exatamente	 os	mesmos
valores	médios	acima	citados	mas	com	diferentes	variações	no	entorno	da	média
(por	exemplo,	uma	situação	em	que	se	observa	que	os	intervalos	entre	chegadas
estão	 entre	 0	 e	 10	 segundos).	 Esse	 sistema,	 conforme	 veremos,	 terá	 um
comportamento	 diferente	 do	 primeiro,	 e	 concluímos	 dizendo	 que	 não	 basta
apenas	 fornecer	 os	 valores	 médios:	 é	 necessário	 também	 mostrar	 como	 os
valores	se	distribuem	em	 torno	da	média.	Assim,	para	caracterizar	corretamente
um	processo	de	chegada	devemos	lançar	mão	de	uma	distribuição	de	frequência,
como	a	distribuição	normal,	a	de	Poisson,	a	exponencial,	etc.
Um	tipo	raro	de	processo	de	chegada	é	o	regular,	ou	seja,	aquele	em	que	não
existe	 nenhuma	 variação	 entre	 os	 valores	 para	 os	 intervalos	 entre	 chegadas.
Nesta	situação,	se	dissermos	que	o	intervalo	entre	chegadas	é	de	10	segundos,
teremos	 que	 rigorosamente	 a	 cada	 10	 segundos	 chega	 um	 novo	 cliente.	 Essa
situação	ocorre	apenas	em	processos	altamente	automatizados.
Resumindo,	 quando	 se	 estudam	 filas,	 o	 ritmo	 de	 chegada	 é	 uma	 importante
variável	 randômica.	 Para	 quantificar	 essa	 variável,	 se	 usa	 a	 letra	 grega	 λ	 para
significar	 ritmo	 médio	 de	 chegada	 e	 se	 usa	 IC	 para	 intervalo	 médio	 entre
chegadas.	Assim,	no	primeiro	exemplo	acima	teremos:
λ	=	20	clientes	por	minuto
IC	=	3	segundos
Existem	situações	em	que	o	ritmo	de	chegada	sofre	variações	durante	o	dia.	Por
exemplo,	 em	 um	 banco	 a	 chegada	 de	 clientes	 é	 mais	 intensa	 no	 período	 do
almoço.	Este	aspecto	será	abordado	no	item	2.5.
2.2.3	Processo	de	atendimento
Continuando	 no	 exemplo	 do	pedágio	 e	 observando	 um	atendente	 em	 serviço,
podemos	constatar,	por	exemplo,	que	ele	atende	6	veículos	por	minuto	ou	que
gasta	10	segundos	para	atender	um	veículo.	Esses	valores	são	médios	e,	para
descrevê-los	 corretamente,	 devemos	 também	 lançar	 mão	 da	 distribuição	 de
probabilidades.	Aqui	também	é	rara	a	existência	prática	de	atendimento	regular,
ou	seja,	existe	um	único	valor	(sem	variação)	para	a	duração	do	atendimento.
O	processo	de	atendimento	é	também	quantificado	por	uma	importante	variável
randômica.	A	letra	grega	μ	é	usada	para	significar	ritmo	médio	de	atendimento,	e
se	usa	TA	para	tempo	ou	duração	média	do	serviço	ou	atendimento.	Assim,	no
exemplo	acima	teremos:
μ	=	6	clientes	por	minuto
TA	=	10	segundos	por	cliente
2.2.4	Número	de	servidores
O	mais	simples	sistema	de	filas	é	aquele	de	um	único	servidor	que	pode	atender
a	 um	 único	 cliente	 de	 cada	 vez.	 Conforme	 aumente	 o	 ritmo	 de	 chegada,
podemos	manter	a	qualidade	do	serviço	aumentando	convenientemente	o	número
de	servidores.	Essa	é,	portanto,	uma	das	características	de	uma	fila	que	podemos
utilizar	para	modelar	um	sistema	de	filas.	Na	FIG.	2.1	temos	3	servidores.
2.2.5	Disciplina	da	fila
Trata	se	da	regra	que	define	qual	o	próximo	a	ser	atendido,	e	o	comum	é	que	o
primeiro	da	fila	é	atendido	ou,	de	uma	maneira	mais	ampla,	o	“primeiro	a	chegar
é	 o	 primeiro	 a	 ser	 atendido"	 (em	 inglês	 se	 diz	 FIFO:	 First	 In	 First	Out).	 Outras
disciplinas	podem	existir,	tais	como	"último	a	chegar	primeiro	a	ser	atendido"	(em
inglês	 se	 diz	 LIFO:	 Last	 In	 First	Out),	 serviço	 por	 ordem	 de	 prioridade,	 serviço
randômico,	etc.
2.2.6	Tamanho	médio	da	fila
Esta	 é	 certamente	 a	 característica	 da	 fila	 que	 mais	 consideramos	 ao	 nos
defrontarmos	com	a	opção	de	escolher	uma	fila.	Considere-se	a	situação	de	um
cliente	em	um	supermercado	procurando	efetuar	o	pagamento	no	caixa	de	menor
fila:	o	ideal	é	chegar	e	ser	atendido	(fila	zero).	Quando	a	fila	é	de	um	tamanho
razoável	(digamos	10	elementos)	intuitivamente	sabemos	que	o	tempo	de	espera
na	fila	será	longo.	Assim,	o	supermercado	dimensiona	a	quantidade	de	caixas	de
modo	que,	a	qualquer	momento,	os	clientes	não	sintam	um	grande	desconforto	ao
pegar	 uma	 fila.	 Situações	 atípicas	 certamente	 ocorrerão,	 mas	 não	 afetarão	 a
credibilidade	da	instituição.
2.2.7	Tamanho	máximo	da	fila
Quando	 os	 clientes	 devem	 esperar,	 alguma	 área	 de	 espera	 deve	 existir	 (por
exemplo:	 as	 cadeiras	 de	 uma	 barbearia).	 Observa-se,	 na	 vida	 real,	 que	 os
sistemas	existentes	são	dimensionados	para	certa	quantidade	máxima	de	clientes
em	espera,	e	esse	dimensionamento	geralmente	é	feito	com	base	em	experiência
real.	Quando	existe	um	crescimento	na	demanda,	se	faz	uma	ampliação	também
baseada	 na	 experiência	 com	 o	 manuseio	 do	 sistema.	 Observam-se	 também
casos	 em	 que	 um	 novo	 cliente	 que	 chega	 pode	 ser	 recusado,	 devendo	 tentar
novamente	 em	 outro	 instante	 (exemplo:	 tentativa	 de	 conseguir	 uma	 linha
telefônica,	recebendo	o	sinal	de	"ocupado"	ou	de	que	não	há	linha	disponível).
As	considerações	anteriores	se	referem	ao	que	chamamos	de	"tamanho	máximo
da	fila",	importante	etapa	do	estudo	de	um	sistema	de	filas.	Tanto	pode	se	referir
a	uma	área	de	espera	para	caminhões	que	vão	se	abastecer	de	combustível	em
uma	 refinaria	como	a	um	buffer,	onde	 transações	de	consulta	a	um	computador
devem	esperar	antes	de	serem	atendidas.
2.2.8	Tempo	médio	de	espera	na	fila
Esta	é	outra	característica	capaz	de	nos	causar	irritação	quando	estamos	em	uma
fila	de	espera.	O	ideal	é	que	não	haja	tempo	de	espera,	mas	esta	nem	sempre	é
a	melhor	situação	do	ponto	de	vista	econômico.	Se	entrarmos	numa	fila	com	10
pessoas	à	nossa	frente,	o	tempo	de	espera	será	igual	ao	somatório	dos	tempos
de	atendimento	de	cada	um	dos	clientes	à	nossa	frente	ou,	possivelmente,	será
igual	a	10	vezes	a	duração	média	de	atendimento.	Tal	como	o	tamanho	médio
da	 fila,	 o	 tempo	médio	 de	 espera	 depende	 dos	 processos	 de	 chegada	 e	 de
atendimento.
2.3	Variáveis	randômicas
Conforme	você	pôde	observar,	quando	nos	referimos	a	filas,	utilizamos	variáveis
randômicas.	 Assim,	 para	 as	 principais	 variáveis	 há	 um	 valor	 médio	 e	 uma
distribuição	 de	 probabilidades,	 que	 mostra	 as	 chances	 de	 ocorrências	 dos
valores.
Um	exemplo:	quando	afirmamos	que	a	duração	média	do	atendimento	é	de	10
segundos,	 não	estamos	dizendo	que	 todo	atendimento	é	de	10	 segundos.	Em
diferentes	momentos	de	observação	você	pode,	por	exemplo,	constatar	que	um
atendimento	 gastou	 20	 segundos,	 outro	 gastou	 8	 segundos,	 um	 outro	 12
segundos,	 etc.	 Caso	 fosse	 coletada	 uma	 grande	 quantidade	 de	 dados,
poderíamos	 deduzir	 que	 existe	 um	 padrão	 de	 atendimento	 expresso	 por	 uma
distribuição	de	probabilidades,	tal	como	mostrada	na	FIG.	2.2.	Por	ela	podemos
constatar	que:
É	nula	aprobabilidade	de	atender	um	cliente	em	menos	de	5	segundos.
A	probabilidade	de	atender	um	cliente	em	10	segundos	é	de	18%.
A	probabilidade	de	atender	um	cliente	em	25	segundos	é	0,5%.
FIGURA	2.2	–	Variável	randômica:	a	duração	do	atendimento
A	 mesma	 observação	 poderia	 ser	 feita	 para	 o	 tamanho	 médio	 de	 uma	 fila.
Assim,	 quando	 dizemos	 que	 o	 tamanho	 médio	 é	 de	 5	 clientes,	 não	 estamos
dizendo	que	o	tamanho	da	fila	é	sempre	de	5	clientes.	Em	diferentes	momentos
de	observação	você	pode,	por	exemplo,	constatar	que	o	tamanho	é	de	10,	7,	3
ou	que	não	há	 fila.	O	valor	médio	5	significa	uma	média	aritmética	ponderada
dos	tamanhos	da	fila	durante	consecutivos	intervalos	de	tempo.
Como	o	leitor	deve	ter	observado,	para	o	adequado	entendimento	da
teoria	das	filas	é	necessário	conceitos	básicos	de	estatística	e
probabilidades.
2.4	Observando	a	dinâmica	de	uma	fila:	um	exemplo
Imagine-se	agora	comodamente	instalado	em	uma	poltrona	dentro	de	um	banco,
com	a	finalidade	de	observar	o	 funcionamento	da	fila	 formada	por	pessoas	que
desejam	 um	 novo	 talão	 de	 cheques	 (assunto	 que	 tende	 a	 ficar	 apenas	 na
memória,	pois	os	modernos	bancos	 têm	serviços	de	atendimento	que	 tendem	a
abolir	o	talão	de	cheques).
Chegada
No	período	de	meia	hora	você	verificou	que	chegaram	ao	sistema	12	pessoas.
Os	 intervalos	 entre	 chegadas,	 a	 partir	 do	 instante	 zero,	 foram	 (valores	 em
minutos):
O	valor	zero	para	o	sexto	cliente	(linha	"Intervalo")	significa	que	ele	chegou	junto
com	 o	 quinto	 cliente	 no	 16º	minuto.	 A	 linha	 "Momento"	 significa	 o	 instante	 da
chegada	 do	 novo	 cliente,	 obtido	 a	 partir	 de	 acumulações	 da	 linha	 "Intervalo"
acrescido	de	1,	para	significar	o	início	do	próximo	intervalo	de	tempo.	Assim,	o
primeiro	 cliente	 chegou	 no	 início	 do	 3º	 minuto,	 o	 segundo	 cliente	 chegou	 no
início	do	6º	minuto,	etc.
O	valor	médio	dos	intervalos	acima	é	2,5	minutos	e,	portanto,	o	sistema	acima
funcionou	com	um	ritmo	médio	de	24	chegadas	por	hora.	Ou	seja:
λ	=	24	clientes	por	hora
IC	=	2,5	minutos
Atendimento
Por	 outro	 lado,	 os	 dados	 anotados	 para	 cada	 atendimento	 são	 os	 seguintes
(valores	em	minutos):
O	valor	médio	dos	dados	acima	é	2,0	minutos	e,	portanto,	podemos	dizer	que	o
servidor	tem	uma	capacidade	de	atender	30	clientes	por	hora.	Ou	seja:
μ	=	30	clientes	por	hora
TA	=	2	minutos
A	dinâmica	do	funcionamento
Finalmente,	o	sistema	funcionou	conforme	a	FIG.	2.3.	Por	ela	verificamos	que:
O	 primeiro	 cliente	 chegou	 ao	 banco	 no	 início	 do	 3º	 minuto,	 e	 seu
atendimento	durou	1	minuto	(portanto	se	encerrou	no	final	do	3º	minuto);
O	 quinto	 cliente	 chegou	 ao	 banco	 no	 início	 do	 17º	 minuto,	 e	 seu
atendimento	 durou	 3	 minutos	 (portanto	 se	 encerrou	 no	 final	 do	 19º
minuto);
O	sexto	cliente	chegou	ao	banco	simultaneamente	com	o	quinto	cliente
no	17º	minuto	e,	então,	esperou	na	fila	até	completar	o	atendimento	do
quinto	cliente	(3	minutos),	o	que	ocorreu	no	final	do	19º	minuto.	Então,	no
início	do	20º	minuto,	foi	iniciado	o	atendimento	do	sexto	cliente,	que	se
estendeu	até	o	final	do	21º	minuto.
O	 sétimo	 cliente	 chegou	 ao	 banco	 no	 19º	 minuto	 e	 encontrou	 o
atendente	 ocupado	 (atendendo	 ao	 quinto	 cliente).	 Além	 disso,	 o	 sexto
cliente	também	estava	na	fila.	O	atendimento	do	sétimo	cliente	se	iniciou
no	22º	minuto	e	durou	1	minuto.
Além	dos	clientes	de	número	6	e	7,	os	clientes	de	número	9,	10,	11	e	12
tiveram	que	esperar	em	fila.
O	último	cliente	(12º)	saiu	do	atendimento	no	final	do	35º	minuto.
Etc.
FIGURA	2.3	–	Funcionamento	da	fila	do	posto	bancário
Segundo	a	FIG.	2.3,	os	tempos	de	fila	foram:
Podemos,	então,	concluir:
Total	de	clientes	atendidos:	12.
Tempo	médio	 na	 fila	 (TMF)	=	 (3+4+3+1+3+2)	/	12	=	16/12	=	1,33
minuto.
Número	médio	na	fila	(NMF)	=	(3+4+3+1+3+2)	/	35	=	16/35	=	0,46
cliente.
Observe	que	utilizamos	médias	ponderadas	nos	cálculos	mostrados.
Uma	constatação	curiosa
Revendo	os	dados	do	modelo	do	banco,	temos:
λ	=	24	clientes	por	hora	(ou	IC	=	2,5	minutos)
μ	=	30	clientes	por	hora	(ou	TA	=	2	minutos)
Ou	seja,	a	capacidade	de	atendimento	 (μ)	é	superior	ao	ritmo	de	chegada	(λ).
Mesmo	assim,	tivemos	a	formação	de	filas.
À	primeira	vista	esse	fato	é	de	difícil	compreensão.
O	exato	entendimento	desse	fato	é	um	dos	objetivos	deste	livro,	e	dele
nos	ocuparemos	nos	próximos	capítulos.
Ao	se	analisar	 tais	dados,	a	 tendência	é	partir	para	uma	abordagem	amadora,
conforme	veremos	a	seguir.
Uma	abordagem	amadora
Imagine	 agora	 que	 o	mesmo	 problema	 fosse	 proposto	 ao	 leitor	 da	 seguinte
forma:	clientes	chegam	a	um	posto	de	serviço	a	um	ritmo	de	24	chegadas	por
hora	(ou	1	cliente	a	cada	2,5	minutos)	e	são	atendidos	por	um	servidor	capaz	de
atender	30	clientes	por	hora	 (ou	2,0	minutos	para	cada	cliente).	Perguntamos:
haverá	fila?
De	 posse	 apenas	 desses	 dados,	 a	 nossa	 tendência	 é	 inferir	 que	 o	 sistema	 se
comportará	conforme	a	FIG.	2.4,	na	qual	tanto	o	processo	de	chegada	como	o
de	 atendimento	 são	 regulares	 e,	 portanto,	 não	 haverá	 formação	 de	 filas.
Processos	 como	 esse	 são	 raros	 na	 vida	 real.	 Como	 o	 leitor	 pode	 deduzir,	 a
existência	de	filas	ocorre	em	decorrência	do	fato	de	que	os	processos	não	são
regulares,	 e	 a	 aleatoriedade	 ocasiona	 tanto	 filas	 quanto	 longos	 períodos	 de
inatividade	para	o	servidor.
FIGURA	2.4	–	Funcionamento	regular	de	uma	fila
Uma	comparação	interessante	entre	as	FIG.	2.3	e	2.4:
Caso	 o	 processo	 fosse	 regular,	 todos	 os	 clientes	 teriam	 sido
atendidos	em	32	minutos.
Devido	ao	fato	de	o	processo	ser	randômico,	houve	filas,	e	o
tempo	total	foi	de	35	minutos.
Esse	foi	o	preço	pago	pela	aleatoriedade	do	processo.
Vamos	observar	melhor	o	preço	pago	pela	aleatoriedade	do	processo:
O	prazo	total	foi	acrescido	em	3	minutos;
O	prazo	médio	de	atendimento	individual	(2	minutos)	foi	acrescido	pelo
tempo	médio	de	fila	de	1,33	minuto.	Ou	seja,	na	média	um	cliente	gasta
3,33	minutos	dentro	do	banco.
Quando	 efetuamos	 dimensionamento	 de	 sistemas,	 procuramos	 minimizar	 tais
efeitos	 pela	 modificação	 de	 fluxos,	 pela	 colocação	 de	 mais	 atendentes,	 pela
utilização	 de	 melhores	 atendentes,	 etc.	 Certamente,	 dentro	 de	 uma	 ótica	 de
prestar	o	atendimento	adequado	dentro	de	uma	faixa	de	custos	adequada.
O	leitor	deve	resolver	agora	o	exercício	1	proposto	no	final	do	capítulo.
2.5	Sistemas	estáveis
A	abordagem	matemática	de	filas	pela	teoria	das	filas	exige	estabilidade	no	fluxo
de	chegada	e	no	processo	de	atendimento,	ou	seja,	os	valores	de	λ	e	μ	devem
se	manter	 constantes	no	 tempo.	Do	contrário,	devemos	nos	 valer	da	 simulação
por	 computador.	 Por	 exemplo,	 observando	 o	 funcionamento	 de	 um	 banco,
poderíamos	verificar	que	o	fluxo	de	chegada	de	clientes	varia	durante	o	dia	da
seguinte	forma:
Ou	seja,	não	existe	estabilidade	para	o	ritmo	de	chegada	no	período	das	10:00
às	16:00,	portanto	não	podemos	analisar	seu	funcionamento	pela	teoria	das	filas,
a	menos	que	usemos	alguns	artifícios,	por	exemplo,	retalhar	o	período	global	em
períodos	 parciais.	 Infelizmente,	 isso	 torna	 ainda	 mais	 complexa	 a	 abordagem
pela	 teoria	 das	 filas.	 Conforme	 dissemos,	 para	 esses	 casos	 a	 simulação	 por
computador	é	a	ferramenta	adequada.
Em	 fábricas	 que	 funcionam	 24	 horas,	 ininterruptamente,	 temos	 geralmente	 uma
situação	estável,	não	sendo	necessário	o	artifício	mostrado	anteriormente.
Outra	 exigência	 para	 que	 o	 processo	 seja	 estável	 é	 que	 os	 atendentes	 sejam
capazes	de	atender	o	fluxo	de	chegada.	No	caso	de	"uma	fila	e	um	atendente"
isso	significa	dizer	que	μ	>	λ	(a	capacidade	de	atendimento	é	maior	que	o	ritmo
de	chegada).	Caso	 isso	não	ocorra,	o	 tamanho	da	fila	aumentará	 infinitamente.
Resumindo:
Sistemas	estáveis:
Fluxo	médio	de	entrada	(λ)	constante
Ritmo	médio	de	atendimento	(μ)	constante
μ	>	λ
Conforme	 vimos	 no	 exemplo	 do	 banco,	 é	 possível	 a	 formação	 de	 filas	 em
sistemas	 nos	 quais	 μ	>	λ.	 As	 pessoas	 geralmente	 têm	dificuldadesde	 entender
esse	 fato,	pois	 seu	 raciocínio	está	quase	 sempre	preso	a	processos	 regulares,
em	que	não	há	flutuações	em	torno	da	média	(veja	FIG.	2.4).
Em	 processos	 randômicos	 estáveis,	 μ	 e	 λ	 representam	 valores	médios	 e,	 para
entender	a	razão	da	ocorrência	de	filas,	quando	μ	>	λ	é	necessário	ter	em	mente
que	sempre	é	possível	a	ocorrência	de	fatos	“ruins”,	por	exemplo:
Em	determinado	instante	podem	chegar	mais	clientes	que	a	capacidade
de	atendimento	daquele	momento,	gerando	filas	temporárias.
O	atendimento	de	determinado	cliente	pode	ser	muito	mais	moroso	que
a	média,	obrigando	os	clientes	que	chegam	em	seguida	a	ficar	em	fila.
Em	 sistemas	 estáveis,	 todas	 as	 características	 randômicas	 das	 filas	 se	 mantêm
estáveis	 o	 tempo	 todo,	 significando	que	oscilam	em	 torno	de	 um	 valor	médio.
Isso	se	aplica	a	tamanho	médio	da	fila,	tempo	médio	de	espera,	tempo	médio	de
atendimento,	etc.
2.6	Dimensionando	filas
Conforme	 afirmamos	 anteriormente,	 estudamos	 filas	 para	 dimensionar	 sistemas
com	o	objetivo	de	prestar	um	melhor	atendimento	aos	clientes	ou	para	obter	uma
redução	de	custos	do	funcionamento	do	sistema.	As	considerações	abaixo	valem
para	qualquer	 situação:	sistemas	estáveis	ou	não.	 Lembramos	novamente	que	a
teoria	das	filas	é	limitada	em	sua	capacidade	de	prover	soluções	para	todos	os
cenários	de	filas:	a	ferramenta	adequada	é	a	simulação.
A	escolha	inicial:	a	qualidade	do	atendimento
De	 uma	 maneira	 introdutória,	 podemos	 dizer	 que	 a	 primeira	 escolha	 a	 ser
efetuada	 para	 o	 dimensionamento	 de	 um	 sistema	 no	 qual	 existem	 filas	 é	 a
qualidade	do	atendimento.	Essa	escolha	geralmente	está	ligada	à	capacidade	de
atendimento	a	ser	implantada	e	que	deverá	atender	os	clientes	que	chegam.	As
opções	são:
Atendimento	para	a	média	de	chegada;
Atendimento	para	o	pico	de	chegada;
Atendimento	para	momentos	especiais.
Obtenção	de	dados:	o	tamanho	da	amostra
Para	 estudar	 um	 sistema,	 é	 necessário	 ter	 alguns	 dados	 para,	 de	 posse	 deles,
deduzir	 os	 outros	 necessários	 ao	 dimensionamento.	 Para	 efetuar	 um
dimensionamento	correto,	é	necessário	que	os	dados	obtidos	sejam	confiáveis.
Para	isso,	a	escolha	de	um	correto	tamanho	de	amostra	é	fundamental.	A	não
observância	 desse	 item	 pode	 confundir,	 porque	 produz	 diferentes	 valores	 para
uma	mesma	variável.	Por	exemplo,	em	um	sistema	estável	podemos	ter	um	tempo
médio	 de	 espera	 na	 fila	 de	 5	 minutos.	 Para	 chegar	 a	 essa	 conclusão,	 foi
necessário	observar	o	 funcionamento	do	 sistema	durante	 um	 longo	período,	 no
qual	inúmeros	clientes	foram	atendidos.	Se	observarmos	apenas	o	atendimento	de
uns	 poucos	 clientes,	 poderemos	 encontrar	 um	 valor	 bastante	 diferente	 para	 o
tempo	médio	de	espera	na	fila.
O	leitor	deve	resolver	agora	os	exercícios	2	e	3.
Tipo	da	fila	e	quantidade	de	servidores
Quando	desejamos	dimensionar	um	sistema,	podemos	escolher	diversas	opções
para	o	atendimento:
Uma	única	fila	e	um	único	servidor;
Uma	única	fila	e	diversos	servidores;
Diversas	filas	e	os	correspondentes	servidores;
Filas	especiais;
Alteração	dinâmica	no	sistema	de	atendimento.
A	escolha	entre	as	opções	acima	vai	depender	das	características	do	sistema	em
estudo,	pois	o	que	pode	ser	ótimo	em	uma	situação	pode	ser	péssimo	em	outra
ou,	 então,	 inadequado.	 Nos	 capítulos	 subsequentes	 vamos	 abordar	 todos	 os
casos.
Em	situações	em	que	a	distribuição	do	tempo	de	atendimento	pode	variar	dentro
de	uma	larga	faixa	de	valores,	não	se	recomenda	o	uso	de	diversas	filas,	e	sim
uma	fila	única.	É	o	caso	de	bancos,	correios,	etc.,	em	que	sempre	pode	ocorrer
que	alguns	 clientes	apresentem	uma	carga	de	 serviço	muito	grande,	portanto	o
tempo	de	atendimento	para	eles	será	exageradamente	maior	que	a	média.	Aqui
uma	fila	única	com	diversos	atendentes	é	a	melhor	solução.
Em	 outras	 situações,	 é	 conveniente	 modificar	 dinamicamente	 a	 quantidade	 de
atendentes	conforme	aumente	ou	diminua	o	fluxo	de	chegada	de	clientes.	Bancos
têm	usado	esse	expediente,	tornando	disponíveis	atendentes	extras	nos	horários
de	pico.
Às	 vezes	a	 fila	 única	é	 impraticável,	 como	no	caso	de	 supermercados.	Aqui	a
existência	 de	 "caixas	 expressos",	 para	 clientes	 com	 poucos	 itens	 de	 compra,
representa	uma	maneira	de	prestar	um	bom	serviço,	além	de	conquistar	clientes
que,	do	contrário,	não	se	sujeitariam	a	filas	morosas	para	adquirir	poucos	itens.
2.7	Exercícios
1)	Considere	um	sistema	em	que	navios	chegam	a	um	porto	para	carregar	algum
produto.	Abaixo	estão	anotados	os	valores	de	 intervalos	entre	chegadas	 (em
horas)	para	20	navios:
As	durações	da	carga	(em	horas)	de	cada	navio	são	as	seguintes:
Pede-se:
a)	O	intervalo	médio	entre	chegadas;
b)	A	duração	média	da	carga;
c)	Monte	o	desenho	do	funcionamento	do	sistema	acima	(veja	FIG.	2.2);
d)	Calcule	o	tamanho	médio	da	fila;
e)	Calcule	o	tempo	médio	de	espera	na	fila.
2)	 Escreva	 os	 valores	 acima,	 referentes	 aos	 intervalos	 entre	 chegadas,	 em
pequenos	pedaços	de	papel,	dobrando	os	em	seguida	como	se	os	preparasse
para	 um	 sorteio.	Misture	os	pedaços	de	papel	 e,	 a	 seguir,	 vá	abrindo	os	 e
anotando	os	valores.	Você	obteve	assim	uma	nova	sequência	de	valores	para
os	 intervalos	 entre	 chegadas.	 Repita	 o	 processo	 para	 as	 durações	 do
atendimento.	Refaça	então	o	exercício	1.
3)	Compare	os	 resultados	dos	exercícios	1	e	2.	Você	deve	 ter	encontrado	os
mesmos	valores	médios	(itens	a	e	b),	mas	valores	diferentes	para	os	itens	d	e	e.
Explique	por	quê.
Capítulo	3
Filas:	conceitos	básicos	(II)
3	Filas:	conceitos	básicos	(II)
O	 objetivo	 deste	 capítulo	 é	 continuar	 com	 as	 considerações	 conceituais	 do
capítulo	anterior,	agora	com	um	enfoque	matemático,	no	qual	apresentaremos	as
chamadas	variáveis	randômicas	fundamentais.
3.1	Variáveis	randômicas	fundamentais
Consideremos	 o	 sistema	 de	 filas	 da	 FIG.	 3.1,	 em	 situação	 estável,	 na	 qual
clientes	chegam	e	entram	em	fila,	existindo	c	servidores	para	atendê-los.	Seja	λ	o
ritmo	médio	de	chegada	e	μ	o	ritmo	médio	de	atendimento	de	cada	atendente.
Portanto:
λ	=	Ritmo	médio	de	chegada
μ	=	Ritmo	médio	de	atendimento
c	=	Capacidade	de	atendimento	ou	quantidade	de	atendentes
Entre	 as	 variáveis	 randômicas	 que	 estudaremos	 neste	 livro,	 algumas	 serão
frequentemente	 citadas	 e	 as	 chamaremos	 de	 variáveis	 randômicas
fundamentais.	É	o	que	mostramos	na	FIG.	3.1	e	explicamos	a	seguir.
Variáveis	referentes	ao	sistema
TS	=	Tempo	médio	de	permanência	no	sistema
NS	=	Número	médio	de	clientes	no	sistema
Variáveis	referentes	ao	processo	de	chegada
λ	=	Ritmo	médio	de	chegada
IC	=	Intervalo	médio	entre	chegadas
Por	definição:	IC	=	1/λ
Variáveis	referentes	à	fila
TF	=	Tempo	médio	de	permanência	na	fila
NF	=	Número	médio	de	clientes	na	fila
Variáveis	referentes	ao	processo	de	atendimento
TA	=	Tempo	médio	de	atendimento	ou	de	serviço
c	=	Capacidade	de	atendimento	ou	quantidade	de	atendentes
NA	=	Número	médio	de	clientes	que	estão	sendo	atendidos
μ	=	Ritmo	médio	de	atendimento	de	cada	atendente
Por	definição:	TA	=	1/μ
3.1.1	Relações	básicas
Existem	duas	 relações	 óbvias	 entre	 as	 variáveis	 randômicas	mostradas	 na	 FIG.
3.1:
NS	=	NF	+	NA
TS	=	TF	+	TA
Pode-se	demonstrar	também	que:
NA	=	λ/μ	=	TA	/	IC
Portanto:
NS	=	NF	+	NA	=	NF	+	(λ/μ)	=	NF	+	(TA	/	IC)
FIGURA	3.1	–	Localização	das	variáveis
3.1.2	Taxa	de	utilização	dos	atendentes
Para	o	 caso	de	 uma	 fila	/	 um	atendente,	 chamamos	de	 taxa	de	 utilização	do
atendente	a	expressão
ρ	=	λ/μ
na	qual	λ	=	ritmo	médio	de	chegada	e	μ	=	ritmo	médio	de	atendimento.
No	caso	de	uma	fila/vários	atendentes,	a	expressão	se	torna:
ρ	=	λ/cμ
em	que	c	é	o	número	de	atendentes.
Assim,	 ρ	 representa	 a	 fração	 média	 do	 tempo	 em	 que	 cada	 servidor	 está
ocupado.	Por	exemplo,	com	um	atendente,	se	chegam	4	clientes	por	hora	e	se	o
atendente	 tem	 capacidade	 para	 atender	 10	 clientes	 por	 hora,	 dizemos	 que	 a
taxa	de	utilização	é	0,40	e	podemos	também	afirmar	que	o	atendente	fica40%
do	tempo	ocupado	e	60%	do	tempo	livre	(essa	afirmativa	é	intuitiva,	mas	pode
ser	 matematicamente	 demonstrada).	 Visto	 que	 estudaremos	 apenas	 sistemas
estáveis	(os	atendentes	sempre	serão	capazes	de	atender	o	fluxo	de	chegada,	ou
seja	λ	<	μ	teremos	sempre	ρ	<	1.	Quando	ρ	=	1,	o	atendente	trabalhará	100%
do	tempo	(e	estranhos	fatos	ocorrerão).
3.1.3	Intensidade	de	tráfego	ou	número	mínimo	de	atendentes
Chamamos	de	intensidade	de	tráfego	a	expressão
i	=	|λ/μ|	=	|TA	/	IC|
em	que	i	é	o	próximo	valor	inteiro	que	se	obtém	(ou	seja,	o	valor	absoluto)	e	é
medido	em	 "erlangs"	em	homenagem	a	A.	K.	Erlang.	Na	prática	 i	 representa	o
número	mínimo	de	atendentes	necessário	para	atender	um	dado	fluxo	de	tráfego.
Por	exemplo,	 se	λ	=	10	clientes/hora	e	TA	=	3	minutos	 (ou	μ	=	20	clientes	/
hora)	 temos	 λ/μ	 =	 0,5,	 ou	 i	 =1,	 e	 concluímos	 dizendo	 que	 1	 atendente	 é
suficiente	 para	 o	 caso.	 Se	 o	 fluxo	 de	 chegada	 aumentar	 para	 λ	 =	 50
clientes/hora,	temos	λ/μ	=	2,5,	ou	i	=	3,	isto	é,	necessitamos	de	no	mínimo	3
atendentes.	Na	indústria	telefônica	essa	variável	é	bastante	utilizada	ao	se	referir
a	tráfego	em	troncos	telefônicos.
3.1.4	Fórmulas	de	Little
J.	D.	C.	Little	demonstrou	que,	para	um	sistema	estável	de	filas,	temos:
NF	=	λ	x	TF
NS	=	λ	x	TS
Essas	fórmulas	são	muito	importantes,	pois,	assim	como	as	equações	3.1	e	3.2,
fazem	 referências	 a	 quatro	 das	 mais	 importantes	 variáveis	 randômicas	 de	 um
sistema	de	filas:	NS,	NF,	TS	e	TF.	Por	exemplo,	se,	além	de	λ	e	μ	conhecemos
TS,	podemos	obter	as	outras	variáveis	assim:
NS	=	λ	x	TS
Se	TA	=	1/μ
Portanto:	TF	=	TS	TA	=	TS	1/μ
Finalmente:	NF	=	λ	x	TF
É	importante	salientar	que	todas	as	fórmulas	acima	independem	da	quantidade	de
servidores	e	do	modelo	de	fila,	pois	se	trata	de	fórmulas	fundamentais	básicas.
O	leitor	pode	observar	que	existe	uma	semelhança	entre	as	fórmulas	de
Little	e	a	fórmula	sobre	velocidade	da	física	clássica:
Little:	λ	=	NF	/	TF
Física:	v	=	e/t	(v	=	velocidade	e	=	espaço	t	=	tempo)
3.1.5	Resumo	das	fórmulas
3.2	Exemplos
Exemplo	1
Em	uma	fábrica	observou-se	o	funcionamento	de	um	dado	setor,	em	que	λ	=	20
clientes	por	hora,	μ	=	25	clientes	por	hora	e	TS	=	0,3	hora.	Pede	se	o	tamanho
médio	da	fila.
Solução:
TA	=	1/μ	=	0,04
TF	=	TS	TA	=	0,26
NF	=	λ	⋅	TF	=	5,2	clientes
Exemplo	2
Para	o	mesmo	sistema	acima,	calcular	NS	e	NA.
Solução:
NS	=	λ	⋅	TS	=	20	x	0,3	=	6	clientes
NA	=	NS	NF	=	6	5,2	=	0,8	cliente
Exemplo	3
Em	 uma	 mineração	 cada	 caminhão	 efetua	 um	 ciclo	 em	 que	 é	 carregado	 de
minério	 por	 uma	 das	 carregadeiras,	 desloca-se	 para	 o	 britador	 onde	 efetua	 o
descarregamento	e	retorna	às	carregadeiras.	Verificou-se	que	o	tempo	médio	(TS)
dos	caminhões	 junto	ao	britador	é	de	12	minutos	e	que,	em	média,	existem	6
caminhões	(NS)	nesse	setor.	Qual	a	taxa	de	chegada	de	caminhões?	(Veja	FIG.
3.2).
Solução:
Consideremos	o	espaço	do	britador	como	o	sistema	em	estudo:
Pela	lei	de	Little:	NS	=	λ	⋅	TS	ou	λ	=	NS/TS
Logo:	λ	=	6/12	=	0,5	chegada	por	minuto
FIGURA	3.2	–	Caminhões	em	uma	mineração
Exemplo	4
No	mesmo	sistema	acima,	existindo	um	total	de	30	caminhões	em	serviço,	qual	a
duração	de	um	ciclo?
Solução:
Chamamos	de	ciclo	o	tempo	gasto	para	que	um	caminhão,	partindo	de	um	ponto
de	 referência	 qualquer,	 percorra	 todo	 o	 sistema	 e	 volte	 ao	 mesmo	 ponto.
Consequentemente,	 esse	 também	 é	 o	 tempo	 necessário	 para	 que	 todos	 os
caminhões	 passem	 pelo	 mesmo	 ponto.	 Se	 considerarmos	 o	 britador	 como	 o
ponto	de	referência	e	conhecendo	a	 taxa	de	chegada	a	esse	ponto,	podemos
deduzir	o	tempo	gasto	para	que	todos	os	caminhões	passem	por	esse	ponto:
Duração	do	ciclo	=	(Quantidade	de	caminhões)	/	λ
Duração	do	ciclo	=	30/λ	=	30/0,5	=	60	minutos
Exemplo	5
No	mesmo	 sistema	acima,	qual	o	 tempo	médio	para	o	processo	completo	de
carregamento	(ou	TFS:	tempo	fora	do	sistema)?
Solução:
Consideremos	como	sistema	em	estudo	o	espaço	formado	em	torno	do	britador,
no	qual	temos	o	caminhão	que	está	sendo	descarregado	e	os	outros	em	fila.	Por
exclusão,	um	caminhão	está	fora	do	sistema	quando	não	ocupa	o	espaço	citado.
Um	 ciclo	 corresponde	 à	 soma	 do	 tempo	 dentro	 do	 sistema	 (TS	 =	 12)	 mais	 o
tempo	fora	do	sistema	(TFS).	Logo:
TFS	+	TS	=	ciclo	=	60	minutos
TFS	=	60	–	12	=	48	minutos
3.2.1	Resumo	das	fórmulas:	continuação
Podemos	agora	acrescentar	à	nossa	tabela	a	fórmula	do	ciclo:
3.3	Postulados	básicos
Apresentamos	na	FIG.	3.3	alguns	postulados	básicos	que	se	aplicam	a	quaisquer
sistemas	de	filas	nos	quais	existe	estabilidade,	ou	seja,	λ	é	menor	que	μ	em	todas
as	estações	de	trabalho	(o	ritmo	médio	de	chegada	é	menor	que	o	ritmo	médio
de	atendimento).
FIGURA	3.3	–	Postulados	básicos
3.4	Exercícios
1)	A	uma	pizzaria	que	faz	entregas	em	casa,	chegam,	em	média,	4	entregadores
por	minuto	para	pegar	o	produto	a	ser	entregue.	Sabe-se	ainda	que	o	número
médio	de	entregadores	dentro	da	pizzaria	é	6	(NS).	Qual	o	tempo	médio	no
sistema?
2)	No	mesmo	sistema	anterior,	existem	40	entregadores.	Qual	o	 tempo	médio
da	entrega	(TFS)?
3)	Em	um	sistema	de	computação	tem-se:
Tempo	médio	de	pensar	e	fornecer	dados	(TFS)	=	15	segundos
Quantidade	de	terminais	ativos	=	40
Taxa	de	chegada	de	transações	=	2	por	segundo
Pede	se	o	tempo	de	resposta	do	computador	(TS).
4)	Em	uma	mineração	temos	12	caminhões	efetuando	um	ciclo	no	qual	consomem
4	minutos	entre	fila	e	carregamento	pela	escavadeira	(TS)	e,	a	seguir,	gastam	8
minutos	para	levar	a	carga	até	o	britador	e	voltar	(TFS).	Calcular	λ	e	NS.
5)	 Em	 um	 sistema	 de	 computação	 temos	 21	 terminais.	 O	 tempo	 médio	 de
resposta	 do	 computador	 (TS)	 é	 de	 2	 segundos	 e	 existem,	 em	 média,	 6
transações	(NS)	dentro	do	sistema.	Pede-se:
a)	Qual	a	taxa	de	chegada	de	transações?
b)	Qual	a	duração	de	um	ciclo?
c)	Qual	o	“tempo	médio	de	pensar	e	fornecer	dados”	(TFS)?
6)	No	desenho	seguinte,	representativo	do	fluxo	de	peças	em	um	setor	de	uma
fábrica,	calcule	o	fluxo	de	chegada	em	cada	equipamento.
Capítulo	4
Os	processos	de	chegada	e	de
atendimento
4	Os	processos	de	chegada	e	de	atendimento
O	objetivo	deste	capítulo	é	analisar	os	processos	de	chegada	e	de	atendimento
sob	a	ótica	da	estatística.
4.1	O	processo	de	chegada
Vamos	 considerar	 novamente	 o	 processo	 de	 chegada,	 agora	 de	 uma	 forma
quantitativa.	 Para	exemplificar,	 vamos	nos	basear	 nos	dados	da	 TAB.	4.1,	que
mostra	60	anotações	sobre	a	chegada	de	veículos	a	um	pedágio.	Os	valores	da
tabela	mostram	quantos	veículos	chegaram	a	cada	intervalo	de	1	minuto	entre	7	e
8	 horas	 da	 manhã.	 Vemos,	 por	 exemplo,	 que	 no	 primeiro	 minuto	 chegaram	 2
veículos	e	que	no	segundo	minuto	chegou	1	veículo.
TABELA	4.1
Ritmos	de	chegadas	de	veículos
Nas	60	anotações	da	TAB.	4.1	chegaram	120	veículos,	o	que	fornece:
λ	=	2	veículos	/	minuto
Além	disso,	podemos	observar	que:
Menor	valor:	zero	chegada	por	minuto	(ocorreram	9	vezes)
Maior	valor:	8	chegadas	por	minuto	(ocorreu	1	vez)
Quando	 trabalhamos	 com	 dados	 tais	 como	 os	 acima,	 devemos	 nos	 valer	 da
Estatística	para	analisá-los	corretamente,	pois	desejamos	não	apenas	conhecer	o
valor	médio,	o	 valor	mínimo	e	o	 valor	máximo	como	 também	 saber	 como	os
valores	 se	distribuem	em	 torno	da	média.	 Para	efetuar	uma	análise	estatística
desses	dados,	devemos	começar	agrupando-os	como	fizemos,	por	exemplo,	na
TAB.	4.2.	Observe	 a	 coluna	 “frequência	 relativa”:	 ela	 permite	 uma	análise	 dos
dados	 mais	 adequada	 do	 que	 a	 coluna	 “frequência	 absoluta”:	 Por	 exemplo,
vemos	que	a	frequência	absoluta	da	ocorrência	de	chegarem	3	veículos	foi	de	9.
Essa	informação	ainda	necessita	da	complementação	“...	em	uma	amostra	de	60
ocorrências”.	O	 valor	 da	 frequência	 relativa	para	a	ocorrência	de	 chegarem	3
veículos	é	0,15	ou	15%.	Nesse	caso	estamos	nos	 referindo	a	uma	convenção
mundialmente	aceita,	em	que	a	base	é	1	ou	100.
TABELA	4.2
Ritmo	x	Frequência
Na	FIG.	4.1	vemos	o	formato	da	curva	para	ritmo	de	chegada	versus	frequência
relativa.
4.1.1	A	distribuiçãode	Poisson
Fazemos	agora	a	seguinte	pergunta:	qual	é	a	distribuição	estatística	que	mais	se
aproxima	dos	dados	reais	acima?	Para	responder	a	essa	pergunta	necessitamos
comparar	a	curva	acima	com	as	distribuições	conhecidas.	A	ciência	estatística
possui	 uma	 metodologia	 para	 isso,	 segundo	 a	 qual	 se	 usa	 como	 critério	 de
aceitação	 o	 teste	 de	 excelência	 de	 ajustamento	 baseado	 no	 quadrado	 de	 x.
Não	pretendemos	nos	aprofundar	nesta	teoria	da	estatística,	mas	apenas	concluir
dizendo	que,	para	o	nosso	caso,	a	distribuição	que	mais	 se	aproxima	é	a	de
Poisson.	Na	TAB.	4.3	e	FIG.	4.2	mostramos	os	dados	completos	(os	dados	da
coluna	Distribuição	de	Poisson	podem	ser	encontrados	nas	Referências).
A	distribuição	de	Poisson	tem	se	mostrado	aplicável	a	inúmeros	tipos	de
processos	de	chegadas	na	vida	prática	e,	assim,	seu	uso	é	bastante
difundido	em	modelagem	de	filas.
FIGURA	4.1	–	Ritmo	versus	frequência	relativa
TABELA	4.3
Frequência	relativa	versus	frequência	de	Poisson
FIGURA	4.2	–	Processo	de	chegada:	dados	reais	versus	Poisson
Fórmula	da	distribuição	de	Poisson
A	fórmula	da	distribuição	de	Poisson	é:
	Equação	4.1
Na	FIG.	4.3	vemos	o	formato	de	algumas	dessas	curvas	para	alguns	valores	de	λ
e	no	Apêndice	A	mostramos	valores	para	essa	distribuição.
FIGURA	4.3	–	Formatos	da	distribuição	de	Poisson
Na	equação	4.1,	f(x)	é	a	frequência	relativa	(ou	probabilidade)	em	que	ocorrem	x
chegadas	na	unidade	de	tempo	(por	exemplo,	o	minuto)	sendo	que	λ	representa
o	ritmo	médio	de	chegadas	na	unidade	de	 tempo.	Trata-se	de	uma	distribuição
discreta,	definida	apenas	para	valores	inteiros	de	x.
Importante:	 Na	 FIG.	 4.3	 os	 pontos	 foram	 unidos	 (formando	 curvas)	 por	 uma
questão	didática,	pois	a	rigor	não	existe	uma	curva	visto	que	a	função	somente	é
definida	para	valores	inteiros.	Pode-se	observar	ainda	que	o	visual	da	distribuição
de	Poisson	tende	para	a	distribuição	normal	à	medida	que	cresce	o	valor	de	λ.
Exemplo	1
Em	uma	fábrica	chegam	em	média	7	pedidos	por	semana	(segundo	a	distribuição
de	 Poisson).	Qual	 a	 probabilidade	 de	 ocorrer	 a	 chegada	 das	 quantidades	 de
pedidos	abaixo	em	uma	mesma	semana?
a)	zero	pedido
b)	7	pedidos
c)	Até	7	pedidos
d)	Acima	de	7	pedidos
Solução:
Veja	o	Apêndice	A	para	obtenção	dos	valores	da	distribuição	de	Poisson.
a)	f(0)	=	0,001
b)	f(7)	=	0,149
c)	f(0)	+	f(1)	+	f(2)	+	f(3)	+	f(4)	+	f(5)	+	f(6)	+	f(7)	=	0,598
d)	1	(	f(0)	+	f(1)	+	...	+	f(7)	)	=	1	0,598	=	0,402
O	leitor	deve	agora	resolver	o	exercício	1.
4.1.2	A	distribuição	exponencial	negativa
Conforme	vimos,	a	distribuição	de	Poisson	está	relacionada	com	ritmos.	Pode-se
demonstrar	 que	 a	 distribuição	 exponencial	 negativa	 é	 a	 correspondente	 à
distribuição	de	 Poisson	 quando	 nos	 referimos	 a	 intervalos	 entre	 chegadas.	 Isso
significa	 que,	 quando	 um	 fenômeno	 segue	 Poisson,	 ele	 também	 segue	 a
distribuição	 exponencial	 negativa	 (ou	 apenas	 distribuição	 exponencial),
dependendo	do	que	estamos	medindo.	É	o	que	mostramos	a	seguir.
Poderíamos	 rever	 o	 exemplo	 anterior	 do	 posto	 de	 pedágio	 sob	 outra	 ótica:
anotando	os	 intervalos	entre	chegadas.	No	exemplo	anterior,	no	 intervalo	de	1
hora	chegaram	120	veículos	ao	pedágio,	o	que	dá	uma	média	de	1	veículo	a
cada	30	 segundos.	Visto	que	30	 segundos	 representam	um	 intervalo	de	 tempo
pequeno	para	um	anotador	executar	todas	as	tarefas	que	teria	que	desempenhar
(parar	 o	 relógio,	 anotar	 o	 tempo,	 reacionar	 o	 relógio,	 etc.),	 podemos	 concluir
que	essa	tarefa	não	seria	facilmente	executada	a	não	ser	que	estivesse	disponível
um	equipamento	adequado	de	anotação.	Por	outro	lado,	essa	tarefa	seria	fácil	no
caso	de	anotação	de	intervalos	de	chegadas	de	navios	a	um	porto	(os	números	a
serem	 anotados	 seriam	 horas	 ou	 dias),	 o	 que	 tornaria	 o	 processo	 bastante
factível.
Voltemos	ao	nosso	exemplo	do	pedágio	e	suponhamos	que	temos	um	aparelho
adequado	 para	 medir	 intervalos	 entre	 chegadas.	 Na	 TAB.	 4.4	 mostramos	 os
dados	 coletados	 para	 os	100	primeiros	 veículos	 e	 na	 TAB.	4.5	mostramos	 os
mesmos	dados	agrupados.
TABELA	4.4
Intervalos	entre	chegadas	(segundos)
A	abordagem	estatística	mostrada	na	TAB.	4.5	é	um	pouco	mais	sofisticada,	pois
os	dados	estão	agrupados	por	faixa	de	intervalos	entre	chegadas.	Na	FIG.	4.4
vemos	a	forma	da	curva	da	frequência	relativa.	A	distribuição	estatística	que	mais
se	 aproxima	 dos	 dados	 reais	 é	 a	 distribuição	 exponencial	 negativa	 e	 a
comparação	de	dados	reais	com	dados	 teóricos	é	mostrada	na	TAB.	4.5	e	na
FIG.	4.4.	Para	a	composição	dessa	tabela	utilizamos	os	dados	do	Apêndice	B
e,	mais	à	frente,	mostramos	como	isso	foi	feito.
TABELA	4.5
Comparação	de	dados	reais	com	a	distribuição	exponencial	negativa
FIGURA	4.4	–	Dados	reais	versus	distribuição	exponencial	negativa
Generalizando,	podemos	afirmar	(do	ponto	de	vista	matemático):
Se,	ao	analisar	um	processo	de	chegada,	constatarmos	que	o	ritmo	de
chegada	segue	a	distribuição	de	Poisson,	podemos,	então,	afirmar	que
os	intervalos	entre	chegadas	seguirão	a	distribuição	exponencial
negativa.
Fórmulas	da	distribuição	exponencial	negativa
A	fórmula	matemática	da	distribuição	exponencial	negativa	é:
ƒ(x)	=	λe–λx				Equação	4.2
em	que	f(x)	é	a	função	densidade,	sendo	λ	o	ritmo	de	chegada	e	x	o	tempo.	Na
FIG.	4.5	(esquerda)	vemos	a	forma	dessa	função	para	λ	=	2.
Para	calcular	a	frequência	relativa	de	ocorrência	de	chegadas	no	intervalo
t	e	t	+	Δt
devemos	calcular	a	integral	no	mesmo	intervalo.	A	integral	de	x	=	0	até	x	=	x	é:
ƒ(x)	=	1	–	e–λx				Equação	4.3
Na	FIG.	4.5	(direita)	vemos	a	representação	dessa	função	para	λ	=	2.
FIGURA	4.5	–	Função	exponencial	negativa:	esquerda	(função	densidade)	e	direita	(função	cumulativa)
O	valor	da	integral	de	F(x)	no	intervalo	(t,	t	+	Δt)	é:
F(t	+	Δt)	F(t)
e	representa	também	a	probabilidade	de	ocorrência	do	fenômeno	no	intervalo	(t,
t	+	Δt).
A	seguir	mostramos	algumas	aplicações	práticas	da	fórmula	anterior	com	relação
ao	nosso	posto	de	pedágio,	para	o	qual	λ	=	2	chegadas	por	minuto	ou	0,033
chegadas	por	segundo	ou	IC	=	30	segundos.	Para	efetuar	os	cálculos	abaixo	nos
baseamos	no	Apêndice	B.
Exemplo	2
a)	Cálculo	da	probabilidade	de	que	o	intervalo	entre	duas	chegadas	seja	de	até
30	segundos	(0,5	min).
Solução:
F(0,5)	=	0,632
Resposta:	63,2%
b)	Cálculo	da	probabilidade	de	que	o	intervalo	entre	duas	chegadas	seja	maior
que	30	segundos.
Solução:
1	F(0,5)	=	1	0,632	=	0,368
Resposta:	36,8%
c)	 Cálculo	 da	 probabilidade	 de	 que	 o	 intervalo	 entre	 duas	 chegadas	 esteja
compreendido	entre	12	e	24	segundos	(isto	é,	entre	0,2	e	0,4	minutos).
Solução:
F(0,4)	F(0,2)	=	0,551	0,330	=	0,221
Resposta:	22,1%
O	leitor	deve	agora	resolver	os	exercícios	3	a	5.
4.2	O	processo	de	atendimento
Consideremos	 novamente	 o	 pedágio,	 agora	 focalizando	 um	 determinado
atendente.	A	 TAB.	4.6	mostra	100	valores	 coletados	 referentes	a	durações	de
atendimento.	Aqui	temos:
TA	=	20	segundos	por	cliente	ou	TA	=	0,33	minutos	/	cliente
Ou	seja:
μ	=	3	clientes	por	minuto
TABELA	4.6
Durações	do	atendimento	no	pedágio
Para	efetuar	uma	análise	quantitativa	desses	dados,	é	necessário	agrupá-los	em
intervalos	 (TAB.	 4.7),	 tal	 como	 fizemos	 quando	 analisamos	 os	 intervalos	 entre
chegadas.	Em	virtude	dessa	semelhança	somos	tentados	a	verificar	se	os	valores
da	 coluna	 “Frequência	 relativa”	 seguem	 a	 distribuição	 exponencial.	 Se	 assim
procedermos	 (TAB.	 4.7	 e	 FIG.	 4.6),	 concluiremos	 que	 existe	 uma	 grande
diferença	entre	as	curvas,	principalmente	na	primeira	metade	(até	duração	igual	a
30	segundos).	Observe	principalmente	que	a	distribuição	exponencial	prevê	uma
alta	probabilidade	para	o	atendimento	até	5	segundos,	o	que	é	uma	aberração.
TABELA	4.7
Dados	reais	x	Exponencial	negativa
Situações	do	mundo	real	quase	sempre	mostram	exatamente	isto:	a
distribuição	exponencial	geralmente	não	se	adapta	ao	processo	de
atendimento.
Para	 esse	 processo,	 aliás,	 não	 existe	 uma	 única	 distribuição	 que	 melhor	 seadapte	 e,	 entre	 as	 candidatas	 com	 boas	 possibilidades,	 encontramos	 a
hiperexponencial	de	grau	m	e	a	Erlang	de	grau	m.	A	escolha	exige	uma	análise
criteriosa,	que	foge	aos	objetivos	deste	livro.	Um	dos	poucos	e	raros	casos	em
que	a	distribuição	exponencial	negativa	se	adapta	ao	atendimento	é	o	caso	da
duração	de	uma	ligação	telefônica,	que	foi,	aliás,	um	dos	objetos	do	estudo	de
Erlang	em	1908,	do	qual	se	originou	a	teoria	das	filas.
FIGURA	 4.6	 –	 Processo	 de	 atendimento:	 dados	 reais	 versus	 distribuição	 exponencial
negativa
Exemplo	3
A	 duração	 média	 de	 um	 telefonema	 é	 de	 6	 minutos	 e	 segue	 a	 distribuição
exponencial	negativa.	Qual	a	probabilidade	de	que	a	duração	seja:
a)	Até	6	minutos
b)	Acima	de	6	minutos	c)	Até	1	minuto
d)	Entre	1	e	6	minutos
e)	Acima	de	30	minutos
Solução:	(veja	valores	da	distribuição	exponencial	acumulada	no	Apêndice	B).
Visto	 que	 TA	 =	 6	 minutos,	 podemos	 considerar	 μ	 =	 10	 ligações	 por	 hora.
Observe	que	estamos	utilizando	a	letra	μ,	uma	vez	que	estamos	nos	referindo	a
atendimento.	Devemos	 inicialmente	converter	os	valores	de	minutos	para	horas,
visto	 que	 os	 valores	 das	 médias	 foram	 fornecidos	 na	 base	 horária.	 Assim,	 6
minutos	equivale	a	0,1	hora	e	assim	por	diante:
a)	F(0,1)	=	0,632	ou	63,2%
b)	1	F(0,1)	=	1	0,632	=	0,368	ou	36,8%
c)	F(0,011)	=	0,153	ou	15,3%
d)	F(0,1)	F(0,011)	=	0,632	0,153	=	0,479	ou	47,9%
e)	 1	 F(0,5)	 =	 1	 0,993	 =	 0,007	 ou	 0,7%	 O	 leitor	 deve	 agora	 resolver	 o
exercício	2.
4.3	Chegada	e	atendimento:	conclusões
Resumindo	os	itens	anteriores,	podemos	afirmar	que:
A	 escolha	 entre	 anotar	 ritmo	 ou	 durações	 depende	 da	 existência	 de
equipamento	 adequado.	 Quando	 dispomos	 apenas	 do	 equipamento
convencional	 (relógio,	 papel	 e	 caneta),	 essa	 escolha	 depende	 da
grandeza	dos	valores	a	serem	anotados.
O	processo	de	chegada	geralmente	segue	a	distribuição	de	Poisson	para
ritmos	 ou	 a	 distribuição	 exponencial	 para	 intervalos	 entre	 chegadas.	O
processo	de	atendimento	raramente	segue	as	citadas	distribuições,	a	não
ser	em	caso	raros	e	isolados.
4.4	Exercícios
1)	Um	profissional	do	 ramo	da	pesquisa	operacional	 foi	 solicitado	a	efetuar	um
estudo	em	uma	 firma	distribuidora	de	gasolina.	 Essa	 firma	 tem	um	pátio	 com
uma	 bomba,	 onde	 os	 caminhões	 são	 carregados	 com	 gasolina.	 Com	 o
aumento	das	vendas,	 tem	acontecido	 frequentemente	que	o	pátio	 fica	 lotado
de	 caminhões,	 além	de	 atrapalhar	 o	 trânsito	 na	 estrada	 ao	 lado.	Assim,	 sua
missão	é	redimensionar	o	pátio	no	que	se	refere	ao	número	ótimo	de	postos
de	atendimento.	 Inicialmente,	 ele	 estudou	o	 ritmo	de	 chegada,	 fazendo	 uma
coleta	de	dados,	conforme	mostrado	a	seguir,	que	relaciona	a	quantidade	de
veículos	que	chegou	ao	pátio	em	cada	um	dos	80	intervalos	de	1	hora:
Pede-se:	 verificar	 graficamente	 se	 o	 ritmo	 de	 chegadas	 se	 aproxima	 da
distribuição	de	Poisson.
2)	 O	 mesmo	 profissional	 do	 exercício	 1	 estudou	 a	 seguir	 o	 processo	 de
atendimento	 no	 pátio.	Os	 dados	 da	 tabela	 seguinte	 mostram	 a	 duração	 de
cada	atendimento	em	minutos:
Pede-se:	verificar	graficamente	se	a	duração	do	atendimento	segue	a	distribuição
exponencial	negativa.
3)	 Em	 uma	 fábrica	 as	 máquinas	 estragam	 a	 um	 ritmo	 de	 4	 falhas	 por	 semana,
segundo	a	distribuição	de	Poisson.	Quando	uma	máquina	falha,	é	enviada	uma
solicitação	 de	 conserto	 ao	 departamento	 responsável	 pela	 manutenção.
Calcule	 a	 probabilidade	 de,	 em	 uma	 dada	 semana,	 chegarem	 as	 seguintes
quantidades	de	solicitação	de	conserto:
a)	Zero
b)	1	falha
c)	Até	4	falhas
d)	Mais	que	4	falhas
e)	12	falhas
4)	Em	um	dado	sistema	o	intervalo	médio	entre	duas	chegadas	é	IC	=	10	minutos
(ou	 λ	 =	 6	 chegadas	 por	 hora,	 distribuição	 exponencial	 negativa).	 Pede-se	 a
probabilidade	de	que	o	intervalo	entre	duas	chegadas	seja:
a)	Até	6	minutos
b)	Maior	que	6	minutos
c)	Entre	6	e	30	minutos
d)	Maior	que	30	minutos
5)	A	duração	média	de	carga	de	um	caminhão	em	uma	empresa	de	atacado	é
de	 20	 minutos	 (ou	 seja,	 μ	 =	 3	 atendimentos	 por	 hora).	 Considere	 que	 o
processo	segue	a	distribuição	exponencial	negativa	e	calcule	a	probabilidade
de	que	o	tempo	de	carga	seja	de:
a)	Até	10	minutos
b)	Entre	10	e	20	minutos
c)	Entre	20	e	30	minutos
d)	Entre	30	e	40	minutos
e)	Entre	40	e	50	minutos
f)	Entre	50	e	60	minutos
Conforme	 vimos	 neste	 capítulo,	 é	 pouco	 provável	 que	 o	 processo	 de
carregamento	 de	 um	 caminhão	 obedeça	 à	 distribuição	 exponencial	 negativa.
Teça	comentários	qualitativos	sobre	quais	valores	seriam	mais	prováveis	para	as
respostas	aos	itens	anteriores.
Capítulo	5
Modelos	de	filas
5	Modelos	de	filas
Conforme	 vimos	 no	 capítulo	 anterior,	 um	 sistema	 em	 que	 o	 ritmo	 de	 chegada
segue	a	distribuição	de	Poisson,	e	o	ritmo	de	atendimento	segue	a	distribuição
exponencial	 negativa	 encontra	 poucas	 aplicações	 no	 mundo	 real.	 Uma	 dessas
aplicações	é	o	ambiente	de	telefonia.	Olhando	apenas	o	processo	de	chegada,
a	distribuição	de	Poisson	geralmente	se	aplica	a	qualquer	situação	 real.	Para	o
caso	 de	 atendimento,	 não	 existe	 uma	 única	 distribuição	 de	 uso	 prático
generalizado:	cada	caso	deve	ser	analisado	de	per	si.
Qual	é	a	utilidade	de	um	sistema	teórico	em	que	as	chegadas	seguem	Poisson,	e
o	atendimento	segue	a	distribuição	exponencial	negativa?	Para	efeitos	práticos,
certamente	 teria	 uso	 em	 situações	 raras	 e	 isoladas.	Além	da	aplicabilidade	ao
cenário	 de	 atendimento	 telefônico,	 veremos	 no	 capítulo	 8	 que,	 para	 valores
pequenos	da	taxa	de	utilização	(ρ),	ela	fornece	os	mesmos	valores	que	as	outras
distribuições	para	as	variáveis	randômicas.
No	entanto,	essa	abordagem	se	mostra,	do	ponto	de	vista	matemático,	bastante
generosa,	 visto	que	permite	 construir	 facilmente	 toda	uma	 teoria.	Apesar	de	os
valores	 obtidos	 não	 representarem	 a	 realidade	 corretamente,	 essa	 abordagem
tem	se	revelado	extremamente	útil	para	melhor	compreender	o	processo	de	filas,
dando-nos	um	bom	embasamento	para	posteriormente	enfocarmos	o	assunto	pela
simulação.	 No	 próximo	 capítulo	 nos	 ocuparemos	 do	 chamado	 "modelo	 de
Poisson",	também	conhecido	como	"modelo	marcoviano".
Existem	diversos	outros	modelos	de	filas	para	analisar	situações	reais.	Neste	livro
veremos	também	o	modelo	em	que	o	ritmo	de	atendimento	segue	a	distribuição
de	 Erlang.	 Não	 nos	 estenderemos	 neste	 caminho,	 visto	 que	 a	 abordagem
matemática	se	torna	muito	complexa.
5.1	Teoria	das	filas:	a	notação	Kendall
De	 uma	 maneira	 geral,	 um	 modelo	 de	 filas	 pode	 ser	 descrito	 pela	 seguinte
notação:	A/B/c/K/m/Z,	em	que:
A	descreve	a	distribuição	dos	intervalos	entre	chegadas;
B	descreve	a	distribuição	do	tempo	de	serviço;
c	é	a	capacidade	de	atendimento	ou	quantidade	de	atendentes;
K	 é	 a	 capacidade	máxima	 do	 sistema	 (número	máximo	 de	 clientes	 no
sistema);
m	é	o	tamanho	da	população	que	fornece	clientes;
Z	é	a	disciplina	da	fila.
Essa	 notação	 recebe	 o	 nome	 de	 notação	 Kendall,	 em	 homenagem	 ao	 seu
criador,	David	Kendall.	Os	valores	para	A	e	B	dependem	do	tipo	de	distribuição
a	que	elas	se	referem:
M:	exponencial	negativa	(ou	marcoviana	ou	Poisson);
Em:	Erlang	de	estágio	m;
Hm:	hiperexponencial	de	estágio	m;
Determinística;
Geral.
Assim,	por	exemplo,	M/E2/5/20/∞/randômico	significa	chegadas	marcoviana
(ou	 Poisson),	 atendimento	 Erlang	 de	 segundo	 grau,	 5	 atendentes,	 capacidade
máxima	 do	 sistema	 igual	 a	 20	 clientes,	 população	 infinita	 e	 atendimento
randômico.	A	notação	condensada	A/B/c	é	muito	usada,	e	se	supõe	que	não
há	 limite	para	o	 tamanho	da	 fila,	a	população	é	 infinita	e	a	disciplina	da	 fila	é
FIFO.
O	modelo	M/M/1	 ou	M/M/c	 (também	 conhecido	 por	 modelo	 de	 Poisson),
apesar	 de	 ter	 poucas	 aplicações	 práticas,	 possibilita	 uma	 grande	 aplicação
teórica,	 pois	 permite	 que	 se	 construa	 toda	 uma	 teoria	 sobre	 filas.	 Com	 esse
modelo	 podemos	 calcular	 tamanhos	 de	 filas,	 tempos,	 etc.Podemos
principalmente	efetuar	dimensionamentos	e	estudos	 financeiros	de	 sistemas	com
base	 em	 filas,	 exatamente	 como	 faríamos	 com	 estudos	 bem	 mais	 demorados
baseados	 em	 simulação.	 A	 importância	 didática	 desta	 ferramenta	 fica,	 assim,
bastante	visível.
Capítulo	6
O	modelo	M/M/1
6	O	modelo	M/M/1
O	objetivo	deste	capítulo	é	discutir	o	modelo	M/M/1,	 isto	é,	aquele	em	que
tanto	as	chegadas	quanto	o	atendimento	são	marcovianos	(o	que	é	o	mesmo	que
dizer	que	seguem	a	distribuição	de	Poisson	ou	a	exponencial	negativa)	e	em	que
temos	 um	 único	 atendente.	 O	 estudo	 será	 feito	 para	 os	 casos	 de	 população
infinita	e	 finita.	Na	FIG.	6.1	vemos	a	 representação	mais	usual	para	o	modelo
M/M/1.	 Nela	 o	 retângulo	 tracejado	 representa	 o	 sistema	 que	 está	 sendo
analisado,	 ao	 qual	 chegam	 clientes	 que	 recebem	 algum	 atendimento	 e,	 então,
desocupam	o	sistema.
Para	 um	 sistema	 como	 o	 da	 FIG.	 6.1	 são	 válidas	 as	 seguintes	 definições,
conforme	visto	no	capítulo	2:
λ	=	Ritmo	médio	de	chegada;
IC	=	Intervalo	médio	entre	chegadas	(por	definição:	IC	=	1/λ);
TA	=	Tempo	médio	de	atendimento	ou	de	serviço;
μ	=	Ritmo	médio	de	atendimento	de	cada	atendente	(por	definição:	TA	=
1/μ.
FIGURA	6.1	–	Representação	do	modelo	de	fila	M/M/1
6.1	População	infinita
São	as	seguintes	as	fórmulas	que	tratam	as	principais	variáveis	randômicas:
6.1.1	A	taxa	de	utilização
Chamamos	de	taxa	de	utilização	a	relação	entre	o	ritmo	médio	de	chegada	e	o
ritmo	médio	de	atendimento:
Conforme	vimos	anteriormente,	sistemas	estáveis	exigem	λ	menor	que	μ	ou	ρ	<	1.
Quando	 ρ	 tende	 para	 1,	 a	 fila	 tende	 a	 aumentar	 infinitamente,	 conforme
mostramos	a	seguir:
A	expressão	anterior	nos	permite	concluir	facilmente	que,
se	λ	=	μ
obtemos	ρ	=	1
e	o	tamanho	da	fila	é	infinito.
FIGURA	6.2	–	NF	x	taxa	de	utilização	(ρ)	para	o	modelo	M/M/1
A	FIG.	6.2	mostra	o	relacionamento	entre	NF	e	ρ.	Nela	vemos	claramente	o	que
ocorre	 com	 NF	 quando	 ρ	 tende	 para	 1.	 Em	 situações	 práticas,	 quando	 isso
ocorre	 (por	 exemplo,	 pelo	 crescimento	 do	 ritmo	 de	 chegada	 causada	 por	 um
aumento	 da	 demanda),	 deve-se	 ficar	 alerta,	 pois,	 se	 NF	 cresce
exponencialmente,	isso	significa	que	o	mesmo	ocorrerá	com	o	tempo	na	fila	(TF)	e
com	o	tempo	no	sistema	(TS).	Esse	fato	tem	inúmeras	aplicações	práticas,	entre
as	quais	podemos	citar:
Uma	conclusão	da	observação	da	FIG.	6.2	é	que,	se	temos	um	sistema
saturado	 (ρ	 próximo	 de	 1),	 basta	 dobrar	 nossa	 capacidade	 de
atendimento	(e,	então,	ρ	será	menor	que	0,5)	para	que	a	fila	seja	menor
que	1.
Computadores	 tipo	 main-frame	 são	 instalados	 nas	 empresas	 para
trabalhar	 a	 uma	 taxa	 de	 utilização	 abaixo	 de	 60%,	 quando	 atendem
adequadamente	às	solicitações	em	"tempo	real".	Com	o	passar	do	tempo
e	aumento	da	demanda,	é	comum	a	troca	de	equipamentos	quando	eles
chegam	a	uma	taxa	de	utilização	de	90%,	pois,	a	partir	desse	ponto,	o
"tempo	de	resposta"	geralmente	já	não	é	adequado.
6.1.2	Exemplos
Exemplo	1:	A	cabine	telefônica
Suponhamos	 que	 as	 chegadas	 a	 uma	 cabine	 telefônica	 obedecem	 à	 lei	 de
Poisson,	com	ritmo	de	6	chegadas	por	hora.	A	duração	média	do	telefonema	é
de	3	minutos,	e	suponhamos	que	siga	a	distribuição	exponencial.	Pede-se:
a)	 Qual	 a	 probabilidade	 de	 uma	 pessoa	 chegar	 à	 cabine	 e	 não	 ter	 que
esperar?
b)	Qual	o	número	médio	de	pessoas	na	fila?
c)	Qual	o	número	médio	de	pessoas	no	sistema?
d)	Qual	o	número	médio	de	clientes	usando	o	telefone?
e)	Qual	o	tempo	na	fila?
f)	Para	qual	ritmo	de	chegada	teríamos	a	situação	em	que	o	tempo	médio	de
espera	na	fila	seria	de	3	minutos?
g)	Qual	é	a	fração	do	dia	durante	a	qual	o	telefone	está	em	uso?
Solução:	Pelos	dados	temos:
λ	=	6	chegadas/hora.	Portanto	IC	=	10	minutos
TA	=	3	minutos.	Portanto,	μ	=	20	atendimentos/hora
a)	Trata-se	de	calcular	P0	(probabilidade	de	não	existir	ninguém	no	sistema):
P0	=	1	λ/μ	=	1	–	6/20	=	0,7
Ou	seja,	existe	uma	probabilidade	de	70%	de	que	uma	pessoa,	ao	chegar,	não
encontre	 ninguém	 no	 sistema	 e	 possa	 usar	 imediatamente	 o	 telefone.	 O
complemento	desse	valor,	30%,	significa	a	probabilidade	de	uma	pessoa	ter	de
esperar.
Assim,	o	telefone	fica	ocupado	30%	do	tempo	e	fica	ocioso	70%	do	tempo.
b)	
c)	NS	=	λ/(μ	–	λ)	=	0,428
d)	NA	=	NS	–	NF	=	0,428	0,128	=	0,300
e)	TF	=	λ/μ(μ	–	λ)	=	6	/	20	(20	–	6)	=	0,021	hora	=	1,28	minutos
f)	TF	=	λ/μ(μ	–	λ)
Para	TF	=	3	minutos	ou	TF	=	0,05	hora	e,	mantendo	o	mesmo	μ	=	20	clientes	/
hora,	temos	que:
				10	chegadas/hora
g)	A	fração	do	dia	durante	a	qual	o	telefone	está	em	uso	é	exatamente	igual	(1
P0),	 isto	é,	a	probabilidade	de	que	existam	pessoas	no	sistema.	Conforme
calculado	no	item	“a”,	esse	valor	é	30%.
Exemplo	2:	O	depósito	de	ferramentas
Uma	fábrica	tem	um	depósito	de	ferramentas	aonde	os	operários	vão	receber	as
ferramentas	especiais	para	a	realização	de	determinada	tarefa.	Verificou-se	que	o
ritmo	de	 chegada	 (λ	 =	1	 chegada/minuto)	 e	 o	 ritmo	de	atendimento	 (λ	 =	1,2
atendimentos	por	minuto)	seguem	o	modelo	marcoviano	M/M/1.	A	fábrica	paga
$9,00	por	hora	ao	atendente	e	$18,00	ao	operário.	Pede-se:
a)	O	custo	horário	do	sistema
b)	A	fração	do	dia	em	que	o	atendente	não	trabalha
Solução:
a)	O	custo	horário	do	sistema	é	igual	à	soma	do	custo	horário	do	atendente
mais	o	custo	horário	dos	operários	que,	por	 ficarem	no	sistema	 (na	 fila	ou
sendo	atendidos	 pelo	 servidor),	 não	 estão	 produzindo	 em	 seus	 postos	 de
trabalho.	 Para	 calcular	 este	 último,	 devemos	 conhecer	 o	 número	médio	 de
clientes	no	sistema	(NS).
NS	=	λ/(μ	–	λ)	=	1/(1,2	–	1)	=	5
Portanto:	Custo	horário	=	(Custo	Atendente)	+	(Custo	operários)
Custo	horário	=	($9,00)	+	(5	x	$18,00)	=	$99,00
b)	A	fração	do	dia	durante	a	qual	o	atendente	não	trabalha	é	igual	ao	valor	da
probabilidade	de	não	haver	nenhum	operário	no	sistema:
P0	=	1	–	λ/μ	=	0,16
No	 próximo	 capítulo	 verificaremos	 o	 custo	 total	 do	 sistema	 com	 2	 ou	 mais
atendentes.
Exemplo	3:	Contratação	de	um	reparador
Uma	 empresa	 deseja	 contratar	 um	 reparador	 para	 efetuar	manutenção	 em	 suas
máquinas,	 que	 estragam	 a	 um	 ritmo	 de	 3	 falhas	 por	 hora.	 Para	 isso,	 tem	 2
opções:	um	reparador	lento,	que	é	capaz	de	consertar	a	um	ritmo	de	4	falhas	por
hora	ou	um	reparador	rápido,	que	é	capaz	de	consertar	a	um	ritmo	médio	de	6
falhas	por	hora.	O	salário/hora	do	reparador	lento	é	de	$3,00	e	o	do	reparador
rápido	é	de	$5,00.	Qual	contratação	deve	ser	efetuada	para	que	o	custo	total
(reparador	 mais	 máquinas	 paradas)	 seja	 mínimo?	 Sabe-se	 que	 uma	 máquina
parada	implica	um	custo	horário	de	$5,00.
Solução:
Para	calcular	o	custo	das	máquinas	paradas,	devemos	calcular	o	número	médio
de	máquinas	paradas	(NS).
a)	Reparador	lento
NS	=	λ/(μ	–	λ)	=	3	/(4	–	3)	=	3	máquinas
Custo	das	máquinas	=	3	x	$5,00	=	$15,00
Custo	do	reparador	=	$3,00
Custo	total	=	$18,00
b)	Reparador	rápido
NS	=	3/(6	–	3)	=	1	máquina
Custo	das	máquinas	=	1	x	$5,00	=	$5,00
Custo	do	reparador	=	$5,00
Custo	total	=	$	10,00
Comparando,	 vemos	 que	 o	 reparador	 rápido,	 apesar	 de	 ter	 um	 salário/hora
maior,	implica	um	custo	total	menor.
Exemplo	4:	Filas	sequenciais	em	uma	fábrica
Em	um	sistema	de	filas	sequenciais,	conforme	figura	a	seguir,	calcule	as	filas	que
se	formam	em	cada	servidor.
Solução:
O	leitor	deve	agora	resolver	os	exercícios	1	a	7.
6.2	População	finita:	o	modelo	M/M/1/K
Um	 caso	 particular	 e	 bastante	 encontrado	 na	 vida	 prática	 é	 aquele	 em	 que	 a
população	de	clientes	é	 finita.	Considere,	por	exemplo,	uma	mineração	com	1
escavadeira	e	alguns	caminhões.	Seja	λ	=	8	e	μ	=	10.	Na	FIG.	6.3	mostramos	o
tamanho	médio	da	fila	(calculado	pelas	fórmulas	a	seguir)	em	função	do	tamanho
da	população	de	caminhões	(se	a	população	fosse	infinita,	teríamos	NF	=	3,2).
FIGURA	6.3	–	K	(tamanho	da	população)
Fórmulas
Na	 tabela	 a	 seguir,	 K	 representa	 a	 quantidade	 finita	 de	 clientes	 que	 estão
percorrendo	o	sistema.
6.3	Exercícios
1)	 Clientes	 chegam	 a	 uma	 barbearia