Exercício_Exemplo_Estruturas Hiperestáticas

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Esse documento mostra o modelo e o passo a passo
para a resolução de um exercício de estruturas hiperestáticas.
Para solicitar a resolução de outro exercício de R0 ou R1, entre em contato.
Exercícios de outras disciplinas também podem ser aceitos, mas estão sujeitos a análise.
CONTATO
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SUMÁRIO
 Exercício
 Classificação
 Isostática Fund.
 Compatibilidade
 Encontr. as Reações
 Diagrama
EXERCÍCIO
Esboce o diagrama de momentos fletores da estrutura abaixo.
CLASSIFICAÇÃO
Observe que trata-se de um problema plano, pois todos os esforços e vínculos podem ser restringi-
dos a um único plano. Sendo assim, tem-se três equações de equilíbrio para utilizar na resolução.
A estrutura da figura possui dois engastes e sabe-se que cada engaste tem três vínculos, assim a
estrutura possui seis vínculos.
Como exitem mais vínculos que equações de equilíbrio, a estrutura é hiperestática e seu grau de
hiperestaticidade é:
GH = 6− 3 = 3
ISOSTÁTICA FUNDAMENTAL
Para encontrar uma estrutura isostática derivada da estrutura hisperestática é necessário remover
GH vínculos damesma. As reações que esses vínculos provocam serão transformados em esforços
externos, cujos valores devem ser encontrados. Além disso, ao remover os vínculos, as fixações da
viga são alteradas. Assim, é desejável escolher os vínculos a serem removidos de modo a obter
estruturas com rotações e flechas conhecidas, ou seja, estruturas presentes num formulário.
Para essa estrutura é interessante remover:
• Ambos os vínculos de momento dos engastes.
• Um dos vínculos horizontais, escolheu-se o do engaste B.
Engaste Apoio fixo Apoio móvel
Vínculo vertical Sim Sim Sim
Vínculo horizontal Sim Sim Não
Vínculo de momento Sim Não Não
Assim, o engaste A possui vínculos vertical e horizontal e o B possui apenas o vínculo vertical.
Assim, conforme a tabela, é como se os engastes A e B fossem transformados em um apoio fixo
e um apoio móvel, respectivamente. A figura abaixo mostra as duas situações, com as reações de
cada caso em vermelho.
⇒
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COMPATIBILIDADE
Quando os vínculos são transformados em esforços, informações da linha elástica (rotações e
deslocamentos) são perdidas. Essas informações devem ser recuperadas e isso é feito por meio
de equações de compatibilidade. Como foram removidos GH vínculos, foram perdidas GH
informações e, portanto, serão necessáriasGH equações de compatibilidade.
Engaste A. fixo A. móvel
Desloc. vertical Impede Impede Impede
Desloc. horizontal Impede Impede Permite
Rotação Impede Permite Permite
Engaste A. fixo A. móvel
v = 0 = 0 = 0
u = 0 = 0 ∈ ℜ
θ = v′ = 0 ∈ ℜ ∈ ℜ
Assim, é possível determinar as equações de compatibilidade por meio da análise das transforma-
ções dos vínculos:
Original Transformado Informação perdida Equação de compat.
Engaste A Apoio fixo Impede rotação θA = 0
EngasteB Apoio móvel Impede rotação θB = 0
EngasteB Apoio móvel Impede desloc. horizontal uB = 0
Utilizando o formulário abaixo é possível determinar as rotações em função dos dados do exercício.
θA = −
MA.l
3EI
+
MB .l
6EI
+
P.l2
16EI
θB = −
MA.l
6EI
+
MB .l
3EI
+
P.l2
16EI
ENCONTRANDO AS REAÇÕES
Emposse das três equações de equilíbrio e das três equações de compatibilidade, basta desenvolvê-
las para encontrar as seis váriaveis do problema.

XA +XB = 0
YA + YB = P
MA +MB + YB .l = P.
l
2
θA = 0
θB = 0
uB = 0
⇔

XA +XB = 0
YA + YB = P
MA +MB + YB .l =
P.l
2
−MA.l
3EI
+
MB .l
6EI
+
P.l2
16EI
= 0
−MA.l
6EI
+
MB .l
3EI
+
P.l2
16EI
= 0
XB .l
EA
= 0
Resolvendo:

XA = 0
XB = 0
YA =
P
2
YB =
P
2
MA =
P.l
8
MB = −
P.l
8
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 Isostática Fund.
 Compatibilidade
 Encontr. as Reações
 Diagrama
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 Isostática Fund.
 Compatibilidade
 Encontr. as Reações
 Diagrama
DIAGRAMAS
Por fim, conhecendo todas as seis reações é possível construir os diagramas de normal, cortante e
momento. Será feito apenas o diagrama de momento, pois é o que o exercício pede. Para obter
o diagrama da isostática fundamental é mais simples compor os diagramas de estruturas com
diagramas triviais. A figura abaixo mostra como isso é feito; vale relembrar que, ao contrário dos
outros diagramas, o diagrama de momentos é negativo acima da barra e positivo abaixo dela. A
soma respresentada em verde é feita ponto a ponto ao longo das barras.
O diagrama em vermelho é resultado da composição dos outros dois diagramas e é o diagrama da
isostática fundamental. Por fim, substituindo os valores calculados no tópico anterior, o diagrama
será restrito pelas equações de compatibilidade e será obtido o diagrma demomentos da estrutura
hiperestática.
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